BÀI 13: HAI MẶT PHẲNG SONG SONG
Trang bìa
Trang bìa
Ảnh
TOÁN 11
BÀI 13: HAI MẶT PHẲNG SONG SONG
Ảnh
Khởi động
Khởi động
- Khởi động:
Các đầu bếp chuyên nghiệp có kĩ năng dùng dao điêu luyện để thái thức ăn như rau, thịt, cá,... thành các miếng đều nhau và đẹp mắt. Các nhát cắt cần tuân thủ nguyên tắc gì để đạt được điều đó?
Ảnh
Hình thàn kiến thức
1. Hai mặt phẳng song song
1. Hai mặt phẳng song song
HĐ1: Các mặt bậc thang trong Hình 4.40 gợi nên hình ảnh về các mặt phẳng không có điểm chung. Hãy tìm thêm một số ví dụ khác cũng gợi nên hình ảnh đó.
Ảnh
Ảnh
- Trả lời (- Hoạt động 1)
- Trả lời:
Các mặt của từng tầng trong giá để dép gợi nên hình ảnh về các mặt phẳng không có điểm chung. Hai mặt đối diện của hộp diêm gợi nên hình ảnh về các mặt phẳng không có điểm chung.
Ảnh
Ảnh
Ảnh
- Kết luận
Ảnh
- Kết luận:
Hai mặt phẳng latex((alpha)) và latex((beta)) được gọi là song song với nhau nếu chúng không có điểm chung, kí hiệu latex((alpha) // (beta)) hay latex((beta) // (alpha)).
- Nhận xét
Ảnh
- Nhận xét:
Ảnh
Nếu hai mặt phẳn latex((alpha)) và latex((beta)) song song với nhau và đường thẳng d nằm trong latex((alpha)) thì d và latex((beta)) không có điểm chung, tức d song song với latex((beta)). Như vậy, nếu một đường thẳng nằm trong một trong hai mặt phẳng song song thì đường thẳng đó song song với mặt phẳng còn lại.
- Câu hỏi mở rộng
Ảnh
- Câu hỏi mở rộng:
Trong hình ảnh mở đầu, các nhát cắt có nằm trong các mặt phẳng song song?
Ảnh
- Gợi ý:
Trong hình ảnh mở đầu, các nhát cắt nằm trong các mặt phẳng song song.
2. Điều kiện và tính chất của hai mặt phẳng song song
Ảnh
2. Điều kiện và tính chất của hai mặt phẳng song song
HĐ2: Cho mặt phẳng (α) chứa hai đường thẳng cắt nhau a, b và a, b cùng song song với mặt phẳng (β) (H.4.41). Nếu (α) và (β) cắt nhau theo giao tuyến c thì hai đường thẳng a và c có song song với nhau hay không, hai đường thẳng b và c có song song với nhau hay không?
Ảnh
- Kết luận 1
- Kết luận 1:
Ảnh
Nếu mặt phẳng latex((alpha)) chứa hai đường thẳng cắt nhau và hai đường thẳng này song song với mặt phẳng latex((beta)) thì latex((alpha)) và latex((beta)) song song với nhau.
- Câu hỏi mở rộng
Ảnh
Ảnh
- Câu hỏi mở rộng:
Nếu không có điều kiện “hai đường thẳng cắt nhau” thì khẳng định trên đúng không?
Gợi ý:
Giả sử hai đường thẳng a và b trùng nhau thì khi đó có thể xảy ra TH hai mặt phẳng (α) và (β) cắt nhau theo giao tuyến c song song với hai đường thẳng trùng nhau trên, do đó (α) và (β) không song song với nhau. Vậy điều kiện “hai đường thẳng cắt nhau” thì khẳng định trên không đúng.
- Ví dụ 1
Ảnh
Ví dụ 1: Cho hai hình bình hành ABCD và ABEF không cùng nằm trong một mặt phẳng. CMR mặt phẳng (BCE) song song với mặt phẳng (ADF) (H.4.42).
- Giải:
* Vì tứ giác ABCD là hình bình hành nên BC // AD => BC // (ADF). * Vì tứ giác ABEF là hình bình hành nên BE // AF => BE // (ADF). * (BCE) chứa hai đường thẳng cắt nhau BC và BE cùng // (ADF). => (BCE) // (ADF).
Ảnh
- Luyện tập 1
Ảnh
- Luyện tập 1:
Trong không gian, cho bốn điểm A, B, C, D không đồng phẳng. Qua điểm A vẽ hai đường thẳng m, n lần lượt song song với hai đường thẳng BC, BD. CMR: mp(m, n) song song với mặt phẳng (BCD).
- Vận dụng 1
Ảnh
- Vận dụng 1:
Trong không gian, cho bốn điểm A, B, C, D không đồng phẳng. Qua điểm A vẽ hai đường thẳng m, n lần lượt song song với hai đường thẳng BC, BD. Chứng minh rằng mp(m, n) song song với mặt phẳng (BCD).
- HĐ3
HĐ3: Đặt một tấm bìa cứng lên một góc của mặt bàn nằm ngang (H.4.44) sao cho mặt bìa song song với mặt đất. Khi đó mặt bìa có trùng bới mặt bàn hay không?
Ảnh
Ảnh
- Kết luận 2
- Kết luận 2:
Ảnh
Qua một điểm nằm ngoài một mặt phẳng cho trước có một và chỉ một mặt phẳng song song với mặt phẳng đã cho.
- Câu hỏi mở rộng
- Câu hỏi mở rộng:
Ảnh
Nếu hai mặt phẳng phân biệt cùng song song với mặt phẳng thứ ba thì hai mặt phẳng đó có song song với nhau hay không? Vì sao?
- Ví dụ 2
Ảnh
Ví dụ 2: Cho hình chóp S.ABCD. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của các cạnh SA, SB, SC, SD (H.4.45). CMR: hai mặt phẳng (MNP) và (NPQ) cùng song song với mặt phẳng (ABCD), từ đó suy ra bốn điểm M, N, P, Q đồng phẳng.
- Luyện tập 2
Ảnh
- Luyện tập 2:
Cho hình chóp S.ABCD. Gọi M, N, P, Q lần lượt là các điểm thuộc cạnh SA, SB, SC, SD sao cho latex((MA)/(MS) = (BB)/(NS) = (PC)/(PS) = (QD)/QS) = 1/2). Chứng minh rằng: Bốn điểm M, N, P, Q đồng phẳng.
- HĐ4
Ảnh
HĐ4: Cho hai mặt phẳng song song (P) và (Q). Giả sử mặt phẳng (R) cắt mặt phẳng (P) theo giao tuyến a (H.4.46). a) Giải thích vì sao mặt phẳng (R) cắt mặt phẳng (Q). b) Gọi b là giao tuyến của hai mặt phẳng (R) và (Q). Hai đường thẳng a và b có thể chéo nhau hay không, có thể cắt nhau?
Ảnh
- Kết luận 3
- Kết luận 3:
Ảnh
Cho hai mặt phẳng song song. Nếu một mặt phẳng cắt mặt phẳng này thì cũng cắt mặt phẳng kia và hai giao tuyến song song với nhau.
- Ví dụ 3
Ảnh
Ví dụ 3: Trong ví dụ 2, gọi E, F lần lượt là các điểm thuộc các cạnh AB, CD (H.4.47). Xác định giao tuyến của mặt phẳng (MEF) và mặt phẳng (MNPQ).
Ảnh
- Luyện tập 3
Ảnh
- Luyện tập 3:
Trong Ví dụ 3, hãy xác định giao tuyến của mặt phẳng (EMQ) và mặt phẳng (ABCD).
3. Định lí Thales trong không gian
Ảnh
3. Định lí Thales trong không gian
HĐ5: Cho ba mặt phẳng (P), (Q) và (R) đôi một song song. Hai đường thẳng phân biệt d và d' cắt ba mặt phẳng lần lượt tại A, B, C và A', B', C' (C khác C'). Gọi D là giao điểm của AC' và (Q) (H.4.48).
Ảnh
a) Các cặp đường thẳng BD và CC', B'D và AA' có song song với nhau không?
Ảnh
- Kết luận
Ảnh
- Kết luận:
Ba mặt phẳng đôi một song song chắn trên hai cát tuyến phân biệt bất kì những đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ.
- Ví dụ 4
Ảnh
Ví dụ 4: Cho hình tứ diện SABC. Trên cạnh SA lấy các điểm latex(A_1, A_2) sao cho latex(A_2A_1 = 2A_1A). Gọi (P) và (Q) là hai mặt phẳng song song với mặt phẳng (ABC) và lần lượt đi qua latex(A_1, A_2). Mặt phẳng (P) cắt các cạnh SB, SC lần lượt tại latex(B_1, C_1). Mặt phẳng (Q) cắt các cạnh SB, SC lần lượt tại latex(B_2, C_2) (H.4.49). CMR: latex(B_2B_1 = 2B_1B) và latex(C_2C_1 = 2C_1C).
Áp dụng ĐL Thales cho ba mặt phẳng đôi một song song (P),(Q), (ABC) và hai cát tuyến SA, SB, ta có latex((A_2A_1)/(A_1A) = (B_2B_1)/(B_1B)). Vì latex(A_2A_1 = 2A_1A) nên latex(B_2B_1 = 2B_1B). Tương tự với hai cát tuyến SA, SC => latex(C_2_C_1 = 2C_1C).
- Giải:
- Luyện tập 4
Ảnh
- Luyện tập 4:
Trong HĐ5, cho AB = 2 cm, BC = 4 cm và A'B' = 3 cm. Tính độ dài của đoạn thẳng B'C'.
4. Hình lăng trụ và hình hộp
Ảnh
4. Hình lăng trụ và hình hộp
HĐ6: Các hình ảnh dưới đây có đặc điểm chung nào với hình lăng trụ đứng tam giác mà em đã học ở lớp 7?
Ảnh
- Kết luận 1
- Kết luận 1:
Ảnh
Ảnh
- Câu hỏi mở rộng
- Câu hỏi mở rộng:
Ảnh
Hãy giải thích tại sao các mặt bên của hình lăng trụ là hình bình hành, từ đó suy ra các cạnh bên đôi một song song và có độ dài bằng nhau.
- Ví dụ 5
Ảnh
Ví dụ 5: Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A'B'C'. Một mặt phẳng song song với mặt đáy của hình lăng trụ cắt các cạnh bên của hình lăng trụ lần lượt tại A", B", C" (H.4.51).CMR: ABC.A"B"C" là hình lăng trụ.
- Giải:
* Vì các cạnh bên của hình lăng trụ ABC.A'B'C' đôi một song song nên AA", BB", CC" đôi một song song. * Mặt phẳng (ABC) song song với mặt phẳng (A"B"C"). => ABC.A"B"C" là hình lăng trụ.
- Luyện tập 5
Ảnh
- Luyện tập 5:
Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A'B'C'. Gọi M và M' lần lượt là trung điểm của cạnh BC và B'C'. CMR: AMC.A'M'C' là hình lăng trụ.
- HĐ7
Ảnh
HĐ7: Hình ảnh nào trong HĐ6 gợi nên hình ảnh về hình lăng trụ có đáy là hình bình hành?
- Kết luận 2
Ảnh
- Kết luận 2:
Hình lăng trụ tứ giác ABCD.A'B'C'D' có hai đáy là hình bình hành được gọi là hình hộp. * Các cặp điểm A và C', B và D', C và A', D và B' được gọi là các đỉnh đối diện của hình hộp. * Các đoạn thẳng AC',BD', CA' và DB' được gọi là các đường chéo của hình hộp. * Các cặp tứ giác ABCD và A'B'C'D', ADD'A' và BCC'B', ABB'A' và CDD'C' được gọi là hai mặt đối diện của hình hộp.
- Ví dụ 6
Ví dụ 6: Cho hình hộp ABCD,A'B'C'D' (H.4.52). CMR: Các đường chéo AC', BD', CA' và DB' của hình hộp cùng đi qua trung điểm của mỗi đường.
Ảnh
Ảnh
- Luyện tập 6
Ảnh
- Luyện tập 6:
Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D'. Chứng minh rằng hai mặt phẳng (ADD'A') và (BCC'B') song song với nhau.
- Nhận xét
- Nhận xét:
Ảnh
Các đường chéo của hình hộp cùng đi qua trung điểm của mỗi đường. Các mặt đối diện của hình hộp song song với nhau và có thể coi là hai đáy của hình hộp.
- Vận dụng 2 (- Vận dụng 2)
Ảnh
Để xác định mực nước trong một chiếc bể có dạng hình hộp, bác Hà đặt một thanh gỗ đủ dài vào trong bể sao cho một đầu của thanh gỗ dựa vào mép của nắp bể, đầu còn lại nằm trên đáy bể (H.4.53). Sau đó bác Hà rút thanh gỗ ra ngoài và tính tỉ lệ giữa độ dài của phần thanh gỗ bị ngâm trong nước và độ dài của cả thanh gỗ. Tỉ lệ này chính bằng tỉ lệ giữa mực nước và chiều cao của bể. Giải thích.
Luyện tập và vận dụng
Bài 1 (Luyện tập và vận dụng)
Bài tập trắc nghiệm
Bài 1: Trong không gian cho ba mặt phẳng phân biệt (P), (Q), (R). Những mệnh đề nào sau đây là đúng?
a) Nếu (P) chứa một đường thẳng song song với (Q) thì (P) song song với (Q).
b) Nếu (P) chứa hai đường thẳng song song với (Q) thì (P) song song với (Q).
c) Nếu (P) và (Q) song song với (R) thì (P) song song với (Q).
d) Nếu (P) và (Q) cắt (R) thì (P) và (Q) song song với nhau.
Bài 2 (Luyện tập và vận dụng)
Ảnh
Hình vẽ
Bài 2: Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A'B'C'. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh AA', BB', CC'. CMR: Mặt phẳng (MNP) song song với mặt phẳng (ABC).
Bài 3 (Luyện tập và vận dụng)
Ảnh
Bài 3: Cầu thang xương cá là dạng cầu thang có hình dáng tương tự như những đốt xương cá, thường có những bậc cầu thang với khoảng mở lớn, tạo được sự nhẹ nhàng và thoáng đãng cho không gian sống. Trong Hình 4.55, phần mép của mỗi bậc thang nằm trên tường song song với nhau. Hãy giải thích tại sao.
Ảnh
Dặn dò
- Dặn dò
Ảnh
Ôn lại kiến thức vừa học. Hoàn thành các bài còn lại SGK và SBT. Chuẩn bị bài sau: "Bài 14: Phép chiếu song song".
Dặn dò
- Cảm ơn
Ảnh
CẢM ƠN CÁC EM ĐÃ LẮNG NGHE BÀI HỌC !