BÀI 19: LÔGARIT
Trang bìa
Trang bìa
Ảnh
BÀI 19: LÔGARIT
TOÁN 11
Khởi động
Khởi động
Ảnh
- Khởi động:
Bác An gửi tiết kiệm ngân hàng 100 triệu đồng kì hạn 12 tháng, với lãi suất không đổi là 6% một năm. Khi đó sau n năm gửi thì tổng số tiền bác An thu được (cả vốn lẫn lãi) cho bởi công thức sau: latex(A = 100 . (1 +0,06)^n) (triệu đồng).
Hỏi sau ít nhất bao nhiêu năm, tổng số tiền bác An thu được không dưới 150 triệu đồng?
Hình thàn kiến thức
1. Khái niệm lôgarit
1. Khái niệm lôgarit
HĐ1: Tìm x, biết: a) latex(2^x = 8); b) latex(2^x = 1/4); c) latex(2^x = sqrt2).
Ảnh
- Giải:
a) latex(2^x = 8 ⇔ 2^x = 2^3 ⇔ x = 3). b) latex(2^x = 1/4 <=> 2^x = x^-2 <=> x = -2). c) latex(2^x = sqrt2 <=> 2^x = 2^(1/2) <=> x = 1/2).
- Kết luận
Ảnh
- Kết luận:
Cho a là một số thực dương khác 1 và M là một số thực dương. Số thực latex(alpha) để latex(a^alpha = M) được gọi là lôgarit cơ số a của M và kí hiệu là latex(log_aM): latex(alpha = log_aM <=> a^alpha = M).
- Chú ý
Ảnh
- Chú ý:
+) Không có lôgarit của số âm và số 0. cơ số của lôgarit phải dương và khác 1. +) Với latex(0< a != 1, M > 0) và latex(alpha) là số thực tuỳ ý, ta có: * latex(log_a1 = 0; log_a a = 1); * latex(a^(log_a M) = M; log_a a^alpha = alpha).
- Ví dụ 1
Ví dụ 1: Tính: a) latex(log_2 1/8); b) latex(log_sqrt3 9).
Ảnh
- Giải:
a) latex(log_2 1/8 = log_2 = 2^-3 = -3). b) latex(log_sqrt3 9 = log_sqrt3 (sqrt3)^4) = 4.
- Luyện tập 1
Ảnh
- Luyện tập 1:
Tính: a) latex(log_3 3sqrt3); b) latex(log_(1/2) 32).
2. Tính chất của lôgarit
2. Tính chất của lôgarit
HĐ2: Cho latex(M = 2^5, N = 2^3). Tính và so sánh: a) latex(log_2(MN)) và latex(log_2M + log_2N); b) latex(log_2(M/N)) và latex(log_2 M - log_2N).
a. Quy tắc tính lôgarit
Ảnh
- Mẫu:
a) Ta có: latex(log_2(MN) = log_2(2^5 2^3) = log_2(2^(5 + 3)) =log_2 2^8 = 8) và latex(log_2M + log_2N = log_2 2^5 + log_2 2^3 = 5 + 3 = 8) Vậy latex(log_2(MN) = log_2M + log_2N).
- Kết luận
Ảnh
- Kết luận:
Giả sử a là số thực dương khác 1, M và N là các số thực dương, latex(alpha) là số thực tuỳ ý. Khi đó: * latex(log_a(MN) = log_aM + log_aN); * latex(log_a(M/N) = log_aM - log_aN); * latex(log_aM^alpha = alphalog_aM).
- Ví dụ 2
Ví dụ 2: Tính giá trị của các biểu thức sau: a) latex(log_4 2 + log_4 32); b) latex(log_2 80 - log_2 5).
- Giải:
Ảnh
a) latex(log_4 2 + log_4 32 = log_4 (2 . 32) = log_4 64) latex(= log_4 4^3 = 3log_4 4 = 3). b) latex(log_2 80 - log_2 5 = log_2 80/5 = log_2 16) latex(= log_2 2^4 = 4 log_2 2 = 4).
- Luyện tập 2
Ảnh
- Luyện tập 2:
Rút gọn biểu thức sau: A = latex(log_2(x^3 - x) - log_2(x + 1) - log_2(x - 1)) (x > 1).
b. Đổi cơ số của lôgarit
b. Đổi cơ số của lôgarit
HĐ3: Giả sử đã cho latex(log_aM) và ta muốn tính latex(log_bM). Để tìm mối liên hệ giữa latex(log_aM) và latex(log_bM), hãy thực hiện các yêu cầu sau: a) Đặt latex(y = log_aM), tính M theo y; b) Lấy lôgarit theo cơ số b cả hai vế của kết quả nhận được trong câu a, từ đó suy ra công thức mới để tính y.
