BÀI 16: GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ
Trang bìa
Trang bìa
Ảnh
BÀI 16: GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ
TOÁN 11
Khởi động
Khởi động
- Khởi động:
Trong Thuyết tương đối của Einstein, khối lượng của vật chuyển động với vận tốc v cho bởi công thức: latex(m = (m_0)/(sqrt(1 - (v^2)/(c^2)))) trong đó latex(m_0) là khối lượng của vật khi nó đứng yên, c là vận tốc ánh sáng. Chuyện gì xảy ra với khối lượng của vật khi vận tốc của vật gần với vận tốc ánh sáng?
Ảnh
Hình thàn kiến thức
1. Giới hạn hữu hạn của hàm số tại một điểm
1. Giới hạn hữu hạn của hàm số tại một điểm
Ảnh
HĐ1: Nhận biết khái niệm giới hạn tại một điểm
Cho hàm số f(x) = latex((4 - x^2)/(x - 2)) a) Tìm tập xác định của hàm số f(x). b) Cho dãy số latex(x_n = (2n + 1)/n). Rút gọn latex(f(x_n)) và tính giới hạn của dãy số latex((u_n)) với latex(u_n = f(x_n)). c) Với dãy số latex((x_n)) bất kì sao cho latex(x_n != 2) và latex(x_n -> 2), tính f(xn) và tìm lim latex(f(x_n)).
latex(n -> +oo)
- Kết luận
- Kết luận:
Ảnh
Ảnh
- Ví dụ 1
Ảnh
Ví dụ 1: Cho hàm số f(x) = latex((x - 1)/(x^2 - 1)). Chứng tỏ rằng lim latex(f(x) = 1/2).
- Giải:
Lấy dãy số latex((x_n)) bất kì sao cho latex(x_n != 1) và latex(x_n -> 1). Ta có latex(f(x_n) = (x_n - 1)/(x_n^2 - 1) = 1/(x_n + 1)). Do đó lim latex(f(x_n)) = lim latex(1/(x_n + 1) = 1/2). Vậy lim latex(f(x) = 1/2).
latex(x -> 1)
latex(n -> + oo)
latex(n -> + oo)
latex(x -> 1)
- Quy tắc
- Quy tắc:
Ảnh
- Ví dụ 2
Ảnh
Ví dụ 2: Cho f(x) = x - 1 và g(x) = latex(x^3). Tính các giới hạn sau: a) lim [3f(x) - g(x)]; b) lim latex(([f(x)]^2)/(g(x)))
latex(n -> 1)
latex(n -> +oo)
latex(n -> 1)
- Ví dụ 3
Ví dụ 3: Tính lim latex((sqrt(x + 9) - 3)/x)
latex(x -> 0)
Ảnh
- Giải:
Do mẫu thức có giới hạn là 0 khi latex(x -> 0) nên ta không thể áp dụng quy tắc tính giới hạn của thương hai hàm số. Chú ý rằng latex((sqrt(x + 9) - 3)/x = ((sqrt(x + 9))^2 - 3^2)/(x(sqrt(x + 9) + 3)) = x/(x(sqrt(x + 9) + 3)) = 1/(sqrt(x + 9) + 3)). Do đó lim latex((sqrt(x + 9) - 3)/x) = lim latex(1/(sqrt(x + 9) + 3) = 1/(lim[sqrt(x + 9) + 3]) = 1/6).
latex(x -> 0)
latex(x -> 0)
latex(x -> 0)
- Luyện tập 1
Ảnh
- Luyện tập 1:
Thực hiện phép tính sau: lim latex((x-1)/(sqrtx - 1)).
latex(x -> 1)
HĐ2: Nhận biết khái niệm giới hạn một bên
Ảnh
HĐ2: Nhận biết khái niệm giới hạn một bên
Cho hàm số f(x) = latex((|x - 1|)/(x - 1)). a) Cho latex(x_n = n/(n + 1)) và latex(x_n)' = latex((n + 1)/n). Tính latex(y_n = f(x_n)) và latex(y_n)' = latex(f(x_n))'. b) Tìm giới hạn của các dãy số latex((y_n)) và latex((y_n))'. c) Cho các dãy số latex((x_n)) và latex((x_n))' bất kì sao cho latex(x_n < 1 < x_n)' và latex(x_n -> 1), latex(x_n)' latex(->1), tính lim latex(f(x_n)) và lim latex(f(x_n))'
- Kết luận
- Kết luận:
Ảnh
Ảnh
- Ví dụ 4
Ảnh
Ví dụ 4: Cho hàm số f(x) =
Ảnh
latex(x^2) nếu 0 < x < 1 x + 1 nếu latex(1 <= x < 2)
Tính lim f(x) và lim f(x)
latex(x -> 1^-)
latex(x -> 1^+)
- Luyện tập 2
Ảnh
- Luyện tập 2:
Cho hàm số f(x) =
latex(x -> 0^+)
Ảnh
-x nếu x < 0 latex(sqrtx) nếu latex(x >= 0).
Tính lim f(x), lim f(x) và lim f(x)
latex(x -> 0^-)
latex(x -> 0)
2. Giới hạn hữu hạn của hàm số tại vô cực
Ảnh
2. Giới hạn hữu hạn của hàm số tại vô cực
Cho hàm số latex(f(x) = 1 + 2/(x - 1)) có đồ thị như Hình 5.4.
HĐ3: Nhận biết khái niệm giới hạn tại vô cực
Giả sử latex((x_n)) là dãy số sao cho latex(x_n > 1, x_n -> +oo). Tính latex(f(x_n)) và tìm lim latex(f(x_n)).
- Kết luận
Ảnh
- Kết luận:
Ảnh
- Ví dụ 5
Ảnh
Ví dụ 5: Cho f(x) = latex(2 + 4/(x - 1)). Sử dụng ĐN, tìm lim f(x) và lim f(x).
- Giải:
Lấy dãy latex((x_n)) bất kì sao cho latex(x_n > 1) và latex(x_n -> + oo), ta có latex(f(x_n) = 2 + 4/(x_n - 1)). Do đó lim latex(f(x_n) = 2) Vậy lim f(x) = 2. Tương tự, ta cũng có lim f(x) = 2.
latex(x -> +oo)
latex(x -> -oo)
latex(n -> + oo)
latex(n -> + oo)
latex(n -> - oo)
- Kết luận
- Kết luận:
Ảnh
Ảnh
- Ví dụ 6
Ảnh
Ví dụ 6: Thực hiện phép tính lim latex((sqrt(x^2 + 1))/x)
- Giải:
Ta có: lim latex(sqrt(x^2 + 1)/x = lim (-sqrt((x^2 + 1)/(x^2)))) = -latex(lim(sqrt(1 + 1/(x^2)))) = - latex(sqrt(lim(1+ 1/(x^2))) = -sqrt(1 + lim 1/(x^2)) = -1).
latex(x -> -oo)
latex(x -> - oo)
latex(x -> - oo)
latex(x -> - oo)
latex(x -> - oo)
- Luyện tập 3
Ảnh
- Luyện tập 3:
Thực hiện phép tính sau: lim latex(sqrt(x^2 + 2)/(x + 1))
latex(x -> +oo)
- Vận dụng
Ảnh
- Vận dụng:
Cho tam giác vuông OAB với A = (a; 0) và B = (0; 1) như Hình 5.5. Đường cao OH có độ dài là h. a) Tính h theo a. b) Khi điểm A dịch chuyển về O, điểm H thay đổi thế nào? Tại sao? c) Khi A dịch chuyển ra vô cực theo chiều dương của trục Ox, điểm H thay đổi thế nào? Tại sao?
3. Giới hạn vô cực của hàm số tại một điểm
Ảnh
3. Giới hạn vô cực của hàm số tại một điểm
a) Giới hạn vô cực
HĐ4: Xét hàm số f(x) = latex(1/(x^2)) có đồ thị như Hình 5.6. Cho latex(x_n = 1/n), chứng tỏ rằng latex(f(x_n) -> + oo).
- Kết luận
- Kết luận:
Ảnh
Ảnh
- Ví dụ 7
Ảnh
Ví dụ 7: Thực hiện phép tính lim latex(1/(|x - 1|))
- Giải:
Xét hàm số f(x) = latex(1/(|x - 1|)). Lấy dãy số latex((x_n)) bất kì sao cho latex(x_n != 1, x_n -> 1). Khi đó, latex(|x_n - 1| -> 0). Do đó latex(f(x_n) =1/(|x_n - 1|) -> +oo). Vậy lim latex(1/(|x - 1|) = +oo).
latex(x -> 1)
latex(x -> 1)
- HĐ5
Ảnh
HĐ5: Cho hàm số f(x) = latex(1/(x - 1)). Với các dãy số latex((x_n)) và latex((x_n))' cho bởi latex(x_n = 1 + 1/n), latex(x_n)' = latex(1 - 1/n), tính: lim latex(f(x_n)) và lim latex(f(x_n))'.
latex(n -> +oo)
latex(n -> +oo)
- Kết luận
- Kết luận:
Ảnh
Ảnh
- Ví dụ 8
Ảnh
Ví dụ 8: Thực hiện giải bài toán ở tình huống mở đầu.
latex(n -> +oo)
- Luyện tập 4
Ảnh
- Luyện tập 4:
Tính các giới hạn sau: a) lim latex(2/(|x|)); b) lim latex(1/(sqrt(2 - x)))
latex(x -> 0)
latex(x -> 2^-)
b) Một số quy tắc tính giới hạn vô cực
b) Một số quy tắc tính giới hạn vô cực
* Quy tắc tìm giới hạn của tích f(x) g(x)
Ảnh
Ảnh
* Quy tắc tìm giới hạn của thương latex((f(x))/(g(x)))
- Ví dụ 9
Ảnh
Ví dụ 9: Thực hiện phép tính lim latex((x+1)/(x^2))
- Giải:
Viết latex(1/(x(1- x)) = 1/x . 1/(1-x)), ta có lim latex(1/x = 1 > 0). Hơn nữa lim latex(1/(1-x) = -oo) do 1 - x < 0 khi x > 1. Áp dụng quy tắc tìm giới hạn của tích, ta được lim latex(1/(x(1 - x)) = -oo). Lí luận tương tự, ta có lim latex(1/(1 - x) = + oo).
latex(x -> 1^+)
latex(x -> 1^-)
latex(x -> 1^-)
latex(x -> 1^+)
latex(x -> 1^+)
- Luyện tập 5
Ảnh
- Luyện tập 5:
Thực hiện phép tính sau: lim latex((2x - 1)/(x - 2)) và lim latex((2x - 1)/(x- 2))
latex(x -> 2^+)
latex(x -> 2^-)
Luyện tập và vận dụng
Bài 1 (Luyện tập và vận dụng)
Ảnh
Hình vẽ
Bài 1: Cho hai hàm số f(x) = latex((x^2 - 1)/(x - 1)) và g(x) = x + 1. Khẳng định nào sau đây là đúng?
latex(x -> 1)
latex(x -> 1)
a) f(x) = g(x);
b) lim f(x) = lim g(x)
Bài 2 (Luyện tập và vận dụng)
Ảnh
Hình vẽ
Bài 2: Tính các giới hạn sau: a) lim latex(((x+2)^2 - 4)/x); b) lim latex((sqrt(x^2 + 9) - 3)/(x^2))
latex(x -> 0)
latex(x -> 0)
Bài 3
Ảnh
Hình vẽ
Bài 3: Tính các giới hạn một bên: a) lim latex((x - 2)/(x - 1)); b) lim latex((x^2 - x +1)/(4 - x))
latex(x -> 1^+)
latex(x -> 4^-)
Dặn dò
- Dặn dò
Ảnh
Ôn lại kiến thức vừa học. Hoàn thành các bài còn lại SGK và SBT. Chuẩn bị bài sau: "Bài 17: Hàm số liên tục".
Dặn dò
- Cảm ơn
Ảnh
CẢM ƠN CÁC EM ĐÃ LẮNG NGHE BÀI HỌC !