CHƯƠNG III. BÀI 3. HÀM SỐ LIÊN TỤC
Trang bìa
Trang bìa
Ảnh
TOÁN 11
CHƯƠNG III. BÀI 3. HÀM SỐ LIÊN TỤC
Khởi động
Tình huống mở đầu
Ảnh
- Tình huống mở đầu:
Cầu Sông Hàn là một trong những cây cầu bắc qua sông Hàn ở Đà Nẵng. Khi cầu không quay (H10a), mặt cầu liền mạch nên các phương tiện có thể đi lại giữa hai đầu cầu. Khi cầu quay (H10b) để các tàu, thuyền có thể đi qua thì mặt cầu không còn liền mạch nữa, các phương tiện không thể đi qua giữa hai đầu cầu.
Câu hỏi
Câu hỏi:
Hình vẽ
Ảnh
Ảnh
Kiến thức gì trong toán học thể hiện chuyển động có đường đi là đường liền mạch?
I. Khái niệm
1. Hàm số liên tục tại một điểm
Ảnh
I. Khái niệm
HĐ1: Quan sát đồ thị hàm số f(x) = x ở H11. a) Tính lim f(x). b) So sánh lim f(x) với f(1).
1. Hàm số liên tục tại một điểm
latex(x -> 1)
latex(x -> 1)
- Kết luận
Ảnh
- Kết luận:
Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a; b) và latex(x_0 in (a; b)). Hàm số y = f(x) được gọi là liên tục tại latex(x_0) nếu lim f(x) = f(latex(x_0)).
Nhận xét: Hàm số y = f(x) không liên tục tại latex(x_0) được gọi là gián đoạn tại latex(x_0).
latex(x -> x_0)
- Ví dụ 1
Ví dụ 1: Quan sát đồ thị hàm số trong H12a và H12b, xác định f(0) và lim f(x). Từ đó cho biết mỗi hàm số đó có liên tục tại x = 0 hay không. Giải thích.
latex(x -> 0)
Ảnh
- Luyện tập 1
Ảnh
- Luyện tập 1:
Xét tính liên tục của hàm số latex(f(x) = x^3 + 1) tại latex(x_0 = 1).
2. Hàm số liên tục trên một khoảng hoặc một đoạn
Ảnh
2. Hàm số liên tục trên một khoảng hoặc một đoạn
HĐ2: Cho hàm số f(x) = x + 1 với latex(x in R). a) Giả sử latex(x_0 in R). Hàm số f(x) có liên tục tại điểm latex(x_0) hay không? b) Quan sát đồ thị hàm số f(x) = x + 1 với latex(x in R) (H13), nêu nhận xét về đặc điểm của đồ thị hàm số đó.
Ảnh
- Định nghĩa
Ảnh
- Định nghĩa:
Ảnh
Khái niệm hàm số liên tục trên các tập hợp có dạng (a; b], [a; b), (a; latex(+ oo)), [a; latex(+ oo)), (latex(- oo); a), (latex(- oo); a], (latex(- oo); latex(+ oo)) được định nghĩa tương tự.
- Ví dụ 2
Ví dụ 2: a) Hàm số f(x) = 2x + 3 có liên tục trên đoạn [3; 4] hay không? b) Hàm số f(x) = latex((x + 1)/(x - 2) (x != 2)) có liên tục trên khoảng (1; 3) không?
- Giải:
Ảnh
- Luyện tập 2
Ảnh
- Luyện tập 2:
Hàm số: f(x) =
Ảnh
x - 1 nếu x < 2 -x nếu latex(x >= 2)
có liên tục trên R hay không?
II. Một số định lí cơ bản
1. Tính liên tục của một số hàm sơ cấp cơ bản
II. Một số định lí cơ bản
HĐ3: Quan sát đồ thị các hàm số: latex(y = x^2 - 4x + 3) (H14a); latex(y = (x + 1)/(x - 1) (x != 1)) (H14b); y = tanx (H14c) và nêu nhân xét về tính liên tục của mỗi hàm số đó trên từng khoảng của tập xác định.
