CHƯƠNG 1. BÀI 1. GÓC LƯỢNG GIÁC
Trang bìa
Trang bìa
CHƯƠNG 1. BÀI 1. GÓC LƯỢNG GIÁC
Ảnh
Toán 11
Khởi động
Khởi động
Khởi động
Ảnh
Mỗi hình dưới đây sử dụng chuyển động quay của một điểm trên bánh lái tàu từ vị trí A đến vị trí B. Các chuyển động này có điểm nào giống nhau, điểm nào khác nhau
Ảnh
I - Góc lượng giác
Hoạt động 1
Ảnh
Hoạt động 1
Ảnh
Ảnh
Một chiếc bánh lái tàu có thể quay theo cả hai chiều. Trong Hình 1 và Hình 2, lúc đầu thanh OM ở vị trí OA a/ Khi quay bánh lái ngược chiều kim đồng hồ (Hình 1), cứ mỗi giây bánh lái quay một góc 60 độ. Bảng dưới đây cho ta góc quay a của thanh OM sau t giây kể từ lúc bắt đầu quay. Thay dấu ? bằng số đo thích hợp
Ảnh
Ảnh
Giải
a) Vì cứ mỗi giây, bánh lái quay một góc 60° nên tương ứng ta có: Với t = 1 (giây) thì α = 60° Với t = 2 (giây) thì α = 2.60° = 120° Với t = 3 (giây) thì α = 3.60° = 180° Với t = 4 (giây) thì α = 4.60° = 240° Với t = 5 (giây) thì α = 5.60° = 300° Với t = 6 (giây) thì α = 6.60° = 360° Khi đó ta có bảng:
Ảnh
Ảnh
b) Vì cứ mỗi giây, bánh lái quay một góc – 60° nên tương ứng ta có: Với t = 1 (giây) thì α = – 60° Với t = 2 (giây) thì α = 2.(– 60°) = – 120° Với t = 3 (giây) thì α = 3.(– 60°) = – 180° Với t = 4 (giây) thì α = 4.(– 60°) = – 240° Với t = 5 (giây) thì α = 5.(– 60°) = – 300° Với t = 6 (giây) thì α = 6.(– 60°) = – 360° Khi đó ta có bảng:
Ảnh
Khái niệm
Hình vẽ
2. Khái niệm góc lượng giác
Cho hai tia Oa, Ob. - Nếu một tia Om quay quanh gốc O của nó theo một chiều cố định bắt đầu từ vị trí tia Oa và dùng ở vị trí tia Ob thì ta nói tia Om quét một góc lượng giác có tia đầu Oa, tia cuối Ob, kí hiệu (Oa, Ob). - Khi tia Om quay một góc a, ta nói số đo của góc lượng giác (Oa, Ob) bằng a, kí hiệu sđ (Oa, Ob) = a.
Ảnh
Ảnh
Chú ý
3. Chú ý
Ảnh
Với hai tia Oa và Oh cho trước, có vô số góc lượng giác tia đầu Oa và tia cuối Ob. Ta dùng chung kí hiệu (Oa, Ob) cho tất cả các góc lượng giác này
Ví dụ
4.Ví dụ 1:
Ảnh
a/ Số đo của góc lượng giác (Oa,Ob) trong hình 5a là 90° b/ Số đo của góc lượng giác (Oa,Ob) trong hình 5b là 90°+ 360° = 450° c/ Số đo của góc lượng giác (Oa,Ob) trong hình 5c là 90°+ 2.360° = 810° d/ Số đo của góc lượng giác (Oa,Ob) trong hình 5d là
Giải
Xác định số đo của các góc lượng giác (Oa, Ob) trong Hình 5.
LATEX(3/4).(-360°) = 270°
Nhận xét
Số đo của các góc lượng giác có cùng tia đầu Oa và tia cuối Ob sai khác nhau một bội nguyên của 360° nên có công thức tổng quát là: sd(Oa, Ob) = a + k 360° (k ∈ Z), thường viết là (Oa, Ob) = a + k 360° với a là số đo của một góc lượng giác bất kì có tia đầu Oa và tia cuối Ob. Chẳng hạn, trong Hình 5a, (Oa, Ob) = 90°+ k 360° (k ∈ Z)
5. Nhận xét
Ảnh
Thảo luận nhóm 1
1/ Cho = 60°. Xác định số đo của các góc lượng giác được biểu diễn trong Hình 6 và viết công thức tổng quát của số đo góc lượng giác (OM, ON). 2/ Trong khoảng thời gian từ 0 giờ đến 2 giờ 15 phút, kim phút quét một góc lượng giác là bao nhiêu độ?
6. Thảo luận nhóm
Ảnh
LATEX(angle(MON))
Ảnh
Giải
1. Số đo góc lượng giác (OM, ON) trong Hình 6a là 60°. Số đo góc lượng giác (OM, ON) trong Hình 6b là: 2.360° + 60° = 780°. Số đo góc lượng giác (OM, ON) trong Hình 6c là: – (360° – 60°) = –300°.
Từ 0 giờ đến 2 giờ, kim phút quay được 2 vòng tròn tương ứng với quét một góc: 2.360° = 720°. Còn 15 phút còn lại kim phút quay quét thêm một góc lượng giác là: 90°. Vì vậy từ 0 giờ đến 2 giờ 15 phút, kim phút quét một góc lượng giác: 720° + 90° = 810°
2.
Ảnh
Hệ thức Chasles (Sa-lơ)
Hình vẽ
Cho Hình 7: a) Xác định số đo các góc lượng giác (Oa,Ob), (Ob,Oc) và (Oa,Oc) b) Nhận xét về mối liên giữa ba số đo góc này Với ba tia Oa,Ob và Oc bất kì thì ta có (Oa,Ob) + (Ob,Oc) = (Oa, Oc) + k 360° (k∈ Z)
Ảnh
7. Hệ thức Chasles (Sa-lơ)
Ảnh
Ảnh
Ta thừa nhận hệ thức sau về số đo của góc lượng giác gọi là "hệ thức Chasles"
Thảo luận nhóm 2
Trong Hình 8, chiếc quạt có ba cánh quạt được phân bố đều nhau. Viết công thức tổng quát số đo của góc lượng giác (Ox,ON) và (Ox,OP)
8. Thảo luận nhóm 2
Ảnh
Ảnh
Ảnh
Giải
Chiếc quạt có ba cạnh được phân bố đều nhau nên: - Với ba tia OM, Ox và ON, ta có: (Ox, OM) + (OM, ON) = (Ox, ON) + k1360° (k1 ∈ Z) ⇒ (Ox, ON) = (Ox, OM) + (OM, ON) – k1360° ⇒ (Ox, ON) = 120° + (– 50°) – k1360° ⇒ (Ox, ON) = 70° – k1360°. - Với ba tia Ox, ON, OP, ta có: (Ox, ON) + (ON, OP) = (Ox, OP) + k2360° (k2 ∈ Z) ⇒ (Ox, OP) = (Ox, ON) + (ON, OP) – k2360° ⇒ (Ox, OP) = 70° – k1360° + 120° – k2360° ⇒ (Ox, OP) = 190° – (k1 + k2) 360° ⇒ (Ox, OP) = 190° – k 360° (với k = k1 + k2)
LATEX(angle(MON)) = LATEX(angle(NOP)) = LATEX(angle(POM))
II - Đơn vị radian
Hoạt động 2
Ảnh
Ảnh
Ảnh
Vẽ đường tròn tâm O bán kính R bất kì. Dùng một đoạn dây mềm đo bán kính và đánh dấu được một cung AB có độ dài đúng bằng R (Hình 9). Đo và cho biết có số đo bằng bao nhiêu độ.
1. Hoạt động 2
LATEX(angle(AOB))
Giải
Tiến hành đo góc ta được = 58°
LATEX(angle(AOB))
LATEX(angle(AOB))
Khái niệm
Hình vẽ
Trên đường tròn bán kính tuỳ , góc ở tâm chắn một cung có độ dài đúng bằng R được gọi là một góc có số đo 1 radian ( đọc là 1 ra-đi-an, viết tắt là 1 rad)
2. Khái niệm radian
Ảnh
Công thức chuyển đổi
Ảnh
3. Công thức chuyển đổi số đo từ đơn vị radian sang độ và ngược lại
Hình vẽ
a°= LATEX((aπ)/(180°)) rad
a.radian = (LATEX((180a)/π))°
Ví dụ 2
a) -60° b) c) 3 rad.
4. Ví dụ 2.
Đổi các số đo góc sau đây từ radian sang độ hoặc ngược lại:
Giải
a) -60°= rad = rad b) rad = = 72° c) 3 rad = (3. = ≈ 171,89°.
rad
LATEX(((-60π)/180)) LATEX((-π/3))
LATEX((2π)/5) (LATEX((2π)/5).LATEX(180/π))°
LATEX(180/π))° (LATEX(540/π))°
LATEX((2π)/5)
Chú ý
a) Khi ghi số đo của một góc theo đơn vị radian, người ta bỏ đi chữ rad sau số đo. Ví dụ, rad được viết là , 2 rad được viết là 2 b) Với đơn vị radian, công thức số đo tổng quát của góc lượng giác (Oa, Ob) là (Oa, Ob) = a + k2n (k∈ Z), trong đó a là số đo theo radian của một góc lượng giác bất kì có tia đầu Oa và tia cuối Ob. Lưu ý không được viết a + k360° hay a° + k2π (vì không cùng đơn vị đo)
5. Chú ý
Ảnh
LATEX(π/2) LATEX(π/2)
III - Đường tròn lượng giác
Hoạt động 3
Ảnh
Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, vẽ đường tròn tâm O bán kính bằng 1 và điểm A(1; 0). a) Cho điểm B(0; 1). Số đo góc lượng giác (OA, OB) bằng bao nhiêu radian? b) Xác định các điểm A' và B' trên đường tròn sao cho các góc
lượng giác (OA, OA'), (OA, OB') có số đo lần lượt là π và LATEX(π /2)
Hoạt động 3
Ảnh
Giải
Ta có hình vẽ:
a) Ta có: Số đo góc lượng giác (OA, OB) bằng 90°.
Ảnh
Ảnh
Ảnh
b) Điểm A’ là điểm nằm trên đường tròn lượng giác thỏa mãn (OA, OA’) bằng π. Khi đó ta có hình vẽ:
Ảnh
Điểm B’ là điểm nằm trên đường tròn lượng giác thỏa mãn (OA, OB’) bằng . Khi đó ta có hình vẽ:
LATEX(π/2)
Khái niệm
Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho đường tròn tâm O bán kính bằng 1. Trên đường tròn này, chọn điểm A(1; 0) làm gốc, chiều dương là chiều ngược chiều kim đồng hồ và chiều âm là chiều cùng chiều kim đồng hồ. Đường tròn cùng với gốc và chiều như trên được gọi là "đường tròn lượng giác".
2. Khái niệm
Ảnh
Ảnh
Ảnh
Cho số đo góc ở bất kì. Trên đường tròn lượng giác, ta xác định được duy nhất một điểm M sao cho (OA, OM) bằng a (Hình 12). Khi đó số đo góc lượng giác điểm M được gọi là "điểm biểu diễn" của góc có số đo a trên đường tròn lượng giác.
Ví dụ 3
3. Ví dụ 3. Biểu diễn trên đường tròn lượng giác các góc lượng giác có số đo là: a) 865° b)
LATEX((-7π)/3)
Giải
a/ Ta có 865° = 145° +2.360°. Vậy điểm biểu diễn góc lượng giác có số đo 865° là điểm M trên phần đường tròn lượng giác thuộc góc phần tư thứ II sao cho AOM = 145° (Hình 13a). b) Ta có + (-1).2π. Vậy điểm biểu diễn góc lượng giác có số đo là điểm N trên phần đường tròn lượng giác thuộc góc phần tư thứ IV sao cho AON = (Hình 13b).
Ảnh
LATEX((-7π)/3) = LATEX(π/3)
LATEX((-7π)/3)
LATEX(π/3)
IV - Bài tập
Bài 1,2,3,4
1. Biểu diễn trên đường tròn lượng giác các góc lượng giác a) -1485° b) 2. Đổi số đo của các góc sau đây sang radian: a) 38° = ......... rad b) -115° = .......... rad c) = .......... rad 3. Đổi số đo của các góc sau đây sang độ: a) = ..........°
LATEX(π/12)
LATEX((13π)/9)
b) -5 = ..........° c) = ..........°
(LATEX(3/π))°
LATEX((19π)/4)
4. Góc lượng giác có cùng điểm biểu diễn trên đường tròn lượng giác với góc lượng giác nào sau đây?
LATEX((3π)/7); LATEX((10π)/7); LATEX((-25π)/7)
LATEX((31π)/7)
Bài 5,6,7,8
5. Viết công thức số đo tổng quát của các góc lượng giác (OA, OM) và (OA, ON) trong Hình 14. 6. Trong Hình 15, mâm bánh xe ô tô được chia thành năm phần bằng nhau. Viết công thức số đo tổng quát của góc lượng giác (Ox, ON). 7. Trên đường tròn lượng giác, hãy biểu diễn các góc lượng giác có số đo có dạng là: 8. Vị trí các điểm B, C, D trên cánh quạt động cơ máy bay trong Hình 16 có thể được biểu diễn cho các góc lượng giác nào sau đây?
Ảnh
Ảnh
a) LATEX(π/2)+kπ (k ∈ Z) b) kLATEX(π/4) (k ∈ Z).
a) LATEX(π/2) + kLATEX(2π/3) (k ∈ Z) b) LATEX(-π/6) + kLATEX(2π/3) (k ∈ Z)
Ảnh
V - Dặn dò
Dặn dò
Ảnh
Ảnh
- Làm bài tập trong sách giáo khoa và sách bài tập - Tóm tắt và vở Bài 2: Giá trị lượng giác của một góc lượng giác
Dặn dò
Kết thúc
Ảnh