CHƯƠNG 1. BÀI 4. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ ĐỒ THỊ
Trang bìa
Trang bìa
CHƯƠNG 1. BÀI 4. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ ĐỒ THỊ
TOÁN 11
Ảnh
Khởi động
Khởi động
Ảnh
Khởi động
Vì sao mặt cắt của sóng nước trên mặt hồ được gọi là có dạng hình sin?
Ảnh
I - Hàm số lượng giác
Hoạt động 1
Ảnh
I - Hàm số lượng giác
1. Hoạt động 1
LATEX(π /2)
Ảnh
Cho số thực t và M là điểm biểu diễn của góc lượng giác có số đo t rad trên đường tròn lượng giác. Sử dụng định nghĩa của các giá trị lượng giác, hãy giải thích vì sao xác định duy nhất:
a) Giá trị sin t và cos t b) Giá trị tan t (nếu t ≠ + kπ, k ∈ Z) và cot t (nếu t ≠ kπ, k ∈ Z)
Giải Hoạt động 1
a) Trên đường tròn lượng giác, điểm M là điểm biểu diễn góc lượng giác có số đo t, khi đó: - Tung độ của điểm M là sin t. - Hoành độ của điểm M là cos t. Vì tung độ và hoành độ của điểm M là xác định duy nhất nên sint và cost xác định duy nhất. b) Nếu t ≠ + kπ, k∈Z thì tan t = xác định duy nhất vì sint và cost xác định duy nhất. Nếu t ≠ kπ thì cos t = xác định duy nhất vì sint và cost xác định duy nhất.
a) Hoạt động 1
Giải
LATEX(π/2) LATEX((sin t)/(cos t))
LATEX((cos t)/(sin t))
Định nghĩa
Ảnh
Hình vẽ
2. Định nghĩa
"Hàm số sin" là quy tắc đặt tương ứng mỗi số thực x với số thực sinx, kí hiệu y = sinx. "Hàm số côsin" là quy tắc đặt tương ứng mỗi số thực x với số thực cosx, kí hiệu y = cosx. "Hàm số tang" là hàm số được xác định bởi công thức y = với x = + kπ (k ∈ Z), kí hiệu y = tanx.
LATEX((sin x)/(cos x)) LATEX(π/2)
"Hàm số côtang" là hàm số được xác định bởi công thức y = với x = kπ (k∈ Z), kí hiệu y = cot x
LATEX((cos x)/(sin x))
Như vậy: – Tập xác định của hàm số y = sin x và y = cos x là R. – Tập xác định của hàm số = tan x là D = R\ { + kπ |k∈ Z} – Tập xác định của hàm số y = cot x là D = R \ {kπ |k∈ Z}
LATEX(π/2)
II - Hàm số chẵn, hàm số lẻ, hàm số tuần hoàn
Hàm số chẵn, hàm số lẻ
Ảnh
II - Hàm số chẵn, hàm số lẻ, hàm số tuần hoàn
1. Hàm số chẵn, hàm số lẻ
a) Hoạt động 2
Xét hai hàm số y = , y = 2x và đồ thị của chúng trong Hình 2. Đối với mỗi trường hợp, nêu mối liên hệ của giá trị hàm số tại 1 và −1, 2 và -2. Nhận xét về tính đối xứng của mỗi đồ thị hàm số.
LATEX(x^2)
Định nghĩa
Ảnh
Hình vẽ
b) Định nghĩa
Hàm số y = x² là một ví dụ về hàm số chẵn và hàm số y = 2x là một ví dụ về hàm số lẻ. Ta có định nghĩa sau:
• Hàm số y = f(x) với tập xác định D được gọi là "hàm số chẵn" nếu với mọi x ∈ D ta có x ∈ D và f(-x) = f(x).
• Hàm số y = f(x) với tập xác định D được gọi là "hàm số lẻ" nếu với mọi x ∈ D ta có -x ∈ D và f(-x) = -f(x).
Chú ý
Ảnh
Hình vẽ
c) Chú ý
Đồ thị của hàm số chẵn nhận trục tung làm trục đối xứng. Đồ thị của hàm số lẻ nhận gốc toạ độ làm tâm đối xứng.
Ví dụ 1
d) Ví dụ 1:
Xét tính chẵn, lẻ của các hàm số lượng giác y = cos x, y = tan x
Giải
a) Hàm số y = cos x có tập xác định là R. Với mọi x ∈ R ta có -x ∈ R và cos (-x) = cos x. Do đó hàm số y = cosx là hàm số chẵn. b) Hàm số y = tanx có tập xác định là R \ { + kπ| k ∈ Z}
LATEX(π/2)
Với mọi x ≠ + kπ (k ∈ Z) ta có -x ≠ - - kπ (k ∈ Z) cũng có nghĩa là -x ≠ + kπ (k ∈ Z) hay -x ∈ R \ { + kπ| k ∈ Z}
LATEX(π/2) LATEX(π/2)
LATEX(π/2) LATEX(π/2)
Mặt khác tan(-x) = -tan x. Do đó hàm số y = tan x là hàm số lẻ
Hoạt động 2
Ảnh
e) Hoạt động 2
Chứng minh rằng hàm số y = sinx và hàm số y = cotx là các hàm số lẻ
- Xét hàm số y = sinx có tập xác định D = R Lấy x ∈ D thì – x ∈ D và sin(– x) = – sinx. Do đó hàm số y = sinx là hàm số lẻ.
Giải
- Xét hàm số y = cotx có tập xác định D = R Lấy x ∈ D thì – x ∈ D và cot(– x) = – cotx. Do đó hàm số y = cotx là hàm số lẻ.
Hàm số tuần hoàn
Ảnh
2. Hàm số tuần hoàn
a) Hoạt động 3
Hãy chỉ ra một số thực T sao cho sin (x + 7) = sin x với mọi x ∈ R.
Định nghĩa
Ảnh
Hình vẽ
b) Định nghĩa
Hàm số y = f(x) với tập xác định D được gọi là "hàm số tuần hoàn" nếu tồn tại một số T khác 0 sao cho với mọi x ∈ D ta có x T∈ D và f(x +T) = f(x). Số T dương nhỏ nhất thoả mãn các điều kiện trên (nếu có) được gọi là "chu kì" của hàm số tuần hoàn y = f(x)
-
+
Chú ý
c) Chú ý
Đồ thị của hàm số tuần hoàn chu kì T được lập lại trên từng đoạn giá trị của x có độ dài T
Ảnh
Ví dụ 2
d) Ví dụ 2
Xét tính tuần hoàn của hàm số y = sin x và hàm số y = tan x
Ta có: sin x = sin (x + 2π) với mọi x ∈ R; tan (x + π) = tan x với mọi x ≠ + kπ, k ∈ Z. Do đó hàm số y = sin x và y = tan x là các hàm số tuần hoàn.
Giải
LATEX(π/2)
Hoạt động 3
e) Hoạt động 3
Xét tính tuần hoàn của hàm số y = cos x và hàm số y = cot x
Ảnh
Giải
Ta có: cos (x + 2π) = cos x với mọi x ∈ R ; cot (x + π) = cot x với mọi x ≠ kπ, k∈Z Do đó hàm số y = cos x và y = cot x là các hàm số tuần hoàn và tuần hoàn với chu kì T lần lượt là: 2π và π.
Chú ý
Ảnh
Hình vẽ
f) Chú ý
Người ta chứng minh được rằng: a) Các hàm số y = sin x và y = cos x là các hàm số tuần hoàn với chu kì 2π b) Các hàm số y = tan x và y = cot x là các hàm số tuần hoàn với chu kì π
III - Đồ thị của các hàm số lượng giác
Hàm số y = sin x
Ảnh
III - Đồ thị của các hàm số lượng giác
1. Hàm số y = sin x
a) Hoạt động 4
Hoàn thành bảng giá trị sau dây và xác định các điểm tương ứng trên mặt phẳng toạ độ.
Ảnh
Ảnh
Bằng cách tương tự, lấy nhiều điểm M(x, sin x) với x ∈ [-π; π] và nối lại, ta được đồ thị của hàm số y = sinx trên đoạn [-π; π] như phần đồ thị màu đỏ trong Hình 3. Vì hàm số y = sinx tuần hoàn với chu kì 2n nên để vẽ đồ thị của hàm số y = sinx trên R, ta vẽ đồ thị của hàm số trên đoạn [-π; π], sau đó lặp lại đồ thị trên đoạn này trên từng đoạn giá trị của x có độ dài 2m. Ta có đồ thị của hàm số y = sin x trên R như sau:
Ảnh
Chú ý
Ảnh
Hình vẽ
b) Chú ý
Vì y = sinx là hàm số lẻ nên để vẽ đồ thị của nó trên đoạn [-π; π], ta có thể vẽ trên đoạn [0; π], sau đó lấy đối xứng qua gốc toạ độ.
Tính chất
Ảnh
Hình vẽ
c) Tính chất
Từ đồ thị trên, ta thấy hàm số y = sin x có tập xác định là R, tập giá trị là [-1; 1] và có các tính chất sau:
- Hàm số tuần hoàn với chu kì 2π. - Hàm số lẻ, có đồ thị đối i xứng qua gốc toạ độ O. - Hàm số đồng biển trên các khoảng (k∈ Z) và nghịch biến trên (k∈ Z)
(LATEX(-π/2) + k2π; LATEX(π/2) + k2π)
(LATEX(π/2) + k2π; LATEX((3π)/2) + k2π)
Hàm số y = cos x
Ảnh
2. Hàm số y = cos x
a) Hoạt động 5
Hoàn thành bảng giá trị sau đây và xác định các điểm tương ứng trên mặt phẳng toạ độ
Ảnh
Ảnh
Bằng cách tương tự, lấy nhiều điểm M(x; cos x) với x ∈ [-π; π] và nối lại, ta được đồ thị của hàm số y = cosx trên đoạn [-π; π] như phần đồ thị màu đỏ trong Hình 4. Vì hàm số y = cosx tuần hoàn với chu kì 2 nên để vẽ đồ thị của hàm số y = cosx trên R, ta vẽ đồ thị của hàm số trên đoạn [-π; π], sau đó lặp lại đồ thị trên đoạn này trên từng đoạn giá trị của x có độ dài 2m. Ta có đồ thị của hàm số y = cos x trên R như sau:
Ảnh
Chú ý
Ảnh
Hình vẽ
b) Chú ý
Vì y = cosx là hàm số chẵn nên để vẽ đồ thị của nó trên đoạn [-π; π], ta có thể vẽ trên đoạn [0; π], sau đó lấy đối xứng qua trục tung.
Tính chất
Ảnh
Hình vẽ
c) Tính chất
– Hàm số tuần hoàn với chu kì 2π. – Hàm số chẵn, có đồ thị đối xứng qua trục Oy. – Hàm số đồng biến trên các khoảng (-π + k2π; k2π) (k∈Z) và nghịch biến trên các khoảng (k2π; π + k2π) (k∈Ζ).
Từ đồ thị trên, ta thấy hàm số y = cosx có tập xác định là R, tập giá trị là [-1; 1] và có các tính chất sau:
Ví dụ 3
c) Ví dụ 3
Nhiệt độ ngoài trời 7 (tỉnh bằng °C) vào thời điểm 1 giờ trong một ngày ở một thành phố được tỉnh bởi công thức T = 20 + 4sin . Để bảo quản các tác phẩm nghệ thuật, hệ thống điều hoà nhiệt độ của một bảo tàng sẽ được tự động bật khi nhiệt độ ngoài trời từ 22°C trở lên. Dựa vào đồ thị của hàm số sin, hãy xác định khoảng thời gian t trong ngày (0 ≤ t ≤24) hệ thống điều hoà được bật.
LATEX(
(LATEX(π/12)t - LATEX((5π)/6))
Ảnh
Giải
Ảnh
Ta có: T≥ 22 khi và chỉ khi 20 + 4 sin (LATEX(π/12)t - LATEX((5π)/6)) ≥ 22 hay sin (LATEX(π/12)t - LATEX((5π)/6)) ≥ LATEX(1/2) Vì 0≤ t ≤ 24 nên LATEX((-5π)/6)≤ (LATEX(π/12)t - LATEX((-5π)/6))≤LATEX((7π)/6) Xét đồ thị hàm số y = sin x trên đoạn [LATEX((-5π)/6);LATEX((7π)/6)] (Hình 5)
Ta thấy sin (LATEX(π/12)t - LATEX((5π)/6)) ≥ LATEX(1/2) khi và chỉ khi LATEX(π/6)≤ LATEX(π/12)t - LATEX((-5π)/6)≤LATEX((5π)/6) hay 12≤t≤20 Vậy hệ thống điều hòa được bật trong khoảng thời gian từ 12 giờ đến 20 giờ trong ngày
Hàm số y = tan x
3. Hàm số y = tan x
a) Hoạt động 6
Hoàn thành bảng giá trị sau đây và xác định các điểm tương ứng trên mặt phẳng toạ độ.
Ảnh
Ảnh
Bằng cách tương tự, lấy nhiều điểm M(x; tanx) với x∈(LATEX(-π/2);LATEX(π/2)) và nối lại, ta được đồ thị của hàm số y = tan x trên khoảng (LATEX(-π/2);LATEX(π/2)) như phần đồ thị màu đỏ trong Hình 7. Vì hàm số y = tan x tuần hoàn với chu kì π , nên để vẽ đồ thị của hàm số y = tan x trên R\ {LATEX(π/2) + kπ|k∈Z} , ta vẽ đồ thị của hàm số π trên khoảng (LATEX(-π/2);LATEX(π/2)), sau đó lặp lại đồ thị trên đoạn này trên từng đoạn giá trị x có độ dài π
Ảnh
Ta có đồ thị của hàm số y = tan x trên R\ {LATEX(π/2) + kπ|k∈Z}
Chú ý
Ảnh
Hình vẽ
b) Chú ý
Vì y = tan x là hàm số lẻ nên để vẽ đồ thị của nó trên khoảng vẽ trên nửa khoảng (LATEX(-π/2); LATEX(π/2)), ta có thể vẽ trên nửa khoảng [0; LATEX(π/2)) sau đó lấy đối xứng qua gốc toạ độ.
Tính chất
Ảnh
Hình vẽ
c) Tính chất
Từ đồ thị trên, ta thấy hàm số y = tan x có tập xác định là R \ {LATEX(π/2) + kπ| k∈ Z} tập giá trị R và có các tính chất sau:
– Hàm số tuần hoàn với chu kì π. – Hàm số lẻ, có đồ thị đối xứng qua gốc toạ độ O. – Hàm số đồng biến trên các khoảng (LATEX(-π/2) + kπ; LATEX(π/2) + kπ) (k∈ Z)
Hàm số y = cot x
4. Hàm số y = cot x
a) Hoạt động 7
Hoàn thành bảng giá trị sau đây và xác định các điểm tương ứng trên mặt phẳng toạ độ.
Ảnh
Ảnh
Bằng cách tương tự, lấy nhiều điểm M(x, cot x) với x ∈ (0; π) và nối lại, ta được đồ thị của hàm số y = cot x trên khoảng (0; π) như phần đồ thị màu đỏ trong Hình 8. Vì hàm số y = cot x tuần hoàn với chu kì π nên để vẽ đồ thị của hàm số y = cot x trên R \ {kπ| k ∈ Z} ta vẽ đồ thị của hàm số trên khoảng (0; π), sau đó tịnh tiến đồ thị trên khoảng này theo phương song song với trục hoành từng đoạn có độ dài π. Ta có đồ thị của hàm số y = cot x trên R \ {kπ| k ∈ Z} như sau:
Ảnh
Tính chất
Hình vẽ
b) Tính chất
– Hàm số tuần hoàn với chu kì π – Hàm số lẻ, có đồ thị đối xứng qua gốc toạ độ O – Hàm số nghịch biến trên các khoảng (kπ; π + kπ) (k∈Z).
