CHƯƠNG I. BÀI 1. GÓC LƯỢNG GIÁC.GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA GÓC LƯỢNG GIÁC
Trang bìa
Trang bìa
Ảnh
TOÁN 11
CHƯƠNG I. BÀI 1. GÓC LƯỢNG GIÁC.GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA GÓC LƯỢNG GIÁC
Mục tiêu
Mục tiêu
Ảnh
Mục tiêu bài học
Nhận biết được các khái niệm cơ bản về góc lượng giác. Nhận biết khái niệm giá trị lượng giác của một góc lượng giác. Mô tả bảng giá trị lượng giác của một số góc lượng giác thường gặp; hệ thức cơ bản giữa các giá trị lượng giác của một góc lượng giác; quan hệ giữa các giá trị lượng giác của các góc lượng giác có liên quan đặc biệt: bù nhau, phụ nhau, đối nhau, hơn kém nhau π. Sử dụng được máy tính cầm tay để tính giá trị lượng giác của một góc lượng giác khi biết số đo góc ấy.
Khởi động
Khởi động
Ảnh
Khởi động:
Trên mặt chiếc đồng hồ, kim giây đang ở vị trí ban đầu chỉ vào số 3 (Hình 1). Kim giây quay ba vòng và một phần tư 1 vòng (tức là 3latex(1/4) vòng) đến vị trí cuối chỉ vào số 6. Khi quay như thế, kim giây đã quét một góc với tia đầu chỉ vào số 3, tia cuối chỉ vào số 6. Góc đó gợi nên khái niệm gì trong toán học? Những góc như thế có tính chất gì?
I. Góc lượng giác
1. Góc hình học và số đo của chúng
Ảnh
Hoạt động 1: Nêu định nghĩa góc trong hình học phẳng.
1. Góc hình học và số đo của chúng
- Định nghĩa
Ảnh
Ảnh
Định nghĩa:
Góc (còn được gọi là góc hình học) là hình gồm hai tia chung gốc. Mỗi góc có một số đo, đơn vị đo góc (hình học) là độ. Số đo của một góc (hình học) không vượt quá 180°.
Chẳng hạn: Góc xOy gồm hai tia Ox và Oy chung gốc O có số đo là 60°.
+ tiếp
Ảnh
Nếu trên đường tròn, ta lấy một cung tròn có độ dài bằng bán kính thì góc ở tâm chắn cung đó gọi là góc có số đo 1 radian. 1 radian còn được viết tắt là 1 rad.
Định nghĩa:
Ảnh
- Nhận xét
- Nhận xét:
Ảnh
* Độ dài nửa đường tròn: latex(pi)R. * Số đo góc nửa đường tròn: latex(180@) bằng latex((piR)/R rad = pi rad). * latex(1 rad = (180/pi)^@~~ 57@)17'45'' và latex(1@ = (pi/180) rad~~ 0,0175 rad).
- Chú ý
Ảnh
Ảnh
Hình vẽ
Người ta thường không viết chữ radian hay rad sau số đo của góc.
Chú ý:
Ví dụ:
latex(pi/2 rad -> pi/2)
- Ví dụ 1
Ví dụ 1: Hãy hoàn thành bảng chuyển đổi số đo độ và số đo radian của một số góc đặc biệt sau:
Ảnh
Ảnh
Mẫu:
Đổi latex(30@) sang số đo radian: latex(30@ = 30. pi/180 = pi/6)
- Luyện tập 1
Ảnh
- Luyện tập 1:
Hãy hoàn thành bảng chuyển đổi độ và số đo radian của một số góc sau:
Ảnh
2. Góc lượng giác và số đo của chúng
Ảnh
Ảnh
2. Góc lượng giác và số đo của chúng.
a) Khái niệm
HĐ2: So sánh chiều quay của kim đồng hồ với: a) Chiều quay từ tia Om đến tia Ox trong Hình 3a. b) Chiều quay từ tia Om đến tia Oy trong Hình 3b.
