CHƯƠNG III. BÀI 2. GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ
Trang bìa
Trang bìa
Ảnh
TOÁN 11
CHƯƠNG III. BÀI 2. GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ
Khởi động
Tình huống mở đầu
Ảnh
Ảnh
- Tình huống mở đầu:
Trong toán học, giá trị 0,070 biểu thị khái niệm gì của hàm số v(t) khi các giá trị của biến số t dần tới 0,2?
I. Giới hạn hữu hạn của hàm số tại một điểm
1. Định nghĩa
I. Giới hạn hữu hạn của hàm số tại một điểm
HĐ1: Xét hàm số f(x) = 2x. a) Xét dãy số latex((x_n)), với latex(x_n = 1 + 1/n). Hoàn thành bảng giá trị latex(f(x_n)) tương ứng.
1. Định nghĩa
Ảnh
Các giá trị tương ứng của hàm số latex(f(x_1), f(x_2), ..., f(x_n)), ... lập thành một dãy số mà ta kí hiệu là latex((f(x_n))). Tìm lim flatex((x_n)). b) CMR: Dãy số bất kì latex((x_n), x_n -> 1) ta luôn có latex(f(x_n) -> 2).
- Tổng quát
Ảnh
- Tổng quát:
Cho khoảng K chứa điểm latex(x_0) và hàm số f(x) xác định trên K hoặc trên latex(K \ {X_0}). Hàm số f(x) có giới hạn là số L khi x dần tới latex(x_0) nếu với dãy số latex(x_n) bất kì, latex(x_n in K \{x_0}) và latex(x_n -> x_0) thì latex(f(x_n) -> L). KH: lim f(x) = L hay f(x) latex(->) L khi x latex(-> x_0). latex(x -> x_0)
Nhận xét: lim x = latex(x_0); lim c = c, với c là hằng số. latex(x -> x_0) latex(x ->x_0)
- Ví dụ 1
Ảnh
Ví dụ 1: Xét hàm số latex(f(x) = (x^2 - 9)/(x - 3) (x!=3)). CMR: lim f(x) = 6
Giải:
Giả sử latex((x_n)) là dãy số bất kì, thoả mãn latex(x_n != 3) và latex(limx_n = 3). Ta có latex(limf(x_n) = lim (x_n^2 - 9)/(x_n - 3) = lim ((x_n - 3)(x_n + 3))/(x_n - 3)) = latex(lim(x_n + 3) = limx_n + lim3 = 3 + 3 = 6). Vậy lim f(x) = 6 latex(x -> 3)
latex(x -> 3)
- Luyện tập 1
Ảnh
- Luyện tập 1:
Sử dụng định nghĩa, chứng minh rằng: latex(lim x^2 = 4)
latex(x -> 2)
2. Phép toán trên giới hạn hữu hạn của hàm số
Ảnh
2. Phép toán trên giới hạn hữu hạn của hàm số
HĐ2: Cho hai hàm số latex(f(x) = x^2 - 1, g(x) = x + 1). a) Tính lim f(x) và lim g(x).
latex(x->1) latex(x -> 1)
b) Tính lim [f(x) + g(x)] và so sánh với lim f(x) + lim g(x).
latex(x->1) latex(x -> 1)
c) Tính lim [f(x) - g(x)] và so sánh với lim f(x) - lim g(x).
latex(x->1) latex(x -> 1)
d) Tính lim [f(x) . g(x)] và so sánh với lim f(x). lim g(x).
latex(x->1) latex(x -> 1)
e. Tính lim latex(f(x))/(g(x)) và so sánh với latex((limf(x))/(limg(x))).
- Định lí
Ảnh
- Định lí:
a) Nếu lim f(x) = L và lim g(x) = M latex((L, M in R)) thì:
Ảnh
b) Nếu latex(f(x) >= 0) và lim f(x) = L thì latex(L >= 0) và lim latex(sqrt(f(x)) = sqrtL).
latex(x -> x_0)
latex(x -> x_0)
- Ví dụ 2
Ảnh
Ví dụ 2: Tính:
Ảnh
Hình vẽ
a) latex(lim(x^2 + x - 6) = lim x^2 + lim x - lim 6) = 4 + 2 - 6 = 0 b) latex(lim(x^2 + 2x + 3)/(2x - 1) = (lim (x^2 + 2x + 3))/(lim(2x - 1))) = latex((limx^2 + lim(2x) + lim3)/(lim(2x) - lim1) = (1 + 2 + 3)/(2 - 1) = 6)
- Luyện tập 2
Ảnh
- Luyện tập 2:
Ảnh
3. Giới hạn một phía
Ảnh
Ảnh
Ảnh
3. Giới hạn một phía
HĐ3: Cho hàm số f(x) =
-1 nếu x < 0 0 nếu x = 0 1 nếu x > 0
Hàm số f(x) có đồ thị ở Hình 6. a) Xét dãy số latex((u_n)) sao cho latex(u_n < 0) và lim latex(u_n) = 0. Xác định latex(f(u_n)) và tìm latex(limf(u_n)). b) Xét dãy số latex((v_n)) sao cho latex(v_n > 0) và lim latex(v_n) = 0. Xác định latex(f(v_n)) và tìm lim latex(f(v_n)).
- Tổng quát
Ảnh
- Tổng quát:
* Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng latex((a; x_0)). Số L được gọi là giới hạn bên trái của hàm số y = f(x) khi latex(x -> x_0) nếu với dãy số latex((x_n)) bất kì, latex(a < x_n < x_0) và latex(x_n -> x_0), ta có latex(f(x_n) -> L). Kí hiệu latex(lim f(x) = L). * Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng latex((x_0; b)). Số L được gọi là giới hạn bên phải của hàm số y = f(x) khi latex(x -> x_0) nếu với dãy số latex((x_n)) bất kì, latex(x_0 < x_n < b) và latex(x_n -> x_0), ta có latex(f(x_n) -> L). Kí hiệu latex(lim f(x) = L).
latex(x ->x_0^-)
latex(x ->x_0^+)
- Ví dụ 3
Ảnh
Ví dụ 3: Tính latex(lim sqrt(2 - x))
Với dãy số latex((x_n)) bất kì, latex(x_n < 2) và latex(x_n -> 2), ta có: latex(lim sqrt(2 - x_n) = sqrt(lim(2 - x_n))) = latex(sqrt(2 - lim x_n) = sqrt(2 - 2) = 0). Vậy latex(lim sqrt(2 - x) = 0).
latex(x -> 2^-)
latex(x_n -> 2^-)
latex(x_n -> 2^-)
latex(x_n -> 2^-)
latex(x_n -> 2^-)
- Định lí
Ảnh
- Định lí:
lim f(x) = L khi và chỉ khi lim f(x) = lim f(x) = L.
latex(x -> x_0)
latex(x -> x_0^-)
latex(x -> x_0^+)
- Ví dụ 4
Ảnh
Ví dụ 4: Xét hàm số f(x) trong HĐ3. CMR: Không tồn tại latex(lim f(x)).
Giải:
latex(x -> 0)
Ảnh
- Luyện tập 3
Ảnh
- Luyện tập 3:
Tính: latex( lim(sqrtx + 4) + x).
latex(x -> -4^+)
II. Giới hạn hữu hạn của hàm số tại vô cực
- Hoạt động 4
II. Giới hạn hữu hạn của hàm số tại vô cực
HĐ4: Cho hàm số f(x) = latex(1/x (x !=0)) có đồ thị như Hình 7. Quan sát đồ thị đó và cho biết: a) Khi biến x dần tới dương vô cực thì f(x) dần tới giá trị nào. b) Khi biến x dần tới âm vô cực thì f(x) dần tới giá trị nào.
Ảnh
- Định nghĩa
- Định nghĩa:
Ảnh
a) Cho hàm số y = f(x) XĐ trên khoảng latex((a; + oo)). Ta nói hàm số y = f(x) có giới hạn là số L khi latex(x -> +oo) nếu với dãy số latex((x_n)) bất kì, latex(x_n -> a) và latex(x_n -> +oo), ta có latex(f(x_n) -> L). Kí hiệu lim f(x) = L hay f(x) latex(->) L khi latex(x -> + oo)
latex(x -> +oo)
+ tiếp
- Định nghĩa:
Ảnh
b) Cho hàm số y = f(x) XĐ trên khoảng latex((-oo; a)). Ta nói hàm số y = f(x) có giới hạn là số L khi latex(x -> -oo) nếu với dãy số latex((x_n)) bất kì, latex(x_n -> a) và latex(x_n -> -oo), ta có latex(f(x_n) -> L). Kí hiệu lim f(x) = L hay f(x) latex(->) L khi latex(x -> - oo)
latex(x -> -oo)
- Chú ý
- Chú ý:
Ảnh
* Với c, k là các hằng số và k nguyên dương, ta luôn có: lim c = c; lim c = c; lim latex(c/(x^k) = 0); lim latex(c/(x^k) = 0).
* Các phép toán trên giới hạn hữu hạn của hàm số khi latex(x -> x_0) vẫn còn đúng khi latex(x -> + oo) hoặc latex(x -> - oo).
- Ví dụ 5
Ảnh
Ảnh
Ví dụ 5: Tính lim latex((2x + 1)/(x - 1))
Giải:
latex(x -> + oo)
- Luyện tập 4
Ảnh
- Luyện tập 4:
Hãy hoàn thành phép tính sau: lim latex((3x + 2)/(4x - 5)) latex(x -> - oo)
III. Giới hạn vô cực (một phía) của hàm số tại một điểm
- Hoạt động 5
Ảnh
HĐ5: Cho hàm số f(x) = latex(1/(x - 1) (x != 1)) có đồ thị như Hình 8. Quan sát đồ thị đó và cho biết: a) Khi biến x dần tới 1 về bên phải thì f(x) dần tới đâu. b) Khi biến x dần tới 1 về bên trái thì f(x) dần tới đâu.
III. Giới hạn vô cực (một phía) của hàm số tại một điểm
- Định nghĩa
- Định nghĩa:
Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng latex(a; +oo). Ta nói hàm số y = f(x) có giới hạn là latex(+ oo) khi latex(x -> a^+) nếu với dãy số latex((x_n)) bất kì, latex(x_n > a) và latex(x_n -> a), ta có latex(f(x_n) -> + oo). KH: lim f(x) = latex(+ oo) hay latex(f(x) -> +oo) khi latex(x -> a^+). latex(x -> a^+) Các trường hợp lim f(x) = latex(-oo); lim f(x) = latex(+oo); lim f(x) = latex(-oo);
latex(x -> a^+) latex(x -> a^-) latex(x -> a^-)
được định nghĩa tương tự.
Ảnh
- Ví dụ 6
Giải:
Ảnh
Ta có: lim latex(1/(x - 2) = +oo) latex(x -> 2^+)
Ví dụ 6: Hãy tính lim latex(1/(x - 2)). latex(x -> 2 ^+)
Hình vẽ
Hình vẽ
Chú ý:
lim latex(1/(x - a) = +oo); lim latex(1/(x - a) = -oo) latex(x -> a^+) latex(x -> a^-)
- Luyện tập 5
Ảnh
- Luyện tập 5:
Tính tổng: latex(M = 1 - 1/2 + 1/(2^2) - ... + (-1/2)^(n-1) + ...)
- Luyện tập 5
Ảnh
- Luyện tập 5:
Em hãy tính: lim latex(1/(x + 2))
latex(x -> 2^-)
IV. Giới hạn vô cực của hàm số tại vô cực
- Hoạt động 6
HĐ6: Cho hàm số f(x) = x có đồ thị như hình 9. Quan sát đồ thị đó và cho biết: a) Khi biến x dần tới dương vô cực thì f(x) dần tới đâu. b) Khi biến x dần tới âm vô cực thì f(x) dần tới đâu.
IV. Giới hạn vô cực
Ảnh
- Định nghĩa
Ảnh
- Định nghĩa:
Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng latex((a; +oo)). Ta nói hàm số y = f(x) có giới hạn là latex(+ oo) khi latex(x -> +oo) nếu với dãy số latex((x_n)) bất kì, latex(x_n > a) và latex(x_n -> +oo), ta có latex(f(x_n) -> + oo). KH: lim f(x) = latex(+ oo) hay latex(f(x) -> +oo) khi latex(x -> a^+). latex(x -> +oo) Các trường hợp lim f(x) = latex(-oo); lim f(x) = latex(+oo); lim f(x) = latex(-oo);
latex(x -> a^+) latex(x -> -oo) latex(x -> -oo)
được định nghĩa tương tự.
- Chú ý
Ảnh
- Chú ý:
* lim latex(x^k = +oo) với k là số nguyên dương * lim latex(x^k = +oo) với k là số nguyên dương chẵn. * lim latex(x^k = -oo) với k là số nguyên dương lẻ.
latex(x -> +oo)
latex(x -> -oo)
latex(x -> -oo)
- Ví dụ 7
Ảnh
Hình vẽ
Ví dụ 7: Tính: lim latex(x^3); lim latex(x^3)
Giải:
Ta có: lim latex(x^3 = + oo); lim latex(x^3 = - oo)
latex(x -> + oo)
latex(x -> - oo)
latex(x -> + oo)
latex(x -> - oo)
- Luyện tập 6
Ảnh
- Luyện tập 6:
Em hãy tính: lim latex(x^4).
latex(x ->- oo)
Bài tập
Bài 1 (Bài tập)
Ảnh
Bài 1: Sử dụng định nghĩa tìm các giới hạn sau: a) lim latex(x^2); b) lim latex((x^2 - 25)/(x - 5))
latex(x -> -3)
latex(x -> 5)
Bài 2 (Bài tập)
Ảnh
Bài 2: Biết rằng hàm số f(x) t/m: lim f(x) = 3 và lim f(x) = 5. Trong trường hợp này có tồn tại giới hạn lim f(x) hay không? Giải thích?
latex(x -> 2^-)
latex(x -> 2^+)
latex(x -> 2)
Dặn dò
- Dặn dò
Ảnh
Ôn lại kiến thức vừa học. Hoàn thành các bài còn lại trong SGK. Chuẩn bị bài sau: "Chương III. Bài 3. Hàm số liên tục".
Dặn dò:
- Cảm ơn
Ảnh