BÀI 25: HAI MẶT PHẲNG VUÔNG GÓC
Trang bìa
Trang bìa
Ảnh
TOÁN 11:
BÀI 25: HAI MẶT PHẲNG VUÔNG GÓC
1. Góc giữa hai mặt phẳng, hai mặt phẳng vuông góc
- HĐ1
1. Góc giữa hai mặt phẳng, hai mặt phẳng vuông góc
HĐ1: Cho hai mặt phẳng (P) và (Q). Lấy hai đường thẳng a, a' cùng vuông góc với (P), hai đường thẳng b, b' cùng vuông góc với (Q). Tìm mối quan hệ giữa các góc (a, b) và (a', b').
Ảnh
- Kết luận
- Kết luận:
Ảnh
* Cho hai mặt phẳng (P) và (Q). Lấy các đường thẳng a, b tương ứng vuông góc với (P), (Q). Khi đó, góc giữa a và b không phụ thuộc vào vị trí của a, b và được gọi là góc giữa hai mặt phẳng (P) và (Q). * Hai mặt phẳng (P) và (Q) được gọi là vuông góc với nhau nếu góc giữa chúng bằng latex(90@).
Chú ý: Nếu latex(phi) là góc giữa hai mặt phẳng (P) và (Q) thì latex(0 <= phi <= 90@)
- Câu hỏi mở rộng
- Câu hỏi mở rộng:
Ảnh
Góc giữa hai mặt phẳng bằng 0° khi nào, khác 0° khi nào?
- Ví dụ 1
Ví dụ 1: Cho hai mặt phẳng (P) và (Q) cắt nhau theo giao tuyến latex(Delta). Lấy một điểm bất kì thuộc đường thẳng latex(Delta). Gọi m, n là các đường thẳng đi qua, tương ứng thuộc (P), (Q) và vuông góc vơi latex(Delta). CMR: Góc giữa (P) và (Q) bằng góc giữa m và n.
Ảnh
- Giải (- Ví dụ 1)
Ảnh
- Giải:
Trong mặt phẳng chứa m, n lấy một điểm E không thuộc các đường thẳng m, n. Gọi A, B tương ứng là hình chiếu của E trên m, n. Khi đó latex(Delta) vuông góc với các đường thẳng EA, EB. Do latex(EA _|_m, EB _|_Delta) nên latex(EA _|_(P)). Tương tự, latex(EB_|_(Q)). Do đó, góc giữa (P) và (Q) bằng góc giữa EA và EB. Do latex(angle(OAE) = 90@ = angle(OBE)) nên bốn điểm O, A, E, B thuộc một đường tròn. Do đó, latex(angle(AOB)) và latex(angle(AEB)) bằng hoặc bù nhau, tức là (EA, EB) = (m, n). Vậy góc giữa (P) và (Q) bằng góc giữa m và n.
- Nhận xét
- Nhận xét:
Cho hai mặt phẳng (P) và (Q) cắt nhau theo giao tuyến latex(Delta). Lấy hai đường thẳng m, n tương ứng thuộc (P), (Q) và cùng vuông góc với latex(Delta) tại một điểm O (nói cách khác, lấy một mặt phẳng vuông góc với latex(Delta), cắt (P), (Q) tương ứng theo các giao tuyến m, n). Khi đó, góc giữa (P) và (Q) bằng góc giữa m và n. Đặc biệt, (P) vuông góc với (Q) khi và chỉ khi m vuông góc với n.
Ảnh
Ảnh
- Luyện tập 1
- Luyện tập 1:
Ảnh
Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là một hình chữ nhật có tâm O, SO ⊥ (ABCD). CMR: Hai mặt phẳng (SAC) và (SBD) vuông góc với nhau khi và chỉ khi ABCD là một hình vuông.
2. Điều kiện hai mặt phẳng vuông góc
- HĐ2
2. Điều kiện hai mặt phẳng vuông góc
HĐ2: Cho mặt phẳng (P) chứa đường thẳng b vuông góc với mặt phẳng (Q). Lấy một đường thẳng a vuông góc với (P). (H.7.47). a) Tính góc giữa a và b. b) Tính góc giữa (P) và (Q).
Ảnh
Ảnh
- Kết luận
- Kết luận:
Ảnh
Hai mặt vuông góc với nhau nếu mặt phẳng này chứa một đường thẳng vuông góc với mặt phẳng kia.
- Ví dụ 2
Ảnh
Ví dụ 2: Cho tứ diễn OABC có OA vuông góc với OB và OC. CMR: Mặt phẳng (OAB) và (OAC) cùng vuông góc với mặt phẳng (OBC).
- Giải:
Do OA vuông góc với OB và OC nên latex(OA _|_(OBC)). Mặt khác, các mặt phẳng (OAB), (OAC) chứa OA. Do đó chúng cùng vuông góc với mặt phẳng (OBC).
- Luyện tập 2
- Luyện tập 2:
Ảnh
Trong HĐ1 của Bài 23, ta đã nhận ra rằng đường thẳng nối các bản lề của cửa phòng vuông góc với sàn nhà. Hãy giải thích vì sao trong quá trình đóng - mở, cánh cửa luôn vuông góc với sàn nhà.
3. Tính chất hai mặt phẳng vuông góc
- HĐ3
3. Tính chất hai mặt phẳng vuông góc
HĐ3: Cho hai mặt phẳng (P) và (Q) vuông góc với nhau. Kẻ đường thẳng a thuộc (P) và vuông góc với giao tuyến ∆ của (P) và (Q). Gọi O là giao điểm của a và ∆. Trong mặt phẳng (Q), gọi b là đường thẳng vuông góc với ∆ tại O.
Ảnh
Ảnh
Ảnh
- Kết luận
- Kết luận:
Ảnh
Với hai mặt phẳng vuông góc với nhau, bất kì đường thẳng nào nằm trong mặt phẳng này mà vuông góc với giao tuyến cũng vuông góc với mặt phẳng kia.
- Nhận xét
- Nhận xét:
Ảnh
Cho hai mặt phẳng (P) và (Q) vuông góc với nhau. Mỗi đường thẳng qua điểm O thuộc (P) và vuông góc với mặt phẳng (Q) thì đường thẳng đó thuộc mặt phẳng (P).
- HĐ4
HĐ4: Cho hai mặt phẳng (P) và (Q) cắt nhau theo giao tuyến a và cùng vuông góc với mặt phẳng (R). Gọi O là một điểm thuộc a và a' là đường thẳng qua O và vuông góc với (R). a) Hỏi a' có nằm trong các mặt phẳng (P), (Q) hay không? b) Tìm mối quan hệ giữa a và a'. c) Tìm mối quan hệ giữa a và (R).
Ảnh
Ảnh
Ảnh
Ảnh
- Kết luận
- Kết luận:
Ảnh
Nếu hai mặt phẳng cắt nhau và cùng vuông góc với một mặt phẳng thứ ba thì giao tuyến của chúng vuông góc với mặt phẳng thứ ba đó.
- Ví dụ 3
Ảnh
Hình vẽ
VD 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hcn và latex(SA _|_(ABCD)). Gọi B', C', D' tương ứng là hình chiếu của A trên SB, SC, SD. CMR:
a) latex((SBC) _|_ (SAB)), AB' latex(_|_(SBC)), AD' latex(_|_(SCD)). b) Các điểm A, B', C', D' cùng thuộc một mặt phẳng.
- Giải
Ảnh
- Giải:
a) Vì latex(BC _|_ SA) và latex(BC _|_AB) nên latex(BC_|_(SAB)). Do đó, latex((SBC)_|_(SAB)). Đường thẳng AB' thuộc (SAB) và vuông góc với SB nên AB' latex(_|_(SBC)). Tương tự AD' latex(_|_(SCD)). b) Từ a) ta có: AB' latex(_|_SC), AD' latex(_|_SC). Các đường thẳng AB', AC', AD' cùng đi qua A và vuông góc với SC nên cùng thuộc một mặt phẳng. Do đó bốn điểm A, B', C', D' cùng thuộc một mặt phẳng.
Ảnh
- Luyện tập 3
Ảnh
- Luyện tập 3:
Với giả thiết như ở Ví dụ 3, Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật và SA ⊥ (ABCD). Gọi B', C', D' tương ứng là hình chiếu của A trên SB, SC, SD. Chứng minh rằng: a) Các mặt phẳng (AB'C'D') và (ABCD) cùng vuông góc với (SAC);
b) Giao tuyến của hai mặt phẳng (AB'C'D') và (ABCD) là đường thẳng đi qua A, nằm trong mặt phẳng (ABCD) và latex(_|_) AC.
4. Góc nhị diện
- HĐ5
4. Góc nhị diện
Ảnh
a) Theo tài liệu nói trên, góc nào trong hình bên có số đo từ 100° đến 105°.
HĐ5: Một tài liệu hướng dẫn rằng đối với ghế bàn ăn, nên thiết kế lưng ghế tạo với mặt ghế một góc có số đo từ 100° đến 105°. Trong H7.51, các tia Ox, Oy được vẽ tương ứng trên mặt ghế, lưng ghế đồng thời vuông góc với giao tuyến a của mặt ghế và lưng ghế.
b) Nếu thiết kế theo hướng dẫn đó thì góc giữa mặt phẳng chứa mặt ghế và mặt phẳng chứa lưng ghế có thể nhận số đo từ bao nhiêu đến bao nhiêu độ?
- Kết luận a)
- Kết luận:
Ảnh
a) Hình gồm hai mặt phẳng (P), (Q) có chung bờ a được gọi là một góc nhị diện, kí hiệu là [P, a, Q]. Đường thẳng a và các nửa mặt phẳng (P), (Q) tương ứng được gọi là cạnh và các mặt của góc nhị diện đó.
Ảnh
Mỗi đường thẳng a trong mặt một mặt phẳng chia mặt phẳng thành hai phần, mỗi phần cùng với a là một nửa mặt phẳng bờ a.
- Kết luận b)
- Kết luận:
Từ một điểm O bất kì thuộc cạnh a của góc nhị diện [P, a, Q], vẽ các tia Ox, Oy tương ứng thuộc (P), (Q) và vuông góc với a. Góc xOy được gọi là một góc phẳng của góc nhị diện [P, a, Q] (gọi tắt là góc phẳng nhị diện). Số đo của góc xOy không phụ thuộc vào vị trí của O trên a, được gọi tắt là số đo của góc nhị diện [P, a, Q].
Ảnh
Ảnh
Mặt phẳng chứa góc phẳng nhị diện xOy của [P, a, Q] latex(_|_) a.
- Chú ý
- Chú ý:
* Số đo của góc nhị diện có thể nhận giá trị từ latex(0@) đến latex(180@). Góc nhị diện được gọi là vuông, nhọn, tù nếu nó có số đo tương ứng bằng, nhỏ hơn, lớn hơn latex(90@). * Đối với hai điểm M, N không thuộc đường thẳng a, KH: [M, a, N] là góc nhị diện có cạnh a và các mặt tương ứng chứa M, N. * Hai mặt phẳng cắt nhau tạo thành bốn góc nhị diện. Nếu một trong bốn góc nhị diện đó là góc nhị diện vuông thì các góc nhị diện còn lại cũng là góc nhị diện vuông.
Ảnh
- Ví dụ 4
Ảnh
Ví dụ 4: Cho hình chóp S.ABCD có SA latex(_|_(ABCD)), đáy ABCD là hình thoi có cạnh bằng a, AC = a, latex(SA = 1/2 a). Gọi O là giao điểm của hai đường chéo hình thoi ABCD và H là hình chiếu của O trên SC. a) Tính số đo của các góc nhị diện [B, SA, D]; [S, BD, A]; [S, BD, C]. b) CMR: latex(angle(BHD)) là một góc phẳng của nhị diện [B, SC, D].
- Luyện tập 4
Ảnh
- Luyện tập 4:
Cho hình chóp S.ABC có SA ⊥ (ABC), AB = AC = a, latex(angle(BAC) = 120@), latex(SA = a/(2sqrt3)). Gọi M là trung điểm của BC.
a) CMR: latex(angle(SMA)) là một góc phẳng của góc nhị diện [S, BC, A]. b) Tính số đo của góc nhị diện [S, BC, A].
- Vận dụng 1
- Vận dụng 1:
Ảnh
Hãy tính số đo của góc nhị diện có hai nửa mặt phẳng tương ứng chứa cánh, khung cửa khi d = 40 cm.
Trong cửa sổ ở Hình 7.56, cánh và khung cửa là các nửa hình tròn có đường kính 80 cm, bản lề được đính ở điểm chính giữa O của các cung tròn khung và cánh cửa. Khi cửa mở, đường kính của khung và đường kính của cánh song song với nhau và cách nhau một khoảng d; khi cửa đóng, hai đường kính đó trùng nhau.
5. Một số hình lăng trụ đặc biệt
a. Hình lăng trụ đứng
Ảnh
5. Một số hình lăng trụ đặc biệt
a. Hình lăng trụ đứng
Hình lăng trụ đứng là hình lăng trụ có các cạnh bên vuông góc với mặt đáy.
- HĐ6 (a. Hình lăng trụ đứng)
Ảnh
HĐ6: Các mặt bên của lăng trụ đứng là các hình gì và các mặt bên đó có vuông góc với mặt đáy không? Vì sao?
- Nhận xét
Ảnh
Hình vẽ
Ảnh
- Nhận xét:
Hình lăng trụ đứng có các mặt bên là các cạnh hình chữ nhật và vuông góc với mặt đáy.
b. Hình lăng trụ đều
Ảnh
b. Hình lăng trụ đều
Hình lăng trụ đều là hình lăng trụ đứng có đáy là đa giác đều.
- HĐ7 (b. Hình lăng trụ đều)
Ảnh
HĐ7: Các mặt bên của hình lăng trụ đều có phải là các hình chữ nhật có cùng kích thước hay không? Vì sao?
- Nhận xét
Ảnh
Hình vẽ
- Nhận xét:
Ảnh
Hình lăng trụ đều có các mặt bên là các hình chữ nhật có cùng kích thước.
c. Hình hộp đứng
Ảnh
c. Hình hộp đứng
Hình hộp đứng có các mặt bên là các hình chữ nhật.
- HĐ8
Ảnh
HĐ8: Trong 6 mặt của hình hộp đứng, có ít nhất bao nhiêu mặt là hình chữ nhật? Vì sao?
- Nhận xét
Ảnh
Hình vẽ
- Nhận xét:
Ảnh
Hình hộp đứng có các mặt bên là các hình chữ nhật.
d. Hình hộp chữ nhật
Ảnh
d. Hình hộp chữ nhật
Hình hộp chữ nhật là hình hộp đứng có đáy là hình chữ nhật.
- HĐ9
Ảnh
HĐ9:a) Hình hộp chữ nhật có bao nhiêu mặt là hình chữ nhật? Vì sao? b) Các đường chéo của hình hộp chữ nhật có bằng nhau và cắt nhau tại trung điểm mỗi đường hay không? Vì sao?
- Nhận xét
Hình vẽ
- Nhận xét:
Hình hộp chữ nhật có các mặt bên là hình chữ nhật. Các đường chéo của hình hộp chữ nhật có độ dài bằng nhau và chúng cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.
Ảnh
- Ví dụ 5
Ví dụ 5: Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D'. CMR: AA'C'C là một hình chữ nhật.
Ảnh
- Giải:
Ta có AA' = C'C và AA' // CC' (AA', CC' cùng bằng và // DD'). => ACC'A' là một hình bình hành. Mặt khác, AA' latex(_|_) (A'B'C'D') nên AA' latex(_|_) A'C'. => ACC'A' là một hình chữ nhật.
e. Hình lập phương
Ảnh
e. Hình lập phương
Hình lập phương là hình hộp chữ nhật có tất cả các cạnh bằng nhau.
- HĐ10
Ảnh
HĐ10:Các mặt của một hình lập phương là các hình gì? Vì sao?
- Nhận xét
Ảnh
Hình vẽ
- Nhận xét:
Hình lập phương có các mặt là hình vuông.
Ảnh
- Chú ý
- Chú ý:
Ảnh
Khi đáy của hình lăng trụ đứng (đều) là tam giác, tứ giác, ngũ giác,... đôi khi ta cũng tương ứng gọi rõ là hình lăng trụ đứng (đều) tam giác, tứ giác, ngũ giác,...
- Ví dụ 6
Ví dụ 6: Cho hình lập phương ABCD. A'B'C'D'. Chứng minh rằng A'BD là tam giác đều.
Ảnh
- Giải:
Gọi a là độ dài các cạnh của hình lập phương. Do các mặt của hình lập phương là các hình vuông nên: A'D = latex(sqrt(A A^2 + AD^2) = asqrt2); BD = latex(sqrt(AB^2 + AD^2) = asqrt2); A'B = latex(sqrt(A A^2 + AB^2) = asqrt2); Tam giác A'BC có ba cạnh bằng nhau nên là tam giác đều.
'
'
- Vận dụng 2
- Vận dụng 2:
Từ một tấm tôn hình chữ nhật, tại 4 góc bác Hùng cắt bỏ đi 4 hình vuông có cùng kích thước và sau đó hàn gắn các mép tại các góc như Hình 7.65. Giải thích vì sao bằng cách đó, bác Hùng nhận được chiếc thùng không nắp có dạng hình hộp chữ nhật.
Ảnh
Ảnh
6. Hình chóp đều và hình chóp cụt
- HĐ11
6. Hình chóp đều và hình chóp cụt
HĐ11: Tháp lớn tại Bảo tàng Louvre ở Paris (H.7.66) (với kết cấu kính và kim loại) có dạng hình chóp với đáy là hình vuông có cạnh bằng 34 m, các cạnh bên bằng nhau và có độ dài xấp xỉ 32,3 m (theo Wikipedia.org). Giải thích vì sao hình chiếu của đỉnh trên đáy là tâm của đáy tháp.
Ảnh
Ảnh
- Kết luận
Ảnh
- Kết luận:
Hình chóp đều là hình chóp có đáy là đa giác đều và các cạnh bên bằng nhau.
- Chú ý
- Chú ý:
Ảnh
Tương tự như đối với hình chóp, khi đáy của hình tam giác đều, hình vuông, ngũ giác đều,... đôi khi ta cũng gọi rõ chúng tương ứng là hình chóp tam giác đều, tứ giác đều, ngũ giác đều,...
- HĐ12
Ảnh
HĐ12: Cho hình chóp latex(S.A_1A_2…A_n). Gọi O là hình chiếu của S trên mặt phẳng latex((A_1A_2…A_n)) (H.7.67). a) Trong trường hợp hình chóp đã cho là đều, vị trí của điểm O có gì đặc biệt đối với đa giác đều latex(A_1A_2…A_n)? b) Nếu đa giác latex(A_1A_2…A_n) là đều và O là tâm của đa giác đó thì hình chóp đã cho có gì đặc biệt?
Ảnh
- Kết luận
Ảnh
- Kết luận:
Một hình chóp là đều khi và chỉ khi đáy của nó là một hình đa giác đều và hình chiếu của nó trên mặt phẳng đáy là tâm của mặt đáy.
- Ví dụ 7
Ảnh
Ví dụ 7: Chứng minh rằng một hình chóp là đều khi và chỉ khi đáy của nó là một đa giác đều và các cạnh bên tạo với mặt phẳng đáy các góc bằng nhau.
- Luyện tập 5
- Luyện tập 5:
Ảnh
Cho hình chóp tam giác đều S.ABC, cạnh đáy bằng a, cạnh bên bằng latex(a sqrt(5/12)). Tính số đo góc nhị diện [S, BC, A].
- HĐ13
Ảnh
HĐ13: Cho hình chóp đều latex(S.A_1A_2…A_n). Một mặt phẳng không đi qua S và // với mặt phẳng đáy, cắt các cạnh latex(SA_1,SA_2,…,SA_n) tương ứng tại latex(B_1,B_2,…,B_n) (H.7.69). a) Giải thích vì sao latex(S.B_1B_2…B_n) là một hình chóp đều. b) Gọi H là tâm của đa giác latex(A_1A_2…A_n). Chứng minh rằng đường thẳng SH đi qua tâm K của đa giác đều latex(B_1B_2....B_n) và HK vuông góc với các mặt phẳng latex((A_1A_2....A_n), (B_1B_2....B_n)).
- Kết luận
Ảnh
- Kết luận:
Ảnh
- Câu hỏi mở rộng
- Câu hỏi mở rộng:
Ảnh
Hình chóp cụt đều có các cạnh bên bằng nhau hay không?
Luyện tập và vận dụng
Bài 1
Ảnh
Hình vẽ
Bài 1: Cho hình chóp S.ABC có SA ⊥ (ABC). Gọi H là hình chiếu của A trên BC. a) CMR: (SAB) ⊥ (ABC) và (SAH) ⊥ (SBC). b) Giả sử tam giác ABC vuông tại A, latex(angle(ABC) = 30@), latex(AC = a, SA = (a sqrt3)/2). Tính số đo của góc nhị diện [S, BC, A].
Bài 2 (- Luyện tập và vận dụng)
Ảnh
Hình vẽ
Bài 2:Cho hình chóp đều S.ABC, đáy có cạnh bằng a, cạnh bên bằng b. a) Tính sin của góc tạo bởi cạnh bên và mặt đáy. b) Tính tang của góc giữa mặt phẳng chứa mặt đáy và mặt phẳng chứa mặt bên.
Bài 3 (- Luyện tập và vận dụng)
Bài 3: Hai mái nhà trong Hình 7.72 là hai hình chữ nhật. Giả sử AB = 4,8 m; OA = 2,8 m; OB = 4 m. a) Tính (gần đúng) số đo của góc nhị diện tạo bởi hai nửa mặt phẳng tương ứng chứa hai mái nhà. b) CMR: Mặt phẳng (OAB) vuông góc với mặt đất phẳng. c) Điểm A ở độ cao (so với mặt đất) hơn điểm B là 0,5 m. Tính (gần đúng) góc giữa mái nhà (chứa OB) so với mặt đất.
Ảnh
Dặn dò
- Dặn dò
Ảnh
Ôn lại kiến thức vừa học. Hoàn thành các bài còn lại SGK và SBT. Chuẩn bị bài sau: "Bài 26: Khoảng cách".
Dặn dò
- Cảm ơn
Ảnh
CẢM ƠN CÁC EM ĐÃ LẮNG NGHE BÀI HỌC !