- Kết luận
- Kết luận:
Ảnh
Cho hai tia Ou, Ov. Nếu tia Om quay chỉ theo chiều dương (hay chỉ theo chiều âm) xuất phát từ tia Ou đến trùng với tia Ov thì ta nói: Tia Om quét một góc lượng giác với tia đầu Ou và tia cuối Ov, kí hiệu là (Ou, Ov).
- Ví dụ 2
Ví dụ 2: Đọc tên góc lương giác, tia đầu và tia cuối của góc lượng giác đó trong H.4a.
Ảnh
Ảnh
Giải:
* Góc lượng giác: (Ox, Oy) * Tia đầu Ox ; * Tia cuối Oy.
- Luyện tập 2
Ảnh
- Luyện tập 2:
Đọc tên góc lượng giác, tia đầu và tia cuối của góc lượng giác đó trong H.4b.
Ảnh
- Hoạt động 3 (2. Góc lượng giác và số đo của chúng)
Ảnh
HĐ3a) Trong H.5a, tia Om quay theo chiều dương đúng một vòng. Hỏi tia đó quét nên một góc bao nhiêu độ? b) Trong H.5b, tia Om quay theo chiều dương ba vòng và một phần tư vòng (tức là latex(3 1/4) vòng). Hỏi tia đó quét nên một góc bao nhiêu độ? c) Trong Hình 5c, tia Om quay theo chiều âm đúng một vòng. Hỏi tia đó quét nên một góc bao nhiêu độ?
- Nhận xét
- Nhận xét:
Ảnh
Khi tia Om quay góc latex(alpha@) thì góc lượng giác mà tia đó quét nên có số đo là latex(alpha@). (hay latex((pia)/180 rad)). Vì thế, mỗi một góc lượng giác đều có một số đo, đơn vị đo góc lượng giác là độ hoặc radian. Nếu góc lượng giác (Ou, Ov) có số đo bằng latex(alpha) thì ta KH: latex(sđ(Ou, Ov = alpha)) hoặc latex((Ou, Ov) = alpha).
- Kết luận
- Kết luận:
Ảnh
Mỗi góc lượng giác gốc O được xác định bởi tia đầu Ou, tia cuối Ov và số đo của góc đó.
- Ví dụ 3
Ảnh
Ví dụ 3: Hãy biểu diễn trên mặt phẳng góc lượng giác trong mỗi trường hợp sau: a) Góc lượng giác gốc O có tia đầu Ou, tia cuối Ov và có số đo latex(510@); b) Góc lượng giác gốc O có tia đầu Ou, tia cuối Ov và có số đo latex(-(7pi)/6);
+ Giải (- Ví dụ 3)
Ảnh
Ảnh
a) Ta có: latex(510@ = 360@ + 150@). Góc lượng giác gốc O có tia đầu Ou, tia cuối Ov và có số đo latex(510@) được biểu diễn ở H.6a. b) Ta có: latex(-(7pi)/6 = -pi + (-pi/6)). Góc lượng giác gốc O có tia đầu Ou, tia cuối Ov và có số đo latex(-(7pi)/6).
Giải:
- Luyện tập 3
Ảnh
- Luyện tập 3:
Hãy biểu diễn trên mặt phẳng góc lượng giác gốc O có tia đầu Ou, tia cuối Ov và có số đo latex(-(5pi)/4).
b) Tính chất
Ảnh
b) Tính chất
HĐ4: Trong Hình 7a, ba góc lượng giác có cùng tia đầu Ou và tia cuối Ov, trong đó Ou ⊥ Ov. Xác định số đo của góc lượng giác trong các Hình 7b, 7c, 7d.
Ảnh
- Nhận xét
- Nhận xét:
Ảnh
Sự khác biệt giữa các góc lượng giác có cùng tia đầu và tia cuối chính là số vòng quay quanh điểm O. Vì vậy, sự khác biệt giữa số đo của các góc lượng giác đó chính là bội nguyên của latex(360@) khi các góc đó tính theo đơn vị độ (hay bội nguyên của latex(2pi) khi các góc đó tính theo đơn vị radian).
- Định lí
- Định lí:
Ảnh
Nếu một góc lượng giác có số đo latex(alpha@) (hay α radian) thì mọi góc lượng giác có cùng tia đầu, tia cuối với góc lượng giác đó có số đo dạng: latex(alpha@ + k360@) (hay latex(alpha + k2pi)), với k là số nguyên, mỗi góc ứng với một giá trị của k.
- Ví dụ 4
Ảnh
Ví dụ 4: Viết công thức biểu thị số đo của các góc lượng giác có cùng tia đầu, tia cuối với góc lượng giác có số đó bằng latex(60@).
Giải:
Gọi latex(alpha) là số đo của một góc lượng giác có cùng tia đầu, tia cuối với góc lượng giác có số đo bằng latex(60@). Khi đó, ta có: latex(alpha = 60@ + k360@), với k là số nguyên.
- Luyện tập 4
Ảnh
- Luyện tập 4:
Viết công thức biểu thị số đo của các góc lượng giác có cùng tia đầu, tia cuối với góc lượng giác có số đo bằng latex(-(4pi)/3).
- Hoạt động 5
Ảnh
b) Tính chất
HĐ5: Cho góc (hình học) xOz, tia Oy nằm trong góc xOz (Hình 8). Nêu mối liên hệ giữa số đo của góc xOz và tổng số đo của hai góc xOy và yOz.
Ảnh
- Hệ thức Chasles:
- Hệ thức Chasles:
Ảnh
Với ba tia tuỳ ý Ou, Ov, Ow, ta có: latex((Ou, Ov) + (Ov, Ow) = (Ou, Ow) + k2pi (k in Z))
- Ví dụ 5
Ảnh
Ví dụ 5: Cho góc lượng giác (Ou, Ov) có số đo là latex((3pi)/4), góc lượng giác (Ou, Ow) có số đo là latex((5pi)/4). Tìm số đo của góc lượng giác (Ov, Ow).
Giải:
Theo hệ thức Chasles, ta có: latex((Ov, Ow) = (Ou, Ow) - (Ou, Ov) + k2pi) latex( = (5pi)/4 - (3pi)/4 + k2pi = pi/2 + k2pi (k in Z))
- Luyện tập 5
Ảnh
- Luyện tập 5:
Cho góc lượng giác (Ou, Ov) có số đo là latex(-(11pi)/4), góc lượng giác (Ou, Ow) có số đo là latex((3pi)/4). Tìm số đo của góc lượng giác (Ov, Ow).
II. Giá trị lượng giác của góc lượng giác
1. Đường tròn lượng giác
Ảnh
HĐ6: a) Trong mặt phẳng toạ độ (định hướng) Oxy, vẽ đường tròn tâm O với bán kính bằng 1. b) Hãy nêu chiều dương, chiều âm trên đường tròn tâm O với bán kính bằng 1.
1. Đường tròn lượng giác
- Khái niệm
- Kết luận:
Ảnh
Trong mặt phẳng tọa độ đã được định hướng Oxy, lấy điểm A(1; 0). Đường tròn tâm O, bán kính OA = 1 được gọi là đường tròn lượng giác (hay đường tròn đơn vị) gốc A.
- Chú ý
Ảnh
Hình vẽ
Ảnh
- Chú ý:
Các điểm B(0; 1), A'(-1; 0), B'(0; -1) nằm trên đường tròn lượng giác.
- Ví dụ 6
Ảnh
Hình vẽ
Ảnh
Ví dụ 6: Xác định điểm M trên đường tròn lượng giác sao cho (OA, OM) = latex(135@).
Giải:
Gọi M là điểm chính giữa của cung BA' trên đường tròn lượng giác. Ta có: latex((OA, OM) = 135@).
