Công ty Cổ phần Mạng giáo dục Bạch Kim - 27 Huỳnh Thúc Kháng, Đống Đa, Hà Nội
Trang bìa
Trang bìa:
TIẾT 57: HÀM SỐ LIÊN TỤC Hàm số liên tục tại một điểm
Định nghĩa:
I. HÀM SỐ LIÊN TỤC TẠI MỘT ĐIỂM 1. Định nghĩa 1 Cho hàm số y=f(x) xác định trên khoảng K và latex(x_0inK) Hàm số y=f(x) liên tục tại latex(x_0)nếu: Hàm số y=f(x) không liên tục tại latex(x_0) được gọi là gián đoạn tại latex(x_0) * Chú ý: - Hàm số y=f(x) liên tục tại latex(x_0) nếu đồng thời thỏa mãn ba điều kiện sau: latex(f(x_0)) tồn tại (hàm số xác định tại latex(x_0)) limf(x) latex(x->x_0) tồn tại limf(x)=latex(f(x_0)) latex(x->x_0) Hàm số y=f(x) gián đoạn tại latex(x_0) nếu một trong ba điều kiện trên không được thỏa mãn Ví dụ 1:
I. HÀM SỐ LIÊN TỤC TẠI MỘT ĐIỂM 2. Ví dụ * Ví dụ 1 Cho hàm số: f(x)= latex({) latex((3x^2-4x 1)/(x-1)) với latex(x!=1) 5 với latex(x=1) Xét tính liên tục của hàm số tại x = 1. Giải Ta có: f(1)=5 limf(x) latex(x->1) = limlatex((3x^2-4x 1)/(x-1)) latex(x->1) = limlatex(((x-1)(3x-1))/(x-1) latex(x->1) = limlatex((3x-1)) latex(x->1) =3.1-1=2 Vì f(1) latex(!=) limf(x) latex(x->1) Hàm số đã cho không liên tục tại x = 1 Ví dụ 2:
I. HÀM SỐ LIÊN TỤC TẠI MỘT ĐIỂM 2. Ví dụ * Ví dụ 2 Cho hàm số: f(x)= latex({) latex(x^2) ; x>0 a ; latex(x<=0) Tìm a để f(x) liên tục tại x = 0 Giải Ta có f(x) = f(0)= a limf(x)=limlatex(f(x^2)) latex(x->0) latex(x->0) =0 Vậy a = 0 thì hàm số liên tục Hàm số liên tục trên khoảng, đoạn
Định nghĩa:
II. HÀM SỐ LIÊN TỤC TRÊN KHOẢNG, ĐOẠN 1. Định nghĩa 2 * f(x) liên tục trong (a; b)latex(hArr) f(x) liên tục tại mọi latex(x_0 in (a; b)) * Hàm số y = f(x) được gọi là liên tục trên [a ; b] nếu nó liên tục trên (a ;b) và limf(x) =f(a) latex(x->a^ ) limf(x) =f(b) latex(x->b^-) * Chú ý Đồ thị của 1 hàm số liên tục trên 1 khoảng là 1 “đường liền” trên khoảng đó. Ví dụ 3:
II. HÀM SỐ LIÊN TỤC TRÊN KHOẢNG, ĐOẠN 2. Ví dụ * Ví dụ 3 Chứng minh hàm số f(x)= latex(x^4-2x^2 2) liên tục trên R. Giải latex(AAx_0 in R) limf(x) latex(x->x_0) = limlatex(x^4 - 2x^2 2) latex(x->x_0) = latex(x_4^4-2x_0^2 2 = f(x_0)) latex(rArr) hàm số liên tục tại latex(x_0) Vậy hàm số liên tục trên R Ví dụ 4:
II. HÀM SỐ LIÊN TỤC TRÊN KHOẢNG, ĐOẠN 2. Ví dụ * Ví dụ 4 Chứng minh hàm số f(x) liên tục trênlatex((-oo; 2] f(x) = latex(sqrt(2-x)) Giải Với latex(AAx_0 in (-oo;2)) Ta có: limf(x) = limlatex((sqrt(2-x))) latex(x->x_0) latex(x->x_0) = latex(sqrt(2-x_0)) = latex(f(x_0)) latex(rArr) hàm số liên tục trên khoảnglatex((-oo;2)) (1) limf(x) = limlatex((sqrt(2-x)))= 0= f(2) (2) latex(x->2^-) latex(x->2^ ) Từ (1) và (2) latex(=>) hàm số liên tục trên nửa khoảnglatex((-oo;2] Một số định lí cơ bản
