CHƯƠNG VIII: BÀI 2: HOÁN VỊ, CHỈNH HỢP VÀ TỔ HỢP
Trang bìa
Trang bìa
Ảnh
CHƯƠNG VIII: BÀI 2: HOÁN VỊ, CHỈNH HỢP VÀ TỔ HỢP
1. Hoán vị
Định nghĩa
Hình vẽ
Hình vẽ
Cho tập hợp A có n phần tử (nlatex(ge)1). Mỗi cách sắp xếp n phần tử của A theo một thứ tự gọi là một hoán vị các phần tử đó (gọi tắt là hoán vị của A hay của n phần tử).
Kí hiệu latex(P_n) là số hoán vị của n phần tử
Số các hoán vị của n phần tử (n latex(ge) 1) bằng latex(P_n) = n(n - 1)(n - 2).....2....1.
Ảnh
Ảnh
Chú ý
Hình vẽ
+) Ta đưa vào kí hiệu: n! = n(n - 1)(n - 2)...2...1 và đọc là n giai thừa của n. Khi đó, latex(P_n) = n! +) Quy ước: 0!=1
Chú ý:
Ví dụ 1
Hình vẽ
Bãi đỗ xe ô tô còn lại ba chỗ trống như Hình 1. Có ba chiếc ô tô (kí hiệu A, B, C) đang đi vào bãi để đỗ xe. a) Có bao nhiêu cách sắp xếp ba chiếc xe vào ba chỗ trống? b) Vẽ sơ đồ hình cây về các cách sắp xếp và kiểm tra kết quả tính toán ở trên.
Ảnh
Ví dụ
Hình vẽ
a) Mỗi cách sắp xếp ba chiếc xe vào ba chỗ trống là một hoán vị của ba chiếc xe. Do đó, số cách sắp xếp ba chiếc xe vào ba chỗ trống là: latex(P_3)=3.2.1=6 (cách). b) Sơ đồ hình cây như Hình 2. Sơ đồ có ba cành lớn, mỗi cành lớn có hai cành vừa, mỗi cành vừa có một cảnh bé. Từ đó, số cành bé bằng 3 .2.1=6. Tử đó, số cách sắp xếp ba chiếc xe vào ba chỗ trống là 6 cách.
Ảnh
Ví dụ 2
Hình vẽ
Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, lập các số có năm chữ số khác nhau. a) Có thể lập được bao nhiêu số như vậy? b) Trong số đó có bao nhiêu số chẵn?
Giải
a) Mỗi số tự nhiên có năm chữ số khác nhau được lập từ năm chữ số 1; 2; 3; 4; 5 là một hoán vị của năm chữ số này. Do đó, số số tự nhiên lập được là: latex(P_5) =5!=5.4.3.2.1=120 (số). b) Bước 1: chọn chữ số hàng đơn vị là chữ số chẵn. Có 2 cách chọn (chọn 2 hoặc 4). Bước 2: chọn bốn chữ số còn lại, có latex(P_4) =4! cách chọn 4. Từ đó, theo quy tắc nhân, số số tự nhiên chẵn có năm chữ số khác nhau lập từ các chữ số đã cho là 2.latex(P_4)=2.4! =2.4.3.2.1 = 48 (số)
2. Chỉnh hợp
Định nghĩa
Hình vẽ
Hình vẽ
Cho tập hợp 4 có n phần từ (n latex(leq) 1) và số nguyên k với 1 latex(leq) k latex(leq) n. Mỗi cách lấy k phần tử của A và sắp xếp chúng theo một thứ tự gọi là một chỉnh hợp chập k của n phân tử đó.
Kí hiệu latex(A_n^k) là số chỉnh hợp chập k của n phần tử.
Số các chỉnh hợp chập k của n phần tử (1 latex(leq) k latex(leq) n) bằng latex(A_n^k)=n(n-1)(n-2)...(n-k+1)=latex(n!/(n-k)!