- Luyện tập 6
Ảnh
- Luyện tập 6:
Xác định điểm N trên đường tròn lượng giác sao cho (OA, ON) = latex(-pi/3).
2. Giá trị lượng giác của góc lượng giác
Ảnh
HĐ7: a) Xác định điểm M trên đường tròn lượng giác sao cho latex((OA, OM) = 60@). b) So sánh: hoành độ của điểm M với latex(cos60@); tung độ của điểm M với latex(sin60@).
2. Giá trị lượng giác của góc lượng giác
- Khái niệm
Ảnh
Khái niệm:
* Hoành độ x của điểm M gọi là cosin của góc lượng giác latex(alpha) và KH: latex(cos alpha, cos alpha = x). * Tung độ y của điểm M gọi là sin của góc lượng giác latex(alpha) và KH: latex(sin alpha, sin alpha = y). * Nếu latex(cos alpha != 0) thì tỉ số latex((sin alpha)/(cos alpha)) gọi là tang của góc lượng giác latex(alpha) và KH: latex(tan alpha, tan alpha = (sin alpha)/(cos alpha)). * Nếu latex(cos alpha != 0) thì tỉ số latex((cos alpha)/(sin alpha)) gọi là cotang của góc lượng giác latex(alpha) và KH: latex(cot alpha, cot alpha = (cos alpha)/(sin alpha)).
- Ví dụ 7
Ảnh
VD7: Tìm các giá trị lượng giác của góc lượng giác latex(alpha = 120@).
Ảnh
Lấy điểm M trên đường tròn lượng giác: latex((OA, OM) = alpha = 120@). Gọi H, K lần lượt là hình chiếu của điểm M trên các trục Ox, Oy. Khi đó, ta có: latex(angle(AOM) = 120@) => latex(angle(BOM) = angle(KOM) = 30@). Theo hệ thức trong tam giác vuông KOM, ta có: OK = OM . latex(cos angle(KOM) = cos30@ = sqrt3/2) và latex(MK = OM. sin angle(KOM) = sin 30@ = 1/2). Do đó, latex(M(-1/2; sqrt3/2)). Vậy: latex(sin 120@ = sqrt3/2; cos 120@ = -1/2); latex(tan120@ = (sin120@)/(cos120@) = -sqrt3; cot120@ = (cos120@)/(sin120@) = -sqrt3/3).
- Luyện tập 7
Ảnh
- Luyện tập 7:
Tìm giá trị lượng giác của góc lượng giác latex(beta = -pi/4).
- Hoạt động 8 (2. Giá trị lượng giác của góc lượng giác)
Ảnh
HĐ8: Xét dấu các giá trị lượng giác của góc lượng giác latex(alpha = -30@).
- Tìm hiểu
Ảnh
Tìm hiểu:
Dấu của các giá trị lượng giác của góc latex(alpha) = (OA, OM) phụ thuộc vào vị trí điểm M trên đường tròn lượng giác.
Ảnh
- Ví dụ 8
Ảnh
Ví dụ 8: Xét dấu các giá trị lượng giác của lượng giác latex(alpha = -(3pi)/4)
Giải:
Do latex(-pi < -(3pi)/4 < -pi/2) nên latex(sin(-(3pi)/4) < 0); latex(cos(-(3pi)/4) < 0; tan(-(3pi)/4) > 0, cot(-(3pi)/4) > 0).
- Luyện tập 8
Ảnh
- Luyện tập 8:
Xét dấu các giá trị lượng giác của góc lượng giác latex(alpha = (5pi)/6).
