CHƯƠNG 3. BÀI 3. HÀM SỐ LIÊN TỤC
Trang bìa
Trang bìa
CHƯƠNG 3. BÀI 3. HÀM SỐ LIÊN TỤC
TOÁN 11
Ảnh
Khởi động
Khởi động
Ảnh
Khởi động
Hai đồ thị ở hai hình dưới đây cho biết phí gửi xe y của ô tô con (tính theo 10 nghìn đồng) theo thời gian gửi x (tính theo giờ) của hai bãi xe. Có nhận xét gì về sự thay đổi của số tiến phí phải trả theo thời gian gửi ở mỗi bãi xe?
Ảnh
I - Hàm số liên tục tại một điểm
Hoạt động 1
Ảnh
I - Hàm số liên tục tại một điểm
1. Hoạt động 1
x→LATEX(x_0)
Ảnh
Cho hàm số y = f(x) = 1 khi 0 ≤ x ≤1 1 + x khi 1 < x ≤2 5 - x khi 2 < x ≤3
Ảnh
Có đồ thị như Hình 1. Tại mỗi điểm LATEX(x_0)= 1 và LATEX(x_0)= 2, có tồn tại giới hạn lim f(x) không? Nếu có, giới hạn đó có bằng f(LATEX(x_0)) không?
Ảnh
Giải
+) Tại LATEX(x_0)= 1 ta có: Dãy (LATEX(x_n)) bất kì thỏa mãn LATEX(x_n) < 1 và LATEX(x_n) → 1 thì f(LATEX(x_n)) = 1 khi đó lim f(LATEX(x_n)) = 1 Dãy (LATEX(x_n)) bất kì thỏa mãn 1 < LATEX(x_n) ≤ 2 và LATEX(x_n) → 1 thì f(LATEX(x_n)) = 1 + LATEX(x_n) khi đó lim f(LATEX(x_n)) = 2 Suy ra lim f(LATEX(x_n)) ≠lim f(LATEX(x_n)). Do đó không tồn tại lim f(x) +) Tại LATEX(x_0)= 2 ta có: Dãy (LATEX(x_n)) bất kì thỏa mãn LATEX(x_n) < 2 và LATEX(x_n) → 2 thì f(LATEX(x_n)) = 1 + LATEX(x_n) khi đó lim f(LATEX(x_n)) = 3 Dãy (LATEX(x_n)) bất kì thỏa mãn 2 < LATEX(x_n) ≤ 3 và LATEX(x_n) → 2 thì f(LATEX(x_n)) = 5 – LATEX(x_n) khi đó lim f(LATEX(x_n)) =3 Suy ra lim f(LATEX(x_n)) = lim f(LATEX(x_n)) = 3. Do đó lim f(x) = 3 Ta có f(2) = 1 + 2 = 3. Vì vậy lim f(x) = f(2) = 3
LATEX(X_n)→LATEX(1^-)
LATEX(X_n)→LATEX(1^+)
LATEX(X_n)→LATEX(1^-) LATEX(X_n)→LATEX(1^+)
LATEX(X_n)→LATEX(2^-)
LATEX(X_n)→LATEX(2^+)
LATEX(X_n)→LATEX(2^-) LATEX(X_n)→LATEX(2^+) LATEX(X_n)→2
LATEX(X_n)→2
Định lý
Ảnh
Hình vẽ
2. Định lý
Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng K và LATEX(x_0)∈K. Hàm số y = f(x) được gọi là "liên tục tại điểm" LATEX(x_0) nếu lim f(x) = f(x).
x → LATEX(x_0)
Nhận xét
Ảnh
3. Nhận xét
Để hàm số y = f(x) liên tục tại LATEX(x_0) thì phải có cả ba điều sau: 1. Hàm số xác định tại LATEX(x_0) 2. Tồn tại lim f(x) 3. lim f(x) = f(LATEX(x_0) )
x →LATEX(x_0) x →LATEX(x_0)
Chú ý
Ảnh
Hình vẽ
4. Chú ý
Khi hàm số y = f(x) không liên tục tại điểm LATEX(x_0) thì ta nói f(x) "gián đoạn tại điểm" LATEX(x_0) và LATEX(x_0) được gọi là "điểm gián đoạn" của hàm số f(x).
Ví dụ 1
Ảnh
5. Ví dụ 1
Xét tính liên tục của hàm số: f(x) = LATEX(x^2+2) khi x > 0 2x khi x ≤ 0 tại điểm x = 0.
Ảnh
Giải
Ta có: f(0) = 2.0 = 0 lim f(x) = lim (2x) = 2 lim x = 2.0 = 0 lim f(x) = lim (x² + 2) = 0 + 2 = 2. Suy ra không tồn tại lim f(x). Vậy hàm số y = f(x) không liên tục tại điểm LATEX(x_0)= 0.
x→LATEX(0^-) x→LATEX(0^-) x→LATEX(0^-) x→LATEX(0^+) x→LATEX(0^+)
Thực hành 1
6. Thực hành 1:
Giải
Ảnh
a) Ta có: lim f(x) = lim ( 1 - x²) = - 8 và f(3) = 1 - LATEX(3^2)= - 8 Do đó lim f(x) = f(3) = - 8 Vì vậy hàm số liên tục tại x = 3 b) Tại LATX(X_0))= 1 lim f(x) = lim (x² +1) = 2 và lim f(x) = lim (- x) = - 1 Suy ra không tồn tại lim f(x). Vậy hàm số y = f(x) không liên tục tại điểm LATEX(x_0)= 1.
Xét tính liên tục của hàm số: a) f(x) = 1 - x² tại điểm LATEX(x_0)= 3 b) f(x) = x² +1 khi x > 1 - x khi x ≤1 tại điểm LATEX(x_0)= 1.
x→3 x→3 x→3
x→LATEX(1^+) x→LATEX(1^+) x→LATEX(1^-) x→LATEX(1^-)
II - Hàm số liên tục trên một khoảng, trên một đoạn
Hoạt động 2
Ảnh
II - Hàm số liên tục trên một khoảng, trên một đoạn
1. Hoạt động 2
Cho hàm số y = f(x) = x + 1 khi 1 < x ≤2 k khi x = 1. a) Xét tính liên tục của hàm số tại mỗi điểm LATEX(x_0)∈(1; 2) b) Tìm lim f(x) và so sánh giá trị này với f(2).
x→LATEX(2^-)
Ảnh
Ảnh
Giải
a) Tại mỗi điểm LATEX(x_0)∈(1; 2) thì f(x) = x + 1 Khi đó: lim f(x) = lim (x + 1) = LATEX(x_0)+1 và f(LATEX(x_0)) = LATEX(x_0)+ 1 Suy ra: lim f(x) = f(LATEX(x_0)) = LATEX(x_0)+ 1 Vì vậy hàm số liên tục tại LATEX(x_0). b) Tại LATEX(x_0) = 2 ta có f(x) = x + 1, khi đó: lim f(x) = lim (1 + x) = LATEX(x_0)+1 = 3 f(2) = 2 + 1 = 3 Vậy lim f(x) = f(2) = 3
x→LATEX(x_0) x→LATEX(x_0) x→LATEX(x_0)
x→LATEX(2^-) x→LATEX(2^-) x→2
Ảnh
Định lý
Ảnh
Hình vẽ
2. Định lý
• Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a; b). Hàm số y = f(x) được gọi là "liên tục trên khoảng" (a; b) nếu f (x) liên tục tại mọi điểm trong khoảng ấy. • Cho hàm số y = f(x) xác định trên đoạn [a; b]. Hàm số f(x) được gọi là "liên tục trên đoạn" [a, b] nếu f(x) liên tục trên khoảng (a; b) và lim f(x) = lim f(x) = f(b)
x→LATEX(a^+) x→LATEX(b^-)
Nhận xét
Ảnh
3. Nhận xét
Đồ thị của hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [a; b] là một đường liền, có điểm đầu, điểm cuối (Hình 3). Nếu hai điểm này nằm về hai phía so với trục hoành thì đường liền nói trên luôn cắt trục hoành tại ít nhất một điểm. Điều này có thể được phát biểu dưới dạng như sau: Nếu hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [a;b] và f(a).f(b) < 0 thì luôn tồn tại ít nhất một điểm c∈(a;b) sao cho f(c) = 0
Ví dụ 2
Ảnh
4. Ví dụ 2
Xét tính liên tục của hàm số f(x) = LATEX(sqrt(1 - x²)) trên đoạn [-1; 1].
