CHƯƠNG 1. BÀI 2. GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA MỘT GÓC LƯỢNG GIÁC
Trang bìa
Trang bìa
Bài 2: Giá trị lượng giác của một góc lượng giác
Ảnh
Toán 11
Khởi động
Khởi động
Ảnh
Hình bên biểu diễn xích đu lA có độ dài 2 m dao động quanh trục IO vuông góc với trục Ox trên mặt đất và A' là hình chiếu của A lên Ox. Toạ độ s của A' trên trục Ox được gọi i là li độ của A và (IO,IA) = a được gọi là li độ góc của A. Làm cách nào để tính li độ dựa vào li độ góc?
Khởi động
I - Giá trị lượng giác của một góc lượng giác
Hoạt động 1
Ảnh
Hình vẽ
1. Hoạt động 1:
Trong Hình 1, M và N là điểm biểu diễn của các góc lượng giác và trên đường tròn lượng giác. Xác định toạ độ của M và N trong hệ trục toạ độ Oxy.
LATEX((2π)/3) LATEX(-π/4)
Ảnh
I - Giá trị lượng giác của một góc lượng giác
Khái niệm
Trên đường tròn lượng giác, gọi M là điểm biểu diễn góc lượng giác có số đo a. Khi đó: - Tung độ của M gọi là sin của a, kí hiệu sina. - Hoành độ của M gọi là côsin của a, kí hiệu cosa. - Nếu ≠ 0 thì tỉ số gọi là tang của a, kí hiệu tana - Nếu ≠ 0 thì tỉ số gọi là côtang của a, kí hiệu cota Các giá trị sina, cosa, tana và cota được gọi là các giá trị lượng giác của góc lượng giác a.
Ảnh
2. Khái niệm
LATEX((y_M)/(x_M) = ((sina))/(cosa))
LATEX((x_M)/(y_M) = ((cosa))/(sina))
Ảnh
LATEX(y_M)
LATEX(x_M)
LATEX(x_M)
LATEX(x_M)
Chú ý 1
a) Ta gọi trục hoành là trục côsin, còn trục tung là trục sin. Trục As có gốc ở điểm A(1; 0) và song song với trục sin (Hình 3a) gọi là trục tang. Nếu đường thẳng OM cắt trục tang thì tung độ của giao điểm đó chính là tan a. Trục Bt có gốc ở điểm B(0; 1) và song song với trục côsin (Hình 3b) gọi là trục côtang. Nếu đường thẳng OM cắt trục côtang thì hoành độ của giao điểm đó chính là cota
3. Chú ý
Ảnh
Ảnh
Chý ý 2
Hình vẽ
3. Chú ý
b) sina và cosa xác định với mọi a ∈ R; tan a chỉ xác định với các góc a ≠ (k ∈ Ζ), cota chỉ xác định với các góc a ≠ kπ (k ∈ Z). c) Với mọi góc lượng giác a và số nguyên k, ta có:
LATEX((π)/2) +kπ
Ảnh
sin (a + k2π) = sina cos (a + k2π) = cos a tan (a + kπ) = tan a; cot(a + kπ) = cota.
Chú ý 3
d) Ta đã biết bảng giá trị lượng giác của một số góc a đặc biệt với (hay 0° ≤ a ≤ 90°) như sau:
3. Chú ý
0° ≤ a ≤ LATEX(π/2)
Ảnh
Ảnh
Sử dụng bảng trên và Hình ta có thể xác định được giá trị lượng giác của một số góc đặc biệt khác
Ví dụ 1
4. Ví dụ 1:
Tính các giá trị lượng giác góc - 45°
Giải
LATEX(
Vì điểm biểu diễn của góc -45° và góc 45° trên đường tròn lượng giác đối xứng nhau qua trục hoành (Hình 4) nên chúng cùng độ và tung độ đối nhau. Do đó ta có: sin(-45°) = -sin45° = cos(-45°) = cos45° = tan(45°) = = -1 cot(45°) = = -1
LATEX(-sqrt2/2)
LATEX(sqrt2/2)
(LATEX((sin(-45°))/(cos(-45°)))
(LATEX((cos(-45°))/(sin(-45°)))
Ảnh
Ảnh
Hoạt động 2
Hình vẽ
Tính sin
LATEX(
(LATEX((-2π)/3))
và tan 495°
Ảnh
5. Hoạt động 2:
Giải
Ta có: sin = -sin = tan 495° = -tan 135° = -tan 45° = = -1
(LATEX((-2π)/3)) (LATEX((2π)/3)) LATEX((sqrt-3)/2)
LATEX(-(cos 45°)/(sin 45°))
II - Tính giá trị lượng giác của một góc bằng máy tính cầm tay
Dẫn dắt
Ảnh
II - Tính giá trị lượng giác của một góc bằng máy tính cầm tay 1. Dẫn dắt
Ta có thể tính giá trị lượng giác của một góc lượng giác bất kì bằng máy tính cầm tay. Lưu ý trước khi tính, cần chọn đơn vị đo góc như sau: – Lần lượt ấn các phím để màn hình hiện lên bảng lựa chọn đơn vị đo góc. – Tiếp tục ấn phím để chọn đơn vị độ (Degree) hoặc phím để chọn đơn vị radian. – Ấn các phím để vào chế độ tính toán.
Ảnh
Ảnh
Ảnh
Ảnh
Ví dụ 2
Sử dụng máy tính cầm tay để tính sin(45°) và cot
Chọn đơn vị đo góc là độ. Ấn liên tiếp các phím: Ta được sin (-45°) = Để tỉnh cot ta tính như sau: Chọn đơn vị đo góc là radian. Ấn liên tiếp các phím
2. Ví dụ 2:
Giải
LATEX((11π)/3)
Ảnh
Ảnh
LATEX(-sqrt2/2)
LATEX((11π)/3)
(LATEX(1/(tan((11π)/3)))
Ảnh
Ảnh
ta được cot
LATEX((11π)/3) = LATEX(-sqrt3/3)
Hoạt động 3
Hình vẽ
Sử dụng máy tính cầm tay để tính cos 75° và tan
Ảnh
3. Hoạt động 3:
LATEX((-19π)/6)
Giải
Sử dụng máy tính cầm tay ta được: cos 75° = tan =
LATEX((sqrt6-sqrt2)/4)
LATEX(
LATEX((-19π)/6) LATEX(-sqrt3/3)
III - Hệ thức cơ bản giữa các giá trị lượng giác của một góc lượng giác
Hoạt động 4
Ảnh
Hình vẽ
1. Hoạt động 4:
a) Trong Hình 5, M là điểm biểu diễn của góc lượng giác ở trên đường tròn lượng giác. Giải thích vì sao sin²a + cos²a = 1. b) Chia cả hai vế của biểu thức ở câu a) cho cosa ta được đẳng thức nào? c) Chia cả hai vế của biểu thức ở câu a) cho sina ta được đẳng thức nào?
Ảnh
III - Hệ thức cơ bản giữa các giá trị lượng giác của một góc lượng giác
Ảnh
Giải
a) M là điểm biểu diễn của góc lượng giác α trên đường tròn lượng giác nên tọa độ điểm M là (cos a; sin a) nên MH = sin a, OH = cos a. Ta lại có: = 1 (định lí Pythagore) Hay sin 2a + cos 2a = 1. b) Vì OH = cos a > 0 nên cos 2a ≠ 0 nên chia cả hai vế của biểu thức của câu a) cho , ta được: c) Vì MH = sin a > 0 nên sin 2a ≠ 0 nên chia cả hai vế của biểu thức của câu a) cho , ta được:
LATEX(MH^2) + LATEX(OH^2)
LATEX((sin^2a)/(cos^2a)) + 1 = LATEX(1/(cos^2a)) <=> LATEX(tan^2a) +1 = LATEX(1/(cos^2a))
LATEX(cos^2a)
LATEX(sin^2a)
1 + LATEX((cos^2a)/(sin^2a)) = LATEX(1/(sin^2a)) <=> 1 + LATEX(cot^2a) = LATEX(1/(sin^2a))
Công thức 1
Ảnh
Hình vẽ
2. Công thức 1:
• sin²a + cos²a = 1 • tana. cota = 1 với a ≠ , k∈Z • 1 + tan²a = với a ≠ , k∈Ζ
Ta có các hệ thức sau liên hệ giữa các giá trị lượng giác của cùng một góc lượng giác a:
LATEX(k(π)/2)
LATEX(1/(cos²a))
LATEX((π)/2)
kπ
LATEX(1/(sin²a))
• 1 + cot²a = với a ≠ , k∈Z
Ví dụ 3
Ảnh
3. Ví dụ 3.
Cho cos a = với < a < 0. Tính các giá trị lượng giác còn lại của góc a
LATEX(3/4)
LATEX(-π/2)
Giải
LATEX(sin^2a) = 1 - LATEX(cos^2a) = LATEX(7/6)
Ta có: Do đó Vì < a < 0 nên điểm biểu diễn của góc a trên đường tròn lượng giác thuộc góc phần tư thứ IV (Hình 6), do đó sin a < 0
LATEX(-sqrt7/4) LATEX(sqrt7/4)
sin a = hoặc sin a =
LATEX(-π/2)
LATEX(-sqrt7/4)
Suy ra sin a = Do đó tan a = = và cot a = =
LATEX((sin a)/(cos a)) LATEX(-sqrt7/3) LATEX(1/(tan a)) LATEX((-3sqrt7)/7)
Hoạt động 5
Hình vẽ
4. Hoạt động 5:
Ảnh
Cho tan a = với π < a < . Tính cos a và sin a
LATEX(2/3) LATEX((3π)/2)
IV - Giá trị lượng giác của các góc lượng giác có liên quan đặc biệt
Hoạt động 6
Ảnh
Hình vẽ
1. Hoạt động 6:
Cho a = . Biểu diễn các góc lượng giác -a, a + π, π - а, - a trên đường tròn lượng giác và rút ra mối liên hệ giữa giá trị lượng giác của các góc này với giá trị lượng giác của góc a.
LATEX(π/3)
LATEX(π/2)
IV - Giá trị lượng giác của các góc lượng giác có liên quan đặc biệt
Ảnh
Giải
Ảnh
Biểu diễn góc lượng giác LATEX(-π/3)
Ảnh
Biểu diễn góc lượng giác LATEX(π/3) + π = LATEX((4π)/3)
Hình vẽ
Biểu diễn góc lượng giác π - LATEX(π/3) = LATEX((2π)/3)
Ảnh
Biểu diễn góc lượng giác LATEX(π/2) - LATEX(π/3) = LATEX(π/6)
Ảnh
Hai góc đối nhau: a và -a
Ảnh
Ảnh
Hình vẽ
2. Hai góc đối nhau: a và -a
Các điểm biểu diễn của hai góc a và -a đối xứng qua trục Ox (Hình 7), nên ta có:
sin (-a) = -sin a cos (-a) = cos a tan (-a) = -tan a cot (-a) = -cot a
Góc hơn kém nhau π: a và a+π
Ảnh
Hình vẽ
Ảnh
3. Góc hơn kém nhau π: a và a+π
Các điểm biểu diễn của hai góc a và a+π đối xứng nhau qua gốc tọa độ O (Hình 8), nên ta có:
sin (a+π)= -sin a cos (a+π ) = -cos a tan (a+π ) = tan a cot (a+π) = cot a
Hai góc bù nhau: a và π-a
Ảnh
Ảnh
Hình vẽ
4. Hai góc bù nhau: a và π - a
Các điểm biểu diễn của hai góc a và π – a đối xứng nhau qua trục Oy (Hình 9) nên ta có:
sin (π - a ) = sin a cos (π - a ) = -cos a tan (π - a) = -tan a cot (π - a) = -cot a
Hai góc phụ nhau: a và π/2 - a
Ảnh
Hình vẽ
5. Hai góc phụ nhau: a và - a
LATEX(π/2)
Các điểm biểu diễn của hai góc a và - a đối xứng nhau qua đường phân giác của góc xOy (Hình 10) nên ta có:
LATEX(π/2)
Ảnh
sin - a) = cos a cos - a) = sin a tan - a) = cot a cot - a) = tan a
(LATEX(π/2)
(LATEX(π/2)
(LATEX(π/2)
(LATEX(π/2)
Ví dụ 4
6. Ví dụ 4
a) Biểu diễn sin qua giá trị lượng giác của góc có số đo từ 0 đến b) Biểu diễn tan 258° qua giá trị lượng giác của góc có số đo từ 0° đến 45°.
LATEX((61π)/8)
LATEX(π/4)
Giải
LATEX((61π)/8)
(8π - LATEX((3π)/8))
(LATEX(-(3π)/8))
LATEX((3π)/8)
(LATEX(π/2)-LATEX((3π)/8))
LATEX(π/8)
a) sin = sin = sin = -sin = -cos = -cos b) tan 258° = tan(180° +78°) = tan 78° = cot (90°-12°)= cot 12°.
Thảo luận nhóm
Ảnh
Ảnh
7. Thảo luận nhóm
Trong Hình 11, vị trí cabin mà Bình và Cường ngồi trên vòng quay được đánh dấu với điểm B và C. a) Chứng minh rằng chiều cao từ điểm B đến mặt đất bằng (13 + 10 sina) mét với a là số đo của một góc lượng giác tia đầu OA, tia cuối OB. Tính độ cao của điểm B so với mặt đất khi a = -30°. b) Khi điểm B cách mặt đất 4m thì điểm C cách mặt đất bao nhiêu mét? Làm tròn kết quả đến hàng phần trăm.
V - Bài tập
Bài tập 1,2,3
1. Các đẳng thức sau có thể đồng thời xảy ra không?
a) sin a = và cos a = b) sin a = và cot a = c) tan a = 3 và cot a =
LATEX(3/5) LATEX(-4/5)
LATEX(1/3) LATEX(1/2)
LATEX(1/3)
2. Cho sin a = và cos a = . Tính sin - a) - cos (13π + a)
LATEX(12/13) LATEX(-5/13) (LATEX(-(15π)/2)
3. Biểu diễn các giá trị lượng giác sau qua các giá trị lượng giác của góc có số đo hoặc từ 0 đến 45° và tính:
LATEX((21π)/6) LATEX((129π)/4)
a) cos b) sin c) tan 1020°
Bài tập 4,5
4. Chứng minh các đăng thức lượng giác sau: a) = 1 - 2 b) tan a + cot a = 5. Rút gọn các biểu thức sau:
LATEX(sin^4a) - LATEX(cos^4a) LATEX(cos^2a)
LATEX(1/(sin a cos a))
a) LATEX(1/(tan a +1)) + LATEX(1/(cot a +1)) b) cos ( - a) - sin (π + a) c) sin (a - ) + cos (-a + 6π) - tan (a + π)cot (3π - a)
LATEX(π/2)
LATEX(π/2)
Bài 6
Ảnh
6. Thanh OM quay ngược chiều kim đồng hồ quanh trục O của nó trên một mặt phẳng thẳng đứng và in bóng vuông góc xuống mặt đất như Hình 12. Vị trí ban đầu của thanh là OA. Hỏi độ dài bóng O'M' của OM khi thanh quay được vòng là bao nhiêu, biết độ dài thanh OM là 15 cm? Kết quả làm tròn đến hàng phần mười.
LATEX(3(1/10))
Bài 7
7. Khi xe đạp di chuyển, van V của bánh xe quay quanh trục O theo chiều kim đồng hồ với tốc độ góc không đổi là 11 rad/s (Hình 13). Ban đầu van nằm ở vị trí A. Hỏi sau một phút di chuyển, khoảng cách từ van đến mặt đất là bao nhiêu, biết bán kính OA = 58 cm? Giả sử độ dày của lốp xe không đáng kể. Kết quả làm tròn đến hàng phần mười
Ảnh
VI - Dặn dò
Dặn dò
Ảnh
Ảnh
VI - Dặn dò
1. Dặn dò
- Làm bài tập trong sách giáo khoa và sách bài tập - Đọc và tóm tắt nội dung bài 3: Các công thức lượng giác vào vở
Lời cảm ơn
Ảnh