CHƯƠNG I. BÀI 4. KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊN VÀ VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ
Trang bìa
Trang bìa
Ảnh
TOÁN 12
CHƯƠNG I. BÀI 4. KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊN VÀ VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ
Khởi động
Khởi động
Trong 20 phút theo dõi, lưu lượng nước của một con sông được tính theo công thức: latex(Q(t) = -1/5 t^3 + 5t^2 + 100), trong đó Q được tính theo m3/phút, t tính theo phút, 0 ≤ t ≤ 20 (Nguồn: A. Bigalke et al., Mathematik, Grundkurs ma-1, Cornelsen 2016). Khi lưu lượng nước của con sông lên đến 550 m3/phút thì cảnh báo lũ được đưa ra.
Ảnh
- Khởi động:
Trong thời gian theo dõi, lưu lượng nước của con sông lớn nhất là bao nhiêu? Cảnh báo lũ được đưa ra vào thời điểm nào?
1. Sơ đồ khảo sát hàm số
Sơ đồ khảo sát hàm số
Ảnh
1. Sơ đồ khảo sát hàm số
- HĐ1
Ảnh
- Hoạt động:
Lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số y = latex(x^2– 2x – 3).
- Kết luận
- Kết luận:
Ảnh
- Chú ý
Hình vẽ
Ảnh
Chú ý:
Đồ thị hàm số y = f(x) giao với trục hoành tại những điểm có hoành độ là nghiệm của phương trình f(x) = 0, giao với trục tung tại điểm có tung độ là f(0) nếu 0 thuộc TXĐ của hàm số đó.
Ảnh
- Ví dụ 1
Ví dụ 1: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của h/số latex(y = x^3 - 3x^2 + 4).
- Giải:
Ảnh
Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng latex((-oo; 0)) và latex((2; +oo)), nghịch biến trên khoảng (0; 2). HS đạt cực đại tại x = 0, latex(y_(CT) = 4); hàm số đạt cực tiểu tại latex(x = 2, y_(CT) = 0).
1) TXĐ: R 2. Sự biến thiên * Giới hạn tại vô cực: latex(lim_(x->+oo) y = +oo, lim_(x->-oo) y = -oo). * Bảng biến thiên: y' = latex(3x^2 - 6x); y' = 0 latex(<=> 3x^2 - 6x = 0) latex(<=> 0) hoặc x = 2.
+ tiếp
Ví dụ 1: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của h/số latex(y = x^3 - 3x^2 + 4).
- Giải:
Ảnh
3. Đồ thị * Giao điểm của đồ thị với trục tung: (0; 4). * Giao điểm của đồ thị với trục hoành: Xét PT: latex(x^3 - 3x^2 + 4 = 0<=> (x + 1)(x - 2)^2 = 0) latex(<=> x = -1) hoặc x = 2. Vậy đồ thị hàm số giao với trục hoành tại hai điểm (-1; 0) và (2; 0). * Đồ thị hàm số đi qua các điểm (-1; 0), (2; 0), (0; 4) và (1; 2). Vậy đồ thị hàm số latex(y = x^3 - 3x^2 + 4) được cho ở Hình 19. Quan sát đồ thị H19, ta thấy ĐT đó có tâm đối xứng là điểm I (1; 2).
- Luyện tập 1
- Luyện tập 1:
Ảnh
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số latex(y = (x - 1)/(x + 1)).
2. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số bậc ba
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số bậc ba
Ảnh
2. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số bậc ba
- Ví dụ 2
Ví dụ 2: Khảo sát sự biến thiên và vẽ ĐT của h/số latex(y = -x^3 + 3x^2 - 4x +2).
- Giải:
Ảnh
H/s nghịch biến trên khoảng latex((-oo; +oo)). H/s không có cực trị.
1) TXĐ: R 2. Sự biến thiên * Giới hạn tại vô cực: latex(lim_(x->+oo) y = -oo, lim_(x->-oo) y = +oo). * Bảng biến thiên: y' = latex(-3x^2 + 6x - 4); y' < 0 với mọi latex(x in R).
