CHƯƠNG II : BÀI 2: HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN
Ảnh
Ảnh
Trang bìa
Trang bìa
Ảnh
CHƯƠNG II BÀI 2: HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN
Kiểm tra bài cũ
Ví dụ 1
Bài tập trắc nghiệm
Tìm bất phương trình bậc nhất hai ẩn
x + 2y ≤ 3
latex(x^2) + y ≥ 1
latex(1/2x) + y > z
10x + 7y - 3 ≤ 0
Ví dụ 2
Buớc 1: Vẽ đuờng thẳng x + y = 2 Bước 2: Lấy O(0;0) Buớc 3: Thay O(0;0) vào bất phương trình ta thấy 0 + 0 < 2 (Đ) Bước 4: Vậy miền nghiệm của bất phương trình là nửa mặt phẳng bờ ∆ chứa điểm O(0;0)
VD2: Xác định miền nghiệm của bất phương trình x + y ≤ 2
Khởi động
Tìm hiểu
Ảnh
Ảnh
I. Khái niệm hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn
- ĐN
Ảnh
- Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn là hệ gồm hai hay nhiều bất phương trình bậc nhất hai ẩn x, y. Mỗi nghiệm chung của tất cả các bất phương trình đó đuợc gọi là một nghiệm của hệ bất phương trình đã cho. - Trên mặt phẳng toạ độ Oxy, tập hợp các điểm (x, y) có toạ độ là nghiệm của hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn đuợc gọi là miền nghiệm của hệ bất pt đó
- Ví dụ
Ảnh
Ví dụ: Tìm hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn trong các hệ sau:
Ảnh
Lời giải - Các hệ a), c), d) là các hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn. - Hệ b) không phải là bất phương trình bậc nhất hai ẩn vì hệ này chỉ gồm các phương trình
- Luyện tập
Ảnh
Hãy chỉ ra hai nghiệm của mỗi hệ bất phương trình trong ví dụ trên
II. Biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn
- HĐ1
Cho hệ bất phương trình: Miền nào trong hình bên biểu diễn phần giao các miền nghiệm của hai bất phương trình trong hệ đã cho ?
Ảnh
Ảnh
Hoạt động 1:
+ Lời giải
latex(rightarrow) Miền không gạch chéo của hình trên là miền nghiệm của hệ bất phưong trình
- Kết luận
Ảnh
Để biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn trên mặt phẳng toạ độ Oxy, ta thực hiện như sau: - Trên cùng mặt phẳng toạ độ, biểu diễn miền nghiệm của mỗi bất phương trình của hệ - Phần giao của các miền nghiệm là miền nghiệm của hệ bất phương trình
Kết luận:
- Ví dụ 1
Biểu diễn miền nghiệm của hệ:
Ảnh
Ví dụ 1:
+ Lời giải
Biểu diễn từng miền nghiệm của mỗi bất phương trình trên mặt phẳng Oxy Miền không bị gạch chéo (kể cả bờ) trong hình bên là phần giao của hai miền nghiệm của hai bất phương trình và cũng là phần biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình đã cho
Ảnh
Lời giải
- Ví dụ 2
Biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình:
Ảnh
Ví dụ 2:
+ Lời giải
Biểu diễn từng miền nghiệm của mỗi bất phương trình trên mặt phẳng Oxy. Miền không gạch chéo (miền tứ giác OABC, bao gồm cả các cạnh) trong hình bên là phần giao của các miền nghiệm và cũng là phần biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình đã cho.
