CHƯƠNG III. BÀI 1. GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ
Trang bìa
Trang bìa
Ảnh
TOÁN 11
CHƯƠNG III. BÀI 1. GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ
Khởi động
Tình huống mở đầu
Ảnh
- Tình huống mở đầu:
Ảnh
Achilles không đuổi kịp rùa là vô lí. Kiến thức toán học nào có thể giải thích được nghịch lí Zénon nói trên là không đúng?
I. Giới hạn hữu hạn của dãy số
1. Định nghĩa
I. Giới hạn hữu hạn của dãy số
HĐ1: Hình 2 biểu diễn các số hạng của dãy số latex((u_n)), với latex(u_n = 1/n) trên hệ trục tọa độ.
1. Định nghĩa
Ảnh
- Câu hỏi (- Hoạt động 1)
a) Nhận xét về sự thay đổi các giá trị latex(u_n) khi n ngày càng lớn. b) Hoàn thành bảng và trả lời câu hỏi sau:
Ảnh
Kể từ số hạng un nào của dãy số thì khoảng cách từ latex(u_n) đến 0 nhỏ hơn 0,001? 0,0001?
Ảnh
- Khám phá kiến thức
Ảnh
- Khám phá kiến thức:
* Kể từ số hạng latex(u_1001) trở đi thì khoảng cách từ latex(u_n) đến 0 nhỏ hơn 0,001. * Kể từ số hạng latex(u_10001) trở đi thì khoảng cách từ latex(u_n) đến 0 nhỏ hơn 0,0001.
- Định nghĩa dãy số có giới hạn hữu hạn 0
- Định nghĩa dãy số có giới hạn hữu hạn 0:
Ảnh
Dãy số latex(u_n) có giới hạn 0 khi n dần tới dương vô cực nếu latex(|u_n|) có thể nhỏ hơn một số dương bé tuỳ ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi, KH:
lim latex(u_n) = 0 latex(n -> + oo)
- Chú ý
Ảnh
Ngoài KH, lim latex(u_n) = 0, ta cũng sử latex(n -> + oo) dụng các kí hiệu sau: latex(limu_n) = 0 hay latex(u_n -> 0) khi latex(n -> + oo). Từ HĐ1, ta có: latex(lim1/n =0). Nếu latex(u_n) ngày càng gần tới 0 khi n ngày càng lớn thì latex(limu_n = 0).
- Chú ý:
- Ví dụ 1
Ảnh
Ví dụ 1: Cho dãy số latex((u_n)), với latex(u_n = ((-1)^n)/n). Giả sử h là số dương bé tuỳ ý cho trước. a) Tìm số tự nhiên n để latex(|u_n|) < h. b) Tính latex(lim ((-1)^n)/n).
Giải:
a) Ta có latex(|u_n| = |((-1)^n)/n| = 1/n). Do đó: latex(|u_n| < h <=> n > 1/h). Vậy với các số tự nhiên n lớn hơn latex(1/h) thì latex(|u_n| < h). b) Theo định nghĩa về dãy số có giới hạn 0, ta có: latex(lim((-1)^n)/n = 0).
- Luyện tập 1
Ảnh
- Luyện tập 1:
Chứng minh rằng: a) lim 0 = 0; b) latex(lim 1/sqrtn = 0).
- Hoạt động 2
Ảnh
HĐ2: Cho dãy số latex((u_n)), với latex(u_n = 2 + 1/n). Tính latex(lim (u_n - 2)). latex(n -> + oo)
- Định nghĩa dãy số có giới hạn hữu hạn
- Định nghĩa dãy số có giới hạn hữu hạn:
Ảnh
Dãy số latex((u_n)) có giới hạn là a khi n dần tới dương vô cực nếu latex(lim (u_n - a) = 0). latex(n -> + oo)
KH: latex(lim u_n = a) latex(n -> + oo)
- Ví dụ 2
Ví dụ 2: Chứng minh rằng: a) limc = c, với c là hằng số; b) latex(lim(6n + 1)/n = 6).
Ảnh
Giải:
a) Do lim(c- c) = lim0 = 0 nên theo định nghĩa về dãy số có giới hạn hữu hạn, ta có: lim c = c. b) Do latex(lim((6n + 1)/n - 6) = lim 1/n = 0) nên latex(lim (6n + 1)/n = 6)
- Chú ý
Ảnh
* Một dãy số có giới hạn thì giới hạn đó là duy nhất. * Không phải dãy số nào cũng có giới hạn, chẳng hạn như dãy số latex((u_n)) với latex(u_n = (-1)^n).
