BÀI 26: KHOẢNG CÁCH
Trang bìa
Trang bìa
Ảnh
TOÁN 11:
BÀI 26: KHOẢNG CÁCH
Khởi động
Khởi động
Khởi động:
Khoảng cách là khái niệm được dùng trong nhiều lĩnh vực của đời sống. Trong bài học này ta tìm hiểu về khoảng cách giữa điểm, đường thẳng, mặt phẳng.
Ảnh
Hình 7.73. Các đầu phun nước chữa cháy sprinkler cần được lắp đặt theo tiêu chuẩn kĩ thuật, trong đó có tiêu chuẩn về khoảng cách tới từng loại trần, tường nhà.
1. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng, đến một mặt phẳng
- HĐ1
1. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng, đến một mặt phẳng
HĐ1: a) Cho điểm M và đường thẳng a. Gọi H là hình chiếu của M trên a. Với mỗi điểm K thuộc a, giải thích vì sao MK latex(>=) MH (H.7.74). b) Cho điểm M và mặt phẳng (P). Gọi H là hình chiếu của M lên (P). Với mỗi điểm K thuộc (P), giải thích vì sao MK latex(>=) MH (H7.75).
Ảnh
- Kết luận
- Kết luận:
Ảnh
Khoảng cách từ một điểm M đến một đường thẳng a, kí hiệu d(M,a), là khoảng cách giữa M và hình chiếu H của M trên a. Khoảng cách từ một điểm M đến một mặt phẳng (P), KH:d(M, (P)), là khoảng cách giữa M và hình chiếu H của M trên (P).
Chú ý: d(M, a) = 0 khi và chỉ khi latex(M in a; d(M, (P)) = 0) khi và chỉ khi latex(M in (P)).
- Nhận xét & Chú ý
- Nhận xét & chú ý:
Khoảng cách từ M đến đường thẳng a (mặt phẳng (P)) là khoảng cách nhỏ nhất giữa M và một điểm thuộc a (thuộc (P)). Khoảng cách từ đỉnh đến mặt phẳng chứa mặt đáy của một hình chóp được gọi là chiều cao củ hình chóp đó.
Ảnh
- Ví dụ 1
VD 1: Cho hình chóp S.ABC. Biết độ dài cạnh đáy, cạnh bên tương ứng bằng a, b latex((a < bsqrt3)). Tính chiều cao của hình chóp.
Ảnh
- Giải:
Hình chiếu của S trên mặt phẳng (ABC) là tâm O của tam giác ABC. Trong tam giác đều ABC, ta có latex(OA = a/sqrt3). Trong latex(Delta) vuông SOA, ta có: latex(SO = sqrt(SA^2 - OA^2) = sqrt(b^2 - (a^2)/3)). Vậy chiều cao của hình chóp là latex(SO = sqrt(b^2 - (a^2)/3)).
- Luyện tập 1
- Luyện tập 1:
Cho hình lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có ABC là tam giác vuông cân tại A, AB = a, AA' = h (H.7.77). a) Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (BCC'B'). b) Tam giác ABC' là tam giác gì? Tính khoảng cách từ A đến BC'.
Ảnh
Ảnh
2. Khoảng cách giữa các đường thẳng và mặt phẳng song song, giữa hai mặt phẳng song song
- HĐ2
2. Khoảng cách giữa các đường thẳng và mặt phẳng song song, giữa hai mặt phẳng song song
HĐ2: Cho đường thẳng a song song với mặt phẳng (P). Lấy hai điểm M; N bất kỳ thuộc a và gọi A; B tương ứng là các hình chiếu của chúng trên (P) (H.7.78). Giải thích vì sao ABNM là một hình chữ nhật và M, N có cùng khoảng cách đến (P).
Ảnh
Ảnh
- Kết luận
- Kết luận:
Ảnh
Khoảng cách giữa đường thẳng a và mặt phẳng (P) song song với a, kí hiệu d(a, (P)), là khoảng cách từ một điểm bất kì trên a đến (P).
- HĐ3
Ảnh
HĐ3: a) Cho hai đường thẳng m và n song song với nhau. Khi một điểm M thay đổi trên m thì khoảng cách từ nó đến đường thẳng n có thay đổi hay không? b) Cho hai mặt phẳng song song (P) và (Q) và một điểm M thay đổi trên (P) (H.7.79). Hỏi khoảng cách từ M đến (Q) thay đổi thế nào khi M thay đổi.
Ảnh
- Kết luận
- Kết luận:
Ảnh
Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song (P) và (Q), KH: d((P), (Q)), là khoảng cách từ một điểm bất kì thuộc mặt phẳng này đến mặt phẳng kia. Khoảng cách giữa hai đường thẳng song song m và n, kí hiệu d(m, n), là khoảng cách từ một điểm thuộc đường thẳng này đến đường thẳng kia.
- Câu hỏi mở rộng
- Câu hỏi mở rộng:
Ảnh
Nếu đường thẳng a thuộc mặt phẳng (P) và mặt phẳng (Q) song song với (P) thì giữa d(a, (Q)) và d((P), (Q)) có mối quan hệ gì?
- Chú ý
- Chú ý:
Ảnh
Khoảng cách giữa hai đáy của một hình lăng trụ được gọi là chiều cao của hình lăng trụ đó.
- Ví dụ 2
Ảnh
Ví dụ 2: Cho một hình hộp đứng ABCD.A'B'C'D', đáy là các hình thoi có cạnh bằng a, latex(angle(BAD) = 120@), AA' = h. Tính các khoảng cách giữa A'C' và (ACBD), AA' và (BDD'B').