+ tiếp
- Giải:
Ảnh
3. Đồ thị * Giao điểm của đồ thị với trục tung: (0; 2). * Giao điểm của đồ thị với trục hoành: Giải PT: latex(y = -x^3 + 3x^2 - 4x +2) ta được x = 1. Vậy đồ thị hàm số giao với trục hoành tại điểm (1; 0). * Đồ thị hàm số đi qua các điểm (1; 0), (0; 2), (2; -2). Vậy đồ thị hàm số latex(y = -x^3 + 3x^2 - 4x +2) được cho ở Hình 20. Tâm đối xứng của ĐT hàm số đó là điểm I(1;0).
Ví dụ 2: Khảo sát sự biến thiên và vẽ ĐT của h/số latex(y = -x^3 + 3x^2 - 4x +2).
- Nhận xét
Hình vẽ
Ảnh
Chú ý:
Trong trường hợp tổng quát, đồ thị của hàm số bậc ba y = f(x) = latex(ax^3 + bx^2 + cx + d (a!=0)) có tâm đối xứng là điểm latex(I(-b/(3a); (- b/(3a)))). Hoành độ latex(- b/(3a)) của tâm đối xứng đó là nghiệm của phương trình y'' = 0.
Ảnh
- Luyện tập 2
- Luyện tập 2:
Ảnh
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của mỗi hàm số sau: a) latex(y = – x^3 + 3x – 2); b) latex(y = x^3 + 3x^2 + 3x + 1).
3. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của một số hàm phân thức hữu tỉ
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của một số hàm phân thức hữu tỉ
Ảnh
3. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của một số hàm phân thức hữu tỉ
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số latex(y = (ax + b)/(cx + d) (c!=0, ad - bc !=0)) (a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ ĐT của hàm số latex(y = (ax + b)/(cx + d))latex((c!=0, ad - bc !=0)))
Ví dụ 3: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số latex(y = (2x + 1)/(x - 1)).
Ảnh
- Giải:
1) TXĐ: R\{1}. 2. Sự biến thiên * Giới hạn tại vô cực, giới hạn vô cực và các đường tiệm cận: latex(lim_(x ->1^-) y = -oo, lim_(x -> 1^+) y = +oo). Do đó, đường thẳng x = 1 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số. latex(lim_(x ->+oo) y = 2, lim_(x -> -oo) y = 2). Do đó, đường thẳng x = 2 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.
+ tiếp
Ví dụ 3: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số latex(y = (2x + 1)/(x - 1)).
Ảnh
Ảnh
- Giải:
2. Sự biến thiên * Bảng biên thiên: y' = latex(-3/((x - 1)^2) < 0) với mọi latex(x!= 1).
Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng latex((-oo; 1)) và latex((1; +oo)). Hàm số không có cực trị.
+ tiếp
Ví dụ 3: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số latex(y = (2x + 1)/(x - 1)).
Ảnh
- Giải:
3) Đồ thị * Giao điểm của đồ thị với trục tung: (0; -1). * Giao điểm của đồ thị với trục hoành: latex((-1/2; 0)). * Đồ thị hàm số đi qua các điểm (0; -1), latex((- 1/2; 0)), (-2; 1), (2; 5), latex((5/2; 4)) và (4; 3). Vậy đồ thị hàm số y = latex((2x + 1)/(x - 1)) được cho ở Hình 21.
- Nhận xét
Hình vẽ
Ảnh
Chú ý:
Trong trường hợp tổng quát, đồ thị của hàm số latex(y = (ax + b)/(cx + d)) latex((c!=0, ad - bc !=0)) nhận giao điểm latex(I(- d/c; a/c)) của hai đường tiệm cận của đồ thị làm tâm đối xứng và nhận hai đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường tiệm cận đó làm trục đối xứng.
Ảnh
- Luyện tập 3
- Luyện tập 3:
Ảnh
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số: a) y = latex((2x + 6)/(-x + 2)). b) latex(y = (x-3)/(-x + 2)).
b. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số latex(y = (ax^2 + bx + c)/(mx + n) (a!=0, m !=0)) (b. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số latex(y = (ax^2 + bx + c)/(mx + n) (a!=0, m !=0)) )
Ví dụ 4: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số latex(y = (x^2 - x + 1)/(x - 1)).
