BÀI 6: HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC
Trang bìa
Trang bìa
TOÁN 10
BÀI 6: HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC
Ảnh
Khởi động
- Tìm hiểu (Khởi động)
Ảnh
Ngắm Tháp Rùa từ bờ, chỉ với những dụng cụ đơn giản, dễ chuẩn bị, ta cũng có thể xác định được khoảng cách từ vị trí ta đứng tới Tháp Rùa. Em có biết vì sao?
I. ĐỊNH LÍ CÔSIN
- HĐ1
Ảnh
I. ĐỊNH LÍ CÔSIN
HĐ1. Một tàu biển xuất phát từ cảng Vân Phong (Khánh Hòa) theo hướng đông với vận tốc 20 km/h. Sau khi đi được 1 giờ, tàu chuyển sang hướng đông nam rồi giữ nguyên vận tốc và đi tiếp. a) Hãy vẽ sơ đồ đường đi của tàu trong 1,5 giờ kể từ khi xuất phát (1 km trên thực tế ứng với 1 cm trên bản vẽ). b) Hãy đo trực tiếp trên bản vẽ và cho biết sau 1,5 giờ kể từ khi xuất phát, tàu cách cảng Vân Phong bao nhiêu km (số đo gần đúng). c) Nếu sau khi đi được 2 giờ, tàu chuyển sang hướng nam (thay vì hướng đông nam) thì có thể dùng Định lí Pythagore để tính chính xác các số đo trong câu b hay không?
- Trả lời câu hỏi
Đối với tam giác ABC, ta thờng kí hiệu A, B, C là các góc của tam giác tại đỉnh tương ứng: a, b, c tương ứng là độ dà của các cạnh đối diện với đỉnh A, B, C; p là nửa chu vi; S là diện tích; R, r tương ứng là bán kính đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp tam giác.
Ảnh
- HĐ2
HĐ2. Trong hình dưới đây, hãy thực hiện các bước sau để thiết lập công thức tính a theo b, c và giá trị lượng giác của góc A. a) Tính latex(a^2 theo BD^2 và CD^2). b) Tính latex(a^2) theo b, c và DA. c) Tính DA theo c và cos A. d) Chứng minh latex(a^2 = b^2 + c^2 - 2bc cos A).
Ảnh
- Kết luận
Ảnh
Kết luận:
Định lí côsin. Trong tam giác ABC: latex(a^2 = b^2 + c^2 - 2bccosA), latex(b^2 = c^2 + a^2 - 2cacosB), latex(c^2 = a^2 + b^2 - 2abcosC).
- Trả lời câu hỏi
Ảnh
Định lí Pythagore có phải là một trường hợp đặc biệt của Định lí côsin hay không?
- Ví dụ
Ví dụ:
Cho tam giác ABC có latex(angle(A) = 120@) và AB = 5, AC = 8. Tính độ dài cạnh BC.
Giải
Ảnh
Áp dụng Định lí côsin cho tam giác ABC, ta có: latex(BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2*AB*AC*cos 120@) = latex(5^2 + 8^2 - 2*5*8*(-1/2)) = 129. => Vậy BC = latex(sqrt(129)).
- Khám phá - Trải nghiệm
Ảnh
Khám phá
Từ định lí côsin, hãy viết các công thức tính cos A, cos B, cos C theo độ dài các cạnh a, b, c của tam giác ABC.
Trải nghiệm
Vẽ một tam giác ABC, sau đó đo độ dài các cạnh, số đo góc A và kiểm tra tính đúng đắn của Định lí côsin tại đỉnh A đối với tam giác đó.
- Luyện tập
Ảnh
Luyện tập
Cho tam giác ABC có AB = 5, AC = 8 và latex(angle(A) = 45@). Tính độ dài cạnh và độ lớn các góc còn lại của tam giác.
- Vận dụng
Ảnh
Vận dụng
Dùng định lí côsin, tính khoảng cách được đề cập trong HĐ1b.
II. ĐỊNH LÍ SIN
- HĐ3
II. ĐỊNH LÍ SIN
HĐ3. Trong mỗi hình dưới đây, hãy tính R theo a và sin A.
Ảnh
Hình vẽ
- Ví dụ
Ví dụ:
Cho tam giác ABC có latex(angle(A) = 135@, angle(C)=15@) và b = 12. Tính a, c, R và số đo góc B.
Giải
Ta có: latex(angle(B) = 180@ - (angle(A) + angle(C)) = 180@ - (135@ + 15@) = 30@). Áp dụng Định lí sin, ta có: latex(a/(sin30@) = 12/(sin30@) = c/(sin15@) = 2R). => a = latex(12/(sin30@) * sin 135@ = 12 sqrt(2)); c = latex(12/(sin30@) * sin 15@ = 24sin15@(~~6,21)); R = latex(12/(2sin 30@) = 12).
Ảnh
- Luyện tập
Ảnh
Luyện tập
Cho tam giác ABC có b = 8, c = 5 và latex(angle(B) = 80@). Tính số đo các góc, bán kính đường tròn ngoại tiếp và độ dài cạnh còn lại của tam giác.
III. GIẢI TAM GIÁC VÀ ỨNG DỤNG THỰC TẾ
- Định nghĩa
III. GIẢI TAM GIÁC VÀ ỨNG DỤNG THỰC TẾ
Định nghĩa: Việc tính độ dài các cạnh và số đo các góc của một tam giác khi biết một số yếu tố của tam giác đó được gọi là giải tam giác.
Ví dụ: Giải tam giác ABC, biết c = 14, latex(angle(A) = 60@, angle(B) = 40@).
Ảnh
Giải Ta có: latex(angle(C) = 180@ - (angle(A) + angle(B)) = 80@). Áp dụng Định lí sin ta có: latex(a/(sin60@) = b/(sin40@) = 14/(sin80@)). => a = latex((14sin60@)/(sin80@) ~~12,31); => b = latex((14sin40@)/(sin80@) ~~9,14).
- Luyện tập
Ảnh
Luyện tập
Giải tam giác ABC, biết b = 32, c = 45, latex(angle(A)=87@).
- Chú ý
Ảnh
Chú ý:
Áp dụng các Định lí côsin, sin và sử dụng máy tính cầm tay, ta có thể tính (gần đúng) các cạnh và các góc của một tam giác trong các trường hợp sau: - Biết hai cạnh và góc xen giữa. - Biết ba cạnh. - Biết một cạnh và hai góc kề.
- Ví dụ
Ví dụ: Trở lại tình huống mở đầu, theo các bước sau, ta có thể tiến hành đo khoảng cách từ vị trí A trên bờ hồ Hoàn Kiếm đến Tháp Rùa.
- Bước 1: Trên bờ, đặt một cọc tiêu tại vị trí A và một cọc tiêu tại vị trí B nào đó. Đo khoảng cách AB. - Bước 2: Đừng tại A, ngắm Tháp Rùa và cọc B để đo góc tạo bởi hai hướng ngắm đó. - Bước 3: Đứng tại B, ngắm cọc A và Tháp Rùa để đo góc tạo bởi hai hướng ngắm đó. - Bước 4: Gọi C là vị trí của Tháp Rùa. Áp dụng Định lí sin cho tam gác ABC để tính độ dài cạnh AC.
Ảnh
- Vận dụng
Ảnh
Vận dụng
Từ một khu vực có thể quan sát được hai đỉnh núi, ta có thể ngắm và đo để xác định khoảng cách giữa hai đỉnh núi đó. Hãy thảo luận để đưa ra các bước cho một cách đo.
IV. CÔNG THỨC TÍNH DIỆN TÍCH TAM GIÁC
- HĐ4
IV. CÔNG THỨC TÍNH DIỆN TÍCH TAM GIÁC
HĐ4. Cho tam giác ABC với I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác. a) Nêu mối liên hệ giữa diện tích tam giác ABC và diện tích các tam giác IBC, ICA, IAB. b) Tính diện tích tam giác ABC theo r, a, b, c.
Ảnh
Hình vẽ
- HĐ5
HĐ5. Cho tam giác ABC với đường cao BD. a) Biểu thị BD theo AB và sinA. b) Viết công thức tính diện tích S của tam giác ABC theo b, c, sinA.
Ảnh
Hình vẽ
- Ví dụ
Ví dụ:
Giải
Ảnh
Tính diện tích S của tam giác ABC có c = 4, b = 6, latex(angle(A) = 150@).
Ta có: S = latex(1/2 bcsinA = 1/2 * 6*4*sin 150@ = 6).
- Luyện tập
Ảnh
Luyện tập
Tính diện tích tam giác ABC có b = 2, latex(angle(B)= 30@), latex(angle(C) = 45@).
- Chú ý
Ảnh
Chú ý:
Do sin A = latex(a/(2R)) nên từ công thức S = latex(1/2 bcsinA), ta có: - Công thức tính diện tích tam giác ABC: S = latex((abc)/(4R)).
- Thảo luận
Ảnh
Thảo luận
Ta đã biết tính cos A theo độ dài các cạnh của tam giác ABC. Liệu sin A và diện tích S có tính được theo độ dài các cạnh của tam giác ABC hay không?
- Kết luận
Ảnh
Kết luận:
Công thức Heron. Trong tam giác ABC: S = latex(sqrt(p(p-a)(p-b)(p-c))).
- Ví dụ
Giải
Ảnh
Cho tam giác ABC có a = 13, b = 14, c = 15. a) Tính sin A. b) Tính diện tích S bằng hai cách khác nhau.
a) Áp dụng định lí côsin, ta có: cosA = latex((b^2+c^2-a^2)/(2bc)=(14^2+15^2-13^2)/420 = 0,6). => Do đó sinA = latex(sqrt(1-cos^2 A)) = 0,8. b) Ta có S = latex(1/2 bc sinA) = 84. Áp dụng Công thức Heron, ta tính S theo cách thứ hai như sau (tính p = 21): latex(S_(ABC) = sqrt(p(p-a)(p-b)(p-c))) = latex(sqrt(21*8*7*6)) = 81.
- Vận dụng
Vận dụng
Công viên Hòa Bình (Hà Nội) có dạng hình ngũ giác ABCDE như hình dưới đây. Dùng chế độ tính khoảng cách giữa hai điểm của Google Maps, một người xác định được các khoảng cách như trong hình vẽ. Theo số liệu đó, em hãy tính diện tích của công viên Hòa Bình.
Ảnh
Dặn dò
- Dặn dò
Ảnh
Dặn dò
- Ôn lại bài vừa học. - Làm bài tập SGK và SBT. - Chuẩn bị bài sau: Bài 7. Các khái niệm mở đầu.
- Cảm ơn
Ảnh