Chào mừng quý vị đến với website của ...
Quý vị chưa đăng nhập hoặc chưa đăng ký làm thành viên, vì vậy chưa thể tải được các tài liệu của Thư viện về máy tính của mình.
Nếu chưa đăng ký, hãy nhấn vào chữ ĐK thành viên ở phía bên trái, hoặc xem phim hướng dẫn tại đây
Nếu đã đăng ký rồi, quý vị có thể đăng nhập ở ngay phía bên trái.
Nếu chưa đăng ký, hãy nhấn vào chữ ĐK thành viên ở phía bên trái, hoặc xem phim hướng dẫn tại đây
Nếu đã đăng ký rồi, quý vị có thể đăng nhập ở ngay phía bên trái.
Bài 15: Giới hạn của dãy số
(Tài liệu chưa được thẩm định)
Nguồn: Bạch Kim
Người gửi: Ngô Văn Chinh (trang riêng)
Ngày gửi: 10h:01' 27-06-2024
Dung lượng: 791.9 KB
Số lượt tải: 0
Nguồn: Bạch Kim
Người gửi: Ngô Văn Chinh (trang riêng)
Ngày gửi: 10h:01' 27-06-2024
Dung lượng: 791.9 KB
Số lượt tải: 0
Số lượt thích:
0 người
BÀI 15: GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ
Trang bìa
Trang bìa
Ảnh
BÀI 15: GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ
TOÁN 11
Hình thàn kiến thức
1. Giới hạn hữu hạn của dãy số
1. Giới hạn hữu hạn của dãy số
Ảnh
HĐ1: Nhận biết dãy số có giới hạn là 0
Cho dãy số latex((u_n)) với latex(((-1)^n)/n). a) Biểu diễn năm số hạng đầu của dãy số này trên trục số. b) Bắt đầu từ số hạng nào của dãy, khoảng cách từ latex(u_n) đến 0 nhỏ hơn 0,01?
- Kết luận
- Kết luận:
Ảnh
Ta nói dãy số latex((u_n)) có giới hạn là 0 khi n dần tới dương vô cực, nếu latex(|u_n|) có thể nhỏ hơn một số dương bé tuỳ ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi. Kí hiệu: latex(lim u_n = 0) hay latex(u_n -> 0) khi latex(n -> + oo).
latex(n -> +oo)
- Ví dụ 1
Ảnh
Ví dụ 1: Xét dãy số latex(u_n = 1/(n^2)). Tại sao dãy số này có giới hạn là 0.
- Giải:
Dãy số này có giới hạn là 0, bởi vì latex(|u_n| = 1/(n^2)) có thể nhỏ hơn một số dương bé tuỳ ý khi n đủ lớn. Chẳng hạn, để latex(|u_n| < 0,0001) tức là latex(1/(n^2) < 10^-4), ta cần latex(n^2 > 10000) hay n >100. Như vậy, các số hạng của dãy kể từ số hạng thứ 101 đều có giá trị tuyệt đối nhỏ hơn 0,0001.
- Chú ý
- Chú ý:
Ảnh
* lim latex(1/(n^k) = 0) với k là một số nguyên dương; * lim latex(q^n = 0) nếu |q| < 1; * Nếu latex(|u_n| <= v_n) với mọi latex(n >= 1) và latex(lim v_n = 0) thì latex(lim u_n = 0).
latex(n -> +oo)
latex(n -> +oo)
latex(n -> +oo)
latex(n -> +oo)
- Luyện tập 1
Ảnh
- Luyện tập 1:
Chứng minh rằng latex(lim ((-1)^(n - 1))/(3^n) = 0)
latex(n -> + oo)
- HĐ2
Ảnh
Cho dãy số latex((u_n) = (n + (-1)^n)/n). Xét dãy số latex((v_n)) xác định bởi latex(v_n = u_n - 1). Tính latex(lim v_n).
HĐ2: Nhận biết dãy số có giới hạn hữu hạn
latex(n -> + oo)
- Kết luận 2
Ảnh
- Kết luận 2:
Ta nói dãy số latex((u_n)) có giới hạn là số thực a khi n dần tới dương vô cực nếu latex(lim(u_n - a) = 0), kí hiệu latex(lim u_n = a) hay latex(u_n -> a) khi latex(n -> +oo).
latex(n -> +oo)
latex(n -> +oo)
- Ví dụ 2
Ví dụ 2: Xét dãy số latex((u_n)) với latex(u_n = (2n + 1)/n). CMR: lim latex(u_n = 2)
latex(n -> +oo)
Ảnh
- Giải:
Ta có latex(u_n - 2 = (2n + 1)/n - 2 = ((2n + 1) -2n)/n = 1/n -> 0) khi latex(n -> +oo). Do vậy lim latex(u_n = 2).
latex(n -> +oo)
Chú ý: Nếu latex(u_n = c) (c là hằng số) thì lim latex(u_n = c).
latex(n -> +oo)
- Luyện tập 2
Ảnh
- Luyện tập 2:
Cho dãy số latex((u_n)) với latex(u_n = (3 . 2^n - 1)/(2^n)). Chứng minh rằng lim latex(u_n = 3).
latex(n -> +oo)
- Vận dụng 1
Ảnh
- Vận dụng 1:
Một quả bóng cao su được thả từ độ cao 5 m xuống mặt sàn. Sau mỗi lần chạm sàn, quả bóng nảy lên độ cao bằng latex(2/3) độ cao trước đó. Giả sử rằng quả bóng luôn chuyển động vuông góc với mặt sàn và quá trình này tiếp diễn vô hạn lần. Giả sử latex(u_n) là độ cao (tính bằng mét) của quả bóng sau lần nảy lên thứ n. Chứng minh rằng dãy số latex((u_n)) có giới hạn là 0.
2. Định lí về giới hạn hữu hạn của dãy số
2. Định lí về giới hạn hữu hạn của dãy số
Ảnh
HĐ2: Hình thành quy tắc tính giới hạn
Cho hai dãy số latex((u_n)) với latex(u_n = 2 + 1/n, v_n = 3 - 2/n). Tính và so sánh: lim latex((u_n + v_n)) và lim latex(u_n) + lim latex(v_n).
latex(n -> +oo)
latex(n -> +oo)
latex(n -> +oo)
- Kết luận
Ảnh
- Kết luận:
a) Nếu lim latex(u_n = a) và lim latex(v_n = b) thì: lim latex((u_n + v_n)) = a + b; lim latex((u_n - v_n)) = a - b; lim latex((u_n . v_n)) = a . b; lim latex((u_n)/(v_n) = a/b) (nếu latex(b != 0)). b) Nếu latex(u_n >= 0) với mọi n và lim latex(u_n = a) thì latex(a >= 0) và lim latex(sqrt(u_n) = sqrta).
latex(n -> +oo)
latex(n -> +oo)
latex(n -> +oo)
latex(n -> +oo)
latex(n -> +oo)
latex(n -> +oo)
latex(n -> +oo)
- Ví dụ 3
Ví dụ 3: Tìm lim latex((n^2 + n + 1)/(3n^2 - 1)).
latex(n -> +oo)
Ảnh
- Giải:
Áp dụng các quy tắc tính giới hạn, ta được: lim latex((n^2 + n + 1)/(2n^2 - 1)) = lim latex((1 + 1/n + 1/(n^2))/(2 - 1/(n^2)) = (lim(1 + 1/n + 1/(n^2)))/(lim(2 - 1/(n^2))) = 1/2).
latex(n -> +oo)
latex(n -> +oo)
latex(n -> +oo)
- Luyện tập 3
Ảnh
- Luyện tập 3:
Em hãy thực hiện phép tính sau: lim latex(sqrt(2n^2 + 1)/(n + 1)).
latex(n -> + oo)
3. Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn
3. Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn
Cho hình vuông cạnh 1 (đơn vị độ dài). Chia hình vuông đó thành bốn hình vuông nhỏ bằng nhau, sau đó tô màu hình vuông nhỏ góc dưới bên trái (H.5.2). Lặp lại các thao tác này với hình vuông nhỏ góc trên bên phải. Giả sử quá trình trên tiếp diễn vô hạn lần. Gọi latex(u_1, u_2, ..., u_n, ...) lần lượt là độ dài cạnh của các hình vuông được tô màu. a) Tính tổng latex(S_n = u_1 + u_2 + ...+ u_n). b) Tìm S = lim latex(S_n).
