CHƯƠNG 4. BÀI 2. HAI ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG
Trang bìa
Trang bìa
CHƯƠNG 4. BÀI 2. HAI ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG
TOÁN 11
Ảnh
Khởi động
Khởi động
Hình vẽ
Ảnh
Khởi động
Mô tả vị trí giữa các cặp đường thẳng a và b, b và c, c và d có trong hình bên
Ảnh
I - Vị trí tương đối của hai đường thẳng trong không gian
Hoạt động 1
I - Vị trí tương đối của hai đường thẳng trong không gian
1. Hoạt động 1
Ảnh
Ảnh
a) Nêu các trường hợp có thể xảy ra đối với hai đường thẳng a, b cùng nằm trong một mặt phẳng.
b) Cho tứ diện ABCD. Hai đường thẳng AB và CD có cùng nằm trong bất kì mặt phẳng nào không?
Ảnh
Ảnh
1. Hoạt động 1
I - Vị trí tương đối của hai đường thẳng trong không gian
Cho hai đường thẳng a và b trong không gian. Khi đó có thể xảy ra một trong hai trường hợp sau: - Trường hợp 1: Có một mặt phẳng chứa a và b. Khi đó ta nói a và b đồng phẳng. Theo kết quả của hình học phẳng, có ba khả năng sau đây xảy ra: • Nếu a và b có hai điểm chung thì ta nói a trùng b, kí hiệu a = b. • Nếu a và b có một điểm chung duy nhất M thì ta nói a và b cắt nhau tại M, kí hiệu a b = M. • Nếu a và b không có điểm chung thì ta nói a và b song song với nhau, kí hiệu a // b.
Ảnh
Trường hợp 2: Không có mặt phẳng nào chứa cả a và b. Khi đó ta nói hai đường thẳng a và b chéo nhau hay a chéo với b.
Ảnh
Định nghĩa
Ảnh
Hình vẽ
2. Định nghĩa
Hai đường thẳng gọi là song song nếu chúng nằm trong cùng một mặt phẳng và không có điểm chung.
Chú ý
Ảnh
Hình vẽ
3. Chú ý
a) Hai đường thẳng gọi là chéo nhau nếu chúng không đồng phẳng. b) Cho hai đường thẳng song song a và b. Có duy nhất một mặt phẳng chứa hai đường thẳng đó, kí hiệu mp(a, b).
Ví dụ 1
4. Ví dụ 1
Cho tứ diện ABCD có M, N lần lượt là trung điểm của AB, AC. Xét vị trí tương đối của các cặp đường thẳng sau đây: a) MN và BC b) AN và CD
Giải
a) Trong mặt phẳng (ABC), ta có MN là đường trung bình của tam giác ABC, suy ra MN // BC. b) Trong mặt phẳng (ACD), ta có AN cắt CD tại điểm C.
Ảnh
Thực hành 1
5. Thực hành 1
Ảnh
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Xét vị trí tương đối của các cặp đường thẳng sau đây: a) AB và CD b) SA và SC c) SA và BC.
Giải
a) Trong mặt phẳng (ABCD) có nên AB // CD (vì ABCD là hình bình hành). b) Trong mặt phẳng (SAC) có: SA cắt SC tại S. c) Giả sử SA và BC cùng nằm trong mặt phẳng (P). Suy ra (P) chưa bốn đỉnh của tứ diện SABC. Điều này là vô lí. Vậy SA và BC không nằm trong bất kì mặt phẳng nào, suy ra SA và BC chéo nhau.
Vận dụng 1
6. Vận dụng 1
Hãy chỉ ra các ví dụ về hai đường thẳng song song, cắt nhau và chéo nhau trong hình cầu sắt ở Hình 6.
Ảnh
- Hai đường thẳng a và b nằm trong mặt phẳng phía trên của cầu sắt và song song với nhau. - Hai đường thẳng c và d nằm trong mặt phẳng phía trên của cầu sắt và cắt nhau tại điểm A. - Hai đường thẳng e và f không cùng nằm trong một mặt phẳng nên e và f là hai đường thẳng chéo nhau.
Giải
II - Tính chất cơ bản về hai đường thẳng song song
Hoạt động 2
II - Tính chất cơ bản về hai đường thẳng song song
1. Hoạt động 2
a) Trong không gian, cho điểm M ở ngoài đường thẳng d. Đặt (P) = mp(M, d). Trong (P), qua M vẽ đường thẳng d’ song song với d, đặt (Q) = mp(d, d’). Có thể khẳng định hai mặt phẳng (P) và (Q) trùng nhau không?
