Công ty Cổ phần Mạng giáo dục Bạch Kim - 27 Huỳnh Thúc Kháng, Đống Đa, Hà Nội
Trang bìa
Trang bìa:
TIẾT 25: HỆ TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN (MỤC I.II) Hệ tọa độ
Hệ tọa độ:
I. TỌA ĐỘ CỦA ĐIỂM VÀ CỦA VECTƠ 1. Hệ tọa độ - Trong không gian, cho ba trục x’Ox, y’Oy, z’Oz vuông góc với nhau đôi một. Gọi i , j , k lần lượt là các véctơ đơn vị trên các trục x’Ox, y’Oy, z’Oz. - Hệ gồm ba trục như vậy được gọi là hệ trục toạ độ Đề - Các vuông góc Oxyz trong không gian, hay đơn giản hơn gọi là hệ toạ độ Oxyz. - Điểm O được gọi là gốc toạ độ. - Vì i , j , k đôi một vuông góc nên:latex(vec(i).vec(j)=0; vec(j).vec(k)=0; vec(k).vec(i)=0); latex(|veci|)=1; latex(|vecj|)=1; latex(|veck|)=1 Hoạt động 1:
I. TỌA ĐỘ CỦA ĐIỂM VÀ CỦA VECTƠ 1. Hệ tọa độ * Hoạt động 1 Trong không gian Oxyz cho điểm M. Hãy phân tích véctơ OM theo ba vectơ không đồng phẳng i, j, k đã cho trên các trục Ox, Oy, Oz. Giải Dựng hình hộp latex(OM_1M’M_2.M_3M’’’MM’’) Khi đó latex(vec(OM_1), vec(OM_2), vec(OM_3)) cùng phương Với các vectơ latex(vec(i), vec(j), vec(k)). Khi đó ta có latex(vec(OM) = vec(OM`) vec(OM_3) = vec(OM_1) vec(OM_2) vec(OM_3) = latex(x.vec(i) y.vec(j) z.vec(k) Tọa độ điểm và tọa độ của vectơ
Tọa độ điểm:
I. TỌA ĐỘ CỦA ĐIỂM VÀ CỦA VECTƠ 1. Tọa độ điểm - Trong không gian Oxyz cho điểm M tuỳ ý. Vì ba vectơ latex(veci ,vec j , veck) không đồng phẳng nên có một bộ ba số (x; y; z) duy nhất sao cho latex(vec(OM) = xveci y vecj zveck - Ngược lại, với bộ ba số (x; y; z) ta có duy nhất một điểm M trong không gian thoả mãn hệ thức: latex(vec(OM) = xveci y vecj zveck - Ta gọi bộ ba số (x; y; z) đó là toạ độ của điểm M đối với hệ toạ độ Oxyz đã cho và viết:M= (x; y; z) , hoặc M(x; y; z). Tọa độ của vectơ:
I. TỌA ĐỘ CỦA ĐIỂM VÀ CỦA VECTƠ 2. Toạ độ của vectơ Trong không gian Oxyz cho latex(veca) . Khi đó tồn tại duy nhất một bộ ba số latex((vec(a_1); vec(a_2); vec(a_3)) latex(vec(a) = a_1veci a_2 vecj a_3veck - Ta gọi bộ ba số (a1; a2; a3) đó là toạ độ của vec tơ a đối với hệ toạ độ Oxyz cho trước và viết latex(veca = (a_1; a_2; a_3)) hoặc latex(veca(a_1;a_2;a_3)). Nhận xét tọa độ của vectơ:
I. TỌA ĐỘ CỦA ĐIỂM VÀ CỦA VECTƠ 2. Toạ độ của vectơ * Nhận xét: Trong toạ độ Oxyz, toạ độ điểm M chính là toạ độ của vec tơ OM. Ta có: M=(x;y;z) latex(hArr) vec(OM)=(x,y,z) latex(vec(a) = a_1veci a_2 vecj a_3veck hArr veca = (a_1;a_2;a_3) Hoạt động 2:
I. TỌA ĐỘ CỦA ĐIỂM VÀ CỦA VECTƠ 2. Toạ độ của vectơ * Hoạt động 2 Trong toạ độ Oxyz, cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có đỉnh A trùng với gốc O, có AB, AD, AA’ theo thứ tự cùng hướng với latex(veci , vecj , veck) có AB=a, AD = b, AA’ = c. Hãy tính toạ độ các véctơ AB , AC, AC’ và AM với M là trung điểm cạnh C’D’. Giải latex(vec(AB) = aveci hArr vec(AB) = (a;0;0) latex(vec(AC) = vec(AB) vec(AD) = a.veci bvecj hArr vec(AC)=(a;b;0) latex(vec(AC`)=vec(AB) vec(AA`) = a.veci b.vecj c.veck hArrvec(AC`)=(a;b;c) latex(vec(AM)=(1)/(2)(vec(AC`) vec(AD`) = (1)/(2)(aveci bvecj cveck bvecj cveck)hArrvec(AM)=(1)/(2)(a;2b;2c) Biểu thức tọa độ của các vectơ
Định lí:
II. BIỂU THỨC TỌA ĐỘ CỦA CÁC PHÉP TOÁN VECTƠ 1. Đinh lí Trong không gian Oxyz cho hai vectơ latex(vec(a)=(a_1;a_2;a_3); vec(b)=(b_1;b_2;b_3)) a. latex(vec(a) - vec(b) = (a_1 -b_1;a_2 -b_2;a_3 -b_3) b. latex(k.veca=(k.a_1 ; k.a_2; k.a_3)) latex( k in R) Chứng minh latex(veca = a_1.veci a_2vecj a_3veck latex(vecb = b_1.veci b_2vecj b_3veck latex(veca -vecb=(a_1 -b_1)veci;(a_2 -b_2)vecj;(a_3 -b_3)veck) latex(hArr veca -vecb= (a_1 -b_1;a_2 -b_2;a_3 -b_3) latex(kveca=k(a_1veci a_2vecj a_3veck) = latex(k.a_1veci k.a_2vecj k.a_3veck latex(hArr k.veca=(k.a_1 ;k.a_2; k.a_3) Hệ quả:
II. BIỂU THỨC TỌA ĐỘ CỦA CÁC PHÉP TOÁN VECTƠ 1. Đinh lí Trong không gian Oxyz cho hai vectơ latex(vec(a)=(a_1;a_2;a_3); vec(b)=(b_1;b_2;b_3)) a. latex(vec(a) = vec(b) = latex({) latex(a_1 = b_1 latex(a_2 = b_2 latex(a_3 = b_3 b. latex(vec(0) = (0 ; 0; 0) c. latex(veca) và latex(vecb) cùng phương khi và chỉ khi latex(a_1 = k.b_1; a_2 = k.b_2; a_3 = k.b_3) d. latex(AB) = latex((x_B - x_A; y_B - y_A; z_B-z_A)) e. M là trung điểm AB khi và chỉ khi M = latex(((x_A x_B)/2; (y_A y_B)/2; (z_A z_B)/2)) Ví dụ 1:
II. BIỂU THỨC TỌA ĐỘ CỦA CÁC PHÉP TOÁN VECTƠ 3. Ví dụ a. Ví dụ 1 Cho A(1; 3; 2), B(3;-2;1) và C(4;-1;3). Tìm toạ độ điểm D sao cho ABCD là hình bình hành. Giải Do ABCD là hình bình hành khi đó ta có: latex(vec(CD) =vec(BA) latex(hArr) latex({) latex(x_D - x_C = x_A - x_B latex(y_D - y_C = y_A - y_B latex(z_D - z_C = z_A - z_B Vậy D=(2;4;4) Ví dụ 2:
II. BIỂU THỨC TỌA ĐỘ CỦA CÁC PHÉP TOÁN VECTƠ 3. Ví dụ b. Ví dụ 2 Cho A(1; 1; 1), B(0;7/3;2/3) và C(7/4; 0; 5/4). Chứng minh A, B, C thẳng hàng. Giải latex(vec(AB) = (0-1; 7/3-1; 2/3-1)= (-1;4/3;-(1)/(3)) latex(vec(AC) = (7/4-1; 0-1;5/4-1)=(3/4;-1;1/4)) latex(rArr vec(AB)=-(4)/(3)vec(AC) latex(rArr) AB , AC cùng phương hay A, B, C thẳng hàng. Ví dụ 3:
II. BIỂU THỨC TỌA ĐỘ CỦA CÁC PHÉP TOÁN VECTƠ 3. Ví dụ c. Ví dụ 3 Cho A(1; 3; 2), M(3;-2;1). Tìm toạ độ điểm B sao cho A, B đối xứng nhau qua điểm M. Giải Do A và B đối xứng nhau qua M nên M là trung điểm AB, nên ta có Vậy toạ độ điểm B = (5; -7; 0) Dặn dò và kết thúc
Dặn dò:
Đọc kỹ lại bài đã học Làm các bài tập từ 1 đến 3 sgk trang 68 Chuẩn bị trước bài mới Kết thúc: