CHƯƠNG 8. BÀI 4. KHOẢNG CÁCH TRONG KHÔNG GIAN
Trang bìa
Trang bìa
Hình vẽ
CHƯƠNG 8. BÀI 4. KHOẢNG CÁCH TRONG KHÔNG GIAN
TOÁN 11
Ảnh
Khởi động
Khởi động
Khởi động
Có bao nhiêu loại khoảng cách trong công trình đang xây dụng này? Làm thế nào để tính được những khoảng cách đó?
Ảnh
Ảnh
Ảnh
Ảnh
Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng, đến một mặt phẳng
Khám phá 1
1. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng, đến một mặt phẳng
a) Khám phá 1:
a, Cho điểm M và đường thẳng a không đi qua M. Trong mặt phẳng (M;a) dùng êke để tìm H trên a sao cho MH ⊥ a (Hình 1a) . Đo độ dài đoạn MH. b, Cho điểm M không nằm trên mặt phẳng sàn nhà (P). Dùng dây dọi để tìm hình chiếu vuông góc H của M trên (P) (Hình 1a). Đo độ dài đoạn MH.
Ảnh
Ảnh
Ảnh
1. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng, đến một mặt phẳng
Giải:
a, Độ dài đoạn MH là khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng a. b, Độ dài đoạn MH là khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng P.
Ảnh
Ảnh
Ảnh
Định nghĩa
1. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng, đến một mặt phẳng
b) Định nghĩa:
- Nếu H là hình chiếu vuông góc của điểm M trên đường thẳng a thì độ dài đoạn MH được gọi là khoảng cách từ M đến đường thẳng a, kí hiệu d(M, a). - Nếu H là hình chiếu vuông góc của điểm M trên mặt phẳng (P) thì độ dài đoạn MH được gọi là khoảng cách từ điểm M đến (P), kí hiệu d(M, (P)).
Ảnh
Ảnh
Chú ý - Nhận xét
1. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng, đến một mặt phẳng
c) Chú ý:
Quy ước: - d(M, a) = 0 khi và chỉ khi M thuộc a. - d(M, (P)) = 0 khi và chỉ khi M thuộc (P).
d) Nhận xét:
- Lấy điểm N tùy ý trên đường thẳng a, ta luôn có d(M,a) ≤ MN. - Lấy điểm N tùy ý trên mặt phẳng (P), ta luôn có d(M,(P)) ≤ MN.
Ảnh
Ví dụ 1
1. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng, đến một mặt phẳng
e) Ví dụ 1:
Cho hình chóp O.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a và OA⊥(ABC). Cho biết OA = a. a, Tính khoảng cách từ điểm O đến (ABC). b, Tính khoảng cách từ điểm ) đến đường thẳng BC.
Ảnh
Ảnh
Ảnh
Ảnh
1. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng, đến một mặt phẳng
Giải:
a, Ta có OA⊥(ABC), suy ra d(O, (ABC)) = OA = a. b, Vẽ AH BC, ta có OH⊥BC (định lí ba đường vuông góc), suy ra d(O, BC)=OH. Tam giác ABC đều có cạnh bằng a suy ra AH = LATEX((asqrt3)/2) Trong tam giác vuông OAH, ta có OH = LATEX(sqrt(OH^2 + AH^2)) = LATEX(sqrt(a^2 + (3a^2)/4)) = LATEX((asqrt7)/2) Vậy ta có d(O, BC) = LATEX((asqrt7)/2)
Ảnh
Ảnh
Thực hành 1
1. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng, đến một mặt phẳng
f) Thực hành 1:
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a. Biết SA = a và SA ⊥ (ABCD). Cho biết OA = a. a, Tính khoảng cách từ B đến (SAD). b, Tính khoảng cách từ A đến đường thẳng SC.
Ảnh
Ảnh
Ảnh
Ảnh
1. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng, đến một mặt phẳng
Giải:
a, Ta có: SA⊥(ABCD) ⇒ SA⊥AB AB⊥AD ⇒ AB⊥(SAD) d(B, (SAD)) = AB = a
b, Kẻ AH ⊥ SC. Khi đó, d(A, SC) = AH. Tam giác ABC vuông tại B nên AC = LATEX(sqrt(AB^2 + BC^2)) = LATEX(asqrt2) Tam giác SAC vuông tại A nên SC = LATEX(sqrt(SA^2 + AC^2)) = LATEX(asqrt3) Tam giác SAC vuông tại A có đường cao AH nên AH = LATEX((SA.AC)/(SC)) = LATEX((asqrt6)/3) Vậy d(A, SC) = LATEX((asqrt6)/3)
Ảnh
Vận dụng 1
1. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng, đến một mặt phẳng
g) Vận dụng 1:
Một quạt trần có bề dày thân quạt bằng 20 cm. Người ta muốn treo quạt sao cho khoảng cách từ quạt đến sàn nhà là 2,5 m. Hỏi phải làm cán quạt dài bao nhiêu? Cho biết trần nhà cao 3,6 m.
Ảnh
Ảnh
Giải:
Đổi 20 cm = 0,2 m Độ dài của cán quạt là: 3,6 − 2,5 − 0,2 = 0,9 (m) Vậy phải làm cán quạt dài 0,9 m.
Khoảng cách giữa các đường thẳng và mặt phẳng song song, giữa hai mặt phẳng song song
Khám phá 2
2. Khoảng cách giữa các đường thẳng và mặt phẳng song song, giữa hai mặt phẳng song song
a) Khám phá 2:
a, Cho đường thẳng a song song với mặt phẳng (P). Lấy hai điểm A, B tuỳ ý trên a và gọi H, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của A và B trên (P) (Hình 4a). So sánh độ dài hai đoạn thẳng AH và BK. b, Cho hai mặt phẳng song song (P) và (Q) . Lấy hai điểm A, B tuỳ ý trên (P) và gọi H, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của A và B trên (Q) (Hình 4b). So sánh độ dài hai đoạn thẳng AH và BK.
Ảnh
Ảnh
Ảnh
2. Khoảng cách giữa các đường thẳng và mặt phẳng song song, giữa hai mặt phẳng song song
Giải:
a, Ta có: AH⊥(P) BK⊥(P) ⇒ AH // BK Mà AB // HK ⇒ ABKH là hình bình hành có AH ⊥ (P) ⇒ AH⊥HK ⇒ Góc AHK = 90° ⇒ ABKH là hình chữ nhật. Vậy AH = BK.
Ảnh
b, Ta có: AH⊥(Q) BK⊥(Q) ⇒ AH // BK Mà AB // HK ⇒ ABKH là hình bình hành có AH ⊥ (Q) ⇒ AH⊥HK ⇒ Góc AHK = 90° ⇒ ABKH là hình chữ nhật. Vậy AH = BK.
Ảnh
Định nghĩa
Ảnh
Ảnh
2. Khoảng cách giữa các đường thẳng và mặt phẳng song song, giữa hai mặt phẳng song song
b) Định nghĩa:
- Khoảng cách giữa hai đường thẳng song song a và b là khoảng cách từ một điểm bất kì trên a đến b, kí hiệu d(a, b). - Khoảng cách giữa đường thẳng a đến mặt phẳng (P) song song với a là khoảng cách từ một điểm bất kì trên a đến (P), kí hiệu d(a, (P)). - Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song (P) và (Q) là khoảng cách từ một điểm bất kì trên (P) đến (Q), kí hiệu d((P), (Q)).
Ví dụ 2
Ảnh
2. Khoảng cách giữa các đường thẳng và mặt phẳng song song, giữa hai mặt phẳng song song
c) Ví dụ 2:
Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a. Tính theo a: a, Khoảng cách giữa đường thẳng DD' và (AA'C'C). b, Khoảng cách giữa hai mặt phẳng (AA'D'D) và (BB'C'C).
Ảnh
Ảnh
Ảnh
2. Khoảng cách giữa các đường thẳng và mặt phẳng song song, giữa hai mặt phẳng song song
Giải:
a, Ta có DD' // AA', d(DD', (AA'C'C)) =d(D, (AA'C'C)). Gọi O là tâm hình vuông ABCD. Ta có DO⊥AC và DO⊥AA', suy ra DO⊥(AA'C'C). Vậy d(DD', (AA'C'C))=d(D, (AA'C'C)) = DO = LATEX((asqrt2)/2) b, Ta có (AA'D'D) // (BB'C'C) suy ra d((AA'D'D), (BB'C'C)) = d(A, (BB'C'C)). Do AB⊥BB' và AB⊥BC, suy ra AB⊥(BB'C'C). Vậy d((AA'D'D), (BB'C'C)) = AB = a.
Ảnh
Thực hành 2
Ảnh
2. Khoảng cách giữa các đường thẳng và mặt phẳng song song, giữa hai mặt phẳng song song
d) Thực hành 2:
Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a. Tính khoảng cách : a, Giữa hai mặt phẳng (ACD') và (A'C'B). b, Giữa đường thẳng AB và (A'B'C'D').
Ảnh
Ảnh
Ảnh
Ảnh
2. Khoảng cách giữa các đường thẳng và mặt phẳng song song, giữa hai mặt phẳng song song
Giải:
Ảnh
a, Ta có (ACD') // (BA'C') ⇒ d((ACD'),(BA'C')) = d(B,(ACD')) = d(D,(ACD')) Gọi I là hình chiếu vuông góc của D trên OD'. Ta có: AC⊥BD DD'⊥(ABCD) ⇒ AC⊥BD DD'⊥AC ⇒ AC⊥(BDD'B') ⇒ AC⊥DI và DI⊥OD' ⇒ DI⊥(D'AC) ⇒d(D,(D'AC)) = DI
Ảnh
2. Khoảng cách giữa các đường thẳng và mặt phẳng song song, giữa hai mặt phẳng song song
Giải:
Xét tam giác ABD vuông tại A nên ta có: BD = LATEX(sqrt(AB^2 + AD^2)) = LATEX(asqrt2) ⇒ OD = LATEX((asqrt2)/2) Xét tam giác D'DO vuông tại D có DI là đường cao nên LATEX(1/(DI^2)) = LATEX(1/(OD^2)) + LATEX(1/(DD^2)) = LATEX(2/(a^2)) + LATEX(1/(a^2)) = LATEX(3/(a^2)) ⇒ d((ACD'),(A'C'B)) = DI = LATEX((asqrt3)/3) b, Ta có: AB // (A'B'C'D'). Do đó d(AB, (A'B'C'D')) = AA' = a
Ảnh
'
Ảnh
Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau
Khám phá 3
Ảnh
3. Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau
a) Khám phá 3:
Cho hai đường thẳng chéo nhau a và b. Gọi (Q) là mặt phẳng chứa b và song song với a. Gọi (P) là mặt phẳng chứa đường thẳng a, vuông góc với (Q) và cắt b tại J. Trong (P), gọi c là đường thẳng đi qua J vuông góc với a và cắt a tại điểm I. Đường thẳng IJ có vuông góc với b không? Giải thích.
Ảnh
Ảnh
3. Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau
Giải:
Ta có: a // (Q) a' = (P)∩(Q) ⇒ a // a'; IJ⊥a ⇒ IJ⊥a' Mà (P) ⊥(Q) ⇒ IJ ⊥ (Q) ⇒ IJ ⊥ b
Ảnh
Ảnh
Ảnh
Ảnh
Định nghĩa
3. Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau
b) Định nghĩa:
- Đường thẳng c vừa vuông góc, vừa cắt hai đường thẳng chéo nhau a và b được gọi là đường vuông góc chung của a và b. - Nếu đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau a và b cắt chúng lần lượt tại I và J thì đoạn IJ gọi là đoạn vuông góc chung của a và b. - Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau là độ dài đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng đó, kí hiệu d(a, b).
Ảnh
Ảnh
Chú ý
Ảnh
3. Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau
c) Chú ý:
- Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau a và b bằng khoảng cách giữa một trong hai đường thẳng đến mặt phẳng song song với nó và chứa đường thẳng còn lại. - Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau bằng khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song lần lượt chứa hai đường thẳng đó.
Ảnh
Ví dụ 3
3. Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau
d) Ví dụ 3:
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông ABCD cạnh a, cạnh SA = a và vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng: a, SB và CD b, AB và SC
Ảnh
Ảnh
Ảnh
Ảnh
3. Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau
Giải:
a, Ta có BC⊥SA và BC⊥AB, suy ra BC⊥SB. Mặt khác BC⊥CD, suy ra BC là đoạn vuông góc chung của hai đường SB và CD. Ta có d(SB, CD) = BC = a. b, Cách 1. Ta có AB⊥(SAD) và SD là hình chiếu vuông góc của SC lên (SAD). Vẽ AK⊥SD, KE // AB, EF // AK. Ta có AB⊥AK, AK⊥SD, suy ra AK⊥SC. Do EF // AK, suy ra ta cũng có EF⊥AB và EF cắt AB tại F, EF⊥SC và EF cắt SC tại E. Các kết quả trên chứng tỏ EF là đoạn vuông góc chung của AB và SC.
Ảnh
Ảnh
3. Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau
Giải:
Ảnh
Trong tam giác SAD vuông cân tại A ta có AK = LATEX((SD)/2) = LATEX((asqrt2)/2) Vậy d(AB, SC) = EF = AK = LATEX((asqrt2)/2) Cách 2. Ta có mặt phẳng (SCD) chứa SC và song song với AB, suy ra: d(AB,SC) = d(AB,(SCD)) = d(A,(SCD)) = AK = LATEX((asqrt2)/2)
Ảnh
Ảnh
Thực hành 3
Ảnh
Ảnh
3. Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau
e) Thực hành 3:
Cho tứ diện OABC có ba cạnh OA, OB, OC đều bằng a và vuông góc từng đôi một. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng: a, OA và BC. b, OB và AC.
Ảnh
Ảnh
Ảnh
3. Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau
Giải:
a, Tam giác OBC vuông cân tại O. Gọi H là trung điểm của BC suy ra OH ⊥ BC Ta lại có: OA⊥OB OA⊥OC ⇒ OA⊥(OBC) ⇒ OA⊥OH Do đó OH là đoạn vuông góc chung của OA và BC. Khi đó d(OA,BC) = OH = LATEX(1/2)BC = LATEX(1/2)LATEX(sqrt(OB^2 + OC^2)) = LATEX((asqrt2)/2)
Ảnh
Ảnh
Ảnh
3. Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau
Giải:
b, Tương tự trong tam giác OAC vuông cân tại O . Gọi K là trung điểm của AC. Ta lại có: OB⊥OA OB⊥OC ⇒ OB⊥(OAC) ⇒ OB⊥OK Do đó OK là đoạn vuông góc chung của OB và AC. ⇒ d(OB,AC) = OK = LATEX((asqrt2)/2)
Ảnh
Ảnh
Vận dụng 2
3. Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau
f) Vận dụng 2:
Một căn phòng có trần cao 3,2 m. Tính khoảng cách giữa một đường thẳng a trên trần nhà và đường thẳng b trên sàn nhà.
Ảnh
Giải:
Vì trần nhà và sàn nhà song song với nhau nên đường thẳng a nằm trên trần nhà song song với sàn nhà. Vậy khoảng cách giữa đường thẳng a trên trần nhà và đường thẳng b trên sàn nhà bằng khoảng cách giữa trần nhà và sàn nhà. Vậy d(a, b) = 3,2 m.
Ảnh
Công thức tính thể tích của khối chóp, khối lăng trụ, khối hộp
Khám phá 4
4. Công thức tính thể tích của khối chóp, khối lăng trụ, khối hộp
a) Khám phá 4:
Cho một khối hộp chữ nhật với các kích thước là a, b, c đều là số nguyên dương. Vẽ các mặt song song với các mặt của hình hộp và chia nó thành các khối lập phương có cạnh bằng 1 (Hình 11). Tìm số hình lập phương đơn vị có trong hình hộp.
Ảnh
Giải:
Số hình lập phương đơn vị có trong hình hộp là: abc = 8.3.4 = 96 (hình). Vậy số hình lập phương đơn vị có trong hình hộp là 96 hình.
Ảnh
Công thức 1, 2, 3
4. Công thức tính thể tích của khối chóp, khối lăng trụ, khối hộp
b) Công thức:
- Thể tích khối hộp chữ nhật bằng ba kích thước: V = abc
Ảnh
- Thể tích khối chóp bằng một phần ba diện tích đáy nhân với chiều cao: V = LATEX(1/3)S.h
Ảnh
- Thể tích khối chóp cụt đều có chiều cao h và diện tích hai đáy S, S’: V = LATEX(1/3)h(S+LATEX(sqrt(SS^2))+S')
Ảnh
'
Khám phá 5
4. Công thức tính thể tích của khối chóp, khối lăng trụ, khối hộp
c) Khám phá 5:
Cho khối lăng trụ tam giác ABC.A'B'C' (Hình 14). Tìm cách chia khối lăng trụ thành ba khối chóp có cùng chiều cao và diện tích đáy.
Ảnh
Giải:
Chia khối lăng trụ tam giác ABC.A'B'C' thành ba khối chóp: A.A'B'C', B'.ABC và C.A'B'C'.
Ảnh
Công thức 4 - Chú ý
4. Công thức tính thể tích của khối chóp, khối lăng trụ, khối hộp
d) Công thức:
Thể tích khối lăng trụ bằng tích diện tích đáy và chiều cao: V = Sh
Ảnh
e) Chú ý:
Ta gọi khối lăng trụ có cạnh bên vuông góc với đáy là khối lăng trụ đứng. Chiều dài cạnh bên a của khối lăng trụ đứng bằng chiều cao h và ta có công thức: V = Sa
Ảnh
Ví dụ 4
4. Công thức tính thể tích của khối chóp, khối lăng trụ, khối hộp
f) Ví dụ 4:
a, Tính thể tích của khối hộp chữ nhật có ba kích thước là: 6a, 4a, 3a. b, Tính thể tích khối tứ diện đều SABC cạnh a. c, Cho khối lăng trụ ABCD.A'B'C'D' có đáy là hình vuông cạnh 2a, cạnh bên 44' = 2a, hình chiếu của A' trên (ABCD) trùng với giao điểm O của AC và BD. Tính thể tích khối lăng trụ đó.