- Giải:
1) TXĐ: R\{1}. 2. Sự biến thiên * Giới hạn tại vô cực, giới hạn vô cực và các đường tiệm cận: Ta viết hàm số đã cho dưới dạng: y = latex(x + 1/(x - 1)) latex(lim_(x ->+oo) y = +oo, lim_(x -> -oo) y = -oo). latex(lim_(x ->1^-) y = -oo, lim_(x -> 1^+) y = +oo). Do đó, đường thẳng x = 1 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số. latex(lim_(x->+oo) (y -x) = lim_(x -> +oo) 1/(x- 1) = 0, lim_(x -> -oo) (y -x) = lim_(x-> -oo) 1/(x - 1) = 0). Do đó, đường thẳng y = x là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số.
+ tiếp
- Giải:
2. Sự biến thiên * y' = latex((x^2 - 2x)/((x - 1)^2)); y' = 0 latex(<=> x^2 - 2x = 0 <=> x = 0) hoặc x = 2.
Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng latex((-oo; 0)) và latex((2; +oo)); nghịch biến trên mỗi khoảng (0; 1) và (1; 2). HS đạt cực đạt tại latex(x = 0, y_(CT) = -1); HS đạt cực tiểu tại latex(x = 2, y_(CT) = 3).
Ví dụ 4: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số latex(y = (x^2 - x + 1)/(x - 1)).
Ảnh
+ tiếp
- Giải:
Ảnh
3. Đồ thị * Giao điểm của đồ thị với trục tung: (0; -1). * Đồ thị hàm số không cắt trục hoành. * Đồ thị hàm số đi qua các điểm (0; -1), latex((1/2; - 3/2)); latex((-1; - 3/2), (2; 3), (3/2; 7/2)) và latex((3; 7/2)). Vậy đồ thị hàm số latex(y = (x^2 - x + 1)/(x - 1)) được cho ở Hình 23.
Ví dụ 4: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số latex(y = (x^2 - x + 1)/(x - 1)).
- Nhận xét
Hình vẽ
Ảnh
Chú ý:
Trong trường hợp tổng quát, đồ thị của hàm số latex(y = (ax^2 + bx + c)/(mx + n)) (latex(a!=0, m!=0, -n/m) không là nghiệm của đa thức latex(ax^2 + bx + c)) nhận giao điểm I của hai đường tiệm cận của đồ thị làm tâm đối xứng và nhận hai đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường tiệm cận đó làm trục đối xứng.
Ảnh
- Luyện tập 4
- Luyện tập 4:
Ảnh
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số: a) y = latex((-x^2)/(x + 1)). b) latex(y = (x^2 + x - 3)/(x + 1)).
4. Ứng dụng đạo hàm và khảo sát hàm số để giải quyết một số vấn đề liên quan đến thực tiễn
Ứng dụng đạo hàm và khảo sát hàm số để giải quyết một số vấn đề liên quan đến thực tiễn
Ảnh
4. Ứng dụng đạo hàm và khảo sát hàm số để giải quyết một số vấn đề liên quan đến thực tiễn
- Nhiệm vụ
- Nhiệm vụ:
Ảnh
Làm việc nhóm, đọc và tìm hiểu các ví dụ trong SGK.
- Luyện tập 5
- Luyện tập 5:
Ảnh
Trong Ví dụ 9, góc dốc của con đường trên đoạn [– 1 000; 1 000] lớn nhất tại điểm nào?
5. Bài tập
Bài tập
Ảnh
5. Bài tập
Bài 1
Ảnh
Ảnh
Bài 1: Đồ thị hàm số y = latex(x^3 – 3x – 1) là đường cong nào trong các đường cong sau?.
Bài 2
Ảnh
Bài 2: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số sau: a) latex(y = 2x^3 – 3x^2 + 1); b) latex(y = – x^3 + 3x^2 – 1); c) latex(y = (x – 2)^3 + 4); d) latex(y = – x^3 + 3x^2 – 3x + 2);
Bài 3
Ảnh
Bài 3: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số sau: a) latex(y = (x - 1)/(x + 1)); b) latex(y = (-2x)/(x + 1)); c) latex(y = (x^2 - 3x + 6)/(x - 1)); d) latex(y = (-x^2 + 2x - 4)/(x - 2));
Tổng kết
Tổng kết
Ảnh
Tổng kết:
Ôn lại kiến thức vừa học. Hoàn thành hết các bài tập trong SGK và SBT. Chuẩn bị bài sau: "Chương II. Bài 1. Vectơ và các phép toán vectơ trong không gian".
Cảm ơn
Ảnh
Ảnh