Ảnh
- Kết luận
Ảnh
- Kết luận:
Với các cơ số lôgarit a và b bất kì (latex(0 < a != 1, 0 < b != 1)) và M là só thực dương tuỳ ý, ta luôn có: latex(log_a M = (log_bM)/(log_b a)).
- Ví dụ 3
Ví dụ 3: Không dùng máy tính cầm tay, hãy tính latex(log_8)
- Giải:
Ảnh
Ta có: latex(log_4 8 = (log_2 8)/(log_2 4) = (log_2 2^3)/(log_2 2^2) = 3/2).
- Ví dụ 4
Ví dụ 3: Chứng minh rằng: a) Nếu a và b là hai số dương khác 1 thì latex(log_a b = 1/(log_b a)); b) Nếu a là số dương khác 1, M là số dương và latex(alpha != 0), thì latex(log_a^alpha M = 1/alpha log_a M).
Ảnh
- Giải:
a) Theo công thức đổi cơ số, ta có: latex(log_a b = (log_b b)/(log_b a) = 1/(log_b a)). b) Theo công thức đổi cơ số, ta có: latex(log_a^alpha M = (log_a M)/(log_a a^alpha) = 1/alpha log_a M).
- Luyện tập 3
Ảnh
- Luyện tập 3:
Không dùng máy tính cầm tay, hãy tính latex(log_9 1/27).
3. Lôgarit thập phân và lôgarit tự nhiên
Ảnh
3. Lôgarit thập phân và lôgarit tự nhiên
Logarit cơ số 10 của một số dương M gọi là lôgarit thập phân của M, kí hiệu là log M hoặc lg M (đọc là lốc của M).
a. Lôgarit thập phân
- Ví dụ 5
Ví dụ 5: Độ pH của một dung dịch hoá học được tính theo CT: pH = -log[H+], trong đó [H+] là nồng độ (tính theo mol/lít) của các ion hydrogen. Giá trị pH nằm trong khoảng từ 0 đến 14. Nếu pH < 7 thì dung dịch có tính acid, nếu pH > 7 thì dung dịch có tính base, còn nếu PH = 7 thì dung dịch là trung tính. a) Tính độ pH của dd có nồng độ ion hydrogen bằng 0,01 mol/lít. b) XĐ nồng độ ion hydrogen của một dung dịch có độ pH = 7,4.
Ảnh
- Giải:
a) Khi [H + ] = 0,01, ta có: pH = -log 0,01 = - latex(10^-2 = 2). b) Nồng độ ion hydrogen trong dung dịch đó là: latex([H+] = 10^(-7,4)).
b. Số e và lôgarit tự nhiên
b. Số e và lôgarit tự nhiên
* Bài toán lãi kép liên tục và số e
Nếu đem gửi ngân hàng một số vốn ban đầu P theo thể thức lãi kép với lãi suất hàng năm không đổi là r và chia mỗi năm thành m kì tính lãi thì sau t năm số tiền thu được (cả vốn lẫn lãi) là: latex(A_m = P (1 + r/m)^(tm)) Nếu kì tính lãi được chia ngày càng nhỏ, tức là tính lãi hằng ngày, hằng giờ, hằng phút, hằng giây,... thì dẫn đến việc tính giới hạn của dãy số latex(A_m) khi latex(m -> +oo). Ta có: latex(A_m = P(1 + r/m)^(tm) = P[(1 + 1/(m/r))^(m/r)]^(tr)) Để tính giới hạn lim latex(A_m) ta cần xét giới hạn lim latex((1 + 1/(m/r))^(m/r))
latex(m -> +oo)
latex(m -> +oo)
+ tiếp (Bài toán lãi kép liên tục và số e)
Một cách tổng quát ta xét giới hạn lim latex((1 + 1/x)^x). Người ta chứng minh được giới hạn trên tồn tại, nó là một số vô tỉ có giá trị bằng 2,718281828.... và kí hiệu là e. Vậy: e = lim latex((1 + 1/x)^x ~~ 2,7183) Từ các kết quả trên suy ra lim latex(A_m = Pe^(tr)) Thể thức tính lãi khi latex(m -> +oo) theo cách trên gọi là thể thức lãi kép liên tục. Như vậy, với số vốn ban đầu là P, theo thể thức lãi kép liên tục, lãi suất hằng nằm không đổi là r thì sau t năm, số tiền thu được cả vốn lẫn lãi là : latex(A = Pe^(tr)). Công thức trên gọi là công thức lãi kép liên tục.
latex(x -> +oo)
latex(x -> +oo)
latex(m -> +oo)
- Lôgarit tự nhiên
* Lôgarit tự nhiên
Ảnh
Lôgarit tự nhiên cơ số e của một số dương M gọi là lôgarit tự nhiên của M, kí hiêu là in M (đọc là lôgarit Nepe của M).
- Ví dụ 6
Ảnh
Ví dụ 6: Biết thời gian cần thiết (tính theo năm) để tăng gấp đôi số tiền đầu tư theo thể thức lãi kép liên tục với lãi suất không đổi r mỗi năm được cho bởi côn thức sau: latex(t = (ln2)/r) Tính thời gian cần thiết để tăng gấp đôi một khoản đầu tư khi lãi suất là 6% mỗi năm (làm tròn KQ đến chữ số thập phân thứ nhất).
- Giải:
Ta có: r = 6% = 0,06. Do đó thời gian cần thiết để tăng gấp đôi khoản đầu tư là: latex(t = (ln2)/r = (ln2)/(0,06) ~~ 11,6) (năm).
c. Tính lôgarit bằng máy tính cầm tay
Ảnh
c. Tính lôgarit bằng máy tính cầm tay
Ảnh
- Ví dụ 7
Ảnh
Ví dụ 7: Giải bài toán trong tình huống mở đầu.
- Giải:
Ta có: A = 100 . latex((1 + 0,06)^n = 100 . 1,06^n). Với A = 150, ta có: latex(100 . 1,06^n = 150) hay latex(1,06^n = 1,5), tức là latex(n = log_(1,06) 1,5 ~~ 6,96). Vì gửi tiết kiệm kì hạn 12 tháng (tức là 1 năm) nên n phải là số nguyên. Do đó ta chọn n = 7. Vậy sau ít nhất 7 năm thì bác An nhận được số tiền ít nhất là 150 triệu đồng.
- Vận dụng
- Vận dụng:
Cô Hương gửi tiết kiệm 100 triệu đồng với lãi suất 6% một năm. a) Tính số tiền cô Hương thu được (cả vốn lẫn lãi) sau 1 năm, nếu lãi suất được tính theo một trong các thể thức sau: - Lãi kép kì hạn 12 tháng; - Lãi kép kì hạn 1 tháng; - Lãi kép liên tục. b) Tính thời gian cần thiết để cô Hương thu được số tiền (cả vốn lẫn lãi) là 150 triệu đồng nếu gửi theo thể thức lãi kép liên tục (làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ nhất).
Ảnh
Luyện tập và vận dụng
Bài 1 (Luyện tập và vận dụng)
Ảnh
Hình vẽ
Bài 1: Tính: a) latex(log_2 2^-13); b) latex(lne^sqrt2); c) latex(log_8 16 - log_8 2); d) latex(log_2 6 . log_6 8).
Bài 2 (Luyện tập và vận dụng)
Ảnh
Hình vẽ
Bài 2: Viết mỗi biểu thức sau thành lôgarit của một biểu thức: a) latex(A = ln(x/(x - 1)) + ln((x + 1)/x) - ln(x^2 - 1)); b) latex(B = 21log_3 root3x + log_3 (9x^2) - log_3 9).
Bài 3 (Luyện tập và vận dụng)
Ảnh
Hình vẽ
Bài 3: Rút gọn các biểu thức sau: a) latex(A = log_(1/3) 5 + 2log_9 25 - log_sqrt3 1/5); b) latex(B = log_aM^2 + log_a^2 M^4).
Dặn dò
- Dặn dò
Ảnh
Ôn lại kiến thức vừa học. Hoàn thành các bài còn lại SGK và SBT. Chuẩn bị bài sau: "Bài 20: Hàm số mũ và hàm số Lôgarit".
Dặn dò
- Cảm ơn
Ảnh
CẢM ƠN CÁC EM ĐÃ LẮNG NGHE BÀI HỌC !