- Hoạt động 9
Ảnh
HĐ9: Cho góc lượng giác α. So sánh: a) latex(cos2α + sin2α) và 1; b) latex(tanα . cotα) và 1 (với latex(cosα != 0, sinα != 0)); c) latex(1 + tan^2 alpha) và latex(1/(cos^2 alpha)) với latex(cosa !=0); c) latex(1 + cot^2 alpha) và latex(1/(sin^2 alpha)) với latex(sina !=0);
- Công thức
- Công thức:
Ảnh
* latex(cos^2 alpha + sin^2 alpha = 1) với mọi latex(alpha). * latex(tan alpha = 1/(cot alpha)) với latex(cos alpha, sin alpha != 0). * latex(1 + tan^2 alpha = 1/(cos^2 alpha)) với latex(cos alpha != 0). * latex(1 + cot^2 alpha = 1/(sin^2 alpha)) với latex(sin alpha != 0).
- Ví dụ 9
Ảnh
Hình vẽ
Ví dụ 9: Cho góc lượng giác latex(alpha) sao cho latex(-pi/2 < alpha < 0) và latex(tan alpha = -2). Tính latex(cos alpha, sin alpha).
Giải:
Do tan latex(alpha = -2) nên latex((sin alpha)/(cos alpha) = -2) => latex(sin alpha = -2cos alpha). Vì latex(cos^2 alpha + sin^2 alpha = 1) nên latex(cos^2 alpha + (-2cos alpha)^2 = 1) => latex(cos^2 alpha = 1/5). Do đó latex(-pi/2 < alpha < 0) nên latex(cos alpha > 0). Từ đó ta có: latex(cos alpha = sqrt(1/5) = 1/sqrt5) => latex(sin alpha = -2. 1/sqrt5 = -2/sqrt5).
- Luyện tập 9
Ảnh
- Luyện tập 9:
Cho góc lượng giác α sao cho latex(pi < alpha <(3pi)/2) và latex(sin alpha = -4/5). Tìm latex(cos alpha).
- Hoạt động 10
Ảnh
HĐ10: Tìm các giá trị lượng giác của góc lượng giác latex(alpha = pi/4).
- Giá trị lượng giác của một số góc đặc biệt
Ảnh
Giá trị lượng giác của một số góc đặc biệt:
Ảnh
- Ví dụ 10
Ảnh
Ví dụ 10: Tính giá trị của biểu thức: latex(P = cos^2 pi/3 + tan pi/4 + cot^2 pi/6 + sin pi/2).
Giải:
Ta có: latex(P = cos^2 pi/3 + tan pi/4 + cot^2 pi/6 + sin pi/2) = latex((1/2)^2 + 1 + (sqrt3)^2 + 1 = 21/4)
- Luyện tập 10
Ảnh
- Luyện tập 10:
Tính giá trị của biểu thức: latex(Q = tan^2 pi/3 + sin^2pi/4 + cot pi/4 + cos pi/2).
3. Giá trị lượng giác của các góc có liên quan đặc biệt
Ảnh
Hình vẽ
Ảnh
HĐ11: Trên đường tròn lượng giác, cho hai điểm M, M’ sao cho góc lượng giác (OA, OM) = α, góc lượng giác (OA, OM’) = – α (Hình 13). a) Đối với hai điểm M, M’ nêu nhận xét: hoành độ của chúng, tung độ. b) Nêu mối liên hệ giữa các giá trị lượng giác tương ứng của hai góc lượng giác α và - α.
3. Giá trị lượng giác của các góc có liên quan đặc biệt
- Công thức hai góc đối nhau (latex(alpha) và latex(-alpha))
- Công thức hai góc đối nhau (latex(alpha) và latex(-alpha))
Ảnh
* latex(sin(-alpha) = -sin alpha). * latex(cos(-alpha) = cos alpha). * latex(tan(-alpha) = -tan alpha). * latex(cot(-alpha) = -cot alpha).
- Công thức hai góc hơn kơm nhau latex(pi) (latex(alpha) và latex(alpha + pi))
Ảnh
Công thức hai góc hơn kơm nhau latex(pi) (latex(alpha) và latex(alpha + pi)):
* latex(sin(alpha + pi) = -sin alpha). * latex(cos(alpha + pi) = -cos alpha). * latex(tan(alpha + pi) = tan alpha). * latex(cot(alpha + pi) = cot alpha).
