CHƯƠNG IV. BÀI 2. NGUYÊN HÀM CỦA MỘT SỐ HÀM SỐ SƠ CẤP
Trang bìa
Trang bìa
Ảnh
TOÁN 12
CHƯƠNG IV. BÀI 2. NGUYÊN HÀM CỦA MỘT SỐ HÀM SỐ SƠ CẤP
Khởi động
Khởi động
Một con lắc lò xo dao động điều hòa theo phương ngang trên mặt phẳng không ma sát như Hình 1, có vận tốc tức thời cho bởi v(t) = 4 cos t, trong đó t tính bằng giây và v(t) tính bằng centimét/giây. Tại thời điểm t = 0, con lắc đó ở vị trí cân bằng. Phương trình chuyển động của con lắc đó được xác định bằng cách nào?
- Khởi động:
Ảnh
Ảnh
1. Nguyên hàm của hàm số luỹ thừa
Nguyên hàm của hàm số luỹ thừa
Ảnh
1. Nguyên hàm của hàm số luỹ thừa
a. Hàm số luỹ thừa
a. Hàm số luỹ thừa
Ảnh
Cho số thực latex(alpha). Hàm số y = latex(x^alpha) gọi là hàm số luỹ thừa. * Với latex(alpha) nguyên dương, TXĐ: R. * Với latex(alpha) nguyên âm hoặc bằng 0, TXĐ: R\{0} * Với latex(alpha) không nguyên, TXĐ: latex((0; +oo)).
- Định lí
Ảnh
- Định lí:
Hình vẽ
Hàm số luỹ thừa y = latex(x^alpha (alpha in R)) có đạo hàm với mọi x > 0 và latex(9x^alpha))' = latex(alpha.x^(alpha - 1)).
b. Nguyên hàm của hàm số luỹ thừa
b. Nguyên hàm của hàm số luỹ thừa
Ảnh
HĐ1: Hàm số F(x) = latex(1/2 x^2) có là nguyên hàm của hàm số f(x) = x hay không?
- Định lí
Ảnh
- Định lí:
Hình vẽ
Với latex(alpha != -1), ta có: latex(int x^alphadx = (x^(alpha + 1))/(alpha + 1) + C).
- Ví dụ 1
Ảnh
Ví dụ 1: Tìm: a) latex(intx^4)dx; b) latex(intx^(sqrt3))dx; c) latex(int1/(x^2))dx; d) latex(intx^(1/2))dx.
- Giải:
Hình vẽ
a) latex(intx^4)dx = latex((x^(5 + 1))/(4 + 1) + C = (x^5)/5 + C). b) latex(intx^sqrt3 dx = (x^(sqrt3 + 1))/(sqrt3 + 1) + C). c) latex(int1/(x^2)dx = intx^(-2)dx = (x^(-2+1))/(-2 + 1) + C = x^(-1) + C = -1/x +C). d) latex(x^(1/2)dx = (x^(1/2 + 1))/(1/2 + 1) + C = 2/3x^(3/2) + C = (2xsqrtx)/3 + C).
- Luyện tập 1
- Luyện tập 1:
Ảnh
Tìm: a) latex(int(x^4 - 5x^2 + 1)dx). b) latex(intx^(3/5)dx); c) latex(int1/(root4 (x^3)))dx.
2. Nguyên hàm của hàm số latex(f(x) = 1/x)
Nguyên hàm của hàm số latex(f(x) = 1/x)
Ảnh
2. Nguyên hàm của hàm số latex(f(x) = 1/x)
- HĐ2
- Hoạt động 2:
Ảnh
a) Tính đạo hàm của hàm số y = ln|x| trên khoảng (0; + ∞). b) Tính đạo hàm của hàm số y = ln|x| trên khoảng (– ∞; 0).
- Kết luận
Ảnh
- Kết luận:
Ảnh
Hình vẽ
latex(int1/xdx = ln|x| + C)
- Ví dụ 2
Ảnh
Ví dụ 2: Tìm latex(int3/x dx).
- Giải:
Ta có: latex(int3/xdx = 3int1/xdx = 3ln|x| +C).
- Luyện tập 2
Ảnh
- Luyện tập 2:
Tìm latex(int4/(9x)dx).
