CHƯƠNG 8. BÀI 3. HAI MẶT PHẲNG VUÔNG GÓC
Trang bìa
Trang bìa
Hình vẽ
CHƯƠNG 8. BÀI 3. HAI MẶT PHẲNG VUÔNG GÓC
TOÁN 11
Ảnh
Khởi động
Khởi động
Ảnh
Khởi động
Trong thực tế người ta thường nói mặt ngang và mặt đứng của các bậc thang vuông góc với nhau. Vậy thế nào là hai mặt phẳng vuông góc?
Ảnh
Ảnh
Ảnh
Góc giữa hai mặt phẳng
Khám phá 1
1. Góc giữa hai mặt phẳng
a) Khám phá 1:
a, Có thể xác định góc giữa hai cánh cửa nắp hầm (Hình 1) bằng cách sử dụng góc giữa hai cây chống vuông góc với mỗi cánh hay không?
Ảnh
Ảnh
b, Thế nào là góc giữa hai mặt phẳng? Tại sao thiết bị trong Hình 2 lại có thể đo được góc giữa mặt phẳng nghiêng (Q) và mặt đất (P).
Ảnh
Ảnh
Ảnh
Ảnh
1. Góc giữa hai mặt phẳng
Giải:
a, Có thể xác định góc giữa hai cánh cửa nắp hầm bằng cách sử dụng góc giữa hai cây chống vuông góc với mỗi cánh. b, Góc giữa hai mặt phẳng là góc giữa hai đường thẳng lần lượt vuông góc với hai mặt phẳng đó. Khi đặt thiết bị lên mặt phẳng nghiêng (Q) thì OM vuông góc với mặt phẳng nghiêng (Q), ON vuông góc với mặt đất (P). Khi đo góc giữa OM và ON chính là góc giữa (Q) và (P).
Ảnh
Ảnh
Ảnh
Định nghĩa
Ảnh
1. Góc giữa hai mặt phẳng
b, Định nghĩa:
Góc giữa hai mặt phẳng (α) và (β) là góc giữa hai đường thẳng lần lượt vuông góc với (α) và (β), kí hiệu ((α),(β)). Ta có: ((α),(β)) = (m,n) với m⊥(α), n⊥(β) .
Ảnh
Ảnh
Ví dụ 1
1. Góc giữa hai mặt phẳng
c) Ví dụ 1:
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O, cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy. Tính góc giữa hai mặt phẳng: a, (SAC) và (SAD) b, (SAB) và (SAD)
Ảnh
Ảnh
Ảnh
Ảnh
Ảnh
Ảnh
1. Góc giữa hai mặt phẳng
Giải:
a, Ta có: BO⊥SA và BO⊥AC, suy ra BO⊥(SAC) BA⊥SA và BA⊥AD, suy ra BA⊥(SAD). Do đó, nếu gọi góc giữa hai mặt phẳng (SAC) và (SAD) là a thì a = (BO, BA) = Góc ABO = 45° b, Ta có: CB⊥SA và CB⊥AB, suy ra CB⊥(SAB) CD⊥SA và CD⊥AD, suy ra CD⊥(SAD). Do đó, nếu gọi góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SAD) là ẞ thì ẞ = (CB, CD) = Góc BCD = 90°
Ảnh
Ảnh
Ảnh
Hai mặt phẳng vuông góc
Khám phá 2
2. Hai mặt phẳng vuông góc
a) Khám phá 2:
Từ một điểm O vẽ hai tia Ox và Oy lần lượt vuông góc với hai bức tường trong phòng. Đo góc xOy.
Ảnh
Giải:
Sử dụng thước êke hoặc thước đo góc, ta đo được góc xOy = 90°.
Ảnh
Ảnh
Định nghĩa
Ảnh
2. Hai mặt phẳng vuông góc
b) Định nghĩa:
Hai mặt phẳng được gọi là vuông góc với nhau nếu góc giữa hai mặt phẳng đó là một góc vuông. Hai mặt phẳng (P) và (Q) vuông góc được kí hiệu là (P)⊥(Q).
Ảnh
Ảnh
Ảnh
Khám phá 3
Ảnh
2. Hai mặt phẳng vuông góc
c) Khám phá 3:
Cho hai mặt phẳng (P) và (Q) cắt nhau theo giao tuyến d, điểm M không thuộc (P) và (Q). Gọi H và K lần lượt là hình chiếu vuông góc của M lên (P) và (Q). Gọi là giao điểm của d và (MHK) (Hình 8). a, Giả sử (P) ⊥ (Q), hãy cho biết tứ giác MHOK là hình gì? Tìm trong (P) đường thẳng vuông góc với (Q). b, Giả sử (P) chứa đường thẳng a với a ⊥ (Q), hãy cho biết tứ giác MHOK là hình gì? Tính góc giữa (P) và (Q).
Ảnh
Ảnh
Ảnh
2. Hai mặt phẳng vuông góc
Giải:
a, Vì MH ⊥ (Q) nên MH ⊥ (OH) MK ⊥ (Q) nên MK ⊥ OK Mà (P) ⊥ (Q) nên HM ⊥ MK. Tứ giác MHOK có góc MHO = góc MKO = góc HMK = 90° Vậy tứ giác MHOK là hình chữ nhật. Trong (P) có OH ⊥ (Q).
b, Ta có: a⊥(Q) MH⊥(P) ⇒ MH⊥a ⇒ MH // OK Lại có MH ⊥ (P) nên OK ⊥ (P) ⇒ OK ⊥ OH Tứ giác MHOK có góc MHO = góc MKO = góc HOK = 90° Vậy tứ giác MHOK là hình chữ nhật. ((P), (Q)) = (MH, MK) = góc HMK =90°
Ảnh
Ảnh
Ảnh
Định lí 1: Điều kiện để hai mặt phẳng vuông góc
Ảnh
Ảnh
d) Định lí 1: Điều kiện để hai mặt phẳng vuông góc
2. Hai mặt phẳng vuông góc
Điều kiện cần và đủ để hai mặt phẳng vuông góc là mặt phẳng này chứa một đường thẳng vuông góc với mặt phẳng kia.
Ảnh
Ví dụ 2
2. Hai mặt phẳng vuông góc
e) Ví dụ 2:
Cho tứ diện ABCD có AB, AC, AD đôi một vuông góc với nhau. Chứng minh rằng các mặt phẳng (ABC), (BAD), (CAD) đôi một vuông góc với nhau.
Giải:
Ta có AB⊥AC, AB⊥AD LATEX(rArr) AB⊥(CAD) LATEX(rArr) (ABC)⊥(CAD), (BAD)⊥(CAD). Tương tự ta cũng có CA⊥AB, CA⊥ AD LATEX(rArr) CA⊥(BAD), (CAD)⊥(BAD). Vậy các mặt phẳng (ABC), (BAD), (CAD) từng đôi một vuông góc với nhau.
Ảnh
Ảnh
Ảnh
Thực hành 1
2. Hai mặt phẳng vuông góc
f) Thực hành 1:
Cho hình chóp S.ABCD có các cạnh bên bằng nhau và đáy là hình vuông. Chứng minh rằng: a, (SAC) ⊥ (ABCD) . b, (SAC) ⊥ (SBD).
Ảnh
Ảnh
Ảnh
Ảnh
Ảnh
Ảnh
2. Hai mặt phẳng vuông góc
Giải:
a, Gọi O = AC BD • ΔSAC cân tại S nên SO ⊥ AC (1) • ΔSBD cân tại S ⇒ SO ⊥ BD (2) Từ (1) và (2) suy ra SO ⊥ (ABCD) Ta có: SO⊥(ABCD) SO⊂(SAC) ⇒ (SAC)⊥(ABCD)
b, Vì ABCD là hình vuông nên AC ⊥ BD. Mà SO ⊥ AC nên AC ⊥ (SBD). Ta lại có: AC⊂(SAC) Do đó (SAC) ⊥ (SBD).
Ảnh
Ảnh
Ảnh
Ảnh
Vận dụng 1
Ảnh
2. Hai mặt phẳng vuông góc
g) Vận dụng 1:
Mô tả cách kiểm tra một bức tường vuông góc với mặt sàn bằng hai cái êke trong Hình 10.
Ảnh
Giải:
Đặt êke sao cho hai cạnh góc vuông của hai êke chạm nhau tạo thành một đường thẳng, hai cạnh còn lại của hai êke sát với mặt sàn. Nếu đường thẳng đó nằm sát với bức tường thì bức tường vuông góc với mặt sàn.
Ảnh
Tính chất cơ bản về hai mặt phẳng vuông góc
Khám phá 4
3. Tính chất cơ bản về hai mặt phẳng vuông góc
a) Khám phá 4:
Cho đường thẳng a vuông góc với mặt phẳng (Q). Mặt phẳng (P) chứa a và cắt (Q) theo giao tuyến c. Trong (Q) ta vẽ đường thẳng b vuông góc với c. Hỏi: a, (P) có vuông góc với (Q) không? b, Đường thẳng b vuông góc với (P) không?
Ảnh
Ảnh
Ảnh
Ảnh
3. Tính chất cơ bản về hai mặt phẳng vuông góc
Giải:
a, Ta có: a⊥(Q) a⊂(P) ⇒ (P)⊥(Q) b, Ta có: a⊥(Q) b⊂(Q) ⇒ a⊥b b⊥c a, c⊂(P) ⇒ b⊥(P)
Ảnh
Ảnh
Ảnh
Ảnh
Ảnh
Ảnh
Định lí 2
Ảnh
3. Tính chất cơ bản về hai mặt phẳng vuông góc
b) Định lí 2:
Nếu hai mặt phẳng vuông góc với nhau thì bất cứ đường thẳng nào nằm trong mặt phẳng này và vuông góc với giao tuyến cũng vuông góc với mặt phẳng kia.
Ảnh
Ảnh
Ảnh
Ví dụ 3
3. Tính chất cơ bản về hai mặt phẳng vuông góc
c) Ví dụ 3:
Cho hình chóp S.ABC có SAB là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng (ABC). Gọi M là trung điểm của AB. Chứng minh SM⊥(ABC).
Ảnh
Giải:
Theo đề bài ta có (SAB)⊥(ABC). Ta có tam giác SAB đều và M là trung điểm của AB, suy ra SM⊥AB. Đường thẳng SM nằm trong (SAB) và vuông góc với giao tuyến AB của hai mặt phẳng (SAB) và (ABC). Từ đó suy ra SM⊥(ABC).
Ảnh
Khám phá 5
3. Tính chất cơ bản về hai mặt phẳng vuông góc
d) Khám phá 5:
Cho hai mặt phẳng (P) và (Q) cùng vuông góc với mặt phẳng (R). Gọi a là giao tuyến của (P) và (Q). Lấy điểm M trong (R), vẽ hai đường thẳng MH và MK lần lượt vuông góc với (P) và (Q). Hỏi: a, Hai đường thẳng MH và MK có nằm trong (R) không? b, Đường thẳng a có vuông góc với (R) không?
Ảnh
Ảnh
Ảnh
Ảnh
3. Tính chất cơ bản về hai mặt phẳng vuông góc
Giải:
a, Ta có: M∈(R) MH⊥(P) (R)⊥(P) ⇒ MH⊂(R) M∈(R) MK⊥(P) (R)⊥(P) ⇒ MK⊂(R) Vậy hai đường thẳng MH và MK có nằm trong (R).
b, Ta có: MH⊥(P) ⇒ MH⊥a MK⊥(Q) ⇒ MK⊥a MH, MK⊂(R) ⇒ a⊥(R)
Ảnh
Ảnh
Ảnh
Ảnh
Ảnh
Định lí 3
Ảnh
3. Tính chất cơ bản về hai mặt phẳng vuông góc
e) Định lí 3:
Nếu hai mặt phẳng cắt nhau và cùng vuông góc với một mặt phẳng thứ ba thì giao tuyến của chúng vuông góc với mặt phẳng thứ ba đó.
Ảnh
Ví dụ 4
Ảnh
3. Tính chất cơ bản về hai mặt phẳng vuông góc
f) Ví dụ 4:
Cho hình chóp S.ABC có cạnh SA bằng a, đáy ABC là tam giác đều với cạnh bằng a. Cho biết hai mặt bên (SAB) và (SAC) cùng vuông góc với mặt dây (ABC). Tính SB và SC theo a.
Giải:
Ta có hai mặt phẳng (SAB) và (SAC) cùng vuông góc với mặt đáy (ABC), theo Định lí 3, giao tuyến SA của (SAB) và (SAC) vuông góc với (ABC). Từ SA⊥(ABC) ta có SA⊥AB và SA⊥AC, suy ra tam giác SAB và SAC vuông cân tại S, suy ra SB = SC = aLATEX(sqrt2).
Ảnh
Ảnh
Thực hành 2
3. Tính chất cơ bản về hai mặt phẳng vuông góc
g) Thực hành 2:
Tứ diện ABCD có AB ⊥ (BCD). Trong tam giác BCD vẽ đường cao BE và DF cắt nhau tại O. Trong mặt phẳng (ACD) vẽ DK vuông góc với AC tại K. Gọi H là trực tâm của tam giác ACD. Chứng minh rằng: a, (ADC) ⊥ (ABE) và (ADC) ⊥ (DFK). b, OH ⊥ (ADC).
Ảnh
Ảnh
Ảnh
Ảnh
3. Tính chất cơ bản về hai mặt phẳng vuông góc
Giải:
a, Ta có: AB⊥(BCD) ⇒ AB⊥CD BE⊥CE ⇒ CD⊥(ABE) Mà CD⊂(ADC) Vậy (ADC) ⊥ (ABE) Lại có: AB⊥(BCD) ⇒ AB⊥DF BC⊥DF ⇒ DF⊥(ABC) DF⊥(ABC) ⇒ DF⊥AC DK⊥AC ⇒ AC⊥(DFK) Mà AC⊂(ADC) Vậy (ADC) ⊥ (DFK).
b, Ta có: (ADC)⊥(ABE) (ADC)⊥(DFK) (ABE)∩(DFK) = OH ⇒ OH⊥(ADC)
Ảnh
Ảnh
Ảnh
Ảnh
Ảnh
Ảnh
Vận dụng 2
Ảnh
Ảnh
3. Tính chất cơ bản về hai mặt phẳng vuông góc
h) Vận dụng 2:
Nêu cách đặt một quyển sách lên mặt bàn sao cho tất cả các trang sách đều vuông góc với mặt bàn.
Giải:
Ta mở quyển sách ra và đặt quyển sách lên mặt bàn sao cho hai mép dưới của bìa sách nằm trên mặt bàn.
Ảnh
Hình lăng trụ đứng, hình hộp chữ nhật, hình lập phương
Khám phá 6
4. Hình lăng trụ đứng, hình hộp chữ nhật, hình lập phương
a) Khám phá 6:
b, Cho hình lăng trụ có đáy là đa giác đều và có cạnh bên vuông góc với một mặt phẳng đáy (Hình 18b). Có nhận xét gì các mặt bên của hình lăng trụ này? c, Một hình lăng trụ có đáy là hình bình hành và có cạnh bên vuông góc với mặt phẳng đáy (Hình 18c) thì có bao nhiêu mặt là hình chữ nhật? d, Một hình hộp nếu có đáy là hình chữ nhật và có cạnh bên vuông góc với mặt phẳng đáy (Hình 18d) thì có bao nhiêu mặt là hình chữ nhật?
a, Cho hình lăng trụ ABCDE.A'B'C'D'E' có cạnh bên AA' vuông góc với một mặt phẳng đáy (Hình 18a). Có nhận xét gì về các mặt bên của hình lăng trụ này ?
Ảnh
Ảnh
4. Hình lăng trụ đứng, hình hộp chữ nhật, hình lập phương
Giải:
a, Các mặt bên của hình lăng trụ này là hình chữ nhật vuông góc với mặt phẳng đáy. b, Các mặt bên của hình lăng trụ này là hình chữ nhật vuông góc với mặt phẳng đáy. c, Hình lăng trụ đó có 4 mặt bên là hình chữ nhật. d, Hình lăng trụ đó có cả 6 mặt là hình chữ nhật.
Ảnh
Ảnh
Định nghĩa
Ảnh
Ảnh
4. Hình lăng trụ đứng, hình hộp chữ nhật, hình lập phương
b) Định nghĩa:
Hình lăng trụ đứng là hình lăng trụ có cạnh bên vuông góc với mặt đáy. Hình lăng trụ đều là hình lăng trụ đúng có mặt đáy là đa giác đều. Hình hộp đứng là hình hộp có cạnh bên vuông góc với mặt đáy. Hình hộp chữ nhật là hình hộp đứng có mặt đáy là hình chữ nhật. Hình lập phương là hình hộp chữ nhật có tất cả các cạnh bằng nhau.
Tính chất
4. Hình lăng trụ đứng, hình hộp chữ nhật, hình lập phương
c, Tính chất:
Ảnh
Ảnh
Ảnh
4. Hình lăng trụ đứng, hình hộp chữ nhật, hình lập phương
c) Tính chất:
Ảnh
Ảnh
Ví dụ 5
4. Hình lăng trụ đứng, hình hộp chữ nhật, hình lập phương
d) Ví dụ 5:
Cho hình lăng trụ đều ABCD.A'B'C'D' có cạnh đáy AB = a và cạnh bên AA' = h (Hình 19). Tính đường chéo AC theo a và h.
Đây ABCD của lăng trụ đều phải là tứ giác đều, suy ra ABCD là hình vuông, vậy AC = aLATEX(sqrt2). Lăng trụ đều có cạnh bên vuông góc với đáy, suy ra AA⊥(ABCD), vậy AA⊥AC. Trong tam giác A'AC vuông tại 4 ta có: AC = AA+AC = LATEX(sqrt(h^2 + 2a^2)).
Giải:
Ảnh
Ảnh
Chú ý
Ảnh
4. Hình lăng trụ đứng, hình hộp chữ nhật, hình lập phương
e) Chú ý:
Lăng trụ đều có dây tứ giác thường được gọi là lăng trụ tứ giác đều. Tương tự ta cũng có lăng trụ tam giác đều, lăng trụ lục giác đều,...
Ảnh
Ảnh
Ảnh
Thực hành 3
Ảnh
4. Hình lăng trụ đứng, hình hộp chữ nhật, hình lập phương
f) Thực hành 3:
Cho hình lăng trụ lục giác đều ABCDEF.A'B'C'D'E'F' có cạnh bên bằng h và cạnh đáy bằng a. Tính A'C và A'D theo a và h.
Ảnh
Ảnh
Ảnh
Ảnh
Ảnh
4. Hình lăng trụ đứng, hình hộp chữ nhật, hình lập phương
Giải:
Ảnh
Ảnh
Ảnh
Xét tam giác ABC: AC = LATEX(sqrt(AB^2 + BC^2 - AB.BC.cosABC)) = LATEX(asqrt3) Ta có: AA'⊥ (ABCDEF) ⇒ AA'⊥ AC ⇒ ΔAA'C vuông tại A ⇒ A'C = = LATEX(sqrt(h^2 + 3a^2)) Gọi O là tâm của lục giác đều ABCDEF ⇒ ΔOAB, ΔOCD đều ⇒ OA = OD = AB = a ⇒ AD = 2a Ta có: AA'⊥ (ABCDEF) ⇒ AA'⊥ AD ⇒ ΔAA'D vuông tại A ⇒ A'D = = LATEX(sqrt(h^2 + 4a^2))
Vận dụng 3
4. Hình lăng trụ đứng, hình hộp chữ nhật, hình lập phương
g) Vận dụng 3:
Một chiếc lồng đèn kéo quân có dạng hình lăng trụ lục giác đều với cạnh đáy bằng 10 cm và cạnh bên bằng 30 cm (Hình 20). Tính tổng diện tích các mặt bên của chiếc lồng đèn đó.
Ảnh
Giải:
Diện tích một mặt bên của lồng đèn là: 10.30 = 300(cm2) Tổng diện tích các mặt bên của chiếc lồng đèn đó là: 300.6 = 1800(cm2)
Ảnh
Hình chóp đều. Hình chóp cụt đều
Khám phá 7
5. Hình chóp đều. Hình chóp cụt đều
a) Khám phá 7:
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông với tâm O và các cạnh bên của hình chóp bằng nhau (Hình 21). Đường thẳng SO có vuông góc với đáy không?
Ảnh
Ảnh
Giải:
Vì ΔSAC cân tại S nên SO ⊥ AC (1) Vì ΔSBD cân tại S nên SO ⊥ BD (2) Từ (1) và (2), suy ra SO ⊥ (ABCD)
Ảnh
Định nghĩa - Chú ý
5. Hình chóp đều. Hình chóp cụt đều
b) Định nghĩa:
Hình chóp đều là hình chóp có đáy là đa giác đều và các cạnh bên bằng nhau.
Ảnh
c) Chú ý:
Hình chóp đều có: - Các mặt bên là các tam giác cân tại đỉnh hình chóp và bằng nhau. - Đoạn thẳng nối từ đỉnh hình chóp đến tâm của đáy thì vuông góc với mặt đáy và gọi là đường cao của hình chóp. - Độ dài đường cao gọi là chiều cao của hình chóp đều.
Ảnh
Ví dụ 6
5. Hình chóp đều. Hình chóp cụt đều
d) Ví dụ 6:
Cho hình chóp đều S.ABC có cạnh đáy AB = a và cạnh bên SA = b (Hình 23). Tính độ dài đường cao SO theo a, b.
Ảnh
Ảnh
Giải:
Ta có O là trọng tâm của tam giác đều ABC, suy ra AO = LATEX(2/3).LATEX((asqrt3)/2) = LATEX((asqrt3)/3) Trong tam giác SOA vuông tại O, ta có: SO = LATEX(sqrt(SA^2 - AO^2)) = LATEX(sqrt(b^2 - (3a^2)/9)) = LATEX((sqrt(9b^2 - 3a^2))/3)
Ảnh
Thực hành 4
Ảnh
Ảnh
5. Hình chóp đều. Hình chóp cụt đều
e) Thực hành 4:
Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có O là tâm của đáy và AB = a, SA = 2a. Tính SO theo a.
Giải:
Vì S.ABCD là hình chóp tứ giác đều ⇒ SO ⊥ (ABCD) ⇒ SO ⊥ OA. Ta có: ABCD là hình vuông ⇒ AC = LATEX(sqrt(2AB^2)) = LATEX(asqrt2) ⇒ AO = LATEX(1/2)AC = LATEX((asqrt2)/2) Xét tam giác SOA vuông tại O: SO = LATEX(sqrt(SA^2 - AO^2)) = LATEX((asqrt14)/2) (theo định lí Pytago)
Ảnh
Ảnh
Vận dụng 4
5. Hình chóp đều. Hình chóp cụt đều
f) Vận dụng 4:
Cho biết kim tự tháp Khafre tại Ai Cập có dạng hình chóp tứ giác đều với chiều cao khoảng 136m và cạnh đáy dài khoảng 152m. Tính độ dài đường cao của mặt bên xuất phát từ đỉnh của kim tự tháp.
Ảnh
Ảnh
Ảnh
Ảnh
Ảnh
5. Hình chóp đều. Hình chóp cụt đều
Giải:
Ảnh
Mô hình hoá hình ảnh kim tự tháp bằng hình chóp tứ giác đều S.ABCD có O là tâm của đáy. Kẻ SH ⊥ CD (H ∈ CD) Ta có: SO = 136m , AD = 152 m Tam giác SCD cân tại S
⇒ SH vừa là trung tuyến, vừa là đường cao của tam giác SCD ⇒ H là trung điểm của CD. Mà O là trung điểm của AD. ⇒ OH là đường trung bình của tam giác ACD ⇒ OH = LATEX(1/2)AD = 76 (m) Ta có: SO ⊥ (ABCD) SO ⊥ OH ⇒ ΔSOH vuông tại O. ⇒ SH = LATEX(sqrt(SO^2 + OH^2)) = LATEX(sqrt(136^2 + 76^2)) ≈ 155,8 (m) Vậy độ dài đường cao của mặt bên xuất phát từ đỉnh của kim tự tháp khoảng 155,8 m.
Khám phá 8
5. Hình chóp đều. Hình chóp cụt đều
g) Khám phá 8:
Cho hình chóp đều S.LATEX(A_1).LATEX(A_2)...LATEX(A_6). Mặt phẳng (P) song song với mặt đáy và cắt các cạnh bên lần lượt tại LATEX(A_1),LATEX(A_2)...,LATEX(A_6). a, Đa giác LATEX(A_1).LATEX(A_2)...LATEX(A_6) có phái lục giác đều không? Giải thích. b, Gọi O và O' lần lượt là tâm của hai lục giác LATEX(A_1).LATEX(A_2)...LATEX(A_6) và LATEX(A_1).LATEX(A_2)...LATEX(A_6). Đường thẳng OO' có vuông góc với mặt đáy không?
' ' '
' ' '
' ' '
Ảnh
Ảnh
Ảnh
Ảnh
5. Hình chóp đều. Hình chóp cụt đều
Giải:
a, Ta có: (P) // (LATEX(A_1A_2...A_6)) Do đó LATEX(A_1)'LATEX(A_2)' // LATEX(A_1)LATEX(A_2); LATEX(A_2)'LATEX(A_3)' // LATEX(A_2)LATEX(A_3); LATEX(A_3)'LATEX(A_4)' // LATEX(A_3)LATEX(A_4); LATEX(A_4)'LATEX(A_5)' // LATEX(A_4)LATEX(A_5); LATEX(A_5)'LATEX(A_6)' // LATEX(A_5)LATEX(A_6); LATEX(A_6)'LATEX(A_1)' // LATEX(A_6)LATEX(A_1) Khi đó LATEX((A_1A_2)/(A_1A_2)) = LATEX((A_2A_3)/(A_2A_3)) = LATEX((A_3A_4)/(A_3A_4)) = LATEX((A_4A_5)/(A_4A_5)) = LATEX((A_5A_6)/(A_5A_6)) = LATEX((A_6A_1)/(A_6A_1)) Mà LATEX(A_1)LATEX(A_2) = LATEX(A_2)LATEX(A_3) = LATEX(A_3)LATEX(A_4) = LATEX(A_4)LATEX(A_5) = LATEX(A_5)LATEX(A_6) = LATEX(A_6)LATEX(A_1) ⇒ LATEX(A_1)'LATEX(A_2)' = LATEX(A_2)'LATEX(A_3)' = LATEX(A_3)'LATEX(A_4)' = LATEX(A_4)'LATEX(A_5)' = LATEX(A_5)'LATEX(A_6)' = LATEX(A_6)'LATEX(A_1)' Vậy đa giác LATEX(A_1)'LATEX(A_2)'...LATEX(A_6)' là lục giác đều. b, Ta có: O' ∈ LATEX(A_1)'LATEX(A_4)' ⊂ (SLATEX(A_1A_4)) O' ∈ LATEX(A_3)'LATEX(A_6)' ⊂ (SLATEX(A_3A_6)) (SLATEX(A_1A_4)) ∩ (SLATEX(A_3A_6)) = SO ⇒ O' ∈ SO Mà S.LATEX(A_1A_2...A_6) là hình chóp đều nên SO⊥(LATEX(A_1A_2...A_6)) Vậy OO'⊥(LATEX(A_1A_2...A_6))
' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' '
Định nghĩa
5. Hình chóp đều. Hình chóp cụt đều
h) Định nghĩa:
Phần của hình chóp đều nằm giữa đáy và một mặt phẳng song song với đáy cắt các cạnh bên của hình chóp đều được gọi là hình chóp cụt đều.
Ảnh
Ảnh
Chú ý
Ảnh
5. Hình chóp đều. Hình chóp cụt đều
i) Chú ý:
Trong hình chóp cụt đều LATEX(A_1A_2...A_6).LATEX(A_1)'LATEX(A_2)'...LATEX(A_6)', ta gọi: - Các điểm LATEX(A_1),LATEX(A_2),...,LATEX(A_6), LATEX(A_1)',LATEX(A_2)',...,LATEX(A_6)' là các đỉnh. - Đa giác LATEX(A_1A_2...A_6) là đáy lớn, đa giác LATEX(A_1)'LATEX(A_2)'...LATEX(A_6)' là đáy nhỏ. Đáy lớn và đáy nhỏ nằm trên hai mặt phẳng song song. - Cạnh của hai đa giác đáy là cạnh đáy. Các cạnh tương ứng song song từng đôi một. - Các hình thang cân LATEX(A_1A_2)LATEX(A_2)'LATEX(A_1)', LATEX(A_2A_3)LATEX(A_3)'LATEX(A_2)',..., LATEX(A_6A_1)LATEX(A_1)'LATEX(A_6)' được gọi là các mặt bên. - Cạnh bên của mặt bên gọi là cạnh bên của hình chóp cụt đều. Hình chóp cụt đều có các cạnh bên bằng nhau, các mặt bên là những hình thang cân. - Đoạn thẳng nối tâm hai đáy là đường cao. Độ dài đường cao là chiều cao.
Ví dụ 7
5. Hình chóp đều. Hình chóp cụt đều
k) Ví dụ 7:
Cho hình chóp cụt tứ giác đều ABCD.A'B'C'D', đáy lớn ABCD có cạnh bằng a, đáy nhỏ A'B'C'D' có cạnh bằng b, chiều cao OO' = h với O, O' lần lượt là tâm hai đáy. Tính độ dài cạnh bên CC'.
Ảnh
Giải:
Trong hình thang vuông OO'C'C, vẽ đường cao C'H (H∈OC') (Hình 27) Ta có OC = LATEX((asqrt2)/2), O'C' = LATEX((bsqrt2)/2) ⇒ HC = LATEX(((a-b)sqrt2)/2) Trong tam giác vuông CC'H ta có: CC' = LATEX(sqrt(CH^2 + HC^2)) = LATEX(sqrt(h^2 + ((a-b)^2)/2))
Ảnh
'
Thực hành 5
5. Hình chóp đều. Hình chóp cụt đều
l) Thực hành 5:
Cho hình chóp cụt tam giác đều ABC.A'B'C' có cạnh đáy lớn bằng a, cạnh đáy nhỏ LATEX(a/2) và cạnh bên 2a. Tính độ dài đường cao của hình chóp cụt đó.
Ảnh
Ảnh
Ảnh
Ảnh
5. Hình chóp đều. Hình chóp cụt đều
Giải:
Gọi O, O' lần lượt là tâm của hai đáy ABC và A'B'C'; M, M' lần lượt là trung điểm của BC và B'C'. Kẻ A'H ⊥ AO (H ∈ AO). Khi đó, ta có A'H = OO'. ΔABC đều nên AM = LATEX((a/2 .sqrt3)/2) = LATEX((asqrt3)/4) ⇒ AO = LATEX(2/3)AM = LATEX((asqrt3)/6) ΔA'B'C' đều nên A'M' = LATEX((a/2 .sqrt3)/2) = LATEX((asqrt3)/4) ⇒ A'O' = LATEX(2/3)A'M' = LATEX((asqrt3)/6) A'HOO' là hình chữ nhật nên OH = A'O' = LATEX((asqrt3)/6) ⇒ AH = AO−OH = LATEX((asqrt3)/6) Tam giác AA'H vuông tại H nên OO' = A'H = LATEX((asqrt141)/6)
Vận dụng 5
5. Hình chóp đều. Hình chóp cụt đều
m) Vận dụng 5:
Một người cần sơn tất cả các mặt của một cái bục để đặt tượng có dạng hình chóp cụt lục giác đều có cạnh đáy lớn 1 m, cạnh bên và cạnh đáy nhỏ bằng 0,7 m. Tính tổng diện tích cần sơn.
Ảnh
Ảnh
Ảnh
Ảnh
Ảnh
Ảnh
5. Hình chóp đều. Hình chóp cụt đều
Giải:
Diện tích đáy lớn là: 6. LATEX((1^2 . sqrt3)/4) = LATEX((3sqrt3)/2) LATEX((m^2)) Diện tích đáy lớn là: 6. LATEX(((0,7)^2 . sqrt3)/4) = LATEX((147sqrt3)/200) LATEX((m^2)) Một mặt bên của hình chóp cụt là hình thang cân có đáy lớn là 1 m, đáy nhỏ là 0,7 m và cạnh bên là 0,7 m. Khi đó, chiều cao của mặt bên là: LATEX(sqrt(0,7^2 - ((1-0,7)/2)^2)) = LATEX((sqrt187)/20) (m) Diện tích một mặt bên là: LATEX(1/2).LATEX((sqrt187)/20).(1+0,7) = 0,58 LATEX((m^2)) Vậy tổng diện tích cần sơn là: LATEX((3sqrt3)/2) + LATEX((147sqrt3)/200) + 6.0,58 ≈ 7,36 LATEX((m^2))
Ảnh
Dặn dò
Dặn dò
Ảnh
Dặn dò
- Ôn lại bài cũ. - Làm bài tập trong SGK, SBT. - Chuẩn bị bài mới: "Bài 4: Khoảng cách trong không gian."
Ảnh
Cảm ơn
Ảnh