Ảnh
- Công thức hai góc bù nhau (latex(alpha) và latex(pi - alpha))
Ảnh
Công thức hai góc bù nhau (latex(alpha) và latex(pi - alpha)):
* latex(sin(pi - alpha) = sin alpha). * latex(cos(pi - alpha) = -cos alpha). * latex(tan(pi - alpha) = -tan alpha). * latex(cot(pi - alpha) = -cot alpha).
Ảnh
- Công thức hai góc phụ nhau (latex(alpha) và latex(pi/2 - alpha))
Ảnh
Công thức hai góc phụ nhau (latex(alpha) và latex(pi/2 - alpha)):
* latex(sin(pi/2 - alpha) = cos alpha). * latex(cos(pi/2 - alpha) = sin alpha). * latex(tan(pi/2 - alpha) = cot alpha). * latex(cot(pi/2 - alpha) = tan alpha).
Ảnh
- Ví dụ 11
Ảnh
Ví dụ 11: Tính: a) latex(sin(13pi)/4); b) latex(sinpi/10 - cos(2pi)/5).
Giải:
Ta có: a) latex(sin(13pi)/4 = sin(3pi + pi/4) = sin(pi + pi/4)) = latex(-sinpi/4 = -sqrt2/2); b) latex(sinpi/10 - cos(2pi)/5 = sinpi/10 - sin(pi/2 - (2pi)/5)) = latex(sinpi/10 - sinpi/10 = 0).
- Luyện tập 11
Ảnh
- Luyện tập 11:
Tính: a) latex(cos^2 pi/8 + cos^2 (3pi)/8); b) latex(tan1@ . tan2@ . tan45@ . tan88@ . tan89@).
4. Sử dụng máy tính cầm tay để tính giá trị lượng giác của một góc lượng giác
Ảnh
Hình vẽ
* Nếu đơn vị của góc lượng giác là độ (latex(@)), trước hết, ta chuyển máy tính sang chế độ "độ".
4. Sử dụng máy tính cầm tay để tính giá trị lượng giác của một góc lượng giác
Ảnh
+ tiếp
Ảnh
Hình vẽ
* Nếu đơn vị của góc lượng giác là radian (rad), trước hết, ta chuyển máy tính sang chế độ "radian".
4. Sử dụng máy tính cầm tay để tính giá trị lượng giác của một góc lượng giác
Ảnh
- Ví dụ 12
Ảnh
Hình vẽ
Ví dụ 12: Dùng máy tính cầm tay để tính: a) latex(sin42@)35'13"; b) latex(cos((2pi)/4)).
Giải:
Ảnh
- Luyện tập 12
Ảnh
- Luyện tập 12:
Dùng máy tính cầm tay để tính: a) latex(tan(-75@)); b) latex(cot(-pi/5))
- Bài tập
Ảnh
- Bài tập:
Bài 1: Xác định vị trí các điểm M, N, P trên đường tròn lượng giác sao cho số đo của các góc lượng giác (OA, OM), (OA, ON), (OA, OP) lần lượt bằng latex(pi/2; (3pi)/6; -pi/6). Bài 2: Tính các giá trị lượng giác của mỗi góc sau: latex(225@; -225@; -1035@; (5pi)/3; (19pi)/2). Bài 3: Tính các giá trị lượng giác (nếu có) của mỗi góc sau: a) latex(pi/3 + k2pi (k in Z)); b) latex(kpi (k in Z)); c) latex(pi/2 + k2pi (k in Z)); d) latex(pi/4 + kpi (k in Z)).
Dặn dò
- Dặn dò
Ảnh
Ôn lại kiến thức vừa học. Hoàn thành các bài còn lại trong SGK. Chuẩn bị bài sau: "Chương I. Bài 2. Các phép biến đổi lượng giác".
Dặn dò:
- Cảm ơn
Ảnh