3. Nguyên hàm của hàm số lượng giác
Nguyên hàm của hàm số lượng giác
Ảnh
3. Nguyên hàm của hàm số lượng giác
- HĐ3
- Hoạt động 3:
Ảnh
a) Hàm số y = – cos x có là nguyên hàm của hàm số y = sin x hay không? b) Hàm số y = sin x có là nguyên hàm của hàm số y = cos x hay không? c) Với x ≠ kπ (k ∈ R), hàm số y = – cot x có là nguyên hàm của hàm số Y = latex(1/(sin^2x))? d) Với latex(x!= pi/2 + kpi (k in Z)) hàm số y = tan x có là nguyên hàm của hàm số latex(y = 1/(cos^2x))?
- Kết luận
Ảnh
- Kết luận:
Ảnh
Hình vẽ
* latex(intsinxdx = -cosx + C); * latex(int1/(sin^2x)dx = -cotx + C). * latex(intcosxdx = sinx + C); * latex(int1/(cos^2x)dx = tanx + C).
- Ví dụ 3
Ảnh
Ví dụ 3: Tìm: a) latex(int3cosdx); b) latex(int(1 + tan^2x)dx).
- Giải:
Hình vẽ
a) latex(int3cosxdx = 3intcosdx = 3sinx + C). b) latex(int(sinx + cosx)dx = intsinxdx + intcosxdx = -cosx + sinx + C).
- Luyên tâp 3
- Luyện tập 3:
Ảnh
Tìm: a) latex(int8sinxdx); b) latex(int(2sinx - 5cosx)dx); c) latex(int(1 + cot^2x)dx); d) latex(int1/(1 + cos2x))dx.
4. Nguyên hàm của hàm số mũ
Nguyên hàm của hàm số mũ
Ảnh
4. Nguyên hàm của hàm số mũ
- HĐ4
- Hoạt động 4:
Ảnh
Tính đạo hàm của hàm số latex(F(x) = (a^x)/(lna)) latex((a > 0, a!=1)). Từ đó, nêu một nguyên hàm của hàm số latex(f(x) = a^x).
- Kết luận
Ảnh
- Kết luận:
Ảnh
Hình vẽ
Với a > 0, latex(a!= 1), ta có: latex(inta^xdx = (a^x)/(lna) + C). Áp dụng công thức trên, ta có: latex(inte^xdx = e^x +C).
- Ví dụ 4
Ảnh
Ví dụ 4: Tìm: a) latex(int3^xdx); b) latex(inte^(2x))dx; c) latex(int2^(x + 1))dx.
- Giải:
Hình vẽ
a) latex(int3^xdx = (3^x)/(ln3) + C). b) latex(inte^(2x)dx = int(e^2)^xdx = ((e^2)^x)/(ln(e^2)) + C = 1/2e^(2x) + C). c) latex(int2^(x+1)dx = int2.2^xdx = 2int2^xdx = 2. (2^x)/(ln2) + C = (2^(x + 1))/(ln2) + C).
- Luyện tập 4
Ảnh
- Luyện tập 4:
Tìm: a) latex(int4^(x + 2)dx); b) latex(int(5^(x + 2) - e^(x+ 1)))dx.
5. Bài tập
Bài tập
Ảnh
5. Bài tập
Bài 1
Bài tập trắc nghiệm
Bài 1: latex(int(2sinx - 3cosx)dx) bằng:
A. 2cosx - 3sinx + C
B. 2cosx + 3sinx + C
C. -2cosx + 3sinx + C
D. -2cosx - 3sinx + C
Bài 2
Ảnh
Bài 2: Tìm: a) latex(int(5sinx + 6cosx)dx); b) latex(int(2 + cot^2x)dx); c) latex(int2^(3x)dx); d) latex(int(2.3^(2x) - e^(x + 1)))dx.
Bài 3
Ảnh
Bài 3: Một quần thể vi khuẩn ban đầu gồm 500 vi khuẩn, sau đó bắt đầu tăng trưởng. Gọi P(t) là số lượng vi khuẩn của quần thể đó tại thời điểm t, trong đó t tính theo ngày (0 ≤ t ≤ 10). Tốc độ tăng trưởng của quần thể vi khuẩn đó cho bởi hàm số P'(t) = latex(ksqrtt), trong đó k là hằng số. Sau 1 ngày, số lượng vi khuẩn của quần thể đó đã tăng lên thành 600 vi khuẩn (Nguồn: R. Larson and B. Edwards, Calculus 10e, Cengage 2014). Tính số lượng vi khuẩn của quần thể đó sau 7 ngày (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị).
Tổng kết
Tổng kết
Ảnh
Tổng kết:
Ôn lại kiến thức vừa học. Hoàn thành hết các bài tập trong SGK và SBT. Chuẩn bị bài sau: "Chương IV. Bài 3. Tích phân".
Cảm ơn
Ảnh
Ảnh