CHƯƠNG 4. BÀI 1. NGUYÊN HÀM
Trang bìa
Trang bìa
Ảnh
CHƯƠNG 4. BÀI 1. NGUYÊN HÀM
TOÁN 12
Khởi động
Khởi động
Ảnh
- Khởi động:
Khi được thả từ độ cao 20 m, một vật rơi với gia tốc không đổi latex(a = 10 m//s^2). Sau khi rơi được t giây thì vật có tốc độ bao nhiêu và đi được quãng đường bao nhiêu?
Ảnh
1. Khái niệm nguyên hàm
Khái niệm nguyên hàm
Ảnh
1. Khái niệm nguyên hàm
- HĐ1
Ảnh
- Hoạt động 1:
Cho hàm số f(x) = 2x xác định trên R. Tìm một hàm số F(x) sao cho F'(x) = f(x).
- Kết luận
- Kết luận:
Ảnh
Ảnh
Cho hàm số f(x) xác định trên K. Hàm số F(x) được gọi là nguyên hàm của hàm số f(x) trên K nếu F'(x) = f(x) với mọi x thuộc K.
- Ví dụ 1
Ví dụ 1: Chứng minh rằng: a) F'(x) = latex(5x + x^2) là một nguyên hàm của hàm số f(x) = 5 +2x trên R. b) G(x) = tanx là một nguyên hàm của h/s g(x) = latex(1/(cos^2x)) trên latex((-pi/2; pi/2)).
Ảnh
- Giải:
Hình vẽ
a) Ta có F'(x) = latex((5x + x^2))' = 5 + 2x = f(x) với mọi x thuộc R. Vậy F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên R. b) Ta có G'(x) = (tanx)' = latex(1/(cos^2x) = g(x)) với mọi latex(x in (-pi/2; pi/2)). Vậy G(x) là một nguyên hàm của hàm số g(x) trên latex((-pi/2; pi/2)).
- HĐ2
Ảnh
- Hoạt động 2:
Cho hàm số f(x) = 3x2 xác định trên R. a) Chứng minh rằng F(x) = latex(x^3) là một nguyên hàm của f(x) trên R. b) Với C là hằng số tùy ý, hàm số H(x) = F(x) + C có là nguyên hàm của f(x) trên R không? c) Giả sử G(x) là một nguyên hàm của f(x) trên R. Tìm đạo hàm của hàm số G(x) – F(x). Từ đó, có nhận xét gì về hàm số G(x) – F(x)?
- Tổng quát
- Tổng quát:
Ảnh
Cho F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên K. Khi đó: * Với mỗi hằng số C, hàm số F(x) + C cũng là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên K; * Nếu G(x) là một nguyên hàm của h/s f(x) trên K thì tồn tại hằng số C sao cho G(x) + C với mọi latex(x in K). Như vậy, mọi nguyên hàm của hàm số f(x) trên K đều có dạng F(x) + C, với C là hằng số. Ta có F(x) + C, latex(C in R) là họ tất cả các nguyên hàm của f(x) trên K, KH: latex(intf(x)dx) và viết latex(intf(x)dx = F(x) + C).
- Chú ý
- Chú ý:
Ảnh
Hình vẽ
Biểu thức f(x)dx gọi là vi phân của nguyên hàm F(x), KH: dF(x). Vậy dF(x) = F'(x)dx = f(x)dx.
- Ví dụ 2
Ví dụ 2: Tìm: a) latex(intx^2dx) trên R; b) latex(int1/(sin^2x) dx) trên latex((0; pi)).
- Giải:
Hình vẽ
a) Vì latex(((x^3)/3))' = latex(x^2), với mọi x thuộc R nên F(x) = latex((x^3)/3) là một nguyên hàm của latex(x^2) trên R. Vậy latex(intx^2dx = (x^3)/3 + C trên R). b) Vì (-cotx)' = latex(1/(sin^2x)) với mọi x thuộc latex((0; pi)) nên F(x) = -cotx là một nguyên hàm của latex(1/(sin^2x) dx) trên latex((0; pi)). Vậy latex(int1/(sin^2x)dx = -cotx + C) trên latex((0; pi)).
- Chú ý
- Chú ý:
Ảnh
Hình vẽ
a) Mọi hàm số f(x) liên tục trên K đều có nguyên hàm trên K. Bài toán tìm nguyên hàm của một hàm số mà không chỉ rõ khoảng K thì được hiểu là tìm nguyên hàm trên từng khoảng xác định của hàm số đó. b) Từ định nghĩa nguyên hàm, ta có: latex(int)f'(x)dx = f(x) + C.
- Thực hành 1
Ảnh
Chứng minh rằng latex(F(x) = e^(2x + 1)) là một nguyên hàm của hàm số f(x) = latex(2e^(2x + 1)) trên R.
- Thực hành 1:
2. Nguyên hàm của một số hàm sơ cấp
Nguyên hàm của một số hàm sơ cấp
Ảnh
2. Nguyên hàm của một số hàm sơ cấp
a. Nguyên hàm của hàm số luỹ thừa
Ảnh
HĐ3: a) Giải thích tại sao latex(int0dx = C) và latex(int)1dx = x + C. b) Tìm đạo hàm của HS F(x) = latex((x^(alpha + 1))/(alpha + 1) (alpha!=-1)). Từ đó, tìm latex(intx^alpha)dx.
a. Nguyên hàm của hàm số luỹ thừa
- Kết luận
- Kết luận:
Ảnh
Ảnh
* latex(int)0dx = C; *latex(int1dx) = x + C; * latex(intx^alpha dx = (x^(alpha + 1))/(alpha +1) + C (alpha != - 1)).
- Ví dụ 3
Ví dụ 3: Tìm: a) latex(intx^6 dx); b) latex(int1/sqrtx dx).
Ảnh
- Giải:
Hình vẽ
a) latex(intx^6 dx = 1/7x^7 + C); b) latex(int1/sqrtx dx = intx^(-1/2) dx = 2x^(1/2) + C = 2sqrtx + C).
- Thực hành 2
Ảnh
- Thực hành 2:
Tìm: a) latex(x^4dx); b) latex(int1/(x^3)dx); c) latex(intsqrtx dx (x > 0)).
b. Nguyên hàm của hàm số y = 1/x
Ảnh
HĐ4: Cho hàm số F(x) = ln |x| với latex(x!= 0). a) Tìm đạo hàm của hàm F(x). b) Từ đó, tìm latex(int1/x)dx.
b. Nguyên hàm của hàm số latex(y = 1/x)
- Kết luận
- Kết luận:
Ảnh
Ảnh
latex(int1/x dx = ln|x| + C).
- Ví dụ 4
Ví dụ 4: Cho hàm số f(x) = latex(1/x) với latex(x!=0). Tìm nguyên hàm F(x) của f(x) thoả mãn F(-2) = 0.
Ảnh
- Giải:
Hình vẽ
Ta có latex(int1/x dx = ln |x| + C) nên F(x) = ln|x| + C latex((x!= 0)). Do F(-2) = 0 nên ln|-2| + C = 0 hay C = -ln2. Vậy F(x) = ln|x| - ln2 latex((x !=0)).
c. Nguyên hàm của một hàm số lượng giác
Ảnh
HĐ5: a) Tính đạo hàm của các hàm số y = sinx, y = -cosx, y = tanx, y = -cotx. b) Từ đó, tìm latex(intcosx dx, intsindx), latex(int1/(cos^2x) dx, int1/(sin^2x)dx).
c. Nguyên hàm của một hàm số lượng giác
- Kết luận
- Kết luận:
Ảnh
Ảnh
* latex(intcosxdx = sinx + C); *latex(intsinxdx = -cosx+ C); * latex(int1/(cos^2x)dx = tanx + C); *latex(int1/(sin^2x)dx = -cotx+ C);
- Ví dụ 5
Ví dụ 5: Tìm latex(int2sinx/2cosx/2dx).
Ảnh
- Giải:
Hình vẽ
latex(int2sinx/2cosx/2dx = intsinxdx = -cosx + C).
- Thực hành 3
Ảnh
- Thực hành 3:
Tìm nguyên hàm F(x) của hàm số f(x) = cos x thoả mãn F(0) + latex(F(pi/2) = 0).
d. Nguyên hàm của hàm số mũ
Ảnh
HĐ6: a) Tìm đạo hàm của các hàm số y = latex(e^x, y = (a^x)/(lna)) với latex((a > 0, a != 1)). b) Tìm latex(inte^xdx) và latex(inta^xdx (a > 0, a !=1)).
d. Nguyên hàm của hàm số mũ
- Kết luận
- Kết luận:
Ảnh
Ảnh
* latex(inte^x dx = e^x + C); *latex(inta^xdx = (a^x)/(lna) + C (a > 0, a!=1));
- Ví dụ 6
Ví dụ 6: Tìm nguyên hàm F(x) của hàm số f(x) = latex(2^x) thoả mãn F(0) = 1.
Ảnh
- Giải:
Hình vẽ
Ta có: latex(2^xdx = (2^x)/(ln2) + C) nên F(x) =LATEX((2^x)/(ln2) + C). Do F(0) = 1 nên latex((2^0)/(ln2) + C = 1/(ln2) + C = 1 - 1/(ln2)). Vậy F(x) = latex((2^x)/(ln2) + 1 - 1/(ln2)).
- Thực hành 4
Ảnh
- Thực hành 4:
Tìm: a) latex(int3^x dx); b) latex(inte^(2x)dx).
3. Tính chất cơ bản của nguyên hàm
Tính chất cơ bản của nguyên hàm
Ảnh
3. Tính chất cơ bản của nguyên hàm
a. Nguyên hàm của tích một số với một hàm số
a. Nguyên hàm của tích một số với một hàm số
Ảnh
HĐ7: Ta có latex(((x^3)/3))' = latex(x^2) và latex((x^3))' = latex(3x^2). a) Tìm latex(intx^2dx) và latex(3intx^2dx). b) Tìm latex(int3x^2dx). c) Từ các kết quả trên, em hãy giải thích tại sao latex(int3x^2dx = 3intx^2dx).
- Kết luận
- Kết luận:
Ảnh
Ảnh
Trong trường hợp tổng quát, với f(x) là hàm số liên tục trên K, ta có: latex(intkf(x)dx = kintf(x)dx), với latex(k in R, k !=0).
- Ví dụ 7
Ví dụ 7: Tìm: a) latex(int(2sinx)/3) dx; b) latex(int(3^(x - 1))/2) dx.
Ảnh
- Giải:
Hình vẽ
a) latex(int(2sinx)/3 dx = 2/3 intsinxdx = -2/3cosx +C); b) latex(int(3^(x -1))/2 dx = 1/2int(3^x)/3 dx = 1/6int3^xdx = (3^x)/(6ln3) + C).
- Thực hành 5
- Thực hành 5:
Ảnh
Tìm: a) latex(int(-(cosx)/4))dx; b) latex(int2^(2x +1) dx).
b. Nguyên hàm của tổng, hiệu hai hàm số
Ảnh
HĐ8: Ta có latex(((x^3)/3))' = latex(x^2), latex((x^2)) = 2x và latex(((x^3)/3 + x^2))' = latex(x^2 + 2x). a) Tìm latex(intx^2dx, int2xdx) và latex(intx^2dx + int2xdx). b) Tìm latex(int(x^2 + 2x)dx). c) Từ các kết quả trên, giải thích tại sao latex(int(x^2 + 2x)dx = intx^2dx + int2xdx).
b. Nguyên hàm của tổng, hiệu hai hàm số
- Kết luận
- Kết luận:
Ảnh
Ảnh
Trong trường hợp tổng quát, với f(x), g(x) là các hàm số liên tục trên K, ta có: * latex(int[f(x) + g(x)]dx = intf(x)dx + intg(x)dx). * latex(int[f(x) - g(x)]dx = intf(x)dx - intg(x)dx).
- Ví dụ 8
Ví dụ 8: Tìm nguyên hàm của các hàm số sau: a) f(x) = latex(3cosx - 4/x); latex(g(x) = (2x + 1)^3).
Ảnh
- Giải:
Hình vẽ
a) latex(int(3cosx - 4/x)dx = 3intcosxdx - 4int1/xdx) latex(= 3sinx - 4ln|x| + C (x!=0)); b) latex(int(2x + 1)^3 dx = int(8x^3 + 12x^2 + 6x + 1)dx) latex(= 8intx^3dx +12intx^2dx + 6intxdx + int1dx) latex(= 2x^4 + 4x^3 + 3x^2 + x +C).
- Thực hành 6
Ảnh
- Thực hành 6:
Tìm: a) latex(int(3x^3 + 2/(root5 (x^3)))dx) (x > 0); b) latex(int(3/(cos^2x) - 1/(sin^2x)))dx.
- Thực hành 7
Ảnh
Một ô tô đang chạy với tốc độ 19 m/s thì hãm phanh và chuyển động chậm dần với tốc độ v(t) = 19 - 2t (m/s). Kể từ khi hãm phãnh, quãng đường ô tô đi được sau 1 giây, 2 giây, 3 giây là bao nhiêu?
- Thực hành 7:
4. Bài tập
Bài tập
Ảnh
4. Bài tập
- Bài 1
Ảnh
Ảnh
Bài tập:
Hình vẽ
Bài 1: Tính đạo hàm của hàm số F(x) = latex(xe^x), suy ra nguyên hàm của hàm số f(x) = latex((x + 1)e^x).
- Bài 2
Ảnh
Ảnh
Bài tập:
Hình vẽ
Bài 2: Tìm: a) latex(intx(2x - 3)^2)dx; b) latex(intsin^2 x/2 dx); c) latex(inttan^2xdx); d) latex(int2^(3x) . 3^x) dx;
- Bài 3
Ảnh
Ảnh
Bài tập:
Hình vẽ
Bài 3: Một chiếc xe đang chuyển động với tốc độ latex(v_0 = 10) m/s thì tăng tốc với gia tốc không đổi a = latex(2 m//s^2) . Tính quãng đường xe đó đi được trong 3 giây kể từ khi bắt đầu tăng tốc.
Tổng kết
- Dặn dò
Ảnh
Dặn dò:
Ôn lại kiến thức vừa học. Hoàn thành các bài tập còn lại trong SGK và SBT. Chuẩn bị bài sau: "Chương 4. Bài 2. Tích phân".
- Cảm ơn
Ảnh