CHƯƠNG VIII. BÀI 4. HAI MẶT PHẲNG VUÔNG GÓC
Trang bìa
Trang bìa
Ảnh
TOÁN 11
CHƯƠNG VIII. BÀI 5. KHOẢNG CÁCH
Khởi động
Tình huống mở đầu
Ảnh
Ảnh
Tình huống mở đầu:
Hình 58 mô tả cách đo chiều cao của một người khi kiểm tra sức khỏe. Coi mặt bản sắt người đó đứng lên là mặt phẳng (P), mặt bản sắt áp vào đầu người đó là mặt phẳng (Q) song song với (P).
Chiều cao của người đó gợi nên khái niệm nào trong hình học liên quan đến hai mặt phẳng song song (P) và (Q)?
I. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng
- Tìm hiểu
Ảnh
I. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng
Trong không gian, k/n khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng trong mặt phẳng được định nghĩa tương tự như trong mặt phẳng.
- Kết luận
- Kết luận:
Ảnh
Cho hai đường thẳng latex(Delta) và điểm M không thuộc latex(Delta). Gọi H là hình chiếu của điểm M trên đườg thẳng latex(Delta). Độ dài đoạn thẳng MH gọi là khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng latex(Delta), kí hiệu d(latex(M, Delta)).
- Ví dụ 1
Ảnh
Ví dụ 1: Cho đoạn thẳng MN có độ dài a và đường thẳng latex(Delta) đi qua N sao cho góc giữa hai đường thẳng MN và latex(Delta) là latex(phi (0@ < phi < 90@)). Tính khoảng cách từ M đến latex(Delta) theo a, latex(phi).
II. Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng
- Hoạt động 1
Ảnh
II. Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng
HĐ1: Khi lắp thiết bị cho nhà bạn Nam, bác thợ khoan tường tại vị trí M trên tường có độ cao so với nền nhà là MH = 80 cm. Quan sát Hình 61, nền nhà gợi nên mặt phẳng (P), cho biết độ dài đoạn thẳng MH gợi nên khái niệm gì trong hình học liên quan đến điểm M và mặt phẳng (P).
- Định nghĩa
- Định nghĩa:
Cho mặt phẳng (P) và điểm M không thuộc mặt phẳng (P). Gọi H là hình chiếu của M trên mặt phẳng (P). Độ dài đoạn thẳng MH gọi là khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (P), kí hiệu d(M, (P)).
Ảnh
- Ví dụ 2
Ảnh
Ví dụ 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông a, O là giao điểm của AC và BD, SO latex(_|_) (ABCD), SO = a. Tính: a) Khoảng cách từ điểm S đến mặt phẳng (ABCD); b) Khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (SAC)
- Luyện tập 1
Ảnh
- Luyện tập 1:
Cho hình chóp S.ABC có SA ⊥ (ABC), AI ⊥ BC (I ∈ BC), AH ⊥ SI (H ∈ SI). Chứng minh rằng khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC) bằng AH.
III. Khoảng cách giữa hai đường thẳng song song
- Hoạt động 2
Ảnh
III. Khoảng cách giữa hai đường thẳng song song
HĐ2: Trong Hình 64, hai mép của con đường gợi nên hình ảnh hai đường thẳng song song Δ và ∆’. Xét điểm A trên đường thẳng Δ. a) Khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng Δ’ có phụ thuộc vào vị trí của điểm A trên đường thẳng Δ hay không? Vì sao? b) Khoảng cách đó gợi nên khái niệm gì trong hình học liên quan đến hai đường thẳng song song Δ và Δ’?
- Định nghĩa
Ảnh
- Định nghĩa:
Khoảng cách giữa hai đường thẳng song song latex(Delta), latex(Delta)' là khoảng cách từ một điểm bất kì thuộc đường thẳng này đến đường thẳng kia, kí hiệu d(latex(Delta, Delta)').
- Ví dụ 3
Ảnh
Ví dụ 3: Cho hình hộp ABCD. A'B'C'D' có AA' = a, góc giữa hai đường thẳng AB và DD' bằng latex(60@). Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và A'B'.
- Luyện tập 2
Ảnh
- Luyện tập 2:
Người ta dựng các cột đèn vuông góc với mặt đường, trong đó mỗi cột đèn gợi nên hình ảnh một đường thẳng. Khoảng cách giữa hai chân cột đèn liên tiếp đo được là 5 m. Tại sao có thể nói khoảng cách giữa hai cột đèn đó là 5 m?
IV. Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song
- Hoạt động 3
IV. Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng //
HĐ3: Trong Hình 67, thanh gỗ dọc phía trên các cột và mặt đường hành lang gợi nên hình ảnh đường thẳng Δ và mặt phẳng (P) song song với nhau, chiều cao của chiếc cột có đỉnh cột A là khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (P).
Ảnh
a) Khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (P) có phụ thuộc vào vị trí của điểm A trên đường thẳng Δ hay không? Vì sao? b) Khoảng cách đó gợi nên khái niệm nào trong hình học liên quan đến đường thẳng Δ và mặt phẳng (P)?
- Định nghĩa
Ảnh
- Định nghĩa:
Cho đường thẳng latex(Delta) song song với mặt phẳng (P). Khoảng cách giữa đường thẳng latex(Delta) và mặt phẳng (P) là khoảng cách từ một điểm bất kì thuộc đường thẳng latex(Delta) đến mặt phẳng (P), kí hiệu d(latex(Delta), (P)).
- Ví dụ 4
Ảnh
Ví dụ 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, latex(SA _|_ (ABCD)), CMR: CD // (SAB) và tính khoảng cách giữa CD và mặt phẳng (SAB).
- Luyện tập 3
Ảnh
- Luyện tập 3:
Cho hình chóp S.ABC có SA = a, góc giữa SA và mp(ABC) là 60°. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của cạnh SA và SB. Chứng minh MN // (ABC) và tính d(MN, (ABC)).
V. Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song
- Hoạt động 4
Ảnh
V. Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song
HĐ4: a) Trong H.70, sàn nhà và trần nhà của căn phòng gợi nên hình ảnh hai mặt phẳng song song (P), (Q). Chiều cao của căn phòng là 3 m. Chiều cao đó gợi nên khái niệm gì trong hình học liên quan đến hai mặt phẳng song song (P), (Q)?
+ Ýb
Ảnh
V. Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song
HĐ4: b) Cho hai mặt phẳng (P) và (Q) song song với nhau. Xét điểm I tuỳ ý trong mặt phẳng (P), lấy K là hình chiếu của I trên (Q) (Hình 71). Khoảng cách IK từ điểm I đến mặt phẳng (Q) có phụ thuộc vào vị trí của điểm I trong mặt phẳng (P) hay không? Vì sao?
- Định nghĩa
Ảnh
- Định nghĩa:
Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song (P), (Q) là khoảng cách từ một điểm bất kì thuộc mặt phẳng này đến mặt phẳng kia, kí hiêu d((P), (Q)).
- Quan sát
- Quan sát
Ta có: d(P), (Q)) = IK = h với latex(I in (P), K in (Q), IK _|_ (P), IK _|_ (Q)) và (P) // (Q).
Ảnh
- Ví dụ 5
Ảnh
Ví dụ 5: Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' có tất cả các cạnh bằng a và đáy là hình vuông. Hình chiếu của A' trên mặt phẳng (ABCD) là giao điểm H của AC và BD. Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng (ACBD) và (A'B'C'D').
- Luyện tập 4
Ảnh
- Luyện tập 4:
Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có cạnh bên bằng a, góc giữa đường thẳng AA' và mặt phẳng (ABC) bằng 60°. Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng (ABC) và (A'B'C').
VI. Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau
- Hoạt động 5
Ảnh
VI. Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau
HĐ5: Trong Hình 73, khuôn cửa phía trên và mép cánh cửa phía dưới gợi nên hình ảnh hai đường thẳng a và b chéo nhau, hai bản lề của cánh cửa nằm trên đường thẳng c. Quan sát Hình 73 và cho biết đường thẳng c có vừa cắt, vừa vuông góc với cả hai đường thẳng a và b hay không.
- Định nghĩa
Ảnh
- Định nghĩa:
Cho hai đường thẳng a, b chéo nhau.
Đường thẳng c vừa vuông góc, vừa cắt cả hai đường thẳng a và b được gọi là đường thẳng vuông góc chung của hai đường thẳng đó. Đoạn thẳng có hai đầu mút là giao điểm của đường thẳng c với hai đường thẳng a, b được là đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng đó. Độ dài đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng a, b gọi là khoảng cách giữa hai đường thẳng đó, kí hiệu d(a,b).
- Nhận xét
- Nhận xét:
a) Gọi mặt phẳng chứa b và song song với a là (P), hình chiếu của a trên (P) là a', giao điểm của a' và b là K, hình chiếu của K trên a là H. Khi đó, HK là đoạn vuông góc chung của hai đường thắng chéo nhau a, b. Ngoài ra, d(a, b) = d(a, (P)).
Ảnh
+ ý b
- Nhận xét:
b) Gọi mặt phẳng đi qua b và vuông góc với a là (P), giao điểm của a và (P) là H, hình chiếu của H trên b là K. Khi đó HK là đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau a, b.
Ảnh
- Ví dụ 6
Ảnh
VD6: Cho lăng trụ ABCD.A'B'C'D' có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a, O là giao điểm của AC và BD, AA' = a, AA' vuông góc với mặt phẳng chứa đáy.
Tính: a) d(AC, A'B'); b) d(CC', BD).
- Luyện tập 5
Ảnh
- Luyện tập 5:
Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, SA ⊥ (ABC). Tính d(SA, BC).
Bài tập
Bài 1 (Bài tập)
Bài 1: Hình 76 gợi nên hình ảnh hai mặt phẳng (P) và (Q) song song với nhau. Cột gỗ cao 4,2 m. Khoảng cách giữa (P) và (Q) là bao nhiêu mét?
Ảnh
Bài 2 (Bài tập)
Ảnh
Bài 2: Cho hình tứ diện ABCD có AB = a, BC = b, BD = c, latex(angle(ABC) = angle(ABD) = angle(BCD) = 90@) Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của AB, AC, AD (Hình 77). a) Tính khoảng cách từ điểm C đến đường thẳng AB. b) Tính khoảng cách từ điểm D đến mặt phẳng (ABC). c) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và CD.
Bài 3 (Bài tập)
Ảnh
Bài 3: Với giả thiết ở Bài tập 2, hãy: a) CMR: MN // BC. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng MN và BC. b) CMR: MP // (BCD). Tính khoảng cách từ đường thẳng MP đến mặt phẳng (BCD). c) CMR (MNP) // (BCD). Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng (MNP) và (BCD).
Dặn dò
- Dặn dò
Ảnh
Ôn lại kiến thức vừa học. Hoàn thành các bài còn lại trong SGK. Chuẩn bị bài sau: "Chương VIII. Bài 6. Hình lăng trụ đứng. Hình chóp đều. Thể tích của một số hình khối".
Dặn dò:
- Cảm ơn
Ảnh