Lời giải
Ảnh
Chú ý: Miền mặt phẳng toạ độ bao gồm một đa giác lồi và phần nằm bên trong đa giác đó đuợc gọi là miền đa giác. Chẳng hạn, ta có miền nghiệm của hệ bất phương trình trong ví dụ trên là miền tứ giác OABC
- Luyện tập
Ảnh
Biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình
Ảnh
III. Tìm giá trị lớn nhất hoặc giá trị nhỏ nhất của biểu thức F = ax + by trên một miền đa giác
- Cách làm
- Hệ bất phương trình giúp ta mô tả đực nhiều bài toán thực tế để tìm ra cách giải quyết tối ưu. Chúng thuờng đuợc đưa về bài toán tìm giá trị lớn nhất (GTLN) hoặc giá trị nhỏ nhất (GTNN) của biểu thức F = ax + by trên một miền đa giác - Nguời ta thuờng chứng minh đuợc F đạt giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất tại một trong các đỉnh của đa giác
- Ví dụ 1
Bác Năm dự định trồng ngô và đậu xanh trên một mảnh đất có diện tích 8 ha. Nếu trồng 1 ha ngô thì cần 20 ngày công và thu đuợc 40 triệu đồng. Nếu trồng 1 ha đậu xanh thì cần 30 ngày công và thu đuợc 50 triệu đồng. Bác Năm cần trồng bao nhiêu ha cho mỗi loại cây để thu đuợc tiền nhiều nhất? Biết rằng, bác Năm chỉ có thể sử dụng không quá 180 ngày công cho việc trồng ngô và đậu xanh.
+ Lời giải
Gọi x là số hecta đất trồng ngô và y là số hecta đất trồng đậu xanh. Ta có các điều kiện ràng buộc đối với x, y như sau: - Hiển nhiên x ≥ 0, y ≥ 0. - Diện tích canh tác không vuợt quá 8 ha nên x + y ≤ 8 - Số ngày công sử dụng không vuợt quá 180 nên 20x + 30y ≤ 180. Từ đó, ta có hệ bất phương trình mô tả các điều kiện ràng buộc:
Ảnh
+ Lời giải 2
Biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình này trên trục Oxy, ta thu đuợc miền tứ giác OABC (hình bên). Toạ độ các đỉnh của tứ giác đó là: 0(0;0), A(0;6), B(6;2), C(8;0). Gọi F là số tiền (đơn vị: triệu đồng) bác Năm thu đuợc, ta có F = 40x + 50y. Ta phải tìm x, y thoả mãn hệ bpt sao cho:
F đạt giá trị lớn nhất, nghĩa là tìm GTLN của biểu thức F = 40x + 50y trên miền tứ giác OABC. Tính các giá trị của biểu thức F tại các đỉnh của đa giác, ta có:
Ảnh
+ Lời giải 3
Tại O(0;0): F = 40.0 + 50.0 = 0 Tại A(0;6): F = 40.0 + 50.6 = 300 Tại B(6;2): F = 40.6 + 50.2 = 340 Tại C(8;0): F = 40.8 + 50.0 = 320 latex(rightarrow) Dễ thấy F đạt giá trị lớn nhất bằng 340 tại B(6;2) Vậy để thu đuợc tiền nhiều nhất, bác Năm cần trồng 6 ha ngô và 2 ha đậu xanh
- Ví dụ 2
Một nguời dùng 3 loại nguyên liệu A, B, C để sản xuất ra hai loại sản phẩm P và Q. Để sản xuất 1kg mỗi loại sản phẩm P hoặc Q phải dùng 1 số kg nguyên liệu khác nhau. Tổng số kg nguyên liệu mỗi loại mà nguời đó có và số kg từng loại nguyên liệu cần thiết để sản xuất ra 1 kg sản phẩm mỗi loại đuợc cho duới bảng như sau:
Biết 1 kg sản phẩm P có lợi nhuận 3 triệu đồng và 1 kg sản phẩm Q có lợi nhuận 5 triệu đồng. Hãy lập phương án sản xuất hai loại sản phẩm trên sao cho lãi cao nhất.