Ảnh
Ảnh
Ảnh
4. Công thức tính thể tích của khối chóp, khối lăng trụ, khối hộp
Giải:
a, Thể tích khối hộp chữ nhật bằng tích ba kích thước: V = 6a.4a.3a = 72LATEX(a^3) b, Gọi H là hình chiếu vuông góc của S xuống (ABC). Ta có ba tam giác vuông SHA, SHB, SHC bằng nhau, suy ra HA = HB = HC. Vậy H là tâm của tam giác đều ABC. Ta có: AM = LATEX((asqrt3)/2); AH = LATEX(2/3)AM = LATEX((asqrt3)/3); SH = LATEX(sqrt(SH^2 - AH^2)) = LATEX(sqrt(a^2 - (3a^2)/9)) = LATEX((asqrt6)/3) Khối tứ diện đều SABC có diện tích là: V = LATEX(1/3)LATEX(S_(ABC)).SH = LATEX(1/3).LATEX((a^2.sqrt3)/4).LATEX((asqrt6)/3) = LATEX((a^3.sqrt3)/12)
Ảnh
Ảnh
4. Công thức tính thể tích của khối chóp, khối lăng trụ, khối hộp
Giải:
c, Chiều cao của khối lăng trụ: h = A'O = = LATEX(sqrt(4a^2 - 2a^2)) = aLATEX(sqrt2) Thể tích khối lăng trụ: V = S.h = LATEX(4a^2).aLATEX(sqrt2) = LATEX(4a^3)LATEX(sqrt2)
Ảnh
Ảnh
Ảnh
Ảnh
Ví dụ 5
4. Công thức tính thể tích của khối chóp, khối lăng trụ, khối hộp
g) Ví dụ 5:
Cắt khối chóp tam giác đều S.ABC với cạnh đáy bằng a và chiều cao 2a bởi một mặt phẳng song song với đáy và đi qua trung điểm của các cạnh bên. Tính thể tích hình chóp cụt đều được tạo thành.
Ảnh
Ảnh
Ảnh
Ảnh
4. Công thức tính thể tích của khối chóp, khối lăng trụ, khối hộp
Giải:
Gọi ABC.A'B'C' là khối chóp cụt đều được tạo thành O, O' lần lượt là tâm hai đáy (Hình 19), ta có: Chiều cao của khối chóp cụt đều là: h = OO' = LATEX((SO)/2) = LATEX((2a)/2) = a Tam giác đều ABC có diện tích: S = LATEX((AB^2 sqrt3)/4) = LATEX((a^2 sqrt3)/4) Tam giác đều A'B'C' có cạnh A'B' = LATEX((AB)/2) nên có diện tích: S' = LATEX((AB^2 sqrt3)/16) = LATEX(S/4) Diện tích khối chóp cụt đều được tạo thành là: V = LATEX(1/3)h(S+LATEX(sqrt(SS))'+S') = LATEX(1/3)a(S+LATEX(S/2)+LATEX(S/4)) = LATEX((7aS)/12) = LATEX((7a)/12).LATEX((a^2 sqrt3)/4) = LATEX((7a^3 sqrt3)/48)
Thực hành 4
4. Công thức tính thể tích của khối chóp, khối lăng trụ, khối hộp
h) Thực hành 4:
Tính thể tích của một bồn chứa có dạng khối chóp cụt đều có kích thước được cho như trong Hình 20.
Ảnh
Giải:
Diện tích đáy lớn là: S = LATEX(5^2) = 25 (LATEX(m^2)) Diện tích đáy bé là: S' = LATEX(2^2) = 4 (LATEX(m^2)) Thể tích của bồn chứa là: V = LATEX(1/3).3(25 + LATEX(sqrt(25.4)) + 4) = 39 (LATEX(m^3))
Ảnh
Ảnh
Vận dụng 3
4. Công thức tính thể tích của khối chóp, khối lăng trụ, khối hộp
i) Vận dụng 3:
Tính thể tích cái nêm hình lăng trụ đứng có kích thước như trong Hình 21.
Ảnh
Giải:
Ta có khối nêm là lăng trụ đứng có đáy là tam giác vuông có các cạnh góc vuông lần lượt là 7cm và 24 cm. Do đó diện tích đáy là: S = LATEX(1/2).7.24 = 84 LATEX((cm)^2) Chiều cao của khối lăng trụ là h = 22 cm Thể tích của khối nêm là: V = S.h = 84.22 = 1848 LATEX((cm)^3)
Ảnh
Dặn dò
Dặn dò
Ảnh
Dặn dò
- Ôn lại bài cũ. - Làm bài tập trong SGK, SBT. - Chuẩn bị bài mới: "Bài 5: Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng. Góc nhị diện."
Ảnh
Cảm ơn
Ảnh
Ảnh