1. Tính liên tục của một số hàm sơ cấp cơ bản
Ảnh
- Định lí
- Định lí:
Ảnh
* Các hàm đa thức và hai hàm số lượng giác y = sinx, y = cosx liên tục trên R. * Các hàm phân thức hữu tỉ và hai hàm số lượng giác y = tanx, y = cotx liên tục trên từng khoảng xác định của chúng. * Hàm căn thức latex(y = sqrtx) liên tục trên nửa khoảng latex([0; + oo)).
- Ví dụ 3
Ảnh
Ảnh
Ví dụ 3: Cho hàm số f(x) =
- Giải:
x + 1 nếu latex(x != 3) a nếu x = 3
Tìm a để hàm số f(x) liên tục trên R.
Do f(x) = x + 1 nếu latex(x != 3) nên hàm số đó liên tục trên mỗi khoảng latex((- oo; 3); (3; + oo)). Với x = 3 thì f(3) = a. Ta có: lim f(x) = lim (x + 1) = 3 + 1 = 4 Vậy hàm số f(x) liên tục trên R khi hàm số f(x) liên tục tại điểm x = 3 khi và chỉ khi lim f(x) = f(3) latex(<=>) a = 4.
latex(x -> 3)
latex(x -> 3)
latex(x -> 3)
- Luyện tập 3
Ảnh
- Luyện tập 3:
Hàm số f(x) = latex((x + 2)/(x - 8)) có liên tục trên mỗi khoảng latex((- oo; 8), (8; + oo)) hay không?
2. Tính liên tục của tổng, hiệu, tích, thương của hai hàm số liên tục
HĐ4: Cho hai hàm số f(x) = latex(x^3 + x) và latex(g(x) = x^2 + 1 (x in R)). Hãy cho biết: a) Hai hàm số f(x), g(x) có liên tục tại x = 2 hay không. b) Các hàm số f(x) + g(x); f(x) - g(x); f(x).g(x); latex((f(x))/(g(x))) có liên tục tại x = 2 hay không.
2. Tính liên tục của tổng, hiệu, tích, thương của hai hàm số liên tục
Ảnh
- Định lí
- Định lí:
Ảnh
Giả sử y = f(x) và y = g(x) là hai hàm số liên tục tại điểm latex(x_0). Khi đó: a) Các hàm số y = f(x) + g(x), y = f(x) - g(x) và y = f(x) . g(x) liên tục tại latex(x_0); b) Hàm số latex(y = (f(x))/(g(x))) liên tục tại latex(x_0) nếu latex(g(x_0) != 0).
- Ví dụ 4
Ảnh
Ví dụ 4: Cho hàm số latex(f(x) = x^3 + 2x + 6/(x - 2)). a) Xét tính liên tục của hàm số f(x) tại x = 3. b) Xét tính liên tục của hàm số f(x) trên TXĐ của hàm số đó.
- Luyện tập 4
Ảnh
- Luyện tập 4:
Xét tính liên tục của hàm số: f(x) = sinx + cosx trên R.
Bài tập
Bài 1 (Bài tập)
Ảnh
Bài 1: Dùng định nghĩa xét tính liên tục của hàm số latex(f(x) = 2x^3 + x + 1) tại điểm x = 2.
Bài 2 (Bài tập)
Ảnh
Ảnh
Bài 2: Trong các hàm số có đồ thị ở H15a, b, c, hàm số nào liên tục trên tập xác định của hàm số đó? Giải thích.
Bài 3 (Bài tập)
Ảnh
Bài 3: Bạn Nam cho rằng: "Nếu hàm số y = f(x) liên tục tại điểm latex(x_0), còn hàm số y = g(x) không liên tục tại latex(x_0), thì hàm số y = f(x) + g(x) không liên tục tại latex(x_0)". Theo em, ý kiến của bạn Nam đúng hay sai? Giải thích.
Dặn dò
- Dặn dò
Ảnh
Ôn lại kiến thức vừa học. Hoàn thành các bài còn lại trong SGK. Chuẩn bị bài sau: "Chương IV. Bài 1. Đường thẳng và mặt phẳng trong không gian".
Dặn dò:
- Cảm ơn
Ảnh