- Luyện tập 2
- Luyện tập 2:
Ảnh
Cho hình chóp S.ABC có SA⊥(ABC), SA = h. Gọi M, N, P tương ứng là trung điểm của SA, SB, SC. a) Tính d((MNP), (ABC)) và d(NP, (ABC)). b) Giả sử tam giác ABC vuông tại B và AB = a. Tính d(A, (SBC)).
- Vận dụng (- Vận dụng)
Ở một con dốc lên cầu, người ta đặt một khung khống chế chiều cao, hai cột của khung có phương thẳng đứng và có chiều dài bằng 2,28 m. Đường thẳng nối hai chân cột vuông góc với hai đường mép dốc. Thanh ngang được đặt trên đỉnh hai cột. Biết dốc nghiêng 15° so phương nằm ngang. Tính khoảng cách giữa thanh ngang của khung và mặt đường. Hỏi cầu này có cho phép xe cao 2,21 m đi qua?
Ảnh
3. Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau
- HĐ4
3. Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau
HĐ4: Cho hai đường thẳng chéo nhau a và b. Gọi (Q) là mặt phẳng chứa đường thẳng b và song song với a. Hình chiếu a' của a trên (Q) cắt b tại N. Gọi M là hình chiếu của N trên a (H.7.83).
Ảnh
Ảnh
a) Mặt phẳng chứa a và a' có vuông góc với (Q) hay không? b) Đường thẳng MN có vuông góc với cả hai đường thẳng a và b hay không? c) Nêu mối quan hệ của khoảng cách giữa a, (Q) và độ dài đoạn thẳng MN.
- Kết luận
- Kết luận:
* Đường thẳng latex(Delta) cắt hai đường thẳng chéo nhau a, b và vuông góc với cả hai đường thẳng đó gọi là đường vuông góc chung của a và b.
Ảnh
* Nếu đường thẳng vuông góc chung latex(Delta) cắt a, b tương ứng tại M, N thì độ dài đoạn thẳng MN được gọi là khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau a, b.
- Nhận xét
Ảnh
- Nhận xét:
Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau bằng khoảng cách giữa một trong hai đường thẳng đó đến mặt phẳng song song với nó và chứa đường thẳng còn lại. Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau bằng khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song, tương ứng chứa hai đường thẳng đó.
- Ví dụ 3
Ảnh
Ví dụ 3: Cho hình chóp S.ABC có latex(SA _|_(ABC), AB = a, angle(ABC) = 60@). Xác định đường vuông góc chung và tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và BC.
Gọi H là hình chiếu của A trên BC. Tam giác ABH vuông tại H và có latex(AB = a, angle(ABH) = 60@) nên latex(BH = a/2). Do SA vuông góc với mặt phẳng (ABC) nên AH là đường vuông góc chung của SA và BC (H thuộc tia BC và latex(BH = a/2)). Khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và BC là d(SA, BC) = AH = latex((asqrt3)/2).
- Giải:
- Khám phá
- Khám phá:
Cho đường thẳng a vuông góc với mặt phẳng (P) và cắt (P) tại O. Cho đường thẳng b thuộc mặt phẳng (P). Hãy tìm mối quan hệ giữa khoảng cách giữa a, b và khoảng cách từ O đến b (H.7.88).
Ảnh
Ảnh
- Luyện tập 3
Ảnh
- Luyện tập 3:
Ảnh
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SA⊥ (ABCD), SA = latex(asqrt2). a) Tính khoảng cách từ A đến SC. b) Chứng minh rằng BD ⊥ (SAC). c) Xác định đường vuông góc chung và tính khoảng cách giữa BD và SC.
- Thảo luận
- Thảo luận:
Ảnh
Hình vẽ
Khoảng cách giữa hai hình được nêu trong bài học (điểm, đường thẳng, mặt phẳng) là khoảng cách nhỏ nhất giữa một điểm thuộc hình này và một điểm thuộc hình kia. Thảo luận để làm rõ nhận xét này.
Luyện tập và vận dụng
Bài 1
Ảnh
Hình vẽ
Bài 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là một hình vuông cạnh a, mặt bên SAD là một tam giác đều và (SAD) ⊥ (ABCD). a) Tính chiều cao của hình chóp. b) Tính khoảng cách giữa BC và (SAD). c) Xác định đường vuông góc chung và tính khoảng cách giữa AB và SD.
Bài 2 (- Luyện tập và vận dụng)
Ảnh
Hình vẽ
Bài 2: Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D'có AA' = a, AB = b, BC = c.
a) Tính khoảng cách giữa CC' và (BB'D'D). b) Xác định đường vuông góc chung và tính khoảng cách giữa AC và B'D'.
Bài 3 (- Luyện tập và vận dụng)
Bài 3: Một bể nước có đáy thuộc mặt phẳng nằm ngang. Trong trường hợp này, độ sâu của bể là khoảng cách giữa mặt nước và đáy bể. Giải thích vì sao để đo độ sâu của bể, ta có thể thả quả dọi chạm đáy bể và đo chiều dài của đoạn dây dọi nằm trong bể nước.
Ảnh
Dặn dò
- Dặn dò
Ảnh
Ôn lại kiến thức vừa học. Hoàn thành các bài còn lại SGK và SBT. Chuẩn bị bài sau: "Bài 27: Thể tích".
Dặn dò
- Cảm ơn
Ảnh
CẢM ƠN CÁC EM ĐÃ LẮNG NGHE BÀI HỌC !