Ảnh
HĐ4: Làm quen với việc tính tổng vô hạn
latex(n -> + oo)
Ảnh
- Kết luận
Ảnh
- Kết luận:
* Cấp số nhân vô hạn latex((u_n)) có công bội q với |q| < 1 được gọi là cấp số nhân lùi vô hạn. * Cho cấp số nhân lùi vô hạn latex((u_n)) với công bội q. Khi đó: latex(S_n = u_1 + u_2 + ... + u_n = (u_1(1 - q^n))/(1 - q)) Vì |q| < 1 nên latex(q^n -> 0) khi latex(n -> + oo). Do đó, ta có: lim latex(S_n) = lim latex([(u_1)/(1-q) - ((u_1)/(1-q))q^n] = (u_1)/(1 - q)). Giới hạn này được gọi là tổng của cấp số nhân lùi vô hạn latex((u_n)) và kí hiệu là latex(S = u_1 + u_2 + ... + u_n + ...) Như vậy: latex(S = (u_1)/(1 - q) (|q| < 1)).
latex(n -> + oo)
latex(n -> + oo)
- Ví dụ 4
Ảnh
Ví dụ 4: Tính tổng S = latex(1 - 1/2 + 1/4 - 1/8 + ... + (-1/2)^(n-1) + ...)
- Giải:
Đây là tổng của cấp số nhân lùi vô hạn với latex(u_1 = 1) và q = latex(-1/2). Do đó: latex(S = (u_1)/( 1 - q) = 1/(1 - (-1/2)) = 2/3).
- Ví dụ 5
Ảnh
Ví dụ 5: Biểu diễn số thập phân vô hạn tuần hoàn 2,222... dưới dạng phân số.
- Giải:
Ta có 2,222... = 2 + 0,2 + 0,02 + 0,002 + ... = 2 + latex(2 . 10^-1 + 2.10^-2 + 2. 10^-3 + ....) Đây là tổng của cấp số nhân lùi vô hạn với latex(u_1 = 2, q = 10^-1) nên: 2,222... = latex((u_1)/(1-q) = 2/(1 - 1/10) = 20/9).
- Luyện tập 4
Ảnh
- Luyện tập 4:
Thực hiện phép tính tổng sau: S = latex(2 + 2/7 + 2/49 + ... + 2/(7^(n-1)) + ...)
- Vận dụng 2
Ảnh
Để đơn giản, ta giả sử Achilles chạy với vận tốc 100 km/h, vận tốc của rùa là 1 km/h và khoảng cách ban đầu là a = 100 (km). a) Tính thời gian latex(t_1, t_2, ..., t_n, ...) tương ứng để Achilles đi từ latex(A_1) đến latex(A_2), từ latex(A_2) đến latex(A_3), ... từ latex(A_n) đến latex(A_(n + 1)), ... b) Tính tổng thời gian cần thiết để Achilles chạy hết các quãng đường latex(A_1A_2, A_2A_3, ..., A_nA_(n + 1)), ..., tức là thời gian cần thiết để Achilles đuổi kịp rùa. c) Sai lầm trong lập luận của Zeno là ở đâu?
- Vận dụng 2:
4. Giới hạn vô cực của dãy số
Ảnh
4. Giới hạn vô cực của dãy số
HĐ5: Nhận biết giới hạn vô cực
Một loại vi khuẩn được nuôi cấy với số lượng ban đầu là 50. Sau mỗi chu kì 4 giờ, số lượng của chúng sẽ tăng gấp đôi. a) Dự đoán công thức tính số vi khuẩn latex(u_n) sau chu kì thứ n. b) Sau bao lâu, số lượng vi khuẩn sẽ vượt con số 10 000?
- Định nghĩa
Ảnh
- Định nghĩa:
* Dãy số latex((u_n)) được gọi là có giới hạn latex(+oo) khi latex(n -> +oo) nếu latex((u_n)) có thể lớn hơn một số dương bất kì, kể từ một số hạng nào đó trở đi, kí hiệu lim latex(u_n) hay latex(u_n -> +oo) khi latex(n -> +oo). * Dãy số latex((u_n)) được gọi là có giới hạn latex(-oo) khi latex(n -> + oo) nếu lim latex((-u_n) = +oo)), kí hiệu lim latex(u_n = - oo) hay latex(u_n -> - oo) khi latex(n -> +oo).
latex(n -> +oo)
latex(n -> +oo)
latex(n -> +oo)
Theo định nghĩa, ta có: * lim latex(n^k = + oo), với k là số nguyên dương; * lim latex(q^n = + oo), với q > 1
latex(n -> +oo)
latex(n -> +oo)
- Quy tắc
Ảnh
- Quy tắc:
Ảnh
- Ví dụ 6
Ảnh
Ví dụ 6: Tính lim latex((n^2 - 2n))
- Giải:
Ta có latex(n^2 - 2n = n^2 (1 - 2/n)). Hơn nữa lim latex(n^2 = +oo) và lim latex((1 - 2/n)) = 1 Do đó, lim latex((n^2 - 2n)= + oo).
latex(n -> + oo)
latex(n -> +oo)
latex(n -> +oo)
latex(n -> +oo)
- Luyện tập 5
Ảnh
- Luyện tập 5:
Thực hiện phép tính sau:
latex(n-> +oo)
lim latex((n - sqrtn)).
Luyện tập và vận dụng
Bài 1 (Luyện tập và vận dụng)
Ảnh
Hình vẽ
Bài 1: Tìm các giới hạn sau: a) lim latex((n^2 + n + 1)/(2n^2 + 1)); b) lim latex((sqrt(n^2 + 2n) - n)).
latex(n -> +oo)
latex(n -> +oo)
Bài 2 (Luyện tập và vận dụng)
Ảnh
Hình vẽ
Bài 2: Viết các số thập phân vô hạn tuần hoàn sau đây dưới dạng phân số: a) 1,(12) = 1,121212...; b) 3,(102) = 3,102102102....
Bài 3 (Luyện tập và vận dụng)
Bài 3: Cho tam giác vuông ABC vuông tại A, có AB = h và góc B bằng α (H.5.3). Từ A kẻ AA1 ⊥ BC, từ A1 kẻ A1A2 ⊥ AC, sau đó lại kẻ A2A3 ⊥ BC. Tiếp tục quá trình trên, ta được đường gấp khúc vô hạn AA1A2A3... Tính độ dài đường gấp khúc này theo h và α.
Ảnh
Dặn dò
- Dặn dò
Ảnh
Ôn lại kiến thức vừa học. Hoàn thành các bài còn lại SGK và SBT. Chuẩn bị bài sau: "Bài 16: Giới hạn của hàm số".
Dặn dò
- Cảm ơn
Ảnh
CẢM ƠN CÁC EM ĐÃ LẮNG NGHE BÀI HỌC !
Trang bìa
Trang bìa
Ảnh
BÀI 15: GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ
TOÁN 11
Hình thàn kiến thức
1. Giới hạn hữu hạn của dãy số
1. Giới hạn hữu hạn của dãy số
Ảnh
HĐ1: Nhận biết dãy số có giới hạn là 0
Cho dãy số latex((u_n)) với latex(((-1)^n)/n). a) Biểu diễn năm số hạng đầu của dãy số này trên trục số. b) Bắt đầu từ số hạng nào của dãy, khoảng cách từ latex(u_n) đến 0 nhỏ hơn 0,01?
- Kết luận
- Kết luận:
Ảnh
Ta nói dãy số latex((u_n)) có giới hạn là 0 khi n dần tới dương vô cực, nếu latex(|u_n|) có thể nhỏ hơn một số dương bé tuỳ ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi. Kí hiệu: latex(lim u_n = 0) hay latex(u_n -> 0) khi latex(n -> + oo).
latex(n -> +oo)
- Ví dụ 1
Ảnh
Ví dụ 1: Xét dãy số latex(u_n = 1/(n^2)). Tại sao dãy số này có giới hạn là 0.
- Giải:
Dãy số này có giới hạn là 0, bởi vì latex(|u_n| = 1/(n^2)) có thể nhỏ hơn một số dương bé tuỳ ý khi n đủ lớn. Chẳng hạn, để latex(|u_n| < 0,0001) tức là latex(1/(n^2) < 10^-4), ta cần latex(n^2 > 10000) hay n >100. Như vậy, các số hạng của dãy kể từ số hạng thứ 101 đều có giá trị tuyệt đối nhỏ hơn 0,0001.
- Chú ý
- Chú ý:
Ảnh
* lim latex(1/(n^k) = 0) với k là một số nguyên dương; * lim latex(q^n = 0) nếu |q| < 1; * Nếu latex(|u_n| <= v_n) với mọi latex(n >= 1) và latex(lim v_n = 0) thì latex(lim u_n = 0).
latex(n -> +oo)
latex(n -> +oo)
latex(n -> +oo)
latex(n -> +oo)
- Luyện tập 1
Ảnh
- Luyện tập 1:
Chứng minh rằng latex(lim ((-1)^(n - 1))/(3^n) = 0)
latex(n -> + oo)
- HĐ2
Ảnh
Cho dãy số latex((u_n) = (n + (-1)^n)/n). Xét dãy số latex((v_n)) xác định bởi latex(v_n = u_n - 1). Tính latex(lim v_n).
HĐ2: Nhận biết dãy số có giới hạn hữu hạn
latex(n -> + oo)
- Kết luận 2
Ảnh
- Kết luận 2:
Ta nói dãy số latex((u_n)) có giới hạn là số thực a khi n dần tới dương vô cực nếu latex(lim(u_n - a) = 0), kí hiệu latex(lim u_n = a) hay latex(u_n -> a) khi latex(n -> +oo).
latex(n -> +oo)
latex(n -> +oo)
- Ví dụ 2
Ví dụ 2: Xét dãy số latex((u_n)) với latex(u_n = (2n + 1)/n). CMR: lim latex(u_n = 2)
latex(n -> +oo)
Ảnh
- Giải:
Ta có latex(u_n - 2 = (2n + 1)/n - 2 = ((2n + 1) -2n)/n = 1/n -> 0) khi latex(n -> +oo). Do vậy lim latex(u_n = 2).
latex(n -> +oo)
Chú ý: Nếu latex(u_n = c) (c là hằng số) thì lim latex(u_n = c).
latex(n -> +oo)
- Luyện tập 2
Ảnh
- Luyện tập 2:
Cho dãy số latex((u_n)) với latex(u_n = (3 . 2^n - 1)/(2^n)). Chứng minh rằng lim latex(u_n = 3).
latex(n -> +oo)
- Vận dụng 1
Ảnh
- Vận dụng 1:
Một quả bóng cao su được thả từ độ cao 5 m xuống mặt sàn. Sau mỗi lần chạm sàn, quả bóng nảy lên độ cao bằng latex(2/3) độ cao trước đó. Giả sử rằng quả bóng luôn chuyển động vuông góc với mặt sàn và quá trình này tiếp diễn vô hạn lần. Giả sử latex(u_n) là độ cao (tính bằng mét) của quả bóng sau lần nảy lên thứ n. Chứng minh rằng dãy số latex((u_n)) có giới hạn là 0.
2. Định lí về giới hạn hữu hạn của dãy số
2. Định lí về giới hạn hữu hạn của dãy số
Ảnh
HĐ2: Hình thành quy tắc tính giới hạn
Cho hai dãy số latex((u_n)) với latex(u_n = 2 + 1/n, v_n = 3 - 2/n). Tính và so sánh: lim latex((u_n + v_n)) và lim latex(u_n) + lim latex(v_n).
latex(n -> +oo)
latex(n -> +oo)
latex(n -> +oo)
- Kết luận
Ảnh
- Kết luận:
a) Nếu lim latex(u_n = a) và lim latex(v_n = b) thì: lim latex((u_n + v_n)) = a + b; lim latex((u_n - v_n)) = a - b; lim latex((u_n . v_n)) = a . b; lim latex((u_n)/(v_n) = a/b) (nếu latex(b != 0)). b) Nếu latex(u_n >= 0) với mọi n và lim latex(u_n = a) thì latex(a >= 0) và lim latex(sqrt(u_n) = sqrta).
latex(n -> +oo)
latex(n -> +oo)
latex(n -> +oo)
latex(n -> +oo)
latex(n -> +oo)
latex(n -> +oo)
latex(n -> +oo)
- Ví dụ 3
Ví dụ 3: Tìm lim latex((n^2 + n + 1)/(3n^2 - 1)).
latex(n -> +oo)
Ảnh
- Giải:
Áp dụng các quy tắc tính giới hạn, ta được: lim latex((n^2 + n + 1)/(2n^2 - 1)) = lim latex((1 + 1/n + 1/(n^2))/(2 - 1/(n^2)) = (lim(1 + 1/n + 1/(n^2)))/(lim(2 - 1/(n^2))) = 1/2).
latex(n -> +oo)
latex(n -> +oo)
latex(n -> +oo)
- Luyện tập 3
Ảnh
- Luyện tập 3:
Em hãy thực hiện phép tính sau: lim latex(sqrt(2n^2 + 1)/(n + 1)).
latex(n -> + oo)
3. Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn
3. Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn
Cho hình vuông cạnh 1 (đơn vị độ dài). Chia hình vuông đó thành bốn hình vuông nhỏ bằng nhau, sau đó tô màu hình vuông nhỏ góc dưới bên trái (H.5.2). Lặp lại các thao tác này với hình vuông nhỏ góc trên bên phải. Giả sử quá trình trên tiếp diễn vô hạn lần. Gọi latex(u_1, u_2, ..., u_n, ...) lần lượt là độ dài cạnh của các hình vuông được tô màu. a) Tính tổng latex(S_n = u_1 + u_2 + ...+ u_n). b) Tìm S = lim latex(S_n).
Ảnh
HĐ4: Làm quen với việc tính tổng vô hạn
latex(n -> + oo)
Ảnh
- Kết luận
Ảnh
- Kết luận:
* Cấp số nhân vô hạn latex((u_n)) có công bội q với |q| < 1 được gọi là cấp số nhân lùi vô hạn. * Cho cấp số nhân lùi vô hạn latex((u_n)) với công bội q. Khi đó: latex(S_n = u_1 + u_2 + ... + u_n = (u_1(1 - q^n))/(1 - q)) Vì |q| < 1 nên latex(q^n -> 0) khi latex(n -> + oo). Do đó, ta có: lim latex(S_n) = lim latex([(u_1)/(1-q) - ((u_1)/(1-q))q^n] = (u_1)/(1 - q)). Giới hạn này được gọi là tổng của cấp số nhân lùi vô hạn latex((u_n)) và kí hiệu là latex(S = u_1 + u_2 + ... + u_n + ...) Như vậy: latex(S = (u_1)/(1 - q) (|q| < 1)).
latex(n -> + oo)
latex(n -> + oo)
- Ví dụ 4
Ảnh
Ví dụ 4: Tính tổng S = latex(1 - 1/2 + 1/4 - 1/8 + ... + (-1/2)^(n-1) + ...)
- Giải:
Đây là tổng của cấp số nhân lùi vô hạn với latex(u_1 = 1) và q = latex(-1/2). Do đó: latex(S = (u_1)/( 1 - q) = 1/(1 - (-1/2)) = 2/3).
- Ví dụ 5
Ảnh
Ví dụ 5: Biểu diễn số thập phân vô hạn tuần hoàn 2,222... dưới dạng phân số.
- Giải:
Ta có 2,222... = 2 + 0,2 + 0,02 + 0,002 + ... = 2 + latex(2 . 10^-1 + 2.10^-2 + 2. 10^-3 + ....) Đây là tổng của cấp số nhân lùi vô hạn với latex(u_1 = 2, q = 10^-1) nên: 2,222... = latex((u_1)/(1-q) = 2/(1 - 1/10) = 20/9).
- Luyện tập 4
Ảnh
- Luyện tập 4:
Thực hiện phép tính tổng sau: S = latex(2 + 2/7 + 2/49 + ... + 2/(7^(n-1)) + ...)
- Vận dụng 2
Ảnh
Để đơn giản, ta giả sử Achilles chạy với vận tốc 100 km/h, vận tốc của rùa là 1 km/h và khoảng cách ban đầu là a = 100 (km). a) Tính thời gian latex(t_1, t_2, ..., t_n, ...) tương ứng để Achilles đi từ latex(A_1) đến latex(A_2), từ latex(A_2) đến latex(A_3), ... từ latex(A_n) đến latex(A_(n + 1)), ... b) Tính tổng thời gian cần thiết để Achilles chạy hết các quãng đường latex(A_1A_2, A_2A_3, ..., A_nA_(n + 1)), ..., tức là thời gian cần thiết để Achilles đuổi kịp rùa. c) Sai lầm trong lập luận của Zeno là ở đâu?
- Vận dụng 2:
4. Giới hạn vô cực của dãy số
Ảnh
4. Giới hạn vô cực của dãy số
HĐ5: Nhận biết giới hạn vô cực
Một loại vi khuẩn được nuôi cấy với số lượng ban đầu là 50. Sau mỗi chu kì 4 giờ, số lượng của chúng sẽ tăng gấp đôi. a) Dự đoán công thức tính số vi khuẩn latex(u_n) sau chu kì thứ n. b) Sau bao lâu, số lượng vi khuẩn sẽ vượt con số 10 000?
- Định nghĩa
Ảnh
- Định nghĩa:
* Dãy số latex((u_n)) được gọi là có giới hạn latex(+oo) khi latex(n -> +oo) nếu latex((u_n)) có thể lớn hơn một số dương bất kì, kể từ một số hạng nào đó trở đi, kí hiệu lim latex(u_n) hay latex(u_n -> +oo) khi latex(n -> +oo). * Dãy số latex((u_n)) được gọi là có giới hạn latex(-oo) khi latex(n -> + oo) nếu lim latex((-u_n) = +oo)), kí hiệu lim latex(u_n = - oo) hay latex(u_n -> - oo) khi latex(n -> +oo).
latex(n -> +oo)
latex(n -> +oo)
latex(n -> +oo)
Theo định nghĩa, ta có: * lim latex(n^k = + oo), với k là số nguyên dương; * lim latex(q^n = + oo), với q > 1
latex(n -> +oo)
latex(n -> +oo)
- Quy tắc
Ảnh
- Quy tắc:
Ảnh
- Ví dụ 6
Ảnh
Ví dụ 6: Tính lim latex((n^2 - 2n))
- Giải:
Ta có latex(n^2 - 2n = n^2 (1 - 2/n)). Hơn nữa lim latex(n^2 = +oo) và lim latex((1 - 2/n)) = 1 Do đó, lim latex((n^2 - 2n)= + oo).
latex(n -> + oo)
latex(n -> +oo)
latex(n -> +oo)
latex(n -> +oo)
- Luyện tập 5
Ảnh
- Luyện tập 5:
Thực hiện phép tính sau:
latex(n-> +oo)
lim latex((n - sqrtn)).
Luyện tập và vận dụng
Bài 1 (Luyện tập và vận dụng)
Ảnh
Hình vẽ
Bài 1: Tìm các giới hạn sau: a) lim latex((n^2 + n + 1)/(2n^2 + 1)); b) lim latex((sqrt(n^2 + 2n) - n)).
latex(n -> +oo)
latex(n -> +oo)
Bài 2 (Luyện tập và vận dụng)
Ảnh
Hình vẽ
Bài 2: Viết các số thập phân vô hạn tuần hoàn sau đây dưới dạng phân số: a) 1,(12) = 1,121212...; b) 3,(102) = 3,102102102....
Bài 3 (Luyện tập và vận dụng)
Bài 3: Cho tam giác vuông ABC vuông tại A, có AB = h và góc B bằng α (H.5.3). Từ A kẻ AA1 ⊥ BC, từ A1 kẻ A1A2 ⊥ AC, sau đó lại kẻ A2A3 ⊥ BC. Tiếp tục quá trình trên, ta được đường gấp khúc vô hạn AA1A2A3... Tính độ dài đường gấp khúc này theo h và α.
Ảnh
Dặn dò
- Dặn dò
Ảnh
Ôn lại kiến thức vừa học. Hoàn thành các bài còn lại SGK và SBT. Chuẩn bị bài sau: "Bài 16: Giới hạn của hàm số".
Dặn dò
- Cảm ơn
Ảnh
CẢM ƠN CÁC EM ĐÃ LẮNG NGHE BÀI HỌC !
↓ CHÚ Ý: Bài giảng này được nén lại dưới dạng ZIP và có thể chứa nhiều file. Hệ thống chỉ hiển thị 1 file trong số đó, đề nghị các thầy cô KIỂM TRA KỸ TRƯỚC KHI NHẬN XÉT ↓
Các ý kiến mới nhất