Ảnh
Ảnh
Nhận xét
Hình vẽ
Nhận xét: Mỗi hoán vị của n phần tử cũng chính là chỉnh hợp chập n của n phần tử đó. Ta có latex(P_n)=latex(A_n^k), nlatex(ge1)
Ví dụ 3
Bài tập kéo thả chữ
Tính: - a) latex(A_5^3) = ||60|| b) latex(A_4^7) = ||840|| c) latex(A_4^7) = ||20||
Ví dụ 4
Hình vẽ
Phần thi chung kết nội dung chạy cự li 1500 m của một giải đấu có 10 vận động viên tham gia. Có bao nhiêu khả năng về kết quả 3 vận động viên đoạt huy chương vàng, bạc và đồng sau khi phần thi kết thúc? Biết rằng không có hai vận động viên nào về đích cùng lúc.
Ảnh
Ví dụ
Hình vẽ
Mối kết quả về 3 vận động viên đoạt huy chương vàng, bạc và đồng của nội dung thi đấu là một chỉnh hợp chập 3 của 10 vận động viên. Do đó, số kết quả có thể là: latex(A_10^3)=10.9.8 = 720
Giải
3. Tổ hợp
Định nghĩa
Hình vẽ
Hình vẽ
Cho tập hợp A có n phần tử (n latex(ge) 1). Mỗi tập con gồm k phần tử (1 latex(leq) k latex(leq) n) của A được gọi là một tổ hợp chập k của n phân tử.
Kí hiệu latex(C_n^k) là số tổ hợp chập k của phần tử (1 latex(leq)k latex(leq) n).
Số các tổ hợp chập k của n phần tử (1 latex(leq) k latex(leq) n) bằng latex(C_n^k) = latex((n!)/(k!(n-k)!)
Ảnh
Ảnh
Chú ý
Hình vẽ
Chú ý:
Người ta quy ước latex(C_n^0) = 1
Nhận xét
Hình vẽ
Tổng quát, ta có hệ thức latex(C_n^k) = latex(C_n^(n-k)) (0 latex(leq) k latex(leq) n)
Nhận xét:
4. Tính số các hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp bằng máy tính cầm tay
Ví dụ
Ví dụ: a. Để tính latex(P_8 = 8!), ta ấn liên tiếp các phím thì nhận được kết quả là 40320. b. Để tính latex(A_12^5), ta ấn liên tiếp các phím thì nhận được kết quả là 95040. c. Để tính latex(C_20^11), ta ấn liên tiếp các phím thì nhận được kết quả là 167960.
Ảnh
Ảnh
Ảnh
Bài tập
Bài kiểm tra tổng hợp
Sử dụng máy tính cầm tay, tính giá trị biểu thức sau:
latex(A_15^10) - 10897286400 - true - 3003 - false - false - false - false - false
latex(C_10^6 + C_10^7 + C_11^8) - 7408800 - false - 495 - true - false - false - false - false
latex(C_5^1.C_20^2 + C_5^2.C_20^1) - false - 2300 - false - 1150 - true - false - false - false
5. Bài tập
Bài tập
Hình vẽ
1. Cần xếp một nhóm 5 học sinh ngồi vào một dãy 5 chiếc ghế a) Có bao nhiêu cách xếp b) Nếu bạn Nga (một thành viên trong nhóm) nhất định muốn ngồi vào chiếc ghế ngoài cùng bên trái, thì có bao nhiêu cách xếp 2. Từ các chữ số sau đây, có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có bốn chữ số khác nhau? a) 1, 2, 3, 4, 5, 6. b) 0, 1, 2, 3, 4, 5. 3. Tổ Một có 4 bạn nam và 5 bạn nữ. Có bao nhiêu cách cử 3 bạn của tổ làm trực nhật trong mỗi trường hợp sau a) 3 bạn được chọn bất kì b) 3 ban gồm 2 nam và 1 nữ.
Kết thúc
Ảnh