Hàm số y = cot x có tập xác định là R \ {kπ| k∈Z}, tập giá trị là R và có các tính chất sau:
Ví dụ
c) Ví dụ 4
Trong Địa lí, phép chiếu hình trụ được sử dụng để vẽ một bản đồ phẳng như trong Hình 9. Trên bản đồ phẳng lấy đường xích đạo làm trục hoành và kinh tuyến 0º làm trục tung. Khi đó tung độ của một điểm có vĩ độ φº (-90 <φ<90) được cho bởi hàm số Sử dụng đồ thị hàm số tang, hãy cho biết những điểm ở vĩ độ nào nằm cách xích đạo không quá 20 cm trên bản đồ
y = 20 tan (LATEX(π/180)φ) (cm).
Ảnh
Ảnh
Giải
Vì điểm nằm cách xích đạo không quá 20 cm trên bản đồ nên ta có: -20 ≤ y ≤ 20 Khi đó: -20 ≤ 20 tan (LATEX(π/180)φ) ≤ 1 Ta có: -90 ≤ φ ≤ 90 khi và chỉ khi LATEX(-π/2) < (LATEX(π/180)φ) < LATEX(π/2) Xét đồ thị hàm số y = tan x trên khoảng (LATEX(-π/2); LATEX(π/2)) (Hình 10) Ta thấy -1 ≤ tan (LATEX(π/180)φ) ≤ 1 khi và chỉ khi LATEX(-π/4) < (LATEX(π/180)φ) < LATEX(π/4) hay -45 ≤ φ ≤ 45 Vậy trên bản đồ, các điểm cách xích đạo không quá 20 cm nằm ở vĩ độ từ -45° đến 45°
Ảnh
IV - Bài tập
Bài 1,2,3,4
1. Các hàm số dưới đây có là hàm số chẵn hay hàm số lẻ không? a) y = 5 sin²x + 1 b) y = cos x + sin x c) y = tan 2x. 2. Tìm tập xác định của các hàm số sau: a) y = LATEX(1/(cos x)) b) y = tan (x +LATEX(π/4)) c) y = LATEX(1/(2 - sin²x)) 3. Tìm tập giá trị của hàm số y = 2 cosx + 1 4. Dựa vào đồ thị của hàm số y = sin x, xác định các giá trị x ∈ [-π; π] thoả mãn sinx = LATEX(1/2)
IV - Bài tập
Bài 5
Ảnh
5. Khi đu quay hoạt động, vận tốc theo phương ngang của một cabin M phụ thuộc vào góc lượng giác a = (Ox, OM) theo hàm số LATEX(v_x) = 0,3 sin a (m/s) (Hình 11). a) Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của LATEX(v_x) b) Dựa vào đồ thị của hàm số sin, hãy cho biết trong vòng quay đầu tiên (0 ≤ a ≤ 2π), góc a ở trong các khoảng nào thì LATEX(v_x) tăng.
'
Bài 6
Ảnh
6. Khoảng cách từ tâm một guồng nước đến mặt nước và bán kính của guồng đều bằng 3 m. Xét gàu G của guồng. Ban đầu gàu G nằm ở vị trí A (Hình 12). a) Viết hàm số h biểu diễn chiều cao (tính bằng mét) của gàu G so với mặt nước theo góc a = (OA, OG). b) Guồng nước quay hết mỗi vòng trong 30 giây. Dựa vào đồ thị của hàm số sin, hãy cho biết ở các thời điểm 7 nào trong 1 phút đầu, khoảng cách của gàu đến mặt nước bằng 1.5 m. (Hình 12)
V - Dặn dò
Dặn dò
Ảnh
Ảnh
V - Dặn dò
- Làm bài tập trong sách giáo khoa - Tìm hiểu và tóm tắt "Bài 5: Phương trình lượng giác cơ bản" ra giấy A0 tiết sau lên bảng thuyết trình (Làm theo tổ)
Kết thúc
Ảnh