CHƯƠNG III:HÀM SỐ BẬC HAI VÀ ĐỒ THỊ.BÀI 2: HÀM SỐ BẬC HAI
Trang bìa
Trang bìa
Ảnh
CHƯƠNG III: HÀM SỐ BẬC HAI VÀ ĐỒ THỊ BÀI 2: HÀM SỐ BẬC HAI
Khởi động
Nhận diện (Bài 2: Hàm số bậc hai)
Ảnh
y= alatex(x^2) y= alatex(x^2) + bx y= alatex(x^2) + bx + c y= a(x - m)(x - n) y= alatex((x - h)^2) + k Các hàm số này có đặc điểm chung gì ?
1. Hàm số bậc 2
Bài tập 1 (Bài 2: Hàm số bậc hai)
Khai triển biểu thức của hàm số sau và sắp xếp theo thứ tự lũy thừa của x giảm dần ( nếu có thể). Hàm số nào có luỹ thừa bậc cao nhất của x là bậc hai ?
a) y = 2x(x - 3 ) b) y = x(latex(x^2) + 2) - 5 c) y = -5(x + 1)(x - 4)
Ảnh
Đáp án bài tập 1 (Bài 2: Hàm số bậc hai)
Khai triển biểu thức của hàm số sau và sắp xếp theo thứ tự lũy thừa của x giảm dần (nếu có thể). Hàm số nào có luỹ thừa bậc cao nhất của x là bậc hai?
a) y = 2x(x - 3 ) y = 2latex(x^2) - 6x b) y = x(latex(x^2) + 2) - 5 y = latex(x^3) + 2x - 5 c) y = -5(x + 1)(x - 4) y = -5latex(x^2) + 15x + 20
Bài tập 2 (Bài 2: Hàm số bậc hai)
Bài tập trắc nghiệm
Hàm số nào trong các hàm số sau là hàm số bậc hai ?
A : 2Latex(x^2) - 6x
B : Latex(x^3) + 2x - 5
C : -5Latex(x^2) + 15x + 20
Cả A và C
Khái niệm (Bài 2: Hàm số bậc hai)
Hình vẽ
Ảnh
Hàm số bậc hai theo biến x là hàm số cho bởi công thức có dạng y = f(x) = aLatex(x^2) + bx + c với a, b, c là các số thực và a khác 0 Tập xác định của hàm số bậc hai là R
Luyện tập
Bài tập trắc nghiệm
Hàm số nào trong các hàm số sau đây là hàm số bậc hai ?
A : y = 2Latex(x^2) + x
B : y = Latex(x^3) + x + 1
C : y = Latex(frac(x + 1)(x + 2))
D : y = -3Latex(x^2) - 1
E : y = Latex(sqrt(5 - 2x))
2. Đồ thị
Ví dụ a (Bài 2: Hàm số bậc hai)
Ảnh
a, Xét hàm số : y = f(x) = Latex(x^2) - 8x + 19 = Latex((x - 4)^2)+ 3 Có bảng giá trị :
Hình vẽ
x 2 3 4 5 6
f(x) 7 4 3 4 7
Trên mặt phẳng toạ độ, ta có các điểm (x,f(x)) với x thuộc bảng giá trị đã cho. Hãy vẽ đuờng cong đi qua các điểm A, B, S, C, D và nêu nhận xét về hình dạng của đuờng cong này so với đồ thị hàm số y = Latex(x^2) ở hình trên.
Ví dụ b (Bài 2: Hàm số bậc hai)
Ảnh
Hình vẽ
b, Tuơng tự, xét hàm số : y = g(x) = -Latex(x^2) + 8x - 13 = - Latex((x-4)^2) + 3 Có bảng giá trị :
x 2 3 4 5 6
g(x) -1 2 3 2 -1
Trên mặt phẳng toạ độ, ta có các điểm (x,g(x)) với x thuộc bảng giá trị đã cho. Hỹa vẽ đuờng cong đi qua các điểm A, B, S, C, D và nêu nhận xét về hình dạng của đuờng cong này so với đồ thị của hàm số y = -Latex(x^2) ở hình trên.
Kết luận 1 (Bài 2: Hàm số bậc hai)
Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, đồ thị hàm số bậc hai y = aLatex(x^2) + bx + c ( với a Latex(\ne) 0 ) là một parabol (P) : - Có đỉnh S với hoành độ Latex(x_S) = - Latex(frac(b)(2a)), tung độ Latex(y_S) = - Latex(frac(∆)(4a)); - Có trục đối xứng là đường thẳng x = - Latex(frac(b)(2a)) ( đường thẳng này đi qua đỉnh S và song song với trục Oy nếu b Latex(ne) 0, trùng với trục Oy nếu b = 0); - Có bề lõm quay lên trên nếu a > 0, quay xuống dưới nếu a < 0 - Cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng c, tức là đồ thị đi qua điểm có tọa độ (0; c).
Chú ý (Bài 2: Hàm số bậc hai)
Ảnh
Ảnh
a, Nếu b = 2b' thì (P) có đỉnh S(-Latex(frac(b^,)(a)), -Latex(frac(∆^,)(a))) b, Nếu phương trình aLatex(x^2) + bx + c = 0 có hai nghiệm Latex(x_1), Latex(x_2) thì đồ thị hàm số bậc hai y = aLatex(x^2) + bx + c cắt trục hoành tại hai điểm lần lượt có hoành độ là hai nghiệm này ( xem hình dưới )
Chú ý:
Kết luận 2 (Bài 2: Hàm số bậc hai)
1, Xác định tọa độ đỉnh S ( - Latex(frac(b)(2a)); - Latex(frac(∆)(4a))) 2, Vẽ trục đối xứng d là đường thẳng x = -Latex(frac(b)(2a)) 3, Tìm tọa độ giao điểm của đồ thị với trục tung ( điểm A(0; c)) và giao điểm của đồ thị với trục hoành ( nếu có ) Xác định thêm điểm đối xứng với A qua trục đối xứng d, là điểm B( -Latex(frac(b)(a)); c) 4, Vẽ parabol có đỉnh S, có trục đối xứng d, đi qua các điểm tìm được.
Cách vẽ đồ thị hàm số bậc hai y = aLatex(x^2) + bx + c ( Với a Latex(ne) 0 )
Bài tập (Bài 2: Hàm số bậc hai)
Vẽ đồ thị các hàm số : a, y = f(x) = -Latex(x^2) + 4x - 3
Ảnh
Giải: a, Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, đồ thị hàm số bậc hai y = f(x) = -Latex(x^2) + 4x - 3 là một parabol (P) :
- Có đỉnh S với hoành độ Latex(x_S) = 2, tung độ Latex(y_S) = 1 - Có trục đối xứng là đường thẳng x = 2( đường thẳng này đi qua đỉnh S và song song với trục Oy) - Có bề lõm quay xuống dưới vì a < 0 - Cắt trục tung tại điểm có tung độh bằng -3, tức là đồ thị đi qua điểm có tọa độ (0; -3) - Có hai nghiệm phân biệt Latex(x_1)=1 và Latex(x_2)=3 nên đồ thị cắt trục hoành tại hai điểm có tọa độ (1; 0) và (3; 0)
Bài tập (Bài 2: Hàm số bậc hai)
Ảnh
b, y = f(x) = Latex(x^2) + 2x + 2 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, đồ thị hàm số bậc hai y = f(x) = Latex(x^2) + 2x +2 là một Parabol (P) :
- Có đỉnh S với hoành độ Latex(x_S) = -1, tung độ Latex(y_S) = 1; - Có trục đối xứng là đường thẳng x = -1 ( đường thẳng này đi qua đỉnh S và song song với trục Oy); - Bề lõm quay lên trên vì a > 0; - Cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 2, tức là đồ thị đi qua điểm có tọa độ (0; 2); Ta vẽ được đồ thị như hình trên
3. Sự biến thiên
Hoạt động khám phá 3 (Bài 2: Hàm số bậc hai)
Từ đồ thị hàm số bậc hai ở hai hình sa, tìm khoảng đồng biến và nghịch biến của hàm số trong mỗi trường hợp.
Ảnh
Dựa vào đồ thị hàm số bậc hai y = alatex(x^2) + bx + c (với a Latex(ne) 0), ta có bảng tóm tắt về sự biến thiên của hàm số như sau :
Hoạt động khám phá (Bài 2: Hàm số bậc hai)
Ảnh
Dựa vào đồ thị hàm số bậc hai y = alatex(x^2) + bx + c (với a Latex(ne) 0), ta có bảng tóm tắt về sự biến thiên của hàm số như sau :
Chú ý (Bài 2: Hàm số bậc hai)
Hình vẽ
Chú ý :
Từ bảng biến thiên của hàm số bậc hai, ta thấy : - Khi a > 0, hàm số đạt giá trị nhỏ nhất bằng - Latex(frac(∆)(4a)) tại x = -Latex(frac(b)(2a)) và hàm số có tập giá trị là T = [ - Latex(frac(∆)(4a)); +latex(infty)) - Khi a < 0, hàm số đạt giá trị lớn nhất bằng - Latex(frac(∆)(4a)) tại x = -Latex(frac(b)(2a)) và hàm số có tập giá trị là T = (-latex(infty); - Latex(frac(∆)(4a))]
Ảnh
Ví dụ 3 (Bài 2: Hàm số bậc hai)
Lập bảng biến thiên của hàm số y = -latex(x^2) + 4x - 3. Hàm số này có giá trị lớn nhất hay giá trị nhỏ nhất? Tìm giá trị đó.
Giải
Đỉnh S có tọa độ : Latex(x_S) = latex(frac(-b)(2a)) = latex(frac(-4)(2.(-1)) = 2; latex(y_0) = -Latex(2^2) + 4.2 - 3 = 1; Hay S(2; 1). Vì hàm số bậc hai có a = -1 < 0 nên ta có bảng biến thiên sau :
Ảnh
Hàm số đạt giá trị lớn nhất bằng 1 khi x = 2.
Thực hành 3 (Bài 2: Hàm số bậc hai)
Tìm khoảng đồng biến, khoảng nghịch biến của hàm số y =2latex(x^2)-6x + 11. Hàm số này có thể đạt giá trị bằng -1 không? Tại sao?
Đỉnh S có tọa độ : Latex(x_S) = -Latex(frac(b)(2a)) = -Latex(frac(-6)(2.2)) = Latex(3/2); Latex(y_S) = 2.Latex((frac(3)(2))^2) - 6latex(3/2) + 11 = latex(13/2) Vì hàm số bậc hai có a = 2 > 0 nên ta có bảng biến thiên sau :
Hàm số đồng biến trên khoảng (latex(3/2); +latex(infty)) và nghịch biến trên khoảng (- latex(infty); latex(3/2)) Hàm số đạt giá trị nhỏ nhất bằng latex(13/2) khi x = Latex(3/2) Do đó hàm số không thể đạt giá trị bằng -1 vì -1 Ảnh
4. Ứng dụng
Tầm bay cao và tầm bay xa (Bài 2: Hàm số bậc hai)
Ảnh
Trong môn cầu lông, khi phát cầu, người chơi cần đánh cầu qua khỏi lưới sang phía sân đối phương và không được để cho cầu rơi ngoài biên.
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, chọn điểm có tọa độ (0; latex(y_0)) là điểm phát cầu thì phương trình quỹ đạo của quả cầu khi rơi khỏi mặt vợt là : y = Latex(frac(-g.(x^2))(2.(v_0)^2. cos^2alpha))+ (tanlatex(alpha))x + latex(y_0)
Tầm bay cao và tầm bay xa (Bài 2: Hàm số bậc hai)
Trong đó :
- g là gia tốc trọng trường ( thường được chọn là 9,8 m / latex(s^2)) - Latex(alpha) là góc phát cầu ( so với phương ngang của mặt đất ) - latex(v_0) là vận tốc ban đầu của cầu - latex(y_0) là khoảng cách từ vị trí phát cầu đến mặt đất. Đây là một hàm số bậc hai nên quỹ đạo chuyển động của quả cầu là một Parabol.
Ảnh
Bài toán ứng dụng (Bài 2: Hàm số bậc hai)
Một người đang tập chơi cầu lông có khuynh hướng phát cầu với góc 30latex(circ) ( so với mặt đất ). a, Hãy tinh khoảng cách từ vị trí người này đến vị trí cầu rơi chạm đất ( tầm bay xa ), biết cầu rời mặt vợt ở độ cao 0,7 m so với mặt đất và vận tốc ban đầu của cầu là 8 m/s ( bỏ qua sức cản của gió và xem quỹ đạo của cầu luôn nằm trong mặt phẳng đứng ). b, Giữ giả thiết như câu a, và cho biết khoảng cách từ vị trí phát cầu đến lưới là 4 m. Lần phát cầu này có bị xem là hỏng không ? Tại sao? - Mép trên của lưới cầu lông cách mặt đất 1,524 m; - Gia tốc trọng trường được chọn là 9,8 m / latex(s^2)
- Giải câu a (Bài 2: Hàm số bậc hai)
a, Chọn hệ trục tọa độ như hình ( vị trí rơi cầu thuộc trục hoành và vị trí cầu rời mặt vợt thuộc trục tung ).
Ảnh
Với g = 9,8 m / latex(s^2), góc phát cầu latex(alpha) = 30latex(circ), vận tốc ban đầu latex(v_0) = 8 m /s, phương trình quỹ đạo của cầu là : y = -latex(frac(4,9)(48)x^2 + sqrt(3)/3x + 0,7 ( với x >= 0 ) . Vị trí cầu rơi chạm đất là giao điểm của parabol và trục hoành nên giải phương trình : -latex(frac(4,9)(48)x^2 + sqrt(3)/3x + 0,7 = 0 ta được x_1 approx -1,03 và x_2 approx 6,68. Giá trị nghiệm cho ta khoảng cách từ vị trí người chơi cầu lông đến vị trí cầu rơi chạm đất là 6,68 m.
- Giải câu b (Bài 2: Hàm số bậc hai)
b, Khi cầu bay tới vị trí lưới phân cách, nếu nó ở bên trên mặt lưới và điểm rơi không ra khỏi đường biên phía bên sân đối phương thì lần phát cầu mới được xem là hợp lệ. Ta cần so sánh tung độ của điểm trên quỹ đạo ( có hoành độ bằng khoảng cách từ gốc tọa độ đến chân dưới phân cách ) với chiều cao mép trên của lưới để tìm câu trả lời.
Ảnh
Khi x = 4, ta có y = -latex(4,9/48) . latex(4^2) + Latex(sqrt(3)/3).4 + 0,7 latex(approx) 1,38. Suy ra y < 1,524 Như vậy lần phát cầu đã bị hỏng vì điểm trên quỹ đạo của cầu thấp hơn mép trên của lưới.
Vận dụng (Bài 2: Hàm số bậc hai)
Trong bài tooán ứng dụng, khi chơi trên sân cầu lông đơn, các lần phát cầu với thông tin như sau có được phép là hợp lệ không ? ( Các thông tin không được đề cập thì vẫn giữ như trong giả thiết bài toán trên ).
Ảnh
a, Vận tốc ban đầu của cầu là 12 m/s. b, Vị trí phát cầu cách mặt đất 1,3 m . Lưu ý : Các thông số về sân cầu lông đơn được cho trong hình.
5. Kết thúc
Tạm biệt
Ảnh