- Chú ý:
- Luyện tập 2
Ảnh
Chứng minh rằng: latex(lim(-4n + 1)/n = 4).
- Luyện tập 2:
2. Một số giới hạn cơ bản
Ảnh
2. Một số giới hạn cơ bản
a) latex(lim 1/n = 0; lim 1/(n^k) = 0) với k là số nguyên dương cho trước; b) latex(lim c/n = 0; lim c/n = 0; lim c/(n^k) = 0) với c là hằng số, k là số nguyên dương cho trước; c) Nếu |q| < 1 thì latex(lim q^n = 0); d) Dãy số latex((u_n)) với latex(u_n = (1 + 1/n)^n) có giới hạn là một số vô tỉ và gọi giới hạn đó là e, e = latex(lim (1 + 1/n)^n). Một giá trị gần đúng của e là 2,718281828459045.
- Ví dụ 3
Ảnh
Ví dụ 3: Chứng minh rằng latex(lim(-1/2)^n = 0).
Do |latex(1/2)| = latex(1/2 < 1) nên latex(lim(-1/2)^n = 0).
- Luyện tập 3
Ảnh
Chứng minh rằng: latex(lim(e/n)^n = 0).
- Luyện tập 3:
II. Định lí về giới hạn hữu hạn
- Hoạt động 3
Ảnh
II. Định lí về giới hạn hữu hạn
HĐ3: Cho hai dãy số latex((u_n), (v_n)) với latex(u_n = 8 +1/n; v_n = 4 - 2/n). a) Tính latex(lim u_n, lim v_n). b) Tính latex(lim(u_n + v_n)) và so sánh giá trị đó với tổng latex(limu_n + limv_n). c) Tính latex(lim(u_n . v_n)) và so sánh giá trị đó với tích latex((limu_n). (limv_n)).
- Kết luận
- Kết luận:
Ảnh
a) Nếu latex(limu_n = a, limv_n = b) thì: latex(lim(u_n + v_n) = a + b); latex(lim(u_n - v_n) = a - b); latex(lim(u_n . v_n) = a . b); latex(lim(u_n)/(v_n) = a/b (v_n != 0, b != 0)); b) Nếu latex(u_n >= 0) với mọi n và latex(limu_n = a) thì latex(a>= 0 ) và latex(limsqrt(u_n) = sqrta)
- Ví dụ 4
Ảnh
Ví dụ 4: Tính các giới hạn sau: a) latex(lim(2 + 1/(n^2))); b) latex(lim(4n - 3)/n); c) latex(lim(5 + 1/n)(6 - 1/(4^n))).
Giải:
a) latex(lim(2 + 1/(n^2)) = lim2 + lim1/(n^2) = 2 + 0 = 2). b) latex(lim(4n - 3)/n = lim((4n)/n - 3/n) = lim4 - lim3/n = 4 - 0 = 4). c) latex(lim(5 + 1/n)(6 - 1/(4^n)) = lim(5 + 1/n) . lim[6 - (1/4)^n] = 5.6 = 30).
- Luyện tập 4
Ảnh
- Luyện tập 4:
Tính các giới hạn sau: a) latex(lim(8n^2 + n)/(n^2)); b) latex(limsqrt(4 +n^2)/n).
III. Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn
- Hoạt động 4
Ảnh
HĐ4: Cho cấp số nhân latex((u_n)), với latex(u_1 = 1) và công bội latex(q = 1/2). a) So sánh |q| với 1. b) Tính latex(S_n = u_1 + u_2 + ...+u_n). Từ đó, hãy tính latex(limS_n).
III. Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn
- Tổng quát
- Tổng quát:
Ảnh
Cấp số nhân vô hạn latex(u_1, u_1q,..., u_1q^(n - 1)),... có công bội q thoả mãn |q| < 1 được gọi là cấp số nhân lùi vô hạn. Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn đã cho là: latex(S = u_1 + u_1q + u_1q^2 + ... = (u_1)/(1 - q)).
- Ví dụ 5
Giải:
Ảnh
Các số hạng của tổng lập thành cấp số nhân latex((u_n)), có latex(u_1 = 1, q = 1/3) nên T = latex(1 + 1/3 + 1/3^2 + ... + 1/3^(n - 1) + ... = 1/(1-1/3) = 3/2).
Ví dụ 5: Tính tổng T = latex(1 + 1/3 + 1/(3^2) + ... + 1/(3^(n - 1)) + ...)