Ảnh
Ảnh
Ảnh
II - Tính chất cơ bản về hai đường thẳng song song
1. Hoạt động 2
b) Cho ba mặt phẳng (P), (Q), (R) cắt nhau theo ba giao tuyến a, b, c phân biệt với a = (P) ∩ (R); b = (Q) ∩ (R); c = (P) ∩ (Q) (Hình 8). Nếu a và b có điểm chung M thì điểm M có thuộc c không?
Ảnh
Định lý 1
Ảnh
Hình vẽ
2. Định lý 1
Từ hoạt động trên, ta có các định lí sau:
Trong không gian, qua một điểm nằm ngoài một đường thẳng, có một và chỉ một đường thẳng song song với đường thẳng đó.
Ví dụ 2
3. Ví dụ 2
Cho tứ diện ABCD. Trong mặt phẳng (ABC) vẽ hình bình hành ACBE. Gọi d là đường thẳng trong không gian đi qua A và song song với BC. Chứng minh điểm E thuộc đường thẳng d.
Ta có ACBE là hình bình hành, suy ra AE // BC. Do trong không gian chỉ có duy nhất một đường thẳng đi qua A và song song với BC, suy ra AE phải trùng d, vậy điểm E phải thuộc d.
Giải
Ảnh
Thực hành 2
Ảnh
4. Thực hành 2
Cho hình chóp S.ABCD. Vẽ hình thang ADMS có hai đáy là AD và MS. Gọi a là đường thẳng trong không gian đi qua S và song song với AD. Chứng minh đường thẳng d nằm trong mặt phẳng (SAD).
Ta có ADMS là hình thang nên SM // AD Do trong không gian chỉ có duy nhất một đường thẳng đi qua S và song song với AD nên SM phải trùng với d. Mà SM ⊂ (SAD) Do đó d ⊂ (SAD).
Giải
Định lý 2
Ảnh
Hình vẽ
5. Định lý 2
Nếu ba mặt phẳng đôi một cắt nhau theo ba giao tuyến phân biệt thì ba giao tuyến ấy hoặc đồng quy hoặc đôi một song song.
Ví dụ 3
6. Ví dụ 3
a) Trong Hình 10a, hai tam giác ABC và ABD không cùng nằm trong một mặt phẳng. Tìm ba cặp mặt phẳng có ba giao tuyến đồng quy. b) Trong Hình 10b, hai hình bình hành ABCD và ABMN không cùng nằm trong một mặt phẳng. Tìm ba cặp mặt phẳng có ba giao tuyến song song.
Ảnh
Ảnh
Giải
a) Trong Hình 10a, ta có: (BAC)∩(BAD) = BA; (BAC)∩(BCD) = BC; (BCD)∩(BAD) = BD. Ba giao tuyến vừa nêu đồng quy tại B. Vậy ba cặp mặt phẳng có ba giao tuyển đồng quy là (BAC) và (BAD); (BAC) và (BCD); (BCD) và (BAD). b) Trong Hình 10b, ta có: (ABCD)∩(ABMN) = AB; (ABCD)∩ (CDNM) = CD, (CDNM)∩(ABMN) = MN. Ta có AB // CD // MN. Vậy ba cặp mặt phẳng có ba giao tuyến song song là (ABCD) và (ABMN); (ABCD) và (CDNM); (CDNM) và (ABMN).
Hệ quả
Ảnh
Hình vẽ
7. Hệ quả
Từ định lý 2, ta có hệ quả sau:
Hệ quả Nếu hai mặt phẳng phân biệt lần lượt đi qua hai đường thẳng song song thì giao tuyến của chúng (nếu có) song song với hai đường thẳng đó hoặc trùng với một trong hai đường thẳng đó.
Ảnh
Ví dụ 4
8. Ví dụ 4
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành. Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng (SBC) và (SAD).
Ảnh
Giải
Hai mặt phẳng (SBC) và (SAD) có điểm chung S và lần lượt đi qua hai đường thẳng song song BC và AD, suy ra theo hệ quả của Định lí 2, giao tuyến của (SBC) và (SAD) là đường thẳng d đi qua S và song song với BC và AD (Hình 12).
Hoạt động 3
9. Hoạt động 3
Ta đã biết trong cùng một mặt phẳng, hai đường thẳng phân biệt cùng song song với một đường thẳng thứ ba thì song song với nhau (Hình 13a). Trong không gian, cho ba đường thẳng a, b, c không đồng phẳng, a và b cùng song song với c. Gọi M là điểm thuộc a, d là giao tuyến của mp(a, c) và mp(M, b) (Hình 13b). Do b // c nên ta có d // b và d // c. Giải thích tại sao d phải trùng với a. Từ đó, nêu kết luận về vị trí giữa a và b.
Ảnh
Ảnh
Ảnh
Giải
Ảnh
Ta có: mp(a, c) = mp(M, c) và mp(a, b) = mp(m, b) Mà d là giao tuyến của mp(a, c) và mp(M, b) Suy ra M ∈ d Ta lại có d//b và d//c Do đó d phải trùng a.
Định lý 3
Ảnh
Hình vẽ
10. Định lý 3
Hai đường thẳng phân biệt cùng song song với một đường thẳng thứ ba thì song song với nhau.
Chú ý
Ảnh
Hình vẽ
11. Chú ý
Khi hai đường thẳng phân biệt a, b cùng song song với đường thẳng c thì ta có thể kí hiệu là a // b // c và gọi là ba đường thẳng song song.
Ví dụ 5
Ảnh
12. Ví dụ 5
Gọi M, N, P, Q, R, S là trung điểm các cạnh của tứ diện ABCD như Hình 14. Chứng minh rằng các đoạn thẳng MN, PQ, RS có cùng trung điểm.
Ảnh
Giải
- Ta có MP là đường trung bình của tam giác ABC, suy ra MP // AC và MP = LATEX((AC)/2) - Ta cũng có QN là đường trung bình của tam giác ADC, suy ra QN // AC và QN = LATEX((AC)/2) - MP và QN cùng song song với AC suy ra MP // QN. Tứ giác MPNQ có hai cạnh đối song song và bằng nhau nên là hình bình hành, suy ra MN và QP có cùng trung điểm I. - Chứng minh tương tự ta cũng có MN và RS có cùng trung điểm I. - Vậy các đoạn thẳng MN, PQ, RS có cùng trung điểm.
Thực hành 3
Ảnh
13. Vận dụng 2
Một chiếc lều (Hình 16a) được minh họa như Hình 16b. a) Tìm ba mặt phẳng cắt nhau từng đôi một theo ba giao tuyến song song. b) Tìm ba mặt phẳng cắt nhau từng đôi một theo ba giao tuyến đồng quy.
Giải
a) Ba mặt phẳng cắt nhau từng đôi một theo ba giao tuyến song song là (P), (Q) và (R). b) Ba mặt phẳng cắt nhau từng đôi một theo ba giao tuyến đồng quy là: (P), (S) và (R) hoặc (Q), (S) và (R).
III - Bài tập
Bài 1,2,3
III - Bài tập
1. Cho hai đường thẳng song song a và b. Mệnh đề sau đây đúng hay sai? a) Một đường thẳng c cắt a thì cũng cắt b. b) Một đường thẳng c chéo với a thì cũng chéo với b. 2. Cho hình chóp S.ABC và điểm M thuộc miền trong tam giác ABC (Hình 17). Qua M, vẽ đường thẳng d song song với SA, cắt (SBC) tại N. Trên hình vẽ, hãy chỉ rõ vị trí của điểm N và xác định giao tuyến của hai mặt phẳng (SAC) và (CMN). 3. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. a) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (SCD) và (SAB). b) Lấy một điểm M trên đoạn SA (M khác S và A), mặt phẳng (BCM) cắt SD tại N. Tứ giác CBMN là hình gì?
Bài 4,5
4. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành. Gọi I là trung điểm của SD. Hai mặt phẳng (IAC) và (SBC) cắt nhau theo giao tuyến Cx. Chứng minh rằng Cx // SB. 5. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành, AC và BD cắt nhau tại O. Gọi I là trung điểm của SO. Mặt phẳng (ICD) cắt SA, SB lần lượt tại M, N. a) Hãy nói cách xác định hai điểm M và N. Cho AB = a. Tính MN theo a. b) Trong mặt phẳng (CDMN), gọi K là giao điểm của CN và DM. Chứng minh SK // BC // AD.
Bài 6
6. Chỉ ra các đường thẳng song song trong mỗi hình sau. Tìm thêm một số ví dụ khác về các đường thẳng song song trong thực tế.
Ảnh
IV - Dặn dò
Dặn dò
Ảnh
Ảnh
IV - Dặn dò
- Làm bài tập trong phần III - Bài tập - Đọc trước bài Bài 3: Đường thẳng và mặt phẳng song song
Kết thúc
Ảnh