Chào mừng quý vị đến với website của ...
Quý vị chưa đăng nhập hoặc chưa đăng ký làm thành viên, vì vậy chưa thể tải được các tài liệu của Thư viện về máy tính của mình.
Nếu chưa đăng ký, hãy nhấn vào chữ ĐK thành viên ở phía bên trái, hoặc xem phim hướng dẫn tại đây
Nếu đã đăng ký rồi, quý vị có thể đăng nhập ở ngay phía bên trái.
Nếu chưa đăng ký, hãy nhấn vào chữ ĐK thành viên ở phía bên trái, hoặc xem phim hướng dẫn tại đây
Nếu đã đăng ký rồi, quý vị có thể đăng nhập ở ngay phía bên trái.
Chương 3. Bài 1. Giới hạn của dãy số
(Tài liệu chưa được thẩm định)
Nguồn: Bạch Kim
Người gửi: Ngô Văn Chinh (trang riêng)
Ngày gửi: 15h:32' 01-04-2024
Dung lượng: 664.6 KB
Số lượt tải: 0
Nguồn: Bạch Kim
Người gửi: Ngô Văn Chinh (trang riêng)
Ngày gửi: 15h:32' 01-04-2024
Dung lượng: 664.6 KB
Số lượt tải: 0
Số lượt thích:
0 người
CHƯƠNG 3. BÀI 1. GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ
Trang bìa
Trang bìa
CHƯƠNG 3. BÀI 1. GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ
TOÁN 11
Ảnh
Khởi động
Khởi động
Khởi động
Ảnh
I - Giới hạn hữu hạn của dãy số
Giới hạn 0 của dãy số
Ảnh
I - Giới hạn hữu hạn của dãy số
1. Giới hạn 0 của dãy số
a) Hoạt động 1
Cho dãy số (LATEX(u_n)) với LATEX(u_n)= LATEX(((-1)^n)/n) a) Tìm các giá trị còn thiếu trong bảng sau: b) Với n như thế nào thì |LATEX(u_n)| bé hơn 0,01; 0,001? c) Một số số hạng của dãy số được biểu diễn trên trục số như Hình 1.
Ảnh
Ảnh
Ảnh
Giải
a) Ta có: Với n = 100 có |LATEX(u_100)| = |LATEX(((-1)^100)/100)| = LATEX(1/100)= 0,01 Với n = 1000 có |LATEX(u_1000)| = |LATEX(((-1)^1000)/1000)| = LATEX(1/1000)= 0,001 Ki đó ta có bảng: b) Với n > 100 thì |LATEX(u_n)|< 0,01. Với n > 1000 thì |LATEX(u_n)|< 0,001. c) Khi n trở nên rất lớn thì khoảng cách từ điểm LATEX(u_n) đến điểm 0 càng nhỏ.
Ảnh
Định lý 1
Ảnh
Hình vẽ
b) Định lý
Ta nói dãy số (LATEX(u_n)) có giới hạn 0 khi n dần tới dương vô cực, nếu u nhỏ hơn một số dương bất kì cho trước, kể từ một số hạng nào đó trở đi, kí hiệu lim u = 0 hay LATEX(u_n)→ 0 khi n →+LATEX(oo). Ta còn viết là lim LATEX(u_n) = 0.
n →+LATEX(oo)
Ví dụ 1
c) Ví dụ 1
Với dãy số (LATEX(u_n))= LATEX(((-1)^n)/n) ở Hoạt động 1, sử dụng định nghĩa, chứng tỏ rằng lim LATEX(u_n)= 0.
Với số thực dương d bé tuỳ ý cho trước, lấy số tự nhiên N sao cho N > LATEX(1/d). Khi đó, với mọi số tự nhiên n sao cho n ≥ N, ta có |LATEX(u_n)|= LATEX(((-1)^n)/n)= LATEX(1/n)≤LATEX(1/N)< d Theo định nghĩa, lim LATEX(u_n)= 0
Giải
Định lý 2
Ảnh
Hình vẽ
d) Định lý 2
Ta thừa nhận một số giới hạn cơ bản dưới đây. Chúng thường được sử dụng để tìm giới hạn của nhiều dãy số khác.
- lim LATEX(1/(n^k))= 0, với k nguyên dương bất kì - lim LATEX(q^n)= 0, với q là số thực thỏa mãn |q| < 1
Ví dụ 2
Ảnh
e) Ví dụ 2
Áp dụng giới hạn cơ bản tìm lim LATEX(1/((sqrt3)^n))
Giải
Ta có: LATEX(1/((sqrt3)^n))= LATEX((1/sqrt3)^n) Do |LATEX(1/sqrt3)|= LATEX(1/sqrt3) nên lim LATEX(1/((sqrt3)^n))= lim LATEX((1/sqrt3)^n)= 0
Thực hành 1
Ảnh
f) Thực hành 1
Tính các giới hạn sau: a) lim LATEX(1/(n^2)) b) lim LATEX((-3/4)^n)
Giải
a) Ta có: k = 2 là số nguyên dương nên: lim LATEX(1/(n^2))= 0 b) Ta có q = LATEX(-3/4) thỏa mãn |LATEX(-3/4)| = LATEX(3/4) <1 nên lim LATEX((-3/4)^n) = 0
Giới hạn hữu hạn của dãy số
Ảnh
2. Giới hạn hữu hạn của dãy số
a) Hoạt động 2
Cho dãy số (LATEX(u_n)) với LATEX(u_n)= LATEX((2n+1)/n) a) Cho dãy số (LATEX(v_n)) với LATEX(v_n) = LATEX(v_n) – 2. Tìm giới hạn lim LATEX(v_n). b) Biểu diễn các điểm LATEX(u_1), LATEX(u_2), LATEX(u_3), LATEX(u_4) trên trục số.
Giải
a) Ta có: LATEX(v_n)= LATEX((2n+1)/n) - 2 = LATEX(1/n). Khi đó lim LATEX(1/n)= 0. Vậy lim LATEX(v_n)= 0 b) Ta có: LATEX(u_1)= LATEX((2.1+1)/1)= 3, LATEX(u_2)= LATEX((2.2+1)/2)= LATEX(5/2), LATEX(u_3)= LATEX((2.3+1)/3)= LATEX(7/2), LATEX(u_4)= LATEX((2.4+1)/4)= LATEX(9/4) Biểu diễn trên trục số, ta được:
Ảnh
Định lý 3
Ảnh
Hình vẽ
b) Định lý 3
Ta nói dãy số (LATEX(u_n)) có giới hạn hữu hạn là số a (hay LATEX(u_n) dần tới a) khi n dần tới dương vô cực, nếu lim (LATEX(u_n)- a) = 0. Khi đó, ta viết lim LATEX(u_n)= a hay lim LATEX(u_n)= a hay LATEX(u_n)→ a khi n → +LATEX(oo)
n → +LATEX(oo)
Chú ý
Hình vẽ
c) Chú ý
Nếu (LATEX(u_n)) = c (c là hằng số) thì lim LATEX(u_n)= lim c = c.
Ảnh
Ảnh
Ví dụ 3
d) Ví dụ 3
Dùng định nghĩa, tìm giới hạn lim LATEX((3n^2+1)/(n^2))
Giải
Đặt LATEX(u_n)= LATEX((3n^2+1)/(n^2)). Ta có: LATEX(u_n)= 3 + LATEX(1/(n^2)) hay LATEX(u_n)- 3 = LATEX(1/(n^2)) Suy ra lim (LATEX(u_n)- 3) = lim LATEX(1/(n^2)) = 0 Theo định nghĩa, ta có lim (LATEX(u_n)) = 3. Vậy lim LATEX((3n^2+1)/(n^2))= 3
Thực hành 2
e) Thực hành 2
Tìm các giới hạn sau: a) lim (2 + LATEX((2/3)^n)) b) lim LATEX((1-4n)/n)
Giải
a) Đặt LATEX(u_n)= 2 + LATEX((2/3)^n) LATEX(hArr) LATEX(u_n)- 2 = LATEX((2/3)^n) Suy ra lim LATEX(u_n)- 2 = lim LATEX((2/3)^n) Vì |LATEX(2/3)| < 1 nên lim LATEX(u_n)- 2 = lim LATEX((2/3)^n)= 0 b) Đặt LATEX(u_n)= LATEX((1-4n)/n)= LATEX(1/n) - 4 LATEX(hArr) LATEX(u_n)+ 4 = LATEX(1/n) Suy ra lim LATEX(u_n)+ 4 = lim LATEX(1/n) = 0 Vậy lim LATEX((1-4n)/n) = -4
Ảnh
II - Các phép toán về giới hạn hữu hạn của dãy số
Hoạt động 3
Ảnh
II - Các phép toán về giới hạn hữu hạn của dãy số
1. Hoạt động 3
Ở trên ta đã biết lim (3 + LATEX(1/(n^2)))= lim LATEX((3n^2 + 1)/(n^2)) = 1 a) Tìm các giới hạn lim 3 và lim LATEX(1/(n^2)) b) Từ đó, nêu nhận xét về lim (3 + LATEX(1/(n^2))) và lim 3 + lim LATEX(1/(n^2))
Ảnh
Ảnh
Giải
Ảnh
a) Ta có: lim 3 = 3, lim LATEX(1/(n^2)) = 0 b) Đặt LATEX(u_n) = 3 + LATEX(1/(n^2)) LATEX(hArr) LATEX(u_n) - 3 = LATEX(1/(n^2)) Suy ra lim LATEX(u_n) - 3 = lim LATEX(1/(n^2)) = 0 LATEX(rArr) LATEX(u_n) = 3 Ta có: lim 3 + lim LATEX(1/(n^2)) = 3 + 0 = 3 Vậy lim (3 + LATEX(1/(n^2))) = lim 3 + lim LATEX(1/(n^2))
Định lý
Hình vẽ
2. Định lý
Để tìm giới hạn hữu hạn của dãy số, người ta thường vận dụng các phép toán về giới hạn hữu hạn của dãy số.
Cho lim LATEX(u_n)= a , LATEX(v_n)= b và c là hằng số. Khi đó: • lim (LATEX(u_n)+ LATEX(v_n)) = a + b • lim (LATEX(u_n) - LATEX(v_n)) = a - b • lim(c. LATEX(u_n)) = c.a • lim (LATEX(u_n).LATEX(v_n)) = a.b • lim LATEX((u_n)/(v_n)) = LATEX(a/b) (b≠0) • Nếu LATEX(u_n)≥ 0 ∀n∈N* thì a ≥ 0 và lim LATEX(sqrt(u_n))= LATEX(sqrta)
Ảnh
Ví dụ 4
3. Ví dụ 4:
Tìm giới hạn của lim LATEX((3n+2)/(2n-1))
Giải
Ta có: LATEX((3n+2)/(2n-1)) = LATEX((3 + 2/n)/(2 - 1/n)) (chia cả tử và mẫu cho n) Từ đó: lim LATEX((3n+2)/(2n-1)) = lim LATEX((3 + 2/n)/(2 - 1/n)) = LATEX(lim(3 +2.(1/n))/(lim(2 - 1/n)) = (lim3 + 2lim 1/n)/(lim2 - lim 1/n)) = LATEX((3 + 2.0)/(2 - 0)) = LATEX(3/2)
Ảnh
Thực hành 3
4. Thực hành 3
Tìm các giới hạn sau: a) lim LATEX((2n^2 + 3n)/(n^2 +1)) b) lim LATEX((sqrt(4n^2+3))/n)
Giải
a) lim LATEX((2n^2 + 3n)/(n^2 +1)) = lim LATEX((2 + 1/n)/(1 + (1/(n^2))) = 2) b) Ta có: LATEX((sqrt(4n^2+3))/n) = lim LATEX(sqrt(4 + 3/(n^2))) = LATEX(sqrt(lim(4 + 3/(n^2)))) = LATEX(sqrt(lim4 + lim3/(n^2))) = 2
Ảnh
III - Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn
Hoạt động 4
Ảnh
Ảnh
III - Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn
1. Hoạt động 4
Từ một hình vuông có cạnh bằng 1, tô màu một nửa hình vuông, rồi tô màu một nửa hình còn lại, và cứ tiếp tục như vậy (xem Hình 2). a) Xác định diện tích u, của phần hình được tô màu lần thứ k (k = 1, 2, 3, ...). b) Tính tổng diện tích LATEX(S_n) của phần hình được tô màu sau lần tô thứ n (n = 1, 2, 3, ...) c) Tìm giới hạn lim LATEX(S_n) và so sánh giới hạn này với diện tích hình vuông ban đầu.
Định lý
Ảnh
Hình vẽ
2. Định lý
Cấp số nhân vô hạn (LATEX(u_n)) có công bội q thoả mãn |q| < 1 được gọi là "cấp số nhân lùi vô hạn". Cấp số nhân lùi vô hạn này có tổng là: S = LATEX(u_1)+ LATEX(u_2)+...+ LATEX(u_n)+... =LATEX((u_1)/(1-q))
Ví dụ 5
Ảnh
3. Ví dụ 5:
Tính tổng của cấp số nhân lùi vô hạn: 1 - LATEX(1/4)+ LATEX(1/16)- LATEX(1/64)+...+ LATEX((-1/4)^n)+...
Giải
Tổng trên là tổng của cấp số nhân lùi vô hạn có số hạn đầu LATEX(u_1)= 1 và công bội q = LATEX(-1/4) nên 1 - LATEX(1/4)+ LATEX(1/16)- LATEX(1/64)+...+ LATEX((-1/4)^n)+...= LATEX(1/(1-(-1/4))) = LATEX(4/5)
Thực hành 4
Ảnh
4. Thực hành 4
Biết rằng có thể coi số thập phân vô hạn tuần hoàn 0,666... là tổng của một cấp số nhân lùi vô hạn: 0,666...= 0,6 + 0,06 + 0,006 +...= 0,6 + 0,6.LATEX(1/10)+ 0,6. LATEX(1/(10^2)) Hãy viết 0,666... dưới dạng phân số.
Giải
Số 0,666... là tổng của cấp số nhân lùi vô hạn có số hạng đầu bằng 0,6 và công bội bằng LATEX(1/10) Do đó 0,666...= LATEX((0,6)/(1-(1/10))) = LATEX(2/3)
IV - Giới hạn vô cực
Hoạt động 5
Ảnh
Ảnh
IV - Giới hạn vô cực
1. Hoạt động 5
Dựng một dãy hình vuông bằng cách ghép từ các hình vuông đơn vị (cạnh bằng 1 đơn vị độ dài) theo các bước như Hình 4. Kí hiệu LATEX(u_n) (đơn vị diện tích) là diện tích hình vuông dựng được ở bước thứ n. a) Với n như thế nào thì LATEX(u_n) vượt quá 10 000; 1 000 000? b) Cho hình có diện tích S. Với n như thế nào thì un vượt quá S?
Ảnh
Giải
a) Diện tích của hình vuông LATEX(u_n) dựng ở bước thứ n là: LATEX(u_n)= LATEX(n^2) (đơn vị diện tích). Để LATEX(u_n) vượt quá 10 000 thì LATEX(n^2) > 10 000 ⇔ n > 100. Để LATEX(u_n) vượt quá 1 000 000 thì LATEX(n^2) > 1 000 000 ⇔ n > 1000. b) Để LATEX(u_n) vượt quá S thì LATEX(u_n) > S ⇔ LATEX(n^2) > S ⇔ n > LATEX(sqrtS)
Ảnh
Định lý
Hình vẽ
2. Định lý
• Ta nói dãy số (LATEX(u_n)) "có giới hạn" là LATEX(+oo) khi n →LATEX(+oo) nếu LATEX(u_n) lớn hơn một số dương bất kì, kể từ một số hạng nào đó trở đi, kí hiệu lim LATEX(u_n)= +∞ hay LATEX(u_n)→ +∞ khi n→ +∞. • Ta nói dãy số (LATEX(u_n)) có giới hạn là -∞ khi n → -∞ nếu lim(-LATEX(u_n)) = LATEX(+oo), kí hiệu lim LATEX(u_n)= +∞ hay LATEX(u_n) khi n→ +∞
Ảnh
Chú ý
Ảnh
Hình vẽ
3. Chú ý
Ta có các kết quả sau: a) lim LATEX(u_n)= +∞ khi và chỉ khi lim (-LATEX(u_n)) = -∞ b) Nếu lim LATEX(u_n)= +∞ hoặc lim LATEX(u_n) = thì lim 1 = 0 c) Nếu lim LATEX(u_n)= 0 và LATEX(u_n) > 0 với mọi n thì lim1 = +∞
Ví dụ 7
Ảnh
Ảnh
4. Ví dụ 7:
Tìm giới hạn lim LATEX(q^n) với q > 1
Giải
Từ q > 1 suy ra 0 < LATEX(1/q) <1. Do đó, lim LATEX(1/(q^n)) = lim LATEX((1/q)^n) = 0 Mà LATEX(q^n) > 0 với mọi n nên lim LATEX(q^n) = LATEX(+oo)
Nhận xét
Ảnh
Ảnh
5. Nhận xét
a) lim LATEX(n^k)= LATEX(+oo) (n∈N,k ≥ 1); b) lim LATEX(q^n)= LATEX(+oo) (q >1)
V - Bài tập
Bài 1,2,3
V - Bài tập
1. Tìm các giới hạn sau: a) lim LATEX((-2n+1)/n) b) lim LATEX(sqrt(16n^2-2)/n) 2. Tính tổng các cấp số nhân lùi vô hạn sau: a) LATEX(-1/2)+ LATEX(1/4)- LATEX(1/8)+...+ LATEX((-1/2)^n) b) LATEX(1/4)+ LATEX(1/16)+ LATEX(1/64)+...+ LATEX((1/4)^n) 3. Viết số thập phân vô hạn tuần hoàn 0,444... dưới dạng một phân số
Bài 4
4. Từ hình vuông đầu tiên có cạnh bằng 1 (đơn vị độ dài), nối các trung điểm của bốn cạnh để có hình vuông thứ hai. Tiếp tục nối các trung điểm của bốn cạnh của hình vuông thứ hai để được hình vuông thứ ba. Cứ tiếp tục làm như thế, nhận được một dãy hình vuông (xem Hình 5)
Ảnh
Ảnh
a) Kí hiệu LATEX(a_n) là diện tích của hình vuông thứ n và LATEX(S_n) là tổng diện tích của n hình vuông đầu tiên. Viết công thức tính LATEX(a_n), LATEX(S_n) (n = 1, 2, 3, ...) và tìm lim LATEX(a_n) (giới hạn này nếu có được gọi là tổng diện tích của các hình vuông). b) Kí hiệu LATEX(p_n) là chu vi của hình vuông thứ n và LATEX(Q_n) là tổng chu vi của n hình vuông đầu tiên. Viết công thức tính LATEX(p_n) và LATEX(Q_n) (n = 1, 2, 3, ...) và tìm lim LATEX(Q_n) (giới hạn này nếu có được gọi là tổng chu vi của các hình vuông).
Ảnh
Bài 5
5. Xét quá trình tạo ra hình có chu vi vô cực và diện tích bằng 0 như sau: a) Bắt đầu một hình vuông LATEX(H_0) cạnh bằng 1 đơn vị độ dài (xem Hình 6a). Chia hình vuông LATEX(H_0) thành chín hình vuông bằng nhau, bỏ đi bốn hình vuông, nhận được hình LATEX(H_1) (xem Hình 6b). Tiếp theo, chia mỗi hình vuông của H1 thành chín hình vuông, rồi bỏ đi bốn hình vuông, nhận được hình LATEX(H_2) (xem Hình 6c). Tiếp tục quá trình này ta nhận được một dãy hình LATEX(H_n) (n = 1, 2, 3, ...)
Ảnh
Ảnh
Ta có: LATEX(H_1) có 5 hình vuông, mỗi hình vuông có cạnh bằng LATEX(1/3) LATEX(H_2) có 5.5 = LATEX(5^2) hình vuông, mỗi hình vuông có cạnh bằng LATEX(1/3).LATEX(1/3) = LATEX(1/(3^2)) Từ đó, nhận được LATEX(H_n) có LATEX(5^n) hình vuông, mỗi hình vuông có cạnh bằng LATEX(1/(3^2)) a) Tính diện tích LATEX(S_n) của LATEX(H_n) và tính lim LATEX(S_n). b) Tính chu vi LATEX(p_n) của LATEX(H_n) và tính lim LATEX(p_n). (Quá trình trên tạo nên một hình, gọi là một fractal, được coi là có diện tích lim LATEX(S_n) và chu vi lim LATEX(p_n).
VI - Dặn dò
Dặn dò
Ảnh
VI - Dặn dò
Ảnh
- Làm bài tập trong sách giáo khoa và sách bài tập - Đọc trước Bài 2: Giới hạn của hàm số
Kết thúc
Ảnh
Trang bìa
Trang bìa
CHƯƠNG 3. BÀI 1. GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ
TOÁN 11
Ảnh
Khởi động
Khởi động
Khởi động
Ảnh
I - Giới hạn hữu hạn của dãy số
Giới hạn 0 của dãy số
Ảnh
I - Giới hạn hữu hạn của dãy số
1. Giới hạn 0 của dãy số
a) Hoạt động 1
Cho dãy số (LATEX(u_n)) với LATEX(u_n)= LATEX(((-1)^n)/n) a) Tìm các giá trị còn thiếu trong bảng sau: b) Với n như thế nào thì |LATEX(u_n)| bé hơn 0,01; 0,001? c) Một số số hạng của dãy số được biểu diễn trên trục số như Hình 1.
Ảnh
Ảnh
Ảnh
Giải
a) Ta có: Với n = 100 có |LATEX(u_100)| = |LATEX(((-1)^100)/100)| = LATEX(1/100)= 0,01 Với n = 1000 có |LATEX(u_1000)| = |LATEX(((-1)^1000)/1000)| = LATEX(1/1000)= 0,001 Ki đó ta có bảng: b) Với n > 100 thì |LATEX(u_n)|< 0,01. Với n > 1000 thì |LATEX(u_n)|< 0,001. c) Khi n trở nên rất lớn thì khoảng cách từ điểm LATEX(u_n) đến điểm 0 càng nhỏ.
Ảnh
Định lý 1
Ảnh
Hình vẽ
b) Định lý
Ta nói dãy số (LATEX(u_n)) có giới hạn 0 khi n dần tới dương vô cực, nếu u nhỏ hơn một số dương bất kì cho trước, kể từ một số hạng nào đó trở đi, kí hiệu lim u = 0 hay LATEX(u_n)→ 0 khi n →+LATEX(oo). Ta còn viết là lim LATEX(u_n) = 0.
n →+LATEX(oo)
Ví dụ 1
c) Ví dụ 1
Với dãy số (LATEX(u_n))= LATEX(((-1)^n)/n) ở Hoạt động 1, sử dụng định nghĩa, chứng tỏ rằng lim LATEX(u_n)= 0.
Với số thực dương d bé tuỳ ý cho trước, lấy số tự nhiên N sao cho N > LATEX(1/d). Khi đó, với mọi số tự nhiên n sao cho n ≥ N, ta có |LATEX(u_n)|= LATEX(((-1)^n)/n)= LATEX(1/n)≤LATEX(1/N)< d Theo định nghĩa, lim LATEX(u_n)= 0
Giải
Định lý 2
Ảnh
Hình vẽ
d) Định lý 2
Ta thừa nhận một số giới hạn cơ bản dưới đây. Chúng thường được sử dụng để tìm giới hạn của nhiều dãy số khác.
- lim LATEX(1/(n^k))= 0, với k nguyên dương bất kì - lim LATEX(q^n)= 0, với q là số thực thỏa mãn |q| < 1
Ví dụ 2
Ảnh
e) Ví dụ 2
Áp dụng giới hạn cơ bản tìm lim LATEX(1/((sqrt3)^n))
Giải
Ta có: LATEX(1/((sqrt3)^n))= LATEX((1/sqrt3)^n) Do |LATEX(1/sqrt3)|= LATEX(1/sqrt3) nên lim LATEX(1/((sqrt3)^n))= lim LATEX((1/sqrt3)^n)= 0
Thực hành 1
Ảnh
f) Thực hành 1
Tính các giới hạn sau: a) lim LATEX(1/(n^2)) b) lim LATEX((-3/4)^n)
Giải
a) Ta có: k = 2 là số nguyên dương nên: lim LATEX(1/(n^2))= 0 b) Ta có q = LATEX(-3/4) thỏa mãn |LATEX(-3/4)| = LATEX(3/4) <1 nên lim LATEX((-3/4)^n) = 0
Giới hạn hữu hạn của dãy số
Ảnh
2. Giới hạn hữu hạn của dãy số
a) Hoạt động 2
Cho dãy số (LATEX(u_n)) với LATEX(u_n)= LATEX((2n+1)/n) a) Cho dãy số (LATEX(v_n)) với LATEX(v_n) = LATEX(v_n) – 2. Tìm giới hạn lim LATEX(v_n). b) Biểu diễn các điểm LATEX(u_1), LATEX(u_2), LATEX(u_3), LATEX(u_4) trên trục số.
Giải
a) Ta có: LATEX(v_n)= LATEX((2n+1)/n) - 2 = LATEX(1/n). Khi đó lim LATEX(1/n)= 0. Vậy lim LATEX(v_n)= 0 b) Ta có: LATEX(u_1)= LATEX((2.1+1)/1)= 3, LATEX(u_2)= LATEX((2.2+1)/2)= LATEX(5/2), LATEX(u_3)= LATEX((2.3+1)/3)= LATEX(7/2), LATEX(u_4)= LATEX((2.4+1)/4)= LATEX(9/4) Biểu diễn trên trục số, ta được:
Ảnh
Định lý 3
Ảnh
Hình vẽ
b) Định lý 3
Ta nói dãy số (LATEX(u_n)) có giới hạn hữu hạn là số a (hay LATEX(u_n) dần tới a) khi n dần tới dương vô cực, nếu lim (LATEX(u_n)- a) = 0. Khi đó, ta viết lim LATEX(u_n)= a hay lim LATEX(u_n)= a hay LATEX(u_n)→ a khi n → +LATEX(oo)
n → +LATEX(oo)
Chú ý
Hình vẽ
c) Chú ý
Nếu (LATEX(u_n)) = c (c là hằng số) thì lim LATEX(u_n)= lim c = c.
Ảnh
Ảnh
Ví dụ 3
d) Ví dụ 3
Dùng định nghĩa, tìm giới hạn lim LATEX((3n^2+1)/(n^2))
Giải
Đặt LATEX(u_n)= LATEX((3n^2+1)/(n^2)). Ta có: LATEX(u_n)= 3 + LATEX(1/(n^2)) hay LATEX(u_n)- 3 = LATEX(1/(n^2)) Suy ra lim (LATEX(u_n)- 3) = lim LATEX(1/(n^2)) = 0 Theo định nghĩa, ta có lim (LATEX(u_n)) = 3. Vậy lim LATEX((3n^2+1)/(n^2))= 3
Thực hành 2
e) Thực hành 2
Tìm các giới hạn sau: a) lim (2 + LATEX((2/3)^n)) b) lim LATEX((1-4n)/n)
Giải
a) Đặt LATEX(u_n)= 2 + LATEX((2/3)^n) LATEX(hArr) LATEX(u_n)- 2 = LATEX((2/3)^n) Suy ra lim LATEX(u_n)- 2 = lim LATEX((2/3)^n) Vì |LATEX(2/3)| < 1 nên lim LATEX(u_n)- 2 = lim LATEX((2/3)^n)= 0 b) Đặt LATEX(u_n)= LATEX((1-4n)/n)= LATEX(1/n) - 4 LATEX(hArr) LATEX(u_n)+ 4 = LATEX(1/n) Suy ra lim LATEX(u_n)+ 4 = lim LATEX(1/n) = 0 Vậy lim LATEX((1-4n)/n) = -4
Ảnh
II - Các phép toán về giới hạn hữu hạn của dãy số
Hoạt động 3
Ảnh
II - Các phép toán về giới hạn hữu hạn của dãy số
1. Hoạt động 3
Ở trên ta đã biết lim (3 + LATEX(1/(n^2)))= lim LATEX((3n^2 + 1)/(n^2)) = 1 a) Tìm các giới hạn lim 3 và lim LATEX(1/(n^2)) b) Từ đó, nêu nhận xét về lim (3 + LATEX(1/(n^2))) và lim 3 + lim LATEX(1/(n^2))
Ảnh
Ảnh
Giải
Ảnh
a) Ta có: lim 3 = 3, lim LATEX(1/(n^2)) = 0 b) Đặt LATEX(u_n) = 3 + LATEX(1/(n^2)) LATEX(hArr) LATEX(u_n) - 3 = LATEX(1/(n^2)) Suy ra lim LATEX(u_n) - 3 = lim LATEX(1/(n^2)) = 0 LATEX(rArr) LATEX(u_n) = 3 Ta có: lim 3 + lim LATEX(1/(n^2)) = 3 + 0 = 3 Vậy lim (3 + LATEX(1/(n^2))) = lim 3 + lim LATEX(1/(n^2))
Định lý
Hình vẽ
2. Định lý
Để tìm giới hạn hữu hạn của dãy số, người ta thường vận dụng các phép toán về giới hạn hữu hạn của dãy số.
Cho lim LATEX(u_n)= a , LATEX(v_n)= b và c là hằng số. Khi đó: • lim (LATEX(u_n)+ LATEX(v_n)) = a + b • lim (LATEX(u_n) - LATEX(v_n)) = a - b • lim(c. LATEX(u_n)) = c.a • lim (LATEX(u_n).LATEX(v_n)) = a.b • lim LATEX((u_n)/(v_n)) = LATEX(a/b) (b≠0) • Nếu LATEX(u_n)≥ 0 ∀n∈N* thì a ≥ 0 và lim LATEX(sqrt(u_n))= LATEX(sqrta)
Ảnh
Ví dụ 4
3. Ví dụ 4:
Tìm giới hạn của lim LATEX((3n+2)/(2n-1))
Giải
Ta có: LATEX((3n+2)/(2n-1)) = LATEX((3 + 2/n)/(2 - 1/n)) (chia cả tử và mẫu cho n) Từ đó: lim LATEX((3n+2)/(2n-1)) = lim LATEX((3 + 2/n)/(2 - 1/n)) = LATEX(lim(3 +2.(1/n))/(lim(2 - 1/n)) = (lim3 + 2lim 1/n)/(lim2 - lim 1/n)) = LATEX((3 + 2.0)/(2 - 0)) = LATEX(3/2)
Ảnh
Thực hành 3
4. Thực hành 3
Tìm các giới hạn sau: a) lim LATEX((2n^2 + 3n)/(n^2 +1)) b) lim LATEX((sqrt(4n^2+3))/n)
Giải
a) lim LATEX((2n^2 + 3n)/(n^2 +1)) = lim LATEX((2 + 1/n)/(1 + (1/(n^2))) = 2) b) Ta có: LATEX((sqrt(4n^2+3))/n) = lim LATEX(sqrt(4 + 3/(n^2))) = LATEX(sqrt(lim(4 + 3/(n^2)))) = LATEX(sqrt(lim4 + lim3/(n^2))) = 2
Ảnh
III - Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn
Hoạt động 4
Ảnh
Ảnh
III - Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn
1. Hoạt động 4
Từ một hình vuông có cạnh bằng 1, tô màu một nửa hình vuông, rồi tô màu một nửa hình còn lại, và cứ tiếp tục như vậy (xem Hình 2). a) Xác định diện tích u, của phần hình được tô màu lần thứ k (k = 1, 2, 3, ...). b) Tính tổng diện tích LATEX(S_n) của phần hình được tô màu sau lần tô thứ n (n = 1, 2, 3, ...) c) Tìm giới hạn lim LATEX(S_n) và so sánh giới hạn này với diện tích hình vuông ban đầu.
Định lý
Ảnh
Hình vẽ
2. Định lý
Cấp số nhân vô hạn (LATEX(u_n)) có công bội q thoả mãn |q| < 1 được gọi là "cấp số nhân lùi vô hạn". Cấp số nhân lùi vô hạn này có tổng là: S = LATEX(u_1)+ LATEX(u_2)+...+ LATEX(u_n)+... =LATEX((u_1)/(1-q))
Ví dụ 5
Ảnh
3. Ví dụ 5:
Tính tổng của cấp số nhân lùi vô hạn: 1 - LATEX(1/4)+ LATEX(1/16)- LATEX(1/64)+...+ LATEX((-1/4)^n)+...
Giải
Tổng trên là tổng của cấp số nhân lùi vô hạn có số hạn đầu LATEX(u_1)= 1 và công bội q = LATEX(-1/4) nên 1 - LATEX(1/4)+ LATEX(1/16)- LATEX(1/64)+...+ LATEX((-1/4)^n)+...= LATEX(1/(1-(-1/4))) = LATEX(4/5)
Thực hành 4
Ảnh
4. Thực hành 4
Biết rằng có thể coi số thập phân vô hạn tuần hoàn 0,666... là tổng của một cấp số nhân lùi vô hạn: 0,666...= 0,6 + 0,06 + 0,006 +...= 0,6 + 0,6.LATEX(1/10)+ 0,6. LATEX(1/(10^2)) Hãy viết 0,666... dưới dạng phân số.
Giải
Số 0,666... là tổng của cấp số nhân lùi vô hạn có số hạng đầu bằng 0,6 và công bội bằng LATEX(1/10) Do đó 0,666...= LATEX((0,6)/(1-(1/10))) = LATEX(2/3)
IV - Giới hạn vô cực
Hoạt động 5
Ảnh
Ảnh
IV - Giới hạn vô cực
1. Hoạt động 5
Dựng một dãy hình vuông bằng cách ghép từ các hình vuông đơn vị (cạnh bằng 1 đơn vị độ dài) theo các bước như Hình 4. Kí hiệu LATEX(u_n) (đơn vị diện tích) là diện tích hình vuông dựng được ở bước thứ n. a) Với n như thế nào thì LATEX(u_n) vượt quá 10 000; 1 000 000? b) Cho hình có diện tích S. Với n như thế nào thì un vượt quá S?
Ảnh
Giải
a) Diện tích của hình vuông LATEX(u_n) dựng ở bước thứ n là: LATEX(u_n)= LATEX(n^2) (đơn vị diện tích). Để LATEX(u_n) vượt quá 10 000 thì LATEX(n^2) > 10 000 ⇔ n > 100. Để LATEX(u_n) vượt quá 1 000 000 thì LATEX(n^2) > 1 000 000 ⇔ n > 1000. b) Để LATEX(u_n) vượt quá S thì LATEX(u_n) > S ⇔ LATEX(n^2) > S ⇔ n > LATEX(sqrtS)
Ảnh
Định lý
Hình vẽ
2. Định lý
• Ta nói dãy số (LATEX(u_n)) "có giới hạn" là LATEX(+oo) khi n →LATEX(+oo) nếu LATEX(u_n) lớn hơn một số dương bất kì, kể từ một số hạng nào đó trở đi, kí hiệu lim LATEX(u_n)= +∞ hay LATEX(u_n)→ +∞ khi n→ +∞. • Ta nói dãy số (LATEX(u_n)) có giới hạn là -∞ khi n → -∞ nếu lim(-LATEX(u_n)) = LATEX(+oo), kí hiệu lim LATEX(u_n)= +∞ hay LATEX(u_n) khi n→ +∞
Ảnh
Chú ý
Ảnh
Hình vẽ
3. Chú ý
Ta có các kết quả sau: a) lim LATEX(u_n)= +∞ khi và chỉ khi lim (-LATEX(u_n)) = -∞ b) Nếu lim LATEX(u_n)= +∞ hoặc lim LATEX(u_n) = thì lim 1 = 0 c) Nếu lim LATEX(u_n)= 0 và LATEX(u_n) > 0 với mọi n thì lim1 = +∞
Ví dụ 7
Ảnh
Ảnh
4. Ví dụ 7:
Tìm giới hạn lim LATEX(q^n) với q > 1
Giải
Từ q > 1 suy ra 0 < LATEX(1/q) <1. Do đó, lim LATEX(1/(q^n)) = lim LATEX((1/q)^n) = 0 Mà LATEX(q^n) > 0 với mọi n nên lim LATEX(q^n) = LATEX(+oo)
Nhận xét
Ảnh
Ảnh
5. Nhận xét
a) lim LATEX(n^k)= LATEX(+oo) (n∈N,k ≥ 1); b) lim LATEX(q^n)= LATEX(+oo) (q >1)
V - Bài tập
Bài 1,2,3
V - Bài tập
1. Tìm các giới hạn sau: a) lim LATEX((-2n+1)/n) b) lim LATEX(sqrt(16n^2-2)/n) 2. Tính tổng các cấp số nhân lùi vô hạn sau: a) LATEX(-1/2)+ LATEX(1/4)- LATEX(1/8)+...+ LATEX((-1/2)^n) b) LATEX(1/4)+ LATEX(1/16)+ LATEX(1/64)+...+ LATEX((1/4)^n) 3. Viết số thập phân vô hạn tuần hoàn 0,444... dưới dạng một phân số
Bài 4
4. Từ hình vuông đầu tiên có cạnh bằng 1 (đơn vị độ dài), nối các trung điểm của bốn cạnh để có hình vuông thứ hai. Tiếp tục nối các trung điểm của bốn cạnh của hình vuông thứ hai để được hình vuông thứ ba. Cứ tiếp tục làm như thế, nhận được một dãy hình vuông (xem Hình 5)
Ảnh
Ảnh
a) Kí hiệu LATEX(a_n) là diện tích của hình vuông thứ n và LATEX(S_n) là tổng diện tích của n hình vuông đầu tiên. Viết công thức tính LATEX(a_n), LATEX(S_n) (n = 1, 2, 3, ...) và tìm lim LATEX(a_n) (giới hạn này nếu có được gọi là tổng diện tích của các hình vuông). b) Kí hiệu LATEX(p_n) là chu vi của hình vuông thứ n và LATEX(Q_n) là tổng chu vi của n hình vuông đầu tiên. Viết công thức tính LATEX(p_n) và LATEX(Q_n) (n = 1, 2, 3, ...) và tìm lim LATEX(Q_n) (giới hạn này nếu có được gọi là tổng chu vi của các hình vuông).
Ảnh
Bài 5
5. Xét quá trình tạo ra hình có chu vi vô cực và diện tích bằng 0 như sau: a) Bắt đầu một hình vuông LATEX(H_0) cạnh bằng 1 đơn vị độ dài (xem Hình 6a). Chia hình vuông LATEX(H_0) thành chín hình vuông bằng nhau, bỏ đi bốn hình vuông, nhận được hình LATEX(H_1) (xem Hình 6b). Tiếp theo, chia mỗi hình vuông của H1 thành chín hình vuông, rồi bỏ đi bốn hình vuông, nhận được hình LATEX(H_2) (xem Hình 6c). Tiếp tục quá trình này ta nhận được một dãy hình LATEX(H_n) (n = 1, 2, 3, ...)
Ảnh
Ảnh
Ta có: LATEX(H_1) có 5 hình vuông, mỗi hình vuông có cạnh bằng LATEX(1/3) LATEX(H_2) có 5.5 = LATEX(5^2) hình vuông, mỗi hình vuông có cạnh bằng LATEX(1/3).LATEX(1/3) = LATEX(1/(3^2)) Từ đó, nhận được LATEX(H_n) có LATEX(5^n) hình vuông, mỗi hình vuông có cạnh bằng LATEX(1/(3^2)) a) Tính diện tích LATEX(S_n) của LATEX(H_n) và tính lim LATEX(S_n). b) Tính chu vi LATEX(p_n) của LATEX(H_n) và tính lim LATEX(p_n). (Quá trình trên tạo nên một hình, gọi là một fractal, được coi là có diện tích lim LATEX(S_n) và chu vi lim LATEX(p_n).
VI - Dặn dò
Dặn dò
Ảnh
VI - Dặn dò
Ảnh
- Làm bài tập trong sách giáo khoa và sách bài tập - Đọc trước Bài 2: Giới hạn của hàm số
Kết thúc
Ảnh
↓ CHÚ Ý: Bài giảng này được nén lại dưới dạng ZIP và có thể chứa nhiều file. Hệ thống chỉ hiển thị 1 file trong số đó, đề nghị các thầy cô KIỂM TRA KỸ TRƯỚC KHI NHẬN XÉT ↓
Các ý kiến mới nhất