- Luyện tập 5
Ảnh
- Luyện tập 5:
Tính tổng: latex(M = 1 - 1/2 + 1/(2^2) - ... + (-1/2)^(n-1) + ...)
- Ví dụ 6
Giải:
Ảnh
Ta có: 0,(3) = latex(3/10 + 3/(10^2)+ ...+ 3/(10^n) + ... = (3/10)/(1 - 1/10) = 1/3)
Ví dụ 6: Biểu diễn số thập phân vô hạn tuần hoàn 0,(3) dưới dạng phân số.
- Luyện tập 6
Ảnh
- Luyện tập 6:
Giải thích vì sao nghịch lí Zénon trong phần mở đầu là không đúng.
IV. Giới hạn vô cực
- Hoạt động 5
Ảnh
HĐ5: Quan sát dãy số latex((u_n)) với latex(u_n = n^2) và cho biết giá trị của latex(u_n) có thể lớn hơnn một số dương bất kì được hay không kể từ một số hạng nào đó trở đi.
IV. Giới hạn vô cực
- Định nghĩa
Ảnh
- Định nghĩa:
* Ta nói dãy số latex((u_n)) có giới hạn latex(+ oo) khi latex(n -> + oo), nếu latex(u_n) có thể lớn hơn một số dương bất kì, kể từ một số hạng nào đó trở đi. KH: lim latex(u_n = + oo) hay lim latex(u_n = + oo) hay latex(u_n -> + oo) khi latex(n -> + oo) latex(n -> + oo) * Ta nói dãy số latex((u_n)) có giới hạn latex(- oo) khi latex(n -> + oo) nếu lim latex(-u_n = + oo). latex(n -> + oo) KH: lim latex(u_n = - oo) hay lim latex(u_n = - oo) hay latex(u_n -> - oo) khi latex(n -> + oo) latex(n -> + oo)
- Ví dụ 7
Ảnh
Ví dụ 7: Chứng tỏ rằng latex(lim n^2 = + oo).
Giải:
Xét dãy số latex((u_n) = n^2). Với M là số dương bất kì, ta thấy: latex(u_n > M <=> n^2 > M <=> n > sqrtM). Vậy với các số tự nhiên latex(n > sqrtM) thì latex(u_n > M). Do đó, latex(lim n^2 = + oo).
- Luyện tập 7
Ảnh
- Luyện tập 7:
Em hãy thực hiện phép tính sau: latex(lim(-n^3)).
- Nhận xét
Ảnh
- Nhận xét:
* latex(limn^k = + oo) với k là số nguyên dương cho trước. * latex(limq^n = + oo) với q > 1 là số thực cho trước. * Nếu latex(limu_n = a) và latex(limv_n = + oo) (hoặc limv_n = -oo) thì latex(lim (u_n)/(v_n) = 0). * Nếu latex(limu_n = a, a > 0) và latex(limv_n, v_n > 0) với mọi n thì latex(lim (u_n)/(v_n) = + oo). * latex(limu_n = + oo <=> lim(-u_n) = -oo).
Bài tập
Bài 1 (Bài tập)
Ảnh
Bài 1: Cho hai dãy số latex((u_n), (v_n)) với latex(u_n = 3 + 1/n; v_n = 5 - 2/(n^2)). Tính các giới hạn sau: a) latex(limu_n, lim v_n). b) latex(lim(u_n + v_n), lim(u_n - v_n), lim(u_n . v_n), lim(u_n)/(v_n)).
Bài 2 (Bài tập)
Ảnh
Bài 2: Tính các giưới hạn sau: a) latex(lim(5n + 1)/(2n)); b) latex(lim(6n^2 + 8n - 1)/(5n^2 + 3)); c) latex(lim(2 - 1/(3^n))); d) latex(lim(sqrtn^2 + 5n + 3)/(6n + 2)).
Bài 3 (Bài tập)
Ảnh
Bài 3: a) Tính tổng của cấp số nhân lùi vô hạn latex((u_n)), với latex(u_1 = 2/3, 1 = -1/4). b) Biểu diễn số thập phân vô hạn tuần hoàn 1,(6) dưới dạng phân số.
Dặn dò
- Dặn dò
Ảnh
Ôn lại kiến thức vừa học. Hoàn thành các bài còn lại trong SGK. Chuẩn bị bài sau: "Chương III. Bài 2. Giới hạn của hàm số".
Dặn dò:
- Cảm ơn
Ảnh