Ảnh
+ Lời giải
Gọi x là số kg sản phẩm P, y là số kg sản phẩm Q cần sản xuất. Ta có hệ bpt sau:
Biểu diễn miền nghiệm của hệ bpt trên hệ trục toạ độ Oxy, ta đuợc như hình vẽ bên
Miền nghiệm là ngũ giác OABCD với các đỉnh 0(0;0), C(0;2), B(2;2), A(4;1), D(5;0). Gọi F là số tiền lãi (đơn vị: triệu đồng) thu đuợc, ta có F = 3x + 5y. Tính giá trị của F tại các đỉnh của ngũ giác:
Ảnh
Ảnh
+ Lời giải 2
Tại O(0;0): F = 3.0 + 5.0 = 0 Tại C(0;2): F = 3.0 + 5.2 = 10 Tại B(2;2): F = 3.2 + 5.2 = 16 Tại A(4;1): F = 3.4 + 5.1 = 17 Tại D(5;0): F = 3.5 + 5.0 = 15 latex(rightarrow) Đạt GTLN bằng 17 tại A(4;1) Vậy nguời đó cần xản suất 4 kg sản phẩm P và 1 kg sản phẩm Q để có lãi cao nhất là 17 triệu đồng.
- Luyện tập
Một nguời bán nuớc giải khát đang có 24g bột cam, 9l nuớc và 210g đuờng để pha chế hai loại nuớc cam A và B. Để pha chế 1l nuớc cam loại A cần 30g đuờng, 1l nuớc và 1g bột cam; để pha chế 1l nuớc cam loại B cần 10g đuờng, 1l nuớc và 4g bột cam. Mỗi lít nuớc cam loại A bán đuợc 60.000 đồng, mỗi lít nuớc cam loại B bán đuợc 80.000 đồng. Nguời đó nên pha chế bao nhiêu lít nuớc cam mỗi loại để có doanh thu cao nhất?
IV. Bài tập về nhà
BTVN 1
1, Biểu diễn miền nghiệm của mỗi hệ bpt sau:
2, Bạn Lan thu xếp đuợc không quá 10 giờ làm hai loại đèn trung thu tặng cho các trẻ em khuyết tật. Loại đèn hình con cá cần 2 giờ để làm xong 1 cái, còn loại đèn ông sao chỉ cần 1 giờ để làm xong 1 cái. Gọi x, y lần luợt là số đèn hình con cá và đèn ông sao bạn Lan sẽ làm. Hãy lập hệ bpt mô tả điều kiện của x, y và biểu diễn miền nghiệm của hệ bpt đó
Ảnh
BTVN 2
3, Một học sinh dự định vẽ các tấm thiệp xuân làm bằng tay để bán trong một hội chợ Tết. Cần 2 giờ để vẽ một tấm thiệp loại nhỏ có giá 10 nghìn đồng và 3 giờ để vẽ một tấm thiệp loại lớn có giá 20 nghìn đồng. Học sinh này chỉ có 30 giờ để vẽ và ban tổ chức hội chợ yêu cầu phải vẽ ít nhất 12 tấm. Hãy cho biết bạn ấy cần vẽ bao nhiêu tấm thiệp mỗi loại để có đuợc nhiều tiền nhất?
BTVN 3
4, Trong một tuần, bạn Mạnh có thể thu xếp đuợc tối đa 12 giờ để tập thể dục giảm cân bằng hai môn: đạp xe và tập cử tạ tại phòng tập. Cho biết mỗi giờ xe sẽ tiêu hao 350 calo và không tốn chi phí, mỗi giờ tập cử tạ sẽ tiêu hao 700 calo với chi phí 50 000 đồng / giờ. Mạnh muốn tiêu hao nhiều calo nhưng khong đuợc vuợt quá 7 000 calo một tuần. Hãy giúp bạn Mạnh tính số giờ đạp xe và số giờ tập tạ một tuần trong hai truờng hợp sau: a) Mạnh muốn chi phí luyện tập là ít nhất b) Mạnh muốn số calo tiêu hao là nhiều nhất