Công ty Cổ phần Mạng giáo dục Bạch Kim - 27 Huỳnh Thúc Kháng, Đống Đa, Hà Nội
Trang bìa
Trang bìa:
CHƯƠNG IV. BÀI 2. GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ Giới hạn hữu hạn của hàm số tại một điểm
Định nghĩa:
I. GIỚI HẠN HỮU HẠN CỦA HÀM SỐ TẠI MỘT ĐIỂM 1. Định nghĩa Cho khoảng K chứa latex(x_o) và hàm số y=f(x) xác định trên K hoặc trên K {latex(x_o)} Ta nói hàm số y=f(x) có giới hạn là số L khi x dấn đến latex(x_o) nếu với dãy số latex((x_n)) bất kì, latex(x_n in K {x_o}) và latex(x_n rarr x_o), ta có latex(f(x_n) rarr L) * Kí hiệu * Chú ý - Các khoảng latex((a;b; (-oo;b);(a; oo);(-oo; oo))) ta viết chung là khoảng K - f(x) không xác định tại x=latex(x_o), nhưng hàm số f(x) có thể có giới hạn tại x=latex(x_o) Ví dụ 1:
I. GIỚI HẠN HỮU HẠN CỦA HÀM SỐ TẠI MỘT ĐIỂM 1. Định nghĩa * Ví dụ 1 Cho hàm số f(x) = latex((x^2-4)/(x 2) Chứng minh rằng: limf(x)=-4 latex(x rarr-2) Giải Hàm số đã cho xác định trên R{-2}. Giả sử latex((x_n)) là một dãy số bất kì, thỏa mãn latex(x_n!=-2) và latex(x_n!=2) khi latex(n rarr oo) Ta có: latex(limf(x_n)=lim(x_n^2-4)/(x_2 2)=lim((x_n 2)(x_n-2))/(x_n 2)=lim(x_n-2)=-4 Do đó: * Lưu ý Mặc dù f(x) không xác định tại x= -2, nhưng hàm số lại có giới hạn là -4 khi x latex(rarr)-2). Nhận xét:
I. GIỚI HẠN HỮU HẠN CỦA HÀM SỐ TẠI MỘT ĐIỂM 1. Định nghĩa * Nhận xét Định lí về giới hạn hữu hạn
Định lí về giới hạn hữu hạn :
I. GIỚI HẠN HỮU HẠN CỦA HÀM SỐ TẠI MỘT ĐIỂM 2. Định lí về giới hạn hữu hạn a. Giả sử và Khi đó b. Nếu latex(f(x)>=0) và , thì L latex(>=0) và (Dấu của f(x) được xét trên khoảng đang tìm giới hạn, vớilatex() latex(x!=x_o)) Ví dụ 2:
I. GIỚI HẠN HỮU HẠN CỦA HÀM SỐ TẠI MỘT ĐIỂM 2. Định lí về giới hạn hữu hạn * Ví dụ 2 Cho hàm số f(x) = latex((x^2 x-2)/(x-1)). Tính Giải Vì (x-1) latex(!=0) khi latex(x!=1); nên chưa áp dụng định lí 1 nêu trên Nhưng với latex(x!=1) ta có latex((x^2 x-2)/(x-1) =((x-1)(x-2))/(x-1)=x 2 Do đó: Giới hạn một bên
Giới hạn một bên:
I. GIỚI HẠN HỮU HẠN CỦA HÀM SỐ TẠI MỘT ĐIỂM 3. Giới hạn một bên a. Định nghĩa 2 - Cho hàm số y=f(x) xác định trên khoảng latex((x_o;b)). số L được gọi là giới hạn bên phải của hàm số y =f(x) khi latex(x rarr x_o) nếu dãy số latex((x_n)) bất kì latex(x_ox_n>a) và latex(x_n rarr x_o), ta có latex(f(x_n) rarr L * Kí hiệu: Ví dụ 3:
I. GIỚI HẠN HỮU HẠN CỦA HÀM SỐ TẠI MỘT ĐIỂM 3. Giới hạn một bên b. Định lý 2 * Ví dụ 3 Cho hàm số: 3x 4 khi latex(x>=2) (1) latex(x^2-5) khi latex(x<2) (2) Giải Vậy không tồn tại vì Giới hạn hữu hạn của hàm số tại vô cực
Định nghĩa 3:
II. GIỚI HẠN HỮU HẠN CỦA HÀM SỐ TẠI VÔ CỰC 1. Định nghĩa 3 - Cho hàm số y=f(x) xác định trên khoảng latex((a; oo)). Ta nói hàm số y=f(x) có giới hạn L khi latex(x rarr oo) nếu dãy số latex((x_n)) bất kì, latex(x_n>a) và latex(x_nrarr oo) ta có latex(f(x_n)rarr L) * Kí hiệu: - Cho hàm số y=f(x) xác định trên khoảng latex((-oo; a)). Ta nói hàm số y=f(x) có giới hạn L khi latex(x rarr -oo) nếu dãy số latex((x_n)) bất kì, latex(x_n II. GIỚI HẠN HỮU HẠN CỦA HÀM SỐ TẠI VÔ CỰC 1. Định nghĩa 3 * Ví dụ 5 Cho hàm số: f(x) = latex((4x 3)/(x-2)) Giải Hàm số đã cho xác định trên latex((-oo;2)) và trên latex((2; oo)) Giả sử latex((x_n)) là một dãy số bất kỳ thỏa mãn latex(x_n<2) và latex(xrarr-oo) Ta có: limlatex(f(x_n)=lim(4x_n 3)/(x_n-1)=lim(4 3/(x_n))/(1-(2)/(x_n)))=4 Vậy: Tương tự ta có: Chú ý:
II. GIỚI HẠN HỮU HẠN CỦA HÀM SỐ TẠI VÔ CỰC 2. Chú ý a. Với c, k là các hằng số và k nguyên dương, ta luôn có: b. Định lý 1 về giới hạn hữu hạn của hàm số khi latex(x rarr x_o) vẫn còn đúng khi latex(xrarr oo) hoặc latex(xrarr-oo) Giới hạn vô cực của hàm số
Định nghĩa 4:
III. GIỚI HẠN VÔ CỰC CỦA HÀM SỐ 1. Định nghĩa 3 - Cho hàm số y=f(x) xác định trên khoảng latex((a; oo)). Ta nói hàm số y=f(x) có giới hạn latex(-oo) khi latex(x rarr oo) nếu với dãy số latex((x_n)) bất kì, latex(x_n>a) và latex(x_nrarr oo) ta có latex(f(x_n)rarr -oo) * Kí hiệu: Một vài giới hạn đặc biệt:
III. GIỚI HẠN VÔ CỰC CỦA HÀM SỐ 2. Một vài giới hạn đặc biệt * Ví dụ 6 Cho h/số f(x)= -latex(x^3) 1 xác định khi x>0. Dùng định nghĩa 4 tính Giải - latex(AA (x_n), x_n>0) và latex(x_n)→ ∞ - latex(limf(x_n)=lim(-x_n^3 1)=lim(x_n^3(-1 (1)/(x_n^3))=-oo latex(<=>) Quy tắc tìm giới hạn của tích f(x).g(x):
III. GIỚI HẠN VÔ CỰC CỦA HÀM SỐ 3. Một vài quy tắc về giới hạn vô cực a. Quy tắc tìm giới hạn của tích f(x).g(x) L>0 latex( oo) latex(-oo) latex( oo) latex(-oo) L>0 latex( oo) latex(-oo) latex(-oo) latex( oo) Quy tắc tìm giới hạn của thương:
III. GIỚI HẠN VÔ CỰC CỦA HÀM SỐ 3. Một vài quy tắc về giới hạn vô cực b. Quy tắc tìm giới hạn của tích latex((f(x))/(g(x)) Dấu của g(x) L latex( -oo) Tùy ý 0 L>0 0 latex( oo) - latex(-oo) L<0 - latex(-oo) latex( oo) (Dấu của g(x) xét trên một khoảng K nào đó đang tính giới hạn, với x≠latex(x_0)). Củng cố
Bài tập 1:
* Bài tập 1
A. ∞
B. - ∞
C. 4
D. 0
Kết quả của giới hạn là Bài tập 2:
* Bài tập 2
A. 1
B. - ∞
C. 4
D. ∞
Kết quả của giới hạn là Bài tập 3:
* Bài tập 3
A. ∞
B. - ∞
C. 4
D. 2
Kết quả của giới hạn là Bài tập 4:
* Bài tập 4
A. 7
B. 0
C. 8
D. 2
Kết quả của giới hạn là Dặn dò và kết thúc
Dặn dò:
DẶN DÒ - Về nhà đọc kỹ lại bài vừa học. - Về nhà làm bài tập trong SGK trang 132, 133. - Đọc và chuẩn bị trước bài mới Kết thúc: