CHƯƠNG IV. BÀI 1. NGUYÊN HÀM
Trang bìa
Trang bìa
Ảnh
TOÁN 12
CHƯƠNG IV. BÀI 1. NGUYÊN HÀM
Khởi động
Khởi động
Ảnh
Một hòn đá rơi từ mỏm đá có độ cao 150 m so với mặt đất theo phương thẳng đứng. Biết tốc độ rơi của hòn đá (Đv: m/s) tại thời điểm t (tính theo giây) được cho bởi công thức v(t) = 9,8t. Quãng đường rơi được S của hòn đá tại thời điểm t được cho bởi công thức nào? Sau bao nhiêu giây thì hòn đá chạm đến mặt đất?
- Khởi động:
Ảnh
1. Khái niệm nguyên hàm
Khái niệm nguyên hàm
Ảnh
1. Khái niệm nguyên hàm
- HĐ1
- Hoạt động 1:
Ảnh
Cho hàm số F(x) = latex(x^3), x ∈ (– ∞; + ∞). Tính F'(x).
- Kết luận
Ảnh
- Kết luận:
Hình vẽ
Cho hàm số f(x) xác định trên K. Hàm số F(x) được gọi là nguyên hàm của hàm số f(x) trên K nếu F'(x) = f(x) với mọi x thuộc K.
- Ví dụ 1
Ảnh
Ví dụ 1: Hãy giải thích vì sao ta có các kết luận sau: a) Hàm số F(x) = latex((x^5)/5) là nguyên hàm của hàm số f(x) = latex(x^4) trên R; b) Hàm số F(x) = sinx là nguyên hàm của hàm số f(x) = cos x trên R.
- Giải:
a) Hàm số F(x) = latex((x^5)/5) là nguyên hàm của hàm số f(x) = latex(x^4) trên R vì latex(((x^5)/5))' = latex(x^4) với mọi latex(x in R). b) Hàm số F(x) = sinx là nguyên hàm của hàm số f(x) = cosx trên R vì (sin x)' = cos x với mọi latex(x in R).
- Luyện tập 1
- Luyện tập 1:
Ảnh
Hàm số F(x) = cot x là nguyên hàm của hàm số nào? Vì sao?
- HĐ2
Ảnh
- Hoạt động 2:
Cho hàm số F(x) = latex(x^3 – 1), x ∈ R và G(x) = latex(x^3 + 5), x ∈ R. a) Cả hai hàm số F(x) và G(x) có phải là nguyên hàm của hàm số f(x) = latex(3x^2) trên R hay không? b) Hiệu F(x) – G(x) có phải là một hằng số C (không phụ thuộc vào x) hay không?
- Định lí
Ảnh
- Định lí:
Hình vẽ
Cho K là một khoảng, đoạn hoặc nửa khoảnn của tập số thực R. Giả sử hàm số F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên K. Khi đó: a) Với mỗi hằng số C, hàmm số G(x) = F(x) + C cũng là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên K. b) Ngược lại, với mỗi nguyên hàm H(x) của hàm số f(x) trên K thì tồn tại hằng số C sao cho H(x) = F(x) + C với mọi x thuộc K.
- Ví dụ 2
Ảnh
Ví dụ 2: Tìm tất cả các nguyên hàm của hàm số f(x) = 5latex(x^4) trên R.
- Giải:
Do latex((x^5))' = latex(5x^4) là một nguyên hàm của hàm số latex(f(x) = 5x^4) trên R. Vậy mọi nguyên hàm của hàm số f(x) = latex(5x^4) đều có dạng latex(x^5 + C), với C là một hằng số.
- Luyện tập 2
- Luyện tập 2:
Ảnh
Tìm tất cả các nguyên hàm của hàm số f(x) = cos x trên R.
- Kết luận
Ảnh
- Kết luận:
Hình vẽ
Họ (hay tập hợp) tất cả các nguyên hàm của hàm số f(x) trên K được kí hiệu là latex(int)f(x)dx.
- Nhận xét
Hình vẽ
Ảnh
- Nhận xét:
* Nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên K thì mọi nguyên hàm của hàm số f(x) trên K đều có dạng F(x) + C với C là một hằng số. Vì vậy, latex(int f(x) dx) = F(x) + C). * Mọi hàm số liên tục trên K đều có nguyên hàm trên K. * Biểu thức f(x)dx gọi là vi phân của nguyên hàm F(x), kí hiệu dF(x). Vậy dF(x) = F'(x)dx = latex(int)(x)dx.
Ảnh
- Ví dụ 3
Ảnh
Ví dụ 3: Chứng tỏ rằng: a) latex(int kdx) = kx + C với k là hằng số thực; b) latex(intkx dx = k/2 x^2 + C) với hằng số thực khác không.
- Giải:
a) Do (kx)' = k nên kx là một nguyên hàm của h/số f(x) = k trên R. Vậy latex(intkdx = kx + C). b) Do latex((k/2 x^2))' = kx nên latex(k/2x^2) là một nguyên hàm của hàm số f(x) = kx trên R. Vậy latex(intkxdx = k/2 x^2 + C (k !=0)).
- Luyện tập 3
- Luyện tập 3:
Ảnh
Chứng tỏ rằng: latex(int kx^2dx = k/3x^3 + C (k !=0)).
2. Tính chất của nguyên hàm
Tính chất của nguyên hàm
Ảnh
2. Tính chất của nguyên hàm
- HĐ3
Ảnh
- Hoạt động 3:
Cho f(x) là hàm số liên tục trên K, k là hằng số thực khác 0. a) Giả sử F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên K. Hỏi kF(x) có phải là nguyên hàm của hàm số kf(x) trên K hay không? b) Giả sử G(x) là một nguyên hàm của hàm số kf(x) trên K. Đặt G(x) = kH(x) trên K. Hỏi H(x) có phải là nguyên hàm của hàm số f(x) trên K hay không? c) Nêu nhận xét về latex(int)kf(x)dx và latex(kint)f(x)dx.
- Tính chất 1
Ảnh
- Tính chất 1:
Ảnh
Hình vẽ
latex(int)f(x)dx = klatex(int)f(x)dx với k là hằng số khác 0.
- Ví dụ 4
Ảnh
Ví dụ 4: Cho n là số nguyên dương. a) Chứng tỏ rằng latex(int x^n)dx = latex((x^(n +1))/(n + 1) + C). b) Cho k là hằng số thực khác không. Tính latex(int)klatex(x^n)dx.
- Giải:
a) Do latex(((x^(n+1))/(n +1)))' = latex(x^n) nên latex((x^(n +1))/(n + 1)) là một nguyên hàm của hàm số f(x) = latex(x^n) trên R. Vậy latex(int x^n)dx = latex((x^(n +1))/(n + 1) + C) b) Ta có: latex(int)klatex(x^n)dx = klatex(int)latex(x^n)dx = latex((kx^(n +1))/(n + 1) + C).
- Luyện tập 4
- Luyện tập 4:
Ảnh
Chứng tỏ rằng latex(int)latex((n +1)x^n)dx = latex(x^(n +1) + C) với n là số nguyên dương.
- HĐ4
Ảnh
- Hoạt động 4:
Cho f(x), g(x) là hai hàm số liên tục trên K. a) Giả sử F(x), G(x) lần lượt là nguyên hàm của các hàm số f(x), g(x) trên K. Hỏi F(x) + G(x) có phải là nguyên hàm của hàm số f(x) + g(x) trên K hay không? b) Giả sử H(x), F(x) lần lượt là nguyên hàm của các hàm số f(x) + g(x), f(x) trên K. Đặt G(x) = H(x) – F(x) trên K. Hỏi G(x) có phải là nguyên hàm của hàm số g(x) trên K hay không? c) Nêu nhận xét về latex(int)[f(x) + g(x)]dx và latex(int)f(x)dx + latex(int)g(x)dx.
- Tính chất 2
Ảnh
- Tính chất 2:
Ảnh
Hình vẽ
* latex(int)[f(x) + g(x)]dx = latex(int)f(x)dx + latex(int)g(x)dx. * latex(int)[f(x) - g(x)]dx = latex(int)f(x)dx - latex(int)g(x)dx.
- Ví dụ 5
Ảnh
Ví dụ 5: Tìm latex(int)(2x + 5)dx.
- Giải:
Ta có: latex(int)(2x + 5)dx = latex(int)2xdx + latex(int)5dx =latex(x^2 + 5x + C).
- Luyện tập 5
Ảnh
- Luyện tập 5:
Tìm: Latex(int)latex((2x^2 - 3x + 5))dx.
3. Bài tập
Bài tập
Ảnh
3. Bài tập
Bài 1
Bài tập trắc nghiệm
Bài 1: Hàm số latex(F(x) = x^3 + 5) là nguyên hàm của hàm số:
A. f(x) = latex(3x^2)
B. f(x) = latex((x^4)/4 + 5x + C)
C. f(x) = latex((x^4)/4 + 5x).
D. f(x) = latex(3x^2 + 5x)
Bài 2
Ảnh
Bài 2: Tìm nguyên hàm của các hàm số sau: a) latex(f(x) = 3x^2 + x); b) latex(f(x) = 9x^2 - 2x + 7); c) latex(f(x) = (4x - 3)(x^2 + 3)).
Bài 3
Ảnh
Bài 3: Một vườn ươm cây cảnh bán một cây sau 6 năm trồng và uốn tạo dáng. Tốc độ tăng trưởng trong suốt 6 năm được tính xấp xỉ bởi công thức h'(t) = 1,5t + 5, trong đó h(t) (cm) là chiều cao của cây sau t (năm) (Nguồn: R. Larson and B. Edwards, Calculus 10e Cengage 2014). Biết rằng, cây con khi được trồng cao 12 cm. a) Viết công thức tính chiều cao của cây sau t năm. b) Khi được bán, cây cao bao nhiêu centimét?.
Tổng kết
Tổng kết
Ảnh
Tổng kết:
Ôn lại kiến thức vừa học. Hoàn thành hết các bài tập trong SGK và SBT. Chuẩn bị bài sau: "Chương IV. Bài 2. Nguyên hàm của một số hàm số sơ cấp".
Cảm ơn
Ảnh
Ảnh