BÀI 3: HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
Trang bìa
Trang bìa
Ảnh
TOÁN 11
BÀI 3: HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
Mục tiêu
Mục tiêu
Ảnh
Mục tiêu bài học
Nhận biết các khái niệm về hàm số chẵn, hàm số lẻ, hàm số tuần hoàn. Nhận biết các đặc trưng hình học của đồ thị hàm số chẵn, hàm số lẻ, hàm số tuần hoàn. Nhận biết các hàm số lượng giác thông qua đường tròn lượng giác. Mô tả bảng giá trị của bốn hàm số lượng giác đó trên một chu kì. Vẽ đồ thị của các hàm số. Giải thích tập xác định, tập giá trị; tính chất chẵn, lẻ; tính tuần hoàn; chu kì; khoảng đồng biến, nghịch biến của các hàm số dựa vào đồ thị. Giải quyết một số vấn đề thực tiễn gắn liền với hàm số lượng giác.
Tình huống mở đầu
Tình huống mở đầu
Ảnh
Giả sử vận tốc v (tính bằng lít/giây) của luồng khí trong một chu kì hô hấp (tức là thời gian từ lúc bắt đầu của một nhịp thở đến khi bắt đầu của nhịp thở tiếp theo) của một người nào đó ở trạng thái nghỉ ngơi được cho bởi công thức: latex(v = 0,85sin(pit)/3), trong đó t là thời gian. Hãy tìm thời gian của một chu kì hô hấp đầy đủ và số chu kì hô hấp trong một phút của người đó.
Tình huống mở đầu:
Hình thàn kiến thức
1. Định nghĩa hàm số lượng giác
Ảnh
1. Định nghĩa hàm số lượng giác
HĐ1: Hoàn thành bảng sau:
Ảnh
- Kết luận
Ảnh
Kết luận:
* Quy tắc đặt tương ứng mỗi số thực x với số thực sinx được gọi là hàm số sin, KH: y = sinx. TXĐ: R. * Quy tắc đặt tương ứng mỗi số thực x với số thực cosx được gọi là hàm số côsin, KH: y = sinx. TXĐ: R. * Hàm số cho bằng công thức latex(y = (sinx)/(cosx)) được gọi là hàm số tang, KH: y = tanx. TXĐ: latex(R\\{pi/2 + kpi|k in Z}) * Hàm số cho bằng công thức latex(y = (cosx)/(sinx)) được gọi là hàm số côtang, KH: y = cotx. TXĐ: latex(R\\{kpi|k in Z})
- Ví dụ 1
Ảnh
Ví dụ 1: Tìm tập xác của hàm số latex(y = 1/(cosx)).
Giải:
Biểu thức latex(y = 1/(cosx)) có ý nghĩa khi latex(cosx !=0), tức là latex(x !=pi/2 + kpi (k in Z)). Vậy tập xác định của hàm số đã cho là latex(R\\{pi/2 + kpi|k in Z})
- Luyện tập 1
Ảnh
- Luyện tập 1:
Tìm tập xác định của hàm số: latex(y = 1/(sinx)).
2. Công thức nhân đôi
Ảnh
Ảnh
2. Hàm số chẵn, hàm số lẻ, hàm số tuần hoàn
HĐ2: Cho hai hàm số latex(f(x) = x^2) và latex(g(x) = x^3), với các đồ thị sau:
a) Hàm số chẵn, hàm số lẻ
- Câu hỏi
Ảnh
a) Tìm các tập xác định của latex(D_f; D_g) của các hàm số f(x) và g(x). b) CMR: latex(f(-x) = f(x), AAx in D_f). Có nhận xét gì về tính đối xứng của đồ thị hàm số y = f(x) đối với hệ trục toạ độ Oxy? c) CMR: latex(g(-x) = -g(x), AAx in D_g). Có nhận xét gì về tính đối xứng của đồ thị hàm số y = g(x) đối với hệ trục toạ độ Oxy?
a) Hàm số chẵn, hàm số lẻ
Câu hỏi:
- Kết luận
Ảnh
Kết luận:
Cho hàm số y = f(x) có tập xác định là D. * Hàm số f(x) được gọi là hàm số chẵn nếu latex(AAx in D) thì latex(-x in D) và f(-x) = f(x). Đồ thị của một hàm số chẵn nhận trục tung là trục đối xứng. * Hàm số f(x) được gọi là hàm số lẻ nếu latex(AAx in D) thì latex(-x in D) và f(-x) = -f(x). Đồ thị của một hàm số lẻ nhận gốc toạ độ là tâm đối xứng.
- Nhận xét
Ảnh
Nhận xét:
Để vẽ đồ thị của một hàm số chẵn (tương ứng, lẻ), ta chỉ cần vẽ phần đồ thị của hàm số nằm ở bên phải trục tung, sau đó lấy đối xứng phần đồ thị đã vẽ qua trục tung (tương ứng, qua gốc toạ độ), ta sẽ được đồ thị của hàm số đã cho.
- Ví dụ 2
Ảnh
Ví dụ 2: Xét tính chẵn, lẻ của hàm số f(x) = x sinx.
Giải:
Tập xác định của hàm số là D = R. Do đó, nếu x thuộc tập xác định D thì -x cũng thuộc tập xác định D. Ta có: f(-x) = (-x)sin(-x) = x sin x = f(x), latex(AAx in D). Vậy f(x) = x sin x là hàm số chẵn.
- Luyện tập 2
Ảnh
- Luyện tập 2:
Xét tính chẵn, lẻ của hàm số latex(g(x) = 1/x).
b) Hàm số tuần hoàn
b) Hàm số tuần hoàn
Ảnh
HĐ3: So sánh: a) latex(sin(x + 2pi)) và sinx; b) latex(cos(x +2pi)) và cosx; c) latex(tan(x + pi)) và tan x; d) latex(cot(x + pi)) và cotx.
- Kết luận
Ảnh
- Kết luận:
Hàm số y = f(x) có tập xác định D được gọi là hàm số tuần hoàn nếu tồn tại số latex(T !=0) sao cho với mọi latex(x in D) ta có: i) latex(x + T in D) và latex(x - T in D); ii) latex(f(x + T)) = f(x). Số T dương nhỏ nhất thoả mãn các điều kiện trên (nếu có) được gọi là chu kì của hàm số tuần hoàn đó.
- Câu hỏi
Ảnh
- Câu hỏi:
Hàm số hằng f(x) = c (c là hằng số) có phải là hàm số tuần hoàn không? Nếu hàm số tuần hoàn thì nó có chu kì không?
- Nhận xét
Ảnh
- Nhận xét:
* Các hàm số y = sinx và y = cosx tuần hoàn với chu kì latex(2pi). Các hàm số y = tanx và y = cotx tuần hoàn với chu kì latex(pi). * Để vẽ đồ thị của một hàm số tuần hoàn với chu kì T, ta chỉ cần vẽ đồ thị của hàm số này trên đoạn [a; a + T], sau đó dịch chuyển song song với trục hoành phần đồ thị đã vẽ sang phải và sang trái các đoạn có độ dài lần lượt là T, 2T, 3T,... ta được toàn bộ đồ thị của hàm số.
- Ví dụ 3
Ảnh
Ví dụ 3: Xét tính tuần hoàn của hàm số y = sin2x.
Giải:
Hàm số có tập xác định là R và với mọi số thực x, ta có: latex(x - pi in R, x + pi in R), latex(sin2(x + pi) = sin(2x + 2pi) = sin2x).
- Chú ý
- Chú ý:
Các hàm số latex(y = Asin omegax) và latex(y = Acos omegax (omega !=0)) là những hàm số tuần hoàn với chu kì latex(T = (2p)/(|omega|)).
Ảnh
Các hàm số latex(y = Asin omegax) và latex(y = Acos omegax) latex((omega !=0)) là những hàm số tuần hoàn với chu kì latex(T = (2p)/(|omega|)).
- Luyện tập 3
Ảnh
- Luyện tập 3:
Xét tính tuần hoàn của hàm số y = tan2x.
3. Đồ thị và tính chất của hàm số y = sin x
Ảnh
3. Đồ thị và tính chất của hàm số y = sin x
HĐ4: Cho hàm số y = sinx. a) Xét tính chẵn, lẻ của hàm số. b) Hoàn thành bảng giá trị sau của hàm số y = sinx trên đoạn [latex(-pi; pi)] bằng cách tính giá trị của sinx với những x không âm, sau đó sử dụng kết quả câu a để suy ra giá trị tương ứng của sinx với những x âm.
Ảnh
+ ý c
Ảnh
3. Đồ thị và tính chất của hàm số y = sin x
c) Bằng cách làm tương tự câu b cho các đoạn khác có độ dài bằng chu kì latex(T = 2pi), ta được đồ thị của hàm số y = sin x như hình dưới đây:
Ảnh
- Kết luận
Ảnh
Kết luận:
Hàm số y = sinx: * Có tập xác định là R và tập giá trị là [-1; 1]; * Là hàm số lẻ và tuần hoàn với chu kì latex(2pi); * Đồng biến trên mỗi khoảng latex((-pi/2 + k2pi; pi/2 + k2pi)) và nghịch biến trên mỗi khoảng latex((pi/2 + k2pi; (3pi)/2 +k2pi), k in Z); * Có đồ thị đối xứng qua gốc toạ độ và gọi là một đường hình sin.
- Ví dụ 4
Ảnh
Ví dụ 4: Sử dụng đồ thị ở Hình 1.14, hãy xác định các giá trị của x trên đoạn latex([-pi/2; (3pi)/2]) để hàm số y = sinx: a) Nhận giá trị bằng 0; b) Nhận giá trị tương đương.
Giải:
a) Từ đồ thị ta suy ra trên đoạn latex([-pi/2; (3pi)/2]), y = 0 khi x = 0 và latex(x = pi). b) Hàm số nhận giá trị dương ứng với phần đồ thị nằm trên trục hoành. Từ đồ thị suy ra trên đoạn latex([-pi/2; (3pi)/2]), thì y > 0 khi latex(x in (0; pi)).
- Luyện tập 4
Ảnh
- Luyện tập 4:
Tìm tập giá trị của hàm số y = 2sinx.
- Vận dụng 1
Ảnh
Vận dụng 1:
Xét tình huống mở đầu. a) Giải bài toán ở tình huống mở đầu. b) Biết rằng quá trình hít vào xảy ra khi v > 0 và quá trình thở ra khi v < 0. Trong khoảng thời gian từ 0 đến 5 giây, khoảng thời điểm nào thì người đó hít vào? người đó thở ra?
4. Đồ thị và tính chất của hàm số y = cosx
Ảnh
4. Đồ thị và tính chất của hàm số y = cosx
HĐ5: Cho hàm số y = cosx. a) Xét tính chẵn, lẻ của hàm số. b) Hoàn thành bảng giá trị sau của hàm số y = cosx trên đoạn [latex(-pi; pi)] bằng cách tính giá trị của cosx với những x không âm, sau đó sử dụng kết quả câu a để suy ra giá trị tương ứng của cosx với những x âm.
Ảnh
+ ý c
Ảnh
4. Đồ thị và tính chất của hàm số y = cosx
c) Bằng cách làm tương tự câu b cho các đoạn khác có độ dài bằng chu kì latex(T = 2pi), ta được đồ thị của hàm số y = cos x như hình dưới đây:
Ảnh
- Kết luận
Ảnh
Kết luận:
Hàm số y = cosx: * Có tập xác định là R và tập giá trị là [-1; 1]; * Là hàm số chẵn và tuần hoàn với chu kì latex(2pi); * Đồng biến trên mỗi khoảng latex((-pi + k2pi; k2pi)) và nghịch biến trên mỗi khoảng latex((k2pi; pi +k2pi), k in Z); * Có đồ thị là một đường hình sin đối xứng qua trục tung.
- Ví dụ 5
Ảnh
Ví dụ 5: Sử dụng đồ thị ở H.1.15, xác định các giá trị của x trên đoạn latex([(-3pi)/2; pi/2]) để hàm số y = cosx: a) Nhận giá trị bằng 0; b) Nhận giá trị âm.
Giải:
a) Từ đồ thị => Đoạn latex([(-3pi)/2; pi/2]), y = 0 khi latex(x = -(3pi)/2, x = -pi/2, x = pi/2)). b) Hàm số nhận giá trị âm ứng với phần đồ thị nằm trên trục hoành. Từ đồ thị suy ra trên đoạn latex([(-3pi)/2; pi/2]), thì y < 0 khi latex(x in ((-3pi)/2; pi/2)).
- Luyện tập 5
Ảnh
- Luyện tập 5:
Tìm tập giá trị của hàm số y = -3cosx
- Vận dụng 2
Ảnh
- Vận dụng 2:
Trong Vật lí, ta biết rằng phương trình tổng quát của một vật dao động điều hoà cho bởi công thức latex(x(t) = Acos(omega t + omega)), trong đó t là thời điểm (tính bằng giây), x(t) là li độ của vật tại thời điểm t, A là biên độ dao động (A > 0), latex(omega t + phi) là pha của dao động tại thời điểm t và latex(phi in [-pi; pi]) là pha ban đầu của dao động. Dao động điều hoà này có chu kì latex(T = (2pi)/omega) (tức là khoảng thời gian để vật thực hiện một dao động toàn phần). Giả sử một vật dao động điều hoà theo PT: latex(x(t) = -5cos4pi t(cm)). a) Hãy xác định biên độ và pha ban đầu của dao động. b) Tính pha của dao động tại thời điểm t = 2 (s). Hỏi trong khoảng thời gian 2s, vật thực hiện được bao nhiêu dao động toàn phần?
5. Đồ thị và tính chất của hàm số y = tanx
Ảnh
5. Đồ thị và tính chất của hàm số y = tanx
HĐ6: Cho hàm số y = tanx. a) Xét tính chẵn, lẻ của hàm số. b) Hoàn thành bảng giá trị của h/s y = tanx trên khoảng latex((-pi/2; pi/2)).
Ảnh
+ ý c
Ảnh
5. Đồ thị và tính chất của hàm số y = tanx
c) Bằng cách làm tương tự câu b cho các khoảng khác có độ dài bằng chu kì latex(T = pi), ta được đồ thị của hàm số y = tanx như hình:
Ảnh
- Kết luận
Ảnh
Kết luận:
Hàm số y = tanx: * Có tập xác định là latex(R\\{pi/2 + kpi|k in Z}) và tập giá trị là R; * Là hàm số lẻ và tuần hoàn với chu kì latex(pi); * Đồng biến trên mỗi khoảng latex((-pi/2 + kpi; pi/2 +kpi), k in Z); * Có đồ thị đối xứng qua gốc toạ độ.
- Ví dụ 6
Ảnh
Ví dụ 6: Sử dụng đồ thị ở H.1.16, xác định các giá trị của x trên đoạn latex([-pi; (3pi)/2]) để hàm số y = tanx: a) Nhận giá trị bằng 0; b) Nhận giá trị dương.
Giải:
a) Từ đồ thị => Đoạn latex([-pi; (3pi)/2]), y = 0 khi latex(x = -pi; x = 0; x= pi)). b) Hàm số nhận giá trị dương ứng với phần đồ thị nằm trên trục hoành. Từ đồ thị suy ra trên đoạn latex([-pi; (3pi)/2]), thì y > 0 khi latex(x in (-pi; pi/2) uu (0; pi/2) uu (pi; (3pi)/2)).
- Luyện tập 6
Ảnh
- Luyện tập 6:
Sử dụng đồ thị đã vẽ ở H.1.16, xác định các giá trị của x trên đoạn latex([-pi; (3pi)/2]) để hàm số y = tanx nhận giá trị âm.
6. Đồ thị và tính chất của hàm số y = cotx
Ảnh
6. Đồ thị và tính chất của hàm số y = cotx
HĐ7: Cho hàm số y = cotx. a) Xét tính chẵn, lẻ của hàm số. b) Hoàn thành bảng giá trị của hàm số y = cotx trên khoảng latex((0; pi)).
Ảnh
+ ý c
Ảnh
6. Đồ thị và tính chất của hàm số y = cotx
c) Bằng cách làm tương tự câu b cho các khoảng khác có độ dài bằng chu kì latex(T = pi), ta được đồ thị của hàm số y = cotx như hình:
Ảnh
- Kết luận
Ảnh
Kết luận:
Hàm số y = cotx: * Có tập xác định là latex(R\\{pi|k in Z}) và tập giá trị là R; * Là hàm số lẻ và tuần hoàn với chu kì latex(pi); * Nghịch biến trên mỗi khoảng latex((kpi; pi+kpi), k in Z); * Có đồ thị đối xứng qua gốc toạ độ.
- Ví dụ 7
Ảnh
Ví dụ 7: Sử dụng đồ thị đã vẽ ở Hình 1.17, xác định các giá trị của x trên đoạn latex([-pi/2; 2pi]) để hàm số y = cotx: a) Nhận giá trị bằng 0; b) Nhận giá trị âm.
Giải:
a) Từ đồ thị => Đoạn latex([-pi/2; 2pi]), y = 0 khi latex(x = -pi/2; x = pi/2; x=(3pi)/2). b) Hàm số nhận giá trị âm ứng với phần đồ thị nằm trên trục hoành. Từ đồ thị suy ra trên đoạn latex([-pi/2; 2pi]), thì y < 0 khi latex(x in (-pi/2; 0) uu (pi/2; pi) uu ((3pi)/2; 2pi)).
- Luyện tập 7
Ảnh
- Luyện tập 7:
Sử dụng đồ thị đã vẽ ở H.1.17, xác định các giá trị của x trên đoạn latex([-pi/2; 2pi]) để hàm số y = cotx nhận giá trị dương.
- Bài tập
Ảnh
Bài tập:
Bài 1.1.4. Tìm TXĐ của các hàm số sau: a) latex(y = (1-cosx)/(sinx)); b) latex(y = sqrt((1 + cosx)/(2-cosx))). Bài 1.15. Xét tính chẵn lẻ của các hàm số: a) y = sin2x + tan2x; b) latex(y = cosx + sin^2x); c) y = sinxcos2x; c) y = sinx + cosx. Bài 1.16. Tìm tập giá trị của các hàm số: a) latex(y = 2sin(x - pi/2) - t); b) latex(y = sqrt(1 + cosx - 2))
Dặn dò
- Dặn dò
Ảnh
Ôn lại kiến thức vừa học. Hoàn thành các bài còn lại trong SGK và SBT. Chuẩn bị bài sau: "Chương I. Bài 4. Phương trình lượng giác cơ bản".
Dặn dò
- Cảm ơn
Ảnh