BÀI 17: HÀM SỐ LIÊN TỤC
Trang bìa
Trang bìa
Ảnh
BÀI 17: HÀM SỐ LIÊN TỤC
TOÁN 11
Khởi động
Khởi động
Khởi động:
Một người lái xe từ địa điểm A đến địa điểm B trong thời gian 3 giờ. Biết quãng đường từ A đến B dài 180 km. Chứng tỏ rằng có ít nhất một thời điểm trên hành trình, xe chạy với vận tốc 60 km/h.
Ảnh
Hình thàn kiến thức
1. Hàm số liên tục tại một điểm
1. Hàm số liên tục tại một điểm
Ảnh
HĐ1: Nhận biết tính liên tục của hàm số tại một điểm
Ảnh
Cho hàm số f(x) =
latex((x^2 - 1)/(x - 1)) nếu latex(x!= 1). 2 nếu x = 1.
Tính giới hạn lim f(x) và so sánh giá trị này với f(1).
latex(x -> 1)
- Kết luận
- Kết luận:
Ảnh
Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a; b) chứa điểm latex(x_0). Hàm số f(x) được gọi là liên tục tại điểm latex(x_0) nếu lim f(x) = latex(f(x_0))
latex(x -> x_0)
Hàm số f(x) không liên tục tại latex(x_0) được gọi là gián đoạn tại điểm đó.
- Ví dụ 1
Ảnh
Ví dụ 1: Xét tính liên tục của hàm số f(x) = latex((x +1)/(x - 1)) tại điểm latex(x_0 = 2).
- Giải:
Rõ ràng hàm số f(x) xác định trên R\{1}, do đó latex(x_0 = 2) thuộc tập xác định của hàm số. Ta có lim f(x) = lim latex((x+1)/(x - 1) = 3 = f(2)). Vậy hàm số f(x) liên tục tại latex(x_0 = 2).
latex(x -> 2)
latex(x -> 2)
- Chú ý
- Chú ý:
Ảnh
Hàm số f(x) liên tục tại latex(x_0) khi và chỉ khi: lim f(x) = lim f(x) = latex(f(x_0)).
latex(x -> x_0^+)
latex(x -> x_0^-)
- Luyện tập 1
Ảnh
- Luyện tập 1:
Xét tính liên tục của hàm số: f(x) =
Ảnh
-x nếu x < 0 0 nếu x = 0 latex(x^2) nếu x > 0
tại điểm latex(x_0 = 0)
2. Hàm số liên tục trên một khoảng
Ảnh
2. Hàm số liên tục trên một khoảng
Ảnh
2x nếu latex(0 <= x <= 1/2) 1 nếu latex(1/2 < 1 <= 1)
HĐ2: Cho HS f(x) =
Ảnh
và g(x) =
x nếu latex(0 <= x <= 1/2) 1 nếu latex(1/2 < x <= 1)
với đồ thị tương ứng như Hình 5.7.
Xét tính liên tục của các hàm số f(x) và g(x) tại điểm latex(x = 1/2) và nhận xét sự khác biệt giữa hai đồ thị.
- Kết luận 1
Ảnh
- Kết luận:
Hàm số y = f(x) được gọi là liên tục trên khoảng (a; b) nếu nó liên tục tại mọi điểm thuộc khoảng này. Hàm số y = f(x) được gọi là liên tục trên đoạn [a; b] nếu nó liên tục trên khoảng (a; b) và lim f(x) = f(a), lim f(x) = f(b)
latex(x -> b^-)
latex(x -> a^+)
- Ví dụ 3
Ảnh
Ví dụ 3: Xét tính liên tục của hàm số f(x) =
Ảnh
- Giải:
Ta có f(x) = x - 1 với latex(x in (0; 1)). Với latex(x_0 in (0; 1)) bất kì, ta có lim (x - 1) = latex(x_0 - 1 = f(x_0)). Vậy hàm số f(x) liên tục trên khoảng (0; 1). Hơn nữa, lim f(x) = 0 = f(1) nên f(x) liên tục trên khoảng (0;1].
latex(x -> x_0)
x - 1 nếu latex(x in (0; 1)) 0 nếu x = 1
trên nửa khoảng (0; 1).
latex(x -> 1^-)
- Kết luận 2
Ảnh
- Kết luận:
* Hàm số đa thức và các hàm số y = sinx, y = cosx liên tục trên R. * Các hàm số y = tanx, y = cotx, y = latex(sqrtx) và hàm phân thức hữu tỉ ( thương của hai đa thức) liên tục trên tập xác định của chúng.
- Ví dụ 4
Ví dụ 4: Cho hàm số f(x) = latex((x + 1)/(x - 1)). Tìm các khoảng trên đó hàm số f(x) liên tục.
Ảnh
- Giải:
Tập xác định của hàm số f(x) là: latex((-oo; 1) uu (1; + oo)). Vậy hàm số f(x) liên tục trên các khoảng latex((-oo; 1) uu (1; + oo)).
- Luyện tập 2
Ảnh
- Luyện tập 2:
Tìm các khoảng trên đó hàm số f(x) = latex((x^2 + 1)/(x + 2)) liên tục.
3. Một số tính chất cơ bản
Ảnh
3. Một số tính chất cơ bản
HĐ3: Cho hai hàm số f(x) = latex(x^2) và g(x) = - x + 1. a) Xét tính liên tục của hai hàm số trên tại x = 1. b) Tính L = lim [f(x) + g(x)] và so sánh L với f(1) + g(1).
latex(x-> 1)
- Kết luận
Ảnh
- Kết luận:
Giả sử hai hàm số y = f(x) và y = g(x) liên tục tại điểm latex(x_0). Khi đó: a) Các hàm số y = f(x) + g(x), y = f(x) - g(x) và y = f(x)g(x) liên tục tại latex(x_0); b) Hàm số y = latex((f(x))/(g(x))) liên tục tại latex(x_0) nếu latex(g(x_0) != 0).
- Ví dụ 5
Ảnh
Ví dụ 5: Xét tính liên tục của hàm số f(x) = latex((sinx)/(x - 1)).
- Giải:
Hàm số xác định trên các khoảng latex((-oo; 1)) và latex((1; +oo)). Trên các khoảng này, tửu thức (hàm lượng giác) và mẫu thức (hàm đa thức) là các hàm số liên tục. Do đó, hàm số f(x) liên tục trên R \{1}.
- Nhận xét
Ảnh
- Nhận xét:
Nếu hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [a; b] và f(a)f(b) < 0 thì tồn tại ít nhất một điểm latex(c in (a; b)) sao cho f(c) = 0.
Đồ thị minh hoạ:
Ảnh
- Ví dụ 6
Ảnh
Ví dụ 6: Chứng minh rằng phương trình latex(x^5 + x^3 - 10 = 0) có ít nhất một nghiệm.
- Giải:
Xét hàm số latex(f(x) = x^5 + x^3 - 10). Ta có: f(0) = -10 < 0, f(2) = 30 > 0 và vì f(x) là hàm đa thức nên nó liên tục trên [0; 2]. Khi đó, phương trình f(x) = 0 có ít nhất một nghiệm trong khoảng (0; 2)
- Vận dụng
- Vận dụng:
Ảnh
Giải bài toán ở tình huống mở đầu.
Luyện tập và vận dụng
Bài 1 (Luyện tập và vận dụng)
Ảnh
Hình vẽ
Bài 1: Cho f(x) và g(x) là các hàm số liên tục tại x = 1. Biết f(1) = 2 và lim [2f(x) - g(x)] = 3. Tính g(1).
latex(x -> 1)
Bài 2 (Luyện tập và vận dụng)
Ảnh
Bài 2: Một bảng giá cước taxi được cho như sau:
Ảnh
a) Viết công thức hàm số mô tả số tiền khách phải trả theo quãng đường di chuyển. b) Xét tính liên tục của hàm số ở câu a.
Dặn dò
- Dặn dò
Ảnh
Ôn lại kiến thức vừa học. Hoàn thành các bài còn lại SGK và SBT. Chuẩn bị bài sau: "Bài 18: Lũy thừa với số thực".
Dặn dò
- Cảm ơn
Ảnh
CẢM ƠN CÁC EM ĐÃ LẮNG NGHE BÀI HỌC !