CHƯƠNG I. BÀI 3. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ ĐỒ THỊ
Trang bìa
Trang bìa
Ảnh
TOÁN 11
CHƯƠNG I. BÀI 3. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ ĐỒ THỊ
Mục tiêu
Mục tiêu
Ảnh
Mục tiêu bài học
Nhận biết các khái niệm về hàm số chẵn, hàm số lẻ, hàm số tuần hoàn. Nhận biết các đặc trưng hình học của đồ thị hàm số chẵn, hàm số lẻ, hàm số tuần hoàn. Xác định được đồ thị các HS y = sin x, y = cos x, y = tan x, y = cot x. Giải quyết được một số vấn đề thực tiễn gắn với hàm số lượng giác (ví dụ: một bài toán có liên quan đến dao động điều hòa trong Vật Lí,...).
Khởi động
- Tình huống mở đầu
- Tình huống mở đầu:
Ảnh
Hình vẽ
Khoảng cách h phụ thuộc vào thời gian quay x như thế nào?
Ảnh
Một chiếc guồng nước có dạng hình tròn bán kính 2,5 m; trục của nó đặt cách mặt nước 2 m. Khi guồng quay đều, khoảng cách h (m) từ một ống đựng nước gắn tại một điểm của guồng đến mặt nước được tính theo công thức h = |y|, trong đó y = latex(2,5sin(2pix -pi/2) +2), với x (phút) là thời gian của guồng quay (latex(x>=0)).
I. Hàm số chẵn, hàm số lẻ, hàm số tuần hoàn
1. Hàm số chẵn, hàm số lẻ
Ảnh
HĐ1: a) Cho hàm số latex(f(x) = x^2).
1. Hàm số chẵn, hàm số lẻ
Ảnh
* Với latex(x in R), hãy so sánh f(‒x) và f(x). * Quan sát parabol (P) là đồ thị của hàm số latex(f(x) = x^2) (Hình 19) và cho biết trục đối xứng của (P) là đường thẳng nào.
+ ý b
Ảnh
HĐ1: b) Cho hàm số g(x) = x.
1. Hàm số chẵn, hàm số lẻ
Ảnh
* Với latex(x in R), hãy so sánh g(-x) và -g(x). * Quan sát đường thẳng d là đồ thị của hàm số g(x) = x (Hình 20) và cho biết gốc toạ độ O có là tâm đối xứng của đường thẳng d hay không.
- Định nghĩa
- Định nghĩa:
Ảnh
Cho hàm số y = f(x) với tập xác định D. * Hàm số y = f(x) được gọi là hàm số chẵn nếu latex(AAx in D) thì latex(-x in D) và f(-x) = f(x). * Hàm số y = f(x) được gọi là hàm số lẻ nếu latex(AAx in D) thì latex(-x in D) và f(-x) = -f(x).
- Chú ý
- Chú ý:
Ảnh
* Đồ thị hàm số chẵn nhận trục tung làm trục đối xứng. * Đồ thị hàm số lẻ nhận gốc toạ độ làm tâm đối xứng.
- Ví dụ 1
Ảnh
Ví dụ 1: Chứng tỏ rằng hàm số latex(f(x) = 3x^2 - 5) là hàm số chẵn.
Giải:
Hàm số latex(f(x) = 3x^2 - 5) là hàm số chẵn vì: * Tập xác định là D = R. * latex(AAx in R) thì latex(-x in R) và latex(f(-x) = 3(-x)^2-5=3x^2 - 5 = f(x)).
- Luyện tập 1
Ảnh
- Luyện tập 1:
a) Chứng tỏ rằng hàm số latex(g(x) = x^3) là hàm số lẻ. b) Cho ví dụ về hàm số không là hàm số chẵn và cũng không là hàm số lẻ.
2. Hàm số tuần hoàn
Ảnh
Ảnh
HĐ2: Cho hàm số y = f(x) xác định trên R và có đồ thị như H.21. a) Có nhận xét gì về đồ thị hàm số trên mỗi đoạn [a ; a + T], [a + T; a + 2T], [a – T; a]?
2. Hàm số tuần hoàn
b) Lấy điểm latex(M(x_0; f(x_0))) thuộc đồ thị hàm số với latex(x_0 in [a; a + T]). So sánh mỗi giá trị latex(f(x_0 + T), f(x_0 − T)) với latex(f(x_0)).
- Định nghĩa
Ảnh
Cho hàm số y = f(x) với tập xác định D. Hàm số y = f(x) được gọi là tuần hoàn nếu tồn tại một số T khác 0 sao cho với mọi latex(x in D), ta có: * latex(x + T in D) và latex(x - T in D); * latex(f(x + T) = f(x)). Số T dương nhỏ nhất thoả mãn các tính chất trên (nếu có) được gọi là chu kì của hàm số tuần hoàn đó.
- Định nghĩa:
- Ví dụ 2
Giải:
Ảnh
Ta thấy hàm số f(x) xác định trên R. Xét một số thực x tuỳ ý. Nếu x là số hữu tỉ thì x + T cũng là số hữu tỉ. Nếu x là số vô tỉ thì x + T cũng là số vô tỉ. Vì thế f(x + T) = f(x) với mọi x. Từ đó suy ra hàm số f(x) là tuần hoàn.
Ví dụ 2: Cho hàm số f(x) =
Ảnh
1 nếu x là số hữu tỷ 0 nếu x là số vô tỷ
và T là một số hữu tỉ dương. CM: f(x + T) = f(x) với mọi x. Từ đó suy ra hàm số f(x) là tuần hoàn.
- Luyện tập 2
Ảnh
- Luyện tập 2:
Cho ví dụ về hàm số tuần hoàn.
- Nhận xét
- Nhận xét:
Ảnh
Cho hàm số tuần hoàn chu kì T. Từ đồ thị hàm số trên đoạn [a; a + T], ta dịch chuyển song song với trục hoành sang phải (hoặc sang trái) theo đoạn có độ dài T thì được đồ thị hàm số trên đoạn [a + T; a + 2T] (hoặc [a - T; a]).
II. Hàm số y = sinx
1. Định nghĩa
Ảnh
HĐ3: Với mỗi số thực x, tồn tại duy nhất điểm M trên đường tròn lượng giác sao cho (OA, OM) = x (rad) H.22. Hãy xác định sin x.
1. Định nghĩa
Ảnh
- Kết luận
- Kết luận:
Ảnh
Quy tắc đặt tương ứng mỗi số thực x với một số thực sinx được gọi là hàm số y = sinx. Tập xác định của hàm số y = sinx là R.
2. Đồ thị của hàm số y = sinx
Ảnh
HĐ4: Cho hàm số y = sinx. a) Tìm giá trị y tương ứng với giá trị của x trong bảng sau:
2. Đồ thị của hàm số y = sinx
Ảnh
Thay từng giá trị của x vào hàm số y = sinx ta có bảng sau:
Ảnh
Ảnh
+ ý b
Ảnh
Ảnh
b) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, hãy biểu diễn các điểm (x ; y) trong bảng giá trị ở câu a. Bằng cách làm tương tự, lấy nhiều điểm (x; sinx) với latex(x in [- pi; pi]) và nối lại ta được đồ thị hàm số y = sinx trên đoạn latex([- pi; pi]) (Hình 23).
2. Đồ thị của hàm số y = sinx
+ Giải (2. Đồ thị của hàm số y = sinx)
Ảnh
Ảnh
b) Lấy thêm một số điểm (x; sinx) với latex(x in [-pi; pi]) trong bảng sau và nối lại ta được đồ thị hàm số y = sinx trên đoạn latex([-pi; pi]) (hình vẽ).
Ảnh
+ ý c
Ảnh
c) Làm tương tự như trên đối với các đoạn latex([‒3pi; ‒pi], [pi; 3pi]), …, ta có đồ thị hàm số y = sin x trên R được biểu diễn ở Hình 24.
2. Đồ thị của hàm số y = sinx
Ảnh
3. Tính chất của hàm số y = sinx
Ảnh
HĐ5: Quan sát đồ thị hàm số y = sinx ở Hình 24. a) Nêu tập giá trị của hàm số y = sinx. b) Gốc toạ độ có là tâm đối xứng của đồ thị hàm số không? Từ đó kết luận tính chẵn, lẻ của hàm số y = sinx. c) Bằng cách dịch chuyển đồ thị hàm số y = sinx trên đoạn latex([-pi; pi]) song song với trục hoành sang phải theo đoạn có độ dài 2π, ta có nhận được đồ thị hàm số y = sinx trên đoạn latex([pi; 3pi]) hay không? Hàm số y = sinx có tuần hoàn hay không? d) Tìm khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số y = sinx.
3. Tính chất của hàm số y = sinx
- Tính chất
Ảnh
* Hàm số y = sinx là hàm số lẻ, có đ/thị đối xứng qua gốc toạ độ O; * Hàm số y = sinx tuần hoàn chu kì latex(2pi); * Hàm số y = sinx đồng biến trên mỗi khoảng latex((-pi/2 + k2pi; pi/2 + k2pi)), nghịch biến trên mỗi khoảng latex((pi/2 + k2pi; (3pi)/2 + k2pi)) với latex(k in Z).
Tính chất:
- Ví dụ 3
Ảnh
Ví dụ 3: Hàm số y = sinx đồng biến hay nghịch biến trên khoảng latex(((11pi)/2; (13pi)/2))?
Giải:
Do latex(((11pi)/2; (13pi)/2) = (-pi/2 + 6pi; pi/2 + 6pi)) nên hàm số y = sinx đồng biến trên latex(((11pi)/2; (13pi)/2)).
- Luyện tập 3
Ảnh
- Luyện tập 3:
Hàm số y = sinx đồng biến hay nghịch biến trên khoảng latex((-(7pi)/2; -(5pi)/2))?
- Nhận xét
- Nhận xét:
Ảnh
Dựa vào đồ thị của hàm số y = sinx(H.24), ta thấy sinx = 0 tại những giá trị latex(x = kpi) latex((k in Z)). Vì vậy, tập hợp các số thực x sao cho latex(sinx != 0) là latex(E = R\\{kpi|k in Z}).
III. Hàm số y = cosx
1. Định nghĩa
Ảnh
Ảnh
HĐ6: Với mỗi số thực x, tồn tại duy nhất điểm M trên đường tròn lượng giác sao cho (OA, OM) = x (rad) (H.25). Hãy xác định cosx.
1. Định nghĩa
- Kết luận
- Kết luận:
Ảnh
Quy tắc đặt tương ứng mỗi số thực x với một số thực sinx được gọi là hàm số y = cosx. Tập xác định của hàm số y = cosx là R.
2. Đồ thị của hàm số y = cosx
Ảnh
HĐ7: Cho hàm số y = cosx. a) Tìm giá trị y tương ứng với giá trị của x trong bảng sau:
2. Đồ thị của hàm số y = cosx
Thay từng giá trị của x vào hàm số y = cosx ta có bảng sau:
Ảnh
Ảnh
Ảnh
+ ý b
Ảnh
Ảnh
b) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, hãy biểu diễn các điểm (x ; y) trong bảng giá trị ở câu a. Bằng cách làm tương tự, lấy nhiều điểm (x; cosx) với latex(x in [- pi; pi]) và nối lại ta được đồ thị hàm số y = cosx trên đoạn latex([- pi; pi]) (Hình 26).
2. Đồ thị của hàm số y = cosx
+ Giải (2. Đồ thị của hàm số y = cosx)
Ảnh
Ảnh
b) Lấy thêm một số điểm (x; cosx) với latex(x in [-pi; pi]) trong bảng sau và nối lại ta được đồ thị hàm số y = cosx trên đoạn latex([-pi; pi]) (hình vẽ).
Ảnh
+ ý c
Ảnh
Ảnh
c) Làm tương tự như trên đối với các đoạn latex([‒3pi; ‒pi], [pi; 3pi]), …, ta có đồ thị hàm số y = cos x trên R được biểu diễn ở Hình 24.
2. Đồ thị của hàm số y = cosx
3. Tính chất của hàm số y = cosx
Ảnh
HĐ8: Quan sát đồ thị hàm số y = cosx ở Hình 27. a) Nêu tập giá trị của hàm số y = cosx. b) Trục tung có là trục đối xứng của đồ thị hàm số không? Từ đó kết luận tính chẵn, lẻ của hàm số y = cosx. c) Bằng cách dịch chuyển đồ thị hàm số y = cosx trên đoạn [-π; π] song song với trục hoành sang phải theo đoạn có độ dài 2π, ta nhận được đồ thị hàm số y = cosx trên đoạn [π; 3π] hay không? Hàm số y = cosx có tuần hoàn hay không? d) Tìm khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số y = cosx.
3. Tính chất của hàm số y = cosx
- Tính chất
Ảnh
* Là hàm số chẵn, có đồ thị đối xứng qua trục tung; * Là hàm số tuần hoàn chu kì latex(2pi); * Là hàm số đồng biến trên mỗi khoảng latex((-pi + k2pi); k2pi)), nghịch biến trên mỗi khoảng latex((k2pi; x+k2pi)) với latex(k in Z).
Tính chất:
- Ví dụ 4
Ảnh
Ví dụ 4: Hàm số y = cosx đồng biến hay nghịch biến trên khoảng latex(((25pi)/3; (26pi)/3))?
Giải:
Do latex(((25pi)/3; (26pi)/3) = (-pi/3 + 8pi; (2pi)/3 + 8pi)) nên hàm số y = cosx nghịch biến trên latex(((25pi)/3; (26pi)/3)).
- Luyện tập 4
Ảnh
- Luyện tập 4:
Hàm số y = cosx đồng biến hay nghịch biến trên khoảng latex((-2pi; -pi))?
- Nhận xét
- Nhận xét:
Ảnh
Dựa vào đồ thị của hàm số y = cosx(H.27), ta thấy cosx = 0 tại những giá trị latex(x = pi/2 + kpi) latex((k in Z)). Vì vậy, tập hợp các số thực x sao cho latex(cosx != 0) là latex(D = R\\{pi/2 +kpi|k in Z}).
IV. Hàm số y = tanx
1. Định nghĩa
1. Định nghĩa
Ảnh
HĐ9: Xét tập hợp latex(D = R\\{pi/2 + kpi|k in Z}). Với mỗi số thực x ∈ D, hãy nêu định nghĩa tanx.
- Kết luận
- Định nghĩa:
Ảnh
Quy tắc đặt tương ứng mỗi số thực latex(x in D) với một số thực tanx được gọi là hàm số y = tanx. Tập xác định của hàm số y = tanx là latex(D = R\\{pi/2 + kpi|k in Z}).
2. Đồ thị của hàm số y = tanx
Ảnh
HĐ10: Cho hàm số y = tanx. a) Tìm giá trị y tương ứng với giá trị của x trong bảng sau:
2. Đồ thị của hàm số y = tanx
Thay từng giá trị của x vào hàm số y = tanx ta có bảng sau:
Ảnh
Ảnh
Ảnh
+ ý b
Ảnh
Ảnh
b) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, hãy biểu diễn các điểm (x ; y) trong bảng giá trị ở câu a. Bằng cách làm tương tự, lấy nhiều điểm (x; tanx) với latex(x in [- pi/2; pi/2]) và nối lại ta được đồ thị hàm số y = tanx trên đoạn latex([- pi/2; pi/2]) (Hình 28).
2. Đồ thị của hàm số y = tanx
+ Giải
Ảnh
Ảnh
b) Lấy thêm một số điểm (x; tanx) với latex(x in [-pi/2; pi/2]) trong bảng sau và nối lại ta được đồ thị hàm số y = tanx trên khoảng latex(x in[-pi/2; pi/2]) (hình vẽ).
Ảnh
+ ý c
Ảnh
Ảnh
c) Làm tương tự như trên đối với các đoạn latex((pi/2; (3pi)/2), (-3pi)/2; -pi/2)), …, ta có đồ thị hàm số y = tan x trên D được biểu diễn ở H.29.
2. Đồ thị của hàm số y = tanx
3. Tính chất của hàm số y = tanx
Ảnh
HĐ11: Quan sát đồ thị hàm số y = tanx ở Hình 29. a) Nêu tập giá trị của hàm số y = tanx. b) Gốc toạ độ có là tâm đối xứng của đồ thị hàm số không? Từ đó kết luận tính chẵn, lẻ của hàm số y = tanx. c) Bằng cách dịch chuyển đồ thị hàm số y = tanx trên khoảng latex((-pi/2; pi/2)) song song với trục hoành sang phải theo đoạn có độ dài π, ta nhận được đồ thị hàm số y = tanx trên khoảng latex((pi/2; (3pi)/2)) hay không? Hàm số y = tanx có tuần hoàn hay không? d) Tìm khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số y = tanx.
3. Tính chất của hàm số y = tanx
- Tính chất
Ảnh
* Là hàm số lẻ, có đồ thị đối xứng qua gốc toạ độ O; * Là hàm số tuần hoàn chu kì latex(pi); * Là hàm số đồng biến trên mỗi khoảng latex((-pi/2 + kpi); pi/2 + kpi)), nghịch với latex(k in Z).
Tính chất:
- Ví dụ 5
Ảnh
Ví dụ 5: Xét tĩnh chẵn, lẻ của h/s: f(x) = sinx + tanx.
Giải:
Tập xác định của hàm số f(x) là latex(D = R\\{pi/2 + kpi|k in Z}) Với mọi latex(x in D), ta có latex(-x in D) và f(-x) = sin(-x) + tan(-x) = -sinx - tanx = -(sinx + tanx) = -f(x) Vậy hàm số f(x) = sinx + tanx là hàm lẻ.
- Luyện tập 5
Ảnh
- Luyện tập 5:
Với mỗi số thực m, tìm số giao điểm của đường thẳng y = m và đồ thị hàm số y = tanx trên khoảng latex((-pi/2; pi/2)).
V. Hàm số y = cotx
1. Định nghĩa
1. Định nghĩa
Ảnh
HĐ12: Xét tập hợp latex(E = R\\{kpi|k in Z}). Với mỗi số thực latex(x in E), hãy nêu định nghĩa cotx.
- Định nghĩa
- Định nghĩa:
Ảnh
Quy tắc đặt tương ứng mỗi số thực latex(x in E) với một số thực cotx được gọi là hàm số y = cotx. Tập xác định của hàm số y = cotx là latex(E = R\\{kpi|k in Z}).
2. Đồ thị của hàm số y = cotx
Ảnh
HĐ13: Cho hàm số y = cotx. a) Tìm giá trị y tương ứng với giá trị của x trong bảng sau:
2. Đồ thị của hàm số y = cotx
Thay từng giá trị của x vào hàm số y = cotx ta có bảng sau:
Ảnh
Ảnh
Ảnh
+ ý b
Ảnh
b) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, hãy biểu diễn các điểm (x ; y) trong bảng giá trị ở câu a. Bằng cách làm tương tự, lấy nhiều điểm (x; cotx) với latex(x in (0; pi)) và nối lại ta được đồ thị hàm số y = cotx trên đoạn latex((0; pi)) (Hình 30).
2. Đồ thị của hàm số y = cotx
Ảnh
+ Giải
Ảnh
Ảnh
b) Lấy thêm một số điểm (x; cotx) với latex(x in(0; pi)) trong bảng sau và nối lại ta được đồ thị hàm số y = cotx trên khoảng latex(x in (0; pi)) (hình vẽ).
Ảnh
+ ý c
Ảnh
Ảnh
c) Làm tương tự như trên đối với các đoạn latex((pi; 2pi), (-pi;0)), …, ta có đồ thị hàm số y = cot x trên E được biểu diễn ở H.31.
2. Đồ thị của hàm số y = cotx
3. Tính chất của hàm số y = cotx
Ảnh
HĐ14: Quan sát đồ thị hàm số y = cotx ở Hình 31. a) Nêu tập giá trị của hàm số y = cotx. b) Gốc toạ độ có là tâm đối xứng của đồ thị hàm số không? Từ đó kết luận tính chẵn, lẻ của hàm số y = cotx. c) Bằng cách dịch chuyển đồ thị hàm số y = cotx trên khoảng latex((0; pi)) song song với trục hoành sang phải theo đoạn có độ dài π, ta nhận được đồ thị hàm số y = cotx trên khoảng latex((pi; 2pi)) hay không? Hàm số y = cotx có tuần hoàn hay không? d) Tìm khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số y = cotx.
3. Tính chất của hàm số y = cotx
- Tính chất
- Tính chất:
Ảnh
* Là hàm số lẻ, có đồ thị đối xứng qua gốc toạ độ O; * Là hàm số tuần hoàn chu kì latex(pi); * Là hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng latex((kpi; pi + kpi)), với latex(k in Z).
- Ví dụ 6
Ảnh
Ví dụ 6: Hàm số y = cotx đồng biến hay nghịch biến trên khoảng latex((pi/4; pi/2))?
Giải:
Ta thấy hàm số y = cotx nghịch biến trên khoảng latex((pi/4; pi/2)).
- Luyện tập 6
Ảnh
- Luyện tập 6:
Với mỗi số thực m, tìm số giao điểm của đường thẳng y = m và đồ thị hàm số y = cotx trên khoảng latex((0; pi)).
- Bài tập
Ảnh
- Bài tập:
Bài 1: Dùng đồ thị hàm số, tìm giá trị của x trên đoạn [‒2π; 2π] để: a) Hàm số y = sinx nhận giá trị bằng 1; b) Hàm số y = sinx nhận giá trị bằng 0; c) Hàm số y = cosx nhận giá trị bằng ‒1; d) Hàm số y = cosx nhận giá trị bằng 0. Bài 2: Dùng đồ thị hàm số, tìm giá trị của x trên khoảng latex((-pi; (3pi)/2)). a) Hàm số y = tanx nhận giá trị bằng ‒1; b) Hàm số y = tanx nhận giá trị bằng 0; c) Hàm số y = cotx nhận giá trị bằng 1; d) Hàm số y = cotx nhận giá trị bằng 0.
Dặn dò
- Dặn dò
Ảnh
Ôn lại kiến thức vừa học. Hoàn thành các bài còn lại trong SGK. Chuẩn bị bài sau: "Chương I. Bài 4. Phương trình lượng giác cơ bản".
Dặn dò:
- Cảm ơn
Ảnh