Với mọi LATEX(x_0)∈(-1; 1), ta có: lim f(x) = lim LATEX(sqrt(1 - x²)) = LATEX(sqrt(1 - limx²)) = LATEX(sqrt(1- x_0^2)) = f(LATEX(x_0)) Do đó f(x) liên tục tại mọi điểm x ∈ (-1; 1). Ta lại có: lim f(x) = lim LATEX(sqrt(1 - x²)) = LATEX(sqrt(1 - limx²)) = LATEX(sqrt(1- 1)) = 0 lim f(x) = lim LATEX(sqrt(1 - x²)) = LATEX(sqrt(1 - limx²)) = LATEX(sqrt(1- 1)) =0 Vậy hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [-1; 1] (Hình 4).
Giải
x→LATEX(x_0) x→LATEX(x_0) x→LATEX(x_0)
x→LATEX(1^+) x→LATEX(1^+) x→LATEX(1^+)
x→LATEX(1^-) x→LATEX(1^-) x→LATEX(1^-)
Thực hành 2
5. Thực hành 2
Xét tính liên tục của hàm số y = LATEX(sqrt(x-1)) + LATEX(sqrt(2-x)) trên [1; 2]
Giải
Đặt y = f(x) = LATEX(sqrt(x-1))+ LATEX(sqrt(2-x)) Với mọi LATEX(x_0) LATEX(in) (1;2), ta có: lim f(x) = lim (LATEX(sqrt(x-1)) + LATEX(sqrt(2-x))) = LATEX(sqrt(x_0-1)) + LATEX(sqrt(2-x_0)) = f(LATEX(x_0)) Ta lại có: lim f(x) = lim (LATEX(sqrt(x-1)) + LATEX(sqrt(2-x))) = 1 = f(1) lim f(x) = lim (LATEX(sqrt(x-1)) + LATEX(sqrt(2-x))) = 1 = f(2) Vậy hàm số y = LATEX(sqrt(x-1)) + LATEX(sqrt(2-x)) trên [1; 2]
x→LATEX(x_0) x→LATEX(x_0)
x→LATEX(1^+) x→LATEX(1^+) x→LATEX(2^-) x→LATEX(2^-)
Ảnh
III -Tính liên tục của hàm số sơ cấp
Hoạt động 3
III - Tính liên tục của hàm số sơ cấp
1. Hoạt động 3
Cho hai hàm số y = f(x) = LATEX(1/(x-1)) a) Tìm tập xác định của hàm số đã cho b) Hàm số trên liên tục trên khoảng nào? Giải thích.
Giải
a) Xét hàm số y = f(x) = LATEX(1/(x-1)) Điều kiện xác định của hàm số là x ≠ 1. Vậy tập xác định của hàm số là: D = R \ {1}. b) Xét hàm số f(x) - Với LATEX(x_0)LATEX(in)(LATEX(-oo);1) thì lim f(x) = lim LATEX(1/(x-1)) = LATEX(1/(x_0-1)) = f(LATEX(x_0)) Suy ra hàm số f(x) liên tục trên (LATEX(-oo);1) - Với LATEX(x_0)LATEX(in)(1;LATEX(+oo)) thì lim f(x) = lim LATEX(1/(x-1)) = LATEX(1/(x_0-1)) = f(LATEX(x_0)) Suy ra hàm số f(x) liên tục trên (1;LATEX(+oo))
x→LATEX(x_0) x→LATEX(x_0) x→LATEX(x_0) x→LATEX(x_0)
Định lý
Hình vẽ
2. Định lý
Nhờ các phép tính trên giới hạn hàm số, có thể kiểm tra các hàm số y = f(x) và y = g(x) ở Hoạt động 3 liên tục trên từng khoảng của tập xác định của chúng. Mở rộng hơn, ta thừa nhận các kết quả sau:
• Hàm số đa thức y = P(x), các hàm số lượng giác y = sinx, y = cosx liên tục trên R. • Hàm số phân thức y = LATEX((P(x))/(Q(x))), hàm số căn thức y = LATEX(sqrt(P(x))), các hàm số lượng giác y = tanx, y = cotx liên tục trên các khoảng của tập xác định của chúng. Trong đó P(x) và Q(x) là các đa thức.
Ảnh
Nhận xét
Ảnh
3. Nhận xét
Hàm số thuộc những loại trên được gọi chung là "hàm số sơ cấp". Sau đây, khi nói xét tính liên tục của một hàm số mà không nói gì thêm thì ta xét tính liên tục của hàm số đó trên những khoảng của tập xác định của nó.
Ví dụ 3
Ảnh
4. Ví dụ 3
Xét tính liên tục của các hàm số sau: a) y = LATEX(3x^3 - 4x^2 + 5x + 2) b) y = LATEX((3x^2 + x - 1)/(x-2))
Giải
a) y = LATEX(3x^3 - 4x^2 + 5x + 2) là hàm số đa thức nên nó liên tục trên R b) y = LATEX((3x^2 + x - 1)/(x-2)) là hàm số phân thức, có tập xác định (LATEX(-oo);2)LATEX(uu)(2, LATEX(+oo)) nên nó liên tục trên các khoảng (LATEX(-oo);2) và (2,LATEX(+oo))
Thực hành 3
Ảnh
5. Thực hành 3:
Xét tính liên tục của hàm số y = LATEX(sqrt(x^2 - 4))
Giải
Đặt y = f(x) = LATEX(sqrt(x^2 - 4)) Tập xác định của hàm số D = (LATEX(-oo);2)LATEX(uu)(2;LATEX(+oo)) Với LATEX(x_0)LATEX(in)(LATEX(-oo);2) thì lim LATEX(sqrt(x^2 - 4)) = lim LATEX(sqrt(x_0^2 - 4)) = f(LATEX(x_0)) Suy ra hàm số liên tục trên (LATEX(-oo);2) Với LATEX(x_0)LATEX(in)(2;LATEX(+oo)) thì lim LATEX(sqrt(x^2 - 4)) = lim LATEX(sqrt(x_0^2 - 4)) = f(LATEX(x_0)) Suy ra hàm số liên tục trên (2;LATEX(+oo))
x→LATEX(x_0) x→LATEX(x_0) x→LATEX(x_0) x→LATEX(x_0)
Thực hành 4
Ảnh
6. Thực hành 4:
Cho hàm số f(x) = LATEX((x^2-2x)/x) khi x≠0 a khi x = 0
Ảnh
Giải
- Với x≠0 thì f(x) = LATEX((x^2-2x)/x) liên tục trên (LATEX(-oo);0)LATEX(uu)(0;LATEX(+oo)) - Với x = 0 thì ta có: lim f(x) = lim LATEX((x^2-2x)/x) = lim LATEX((x(x-2))/x) = lim (x - 2) = - 2 và f(0) = a Để y = f(x) liên tục trên R thì f(x) phải liên tục tại x = 0 do đó a = - 2.
x→0 x→0 x→0 x→0
IV - Tổng, hiệu, tích, thương của hàm số liên tục
Hoạt động 4
Ảnh
IV - Tổng, hiệu, tích, thương của hàm số liên tục
1. Hoạt động 4
Cho hai hàm số y = f(x) = LATEX(1/(x-1)) và y = g(x) = LATEX(sqrt(4-x)). Hàm số y = f(x) + g(x) có liên tục tại x = 2 không? Giải thích.
Giải
Ảnh
Xét hàm số y = h(x) = f(x) + g(x) = LATEX(1/(x-1)) + LATEX(sqrt(4-x)) có tập xác định D = [4;LATEX(+oo))\{1}. Tại LATEX(x_0)= 2LATEX(in)D thì lim h(x) = lim (LATEX(1/(x-1)) + LATEX(sqrt(4-x))) = 3 = h(2) Do đó hàm số liên tục tại LATEX(x_0)= 2
x→2 x→2
Định lý
Ảnh
Hình vẽ
2. Định lý
Cho hai hàm số y = f(x) và y = g(x) liên tục tại điểm LATEX(x_0). Khi đó: • Các hàm số y = f(x) + g(x), y = f(x) - g(x) và y = f(x) . g(x) liên tục tại LATEX(x_0) • Hàm số y = LATEX((f(x))/(g(x))) liên tục tại LATEX(x_0) nếu g(LATEX(x_0)) ≠ 0
Ví dụ 4
Ảnh
3. Ví dụ 4:
Xét tính liên tục của hàm số y = LATEX((sinx)/(x+1))
Giải
Tập xác định của hàm số D = (LATEX(-oo); -1)LATEX(uu)(-1;LATEX(+oo)) Các hàm số y = sin x và y = x + 1 liên tục tại mọi điểm LATEX(x_0)LATEX(in)R. Do đó hàm số y = LATEX((sinx)/(x+1)) liên tục tại mọi điểm LATEX(x_0)≠ - 1 (hay liên tục trên các khoảng (LATEX(-oo); -1)LATEX(uu)(-1;LATEX(+oo))
Thực hành 5
4. Thực hành 5
Xét tính liên tục của hàm số: a) y = LATEX(sqrt(x^2+1)+3-x) b) y = LATEX((x^2-1)/x).cosx
Giải
a) Đặt y = f(x) = LATEX(sqrt(x^2+1)+3-x) Tập xác định của hàm số D = R Khi đó: lim f(x) = lim LATEX(sqrt(x^2+1)+3-x) = LATEX(sqrt(x_0^2+1)+3-x_0) = f(LATEX(x_0)) Vậy hàm số liên tục trên R b) Đặt y = g(x) = LATEX((x^2-1)/x).cosx Tập xác định của hàm số D = R \ {0} Trên các khoảng (LATXE(-oo);0) và (0; LATEX(+oo)) ta thấy hàm số y = LATEX((x^2-1)/x) và y = cosx liên tục Vậy hàm số liên tục tại mọi điểm LATEX(x_0)≠0
V - Bài tập
Bài 1,2,3,4
V - Bài tập
1. Xét tính liên tục của hàm số: a) f(x) = LATEX(x^2+1) khi x≥0 1-x khi x<0. Tại điểm x = 0
b) f(x) = LATEX(x^2+2) khi x≥1 x khi x<1. Tại điểm x = 1
Ảnh
Ảnh
2. Cho hàm số f(x) = LATEX((x^2-4)/(x+2)) khi x≠- 2 a khi x = - 2
Ảnh
3. Xét tính liên tục của các hàm số sau: a) f(x) = LATEX(x/(x^2-4)) b) g(x) = LATEX(sqrt(9-x^2)) c) h(x) = cosx + tanx
4. Cho hàm số f(x) = 2x - sinx, g(x) = LATEX(sqrt(x-1)) Xét tính liên tục của hàm số f(x).g(x) và LATEX((f(x))/(g(x)))
Bài 5,6
Ảnh
5. Một bãi đậu xe ô tô đưa ra giá C(x) (đồng) khi thời gian đậu xe là x (giờ) như sau: C(x) = 60000 khi 0 < x ≤ 2 100000 khi 2 < x ≤ 4 200000 khi 4 < x ≤ 24 Xét tính liên tục của hàm số C(x) 6. Lực hấp dẫn do Trái Đất tác dụng lên một đơn vị khối lượng ở khoảng cách tính từ tâm của nó là: F(r) = LATEX((GMr)/(R^3)) khi 0< r < R LATEX((GM)/(r^2)) khi r≥ R, trong đó M là khối lượng, R là bán kính của Trái Đất, G là hằng số hấp dẫn. Hàm số F(r) có liên tục trên (0; +∞) không?
Ảnh
VI - Dặn dò
Dặn dò
Ảnh
VI - Dặn dò
- Làm bài tập trong phần V - Bài tập - Làm phần BÀI TẬP ÔN TẬP CHƯƠNG III
Ảnh
Kết thúc
Ảnh