Định lí 1, định lí 2:
III. MỘT SỐ ĐỊNH LI CƠ BẢN Ta thừa nhận các định lí sau đây: 1. Định lí 1 a. Hàm số đa thức liên tục trên toàn bộ tập số thực R. b. Hàm số phân thức hữu tỉ (thương của hai đa thức) và các hàm số lượng giác liên tục trên từng khoảng của tập xác định của chúng. 2. Định lí 2 Giả sử y=f(x) và y = g(x) là hai hàm số liên tục tại điểm latex(x_0). Khi đó: a. Các hàm số y=f(x) g(x), y=f(x) -g(x) và y=f(x).g(x) liên tục tại latex(x_0) b. Hàm số y = latex((f(x))/(g(x))) liên tục tại latex(x_0) nếu latex(g(x_0)!=0) Ví dụ 4:
III. MỘT SỐ ĐỊNH LI CƠ BẢN 1. Định lí 1 2. Định lí 2 * Ví dụ 4 Cho hàm số h(x) = latex({) latex((2x^2-2x)/(x-1)) nếu latex(x!=1) 5 nếu latex(x=1) Giải Tập xác định của hàm số là R Nếu latex(x!=1), thì latex(h(x) =(2x^2-2x)/(x-1)). Đây là hàm phân thức hữu tỉ có tập xác đinh làlatex((-oo;1) uu(1; oo)) Vậy nó liên tục trên mỗi khoảng latex((-oo;1)) và latex((1; oo)) Nếu x=1, ta có h(1) = 5 và: lim h(x)=limlatex((2x^2-2x)/(x-1)) = limlatex((2x(x-1))/(x-1)) = lim2x=2 latex(x->1) latex(x->1) latex(x->1) latex(x->1) Vì lim h(x)latex(1=) h(1), .Nên hàm số đã cho không liên tục tại x=1 latex(x->1) KL: Hs liên tục trên các khoảng latex((-oo;1); (1; oo) )và gián đoạn tại x=1 Định lí 3:
III. MỘT SỐ ĐỊNH LI CƠ BẢN 3. Định lí 3 Nếu hàm số y=f(x) liên tục trên đoạn [a; b] và f(a).f(b)<0 thì tồn tại ít nhất một điểm c latex(in (a;b)) sao cho f(c) =0. * Ví dụ 5 Chứng minh rằng phương trình f(x) = latex(x^3 2x -5=0) có ít nhất một nghiệm Giải Xét hàm số trên ta có: f(0)= - 5 và f(2) = 7. Do đó, f(0).f(2) < 0 Hàm số đã cho liên tục trên R, Do đó , nó liên tục trên [ 0 ; 2]. Từ đó phương trình f(x) = 0 có ít nhất một nghiệm latex(x_0 in (0; 2)) Củng cố
Bài 1:
* Bài 1 Điểm gián đoạn của hàm số: latex((13x)/(sqrt(4x^2 4x 1))
A. latex(-(1)/(2))
B. latex(1/3)
C. latex(1/2)
D. 1
Bài 2:
* Bài 2 Cho hàm số f(x)=latex((x^2 1)/(x 3)) liên tục tại:
A. x=2
B. x= latex(1/3)
C. x= latex(1/2)
D. x= 1
Bài 3:
* Bài 3 Cho hàm số f(x)=latex(x^3 2x-1) liên tục tại:
A. x=1
B. x= latex(1/2)
C. x= latex(1/4)
D. x= 3
Dặn dò và kết thúc
Dặn dò:
DẶN DÒ - Đọc kỹ lại bài đã học. - Đọc bài đọc thêm trong sgk trang 139, 140. - Làm bài tập 1 đến 6 sgk trang 140, 141. - Chuẩn bị trước bài mới. Kết thúc: