BÀI 1: GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA GÓC LƯỢNG GIÁC
Trang bìa
Trang bìa
Ảnh
TOÁN 11
BÀI 1: GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA GÓC LƯỢNG GIÁC
Mục tiêu
Mục tiêu
Ảnh
Mục tiêu bài học
Nhận biết được các khái niệm cơ bản về góc lượng giác. Nhận biết khái niệm giá trị lượng giác của một góc lượng giác. Mô tả bảng giá trị lượng giác của một số góc lượng giác thường gặp; hệ thức cơ bản giữa các giá trị lượng giác của một góc lượng giác; quan hệ giữa các giá trị lượng giác của các góc lượng giác có liên quan đặc biệt: bù nhau, phụ nhau, đối nhau, hơn kém nhau π. Sử dụng được máy tính cầm tay để tính giá trị lượng giác của một góc lượng giác khi biết số đo góc ấy.
Khởi động
Khởi động
Ảnh
Khởi động:
Trên mặt chiếc đồng hồ, kim giây đang ở vị trí ban đầu chỉ vào số 3 (Hình 1). Kim giây quay ba vòng và một phần tư 1 vòng (tức là 3latex(1/4) vòng) đến vị trí cuối chỉ vào số 6. Khi quay như thế, kim giây đã quét một góc với tia đầu chỉ vào số 3, tia cuối chỉ vào số 6. Góc đó gợi nên khái niệm gì trong toán học? Những góc như thế có tính chất gì?
A. Tiết 1
1. Góc lượng giác
Ảnh
1. Góc lượng giác
a. Khái niệm góc lượng giác và số đo của góc lượng giác
Ảnh
HĐ1: Trên đồng hồ H.1.2 kim phút chỉ đúng số 2.
a) Phải quay kim phút mấy phần của một vòng tròn theo chiều quay ngược chiều kim đồng hồ để nó chỉ đúng số 12? b) Phải quay kim phú mấy phần của một vòng tròn theo chiều quay của kim đồng hồ để nó chỉ đúng số 12? c) Có bao nhiêu cách quay kim phút theo một chiều xác định để kim phút từ vi trí chỉ đúng số 2 về vị trí chỉ đúng số 12?
- Định nghĩa
Ảnh
Định nghĩa:
Trong mặt phẳng, cho hai tia Ou, Ov. Xét tia Om cùng nằm trong mặt phẳng này. Nếu tia Om quay quay quanh điểm O, theo một chiều nhất định từ Ou đến Ov, thì ta nói nó quét một góc lượng giác với tia đầu Ou, tia cuối Ov và kí hiệu là (Ou, Ov).
Ảnh
- Quy ước
Ảnh
Mỗi góc lượng giác gốc O được xác định bởi tia đầu Ou, tia cuối Ov và số đo của nó.
Ảnh
Quy ước:
- Chú ý
Ảnh
Ảnh
Hình vẽ
Cho hai tia Ou, Ov thì có vô số góc lượng giác tia đầu Ou, tia cuối Ov. Mỗi góc lượng giác như thế đều kí hiệu là (Ou, Ov). Số đo của các góc lượng giác này sai khác nhau một bội nguyên của latex(360@).
Chú ý:
- Ví dụ 1
Ảnh
Ví dụ 1: Cho góc hình học uOv có số đo latex(60@) (H.1.4). Xác định số đo của các góc lượng giác (Ou, Ov) và (Ov, Ou).
Ảnh
Giải:
Ta có: - Các góc lượng giác tia đầu Ou, tia cuối Ov có số đo là sđ (Ou,Ov) = latex(60@ + k360@ (k in Z)). - Các góc lượng giác tia đầu Ov, tia cuối Ou có số đo là sđ (Ov,Ou) = latex(-60@ + k360@ (k in Z)).
- Luyện tập 1
Ảnh
Luyện tập 1:
Cho góc hình học latex(angle(uOv) = 45@). Xác định số đo của góc lượng giác (Ou, Ov) trong mỗi trường hợp sau:
Ảnh
b. Hệ thức Chasles
Ảnh
Ảnh
b. Hệ thức Chasles
HĐ2: Cho ba tia Ou, Ov, Ow với số đo của các góc hình học uOv và vOw lần lượt là latex(30@) và latex(45@). a) Xác định số đo của ba góc lượng giác (Ou, Ov), (Ov, Ow) và (Ou, Ow) được chỉ ra ở H.1.5. b) Với các góc lượng giác ở câu a, chứng tỏ rằng có một số nguyên k để sđ(Ou, Ov) + sđ(Ov, Ow) = sđ(Ou, Ow) + latex(k360@).
- Kết luận
Ảnh
Kết luận:
Hệ thức Chasles: Với ba tia Ou, Ov, Ow bất kì, ta có:
Hình vẽ
sđ(Ou, Ov) + sđ(Ov, Ow) = sđ(Ou, Ow) + latex(k(360@) (k inZ)).
- Nhận xét
Ảnh
Ảnh
Hình vẽ
Với ba tia tuỳ ý Ox, Ou, Ov ta có: sđ(Ou, Ov) = sđ(Ox, Ov) - sđ(Ox, Ou) + latex(k(360@) (k in Z)). Hệ thức này đóng vai trò quan trọng trong việc tính toán số đo của góc lượng giác.
Nhận xét:
- Ví dụ 2
Ảnh
Ví dụ 2: Cho một góc lượng giác (Ox, Ou) có số đo - latex(270@) và một góc lượng giác (Ox, Ov) có số đo latex(136@). Tính số đo của các góc lượng giác (Ou, Ov).
Giải:
Số đo của các góc lượng giác tia đầu Ou, tia cuối Ov là: sđ(Ou, Ov) = sđ(Ox, Ov) - sđ(Ox, Ou) + klatex(360@) = latex(135@ - (270@) + k(360@) = 405@ + k360@) = latex(45@ + (k + 1)360@ = 45@ + m360@ (m = k + 1, m in Z)) Vậy các góc lượng giác (Ou, Ov) có số đo là latex((45@ + m360@) (m in Z)).
- Luyện tập 2
Ảnh
Luyện tập 2:
Cho một góc lượng giác (Ox, Ou) có số đo latex(240@) và một góc lượng giác (Ox, Ov) có số đo -270latex(@). Tính số đo của các góc lượng giác (Ou, Ov).
2. Đơn vị đo góc và độ dài cung tròn
Ảnh
2. Đơn vị đo góc và độ dài cung tròn
a. Đơn vị đo góc và cung tròn
Đơn vị độ: - Góc latex(1@ = 1/180) góc bẹt. - Đơn vi độ được chia thành những đơn vị nhỏ hơn: latex(1@) = 60'; 1' = 60''.
Ảnh
- Khái niệm đơn vị radian
Ảnh
Khái niệm đơn vị radian:
Ta nói cung tròn AB có số đo bằng 1 radian nếu độ dài của nó đúng bằng bán kính R. Khi đó ta cũng nói rằng góc AOB có số đo bằng 1 radian và viết: latex(angle(AOB)) = 1 rad.
Ảnh
- Quan hệ giữa độ và radian
Ảnh
Quan hệ giữa độ và radian:
Do đường tròn có độ dài là 2latex(pi)R nên nó có số đo là latex(2pi) rad. Mặt khác, đường tròn có số đo bằng latex(360@) nên ta có latex(360@ = 2pi) rad. Do đó ta viết: latex(1@ = pi/180)rad và 1 rad = latex((180/pi)^@)
Chú ý:
Khi viết số đo của một góc theo đơn vị radian, người ta thường không viết chữ rad sau số đo.
Ví dụ: latex(pi/2) được hiểu là góc latex(pi/2) rad.
- Ví dụ 3
Ảnh
Ví dụ 3: a) Đổi từ độ sang radian các số đo sau:latex(45@; 150@). b) Đổi từ radian sang sộ các số đo sau: latex(pi/3; (5pi)/4).
Ảnh
Giải:
a) Ta có: latex(45@ = 45 . pi/180 = pi/4); latex(150@ = 150 . pi/180 = (5pi)/6). b) Ta có: latex(pi/3 = pi/3 . (180/pi)@ = 60@); latex((5pi)/4 = (5pi)/4 . (180/pi)@ = 225@);
- Luyện tập 3
Ảnh
Luyện tập 3:
a) Đổi từ độ sang radian các số đo sau:latex(360@; -450@). b) Đổi từ radian sang sộ các số đo sau: latex(3pi; -(11pi)/5).
b. Độ dài cung tròn
Ảnh
b. Độ dài cung tròn
HĐ3: Cho đường tròn bán kính R. a) Độ dài của cung tròn có số đo bằng 1 rad là bao nhiêu? b) Tính độ dài l của cung tròn có số đo latex(alpha) rad.
- Kết luận
- Kết luận:
Ảnh
Một cung của đường tròn bán kính R có số đo latex(alpha) rad thì có độ dài l = Rlatex(alpha).
- Vi dụ 4
Ảnh
Ví dụ 4: Cho đường tròn bán kính 2 cm. Tính độ dài cung tròn có số đo latex((2pi)/3) của đường tròn đó.
Giải:
Độ dài của cung tròn đó là: l = latex(R alpha = 2. (2pi)/3 = (4pi)/3) (cm).
- Vận dụng 1
Ảnh
- Vận dụng 1:
Dựa vào kiến thức vừa học, em hãy giải bài toán ở tình huống mở đầu.
B. Tiết 2
3. Giá trị lượng giác của góc lượng giác
Ảnh
3. Giá trị lượng giác của góc lượng giác
a) Đường tròn lượng giác
HĐ4: Trong mặt phặng toạ độ Oxy, vẽ đường tròn tâm O bán kính R = 1. Chọn điểm gốc của đường tròn là giao điểm A(1; 0) của đường tròn với trục Ox. Ta quy ước chiều dương của đường tròn là chiều ngược chiều quay của kim đồng hồ và chiều âm là chiều quay của kim đồng hồ. a) Xác định điểm M trên đường tròn sao cho sđ(OA, OM) = latex((5pi)/4). b) Xác định điểm N trên đường tròn sao cho sđ(OA, ON) = latex(-(7pi)/4).
- Kết luận
- Kết luận:
Ảnh
Đường tròn lượng giác là đường tròn có tâm tại gốc toạ độ, bán kính bằng 1, được định hướng và lấy điểm A(1; 0) làm điểm gốc của đường tròn. Điểm trên đường tròn lượng giác biểu diễn góc lượng giác có số đo latex(alpha) (độ hoặc radian) là điểm M trên đường tròn lượng giác sao cho sđ (OA, OM) = latex(alpha).
- Ví dụ 5
Ảnh
Ảnh
Ví dụ 5: Xác định các điểm M và N trên đường tròn lượng giác lần lượt biểu diễn các góc lượng giác có số đo bằng latex((13pi)/4) và -150latex(@).
Giải:
Điểm M trên đường tròn lượng giác biểu diễn góc lượng giác có số đo bằng latex((13pi)/4) được xác định trong H.1.8. Điểm N trên đường tròn lượng giác biểu diễn góc lượng giác có số đo bằng latex(-150@) được xác định trong H.1.8.
- Luyện tập 4
Ảnh
- Luyện tập 4:
Xác định các điểm M và N trên đường tròn lượng giác lần lượt biểu diễn các góc lượng giác có số đo bằng latex((-15pi)/4) và latex(420@).
b) Các giác trị lượng giác của góc lượng giác
Ảnh
b) Các giác trị lượng giác của góc lượng giác
HĐ5. Nhắc lại khái niệm các giá trị lượng giác sin latex(alpha), cos latex(alpha), tan latex(alpha), cot latex(alpha) của góc latex(alpha(0@ <= alpha <= 180@)), đã học ở lớp 10 (H.1.9.a).
Ảnh
- Kết luận
Ảnh
- Kết luận:
+ Hoành độ x của điểm M được gọi là cosin của latex(alpha), KH: cos latex(alpha). latex(cos alpha = x) + Tung độ y của điểm M được gọi là sin của latex(alpha), KH: sin latex(alpha). latex(cos alpha = y) + Nếu latex(cos alpha != 0 ), tỉ số latex((sin alpha)/(cos alpha)) được gọi là tang của latex(alpha), KH: tanlatex(alpha). latex(tan alpha = (sin alpha)/(cos alpha) = y/x (x != 0)). + Nếu latex(sin alpha != 0 ), tỉ số latex((cos alpha)/(sin alpha)) được gọi là côtang của latex(alpha), KH: cotlatex(alpha). latex(cot alpha = (cos alpha)/(sin alpha) = x/y (y != 0)). + Các giá trị cos latex(alpha), sin latex(alpha), tan latex(alpha), cot latex(alpha) được gọi là các giá trị lượng giác của latex(alpha).
- Chú ý
Ảnh
Ảnh
a) Ta gọi trục tung là trục sin, trục hoành là trục cosin. b) Từ định nghĩa suy ra: + sin latex(alpha), cos latex(alpha) xác định với mọi giá trị của latex(alpha) và ta có: * latex(-1 <= sin alpha <=1; -1 <= cos alpha <=1; sin(alpha + k2pi) = sin alpha;) latex(cos(alpha + k2pi) = cosalpha (k in Z)). * latex(tan alpha) xác định khi latex(alpha != pi/2 + kpi (k in Z)). * latex(cot alpha) xác định khi latex(alpha != kpi (k in Z)).
Chú ý:
+ tiếp
Ảnh
* Dấu của các giác trị lượng giác của một góc lượng giác phụ thuộc vào vị trí điểm biểu diễn M trên đường tròn lượng giác:
Chú ý:
Ảnh
- Ví dụ 6
Ảnh
Ảnh
Ví dụ 6: Cho góc lượng giác có số đo bằng latex(-pi/3). a) Xác định điểm M trên đường tròn lượng giác biểu diễn góc lượng giác đã cho. b) Tính các giá trị lượng giác của góc lượng giác đã cho.
Giải:
a) Điểm M trên đường tròn lượng giác biểu diễn góc lượng giác có số đo là latex(-pi/3) được xác định trong H.1.11. b) Ta có: latex(cos(-pi/3) = 1/2; sin(-pi/3) = -sqrt3/2); latex(tan(-pi/3) = (sin(-pi/3))/(cos(-pi/3)) = -sqrt3; cot (-pi/3) = (cos(-pi/3))/(sin(-pi/3)) = -1/sqrt3).
- Luyện tập 5
Ảnh
- Luyện tập 5:
Cho góc lượng giác có số đo bằng latex((5pi)/6). a) Xác định điểm M trên đường tròn lượng giác biểu diễn góc lượng giác đã cho. b) Tính các giá trị lượng giác của góc lượng giác đã cho.
c. Giá trị lượng giác của các góc đặc biệt
Ảnh
c. Giá trị lượng giác của các góc đặc biệt
Ảnh
d) Sử dụng máy tính cầm tay để đổi số đo góc và tìm giá trị lượng giác của góc
Ảnh
d) Sử dụng máy tính cầm tay để đổi số đo góc và tìm giá trị lượng giác của góc
Ví dụ 7: Sử dụng máy tính cầm tay để tính: latex(sin (-(9pi)/4), tan63@)52'41''.
Ảnh
- Giải:
- Ví dụ 8
Ảnh
Ví dụ 8: a) Đổi latex(33@)45' sang radian; b) Đổi latex(3/4) (rad) sang độ.
Giải:
Ảnh
- Luyện tập 6
Ảnh
- Luyện tập 6:
Sử dụng máy tính cầm tay để: a) Tính: latex(cos (3pi)/7; tan (-37@25))'; b) Đổi latex(179@)23'30'' sang radian; c) Đổi latex(7/9) (rad) sang độ.
- Bài tập
Ảnh
Bài tập:
Em hãy hoàn thành các bài tập trong SGK: 1.1, 1.2, 1.3 trang 16.
C. Tiết 3
4. Quan hệ giữa các giá trị lượng giác
Ảnh
4. Quan hệ giữa các giá trị lượng giác
a) Các công thức lượng giác cơ bản
HĐ6: a) Dựa vào định nghĩa của latex(sin alpha) và latex(cos alpha), hãy tính latex(sin^2 alpha + cos^2 alpha). b) Sử dụng kết quả của HĐ6 và định nghĩa tan latex(alpha), tính 1 + latex(tan^2 alpha).
- Hệ thức cơ bản
- Hệ thức cơ bản:
Ảnh
latex(sin^2 alpha + cos^2 alpha = 1) latex(1 + tan^2 alpha = 1/(cos^2 alpha) (alpha != pi/2 + kpi, k in Z)) latex(1 + cot^2 alpha = 1/(sin^2 alpha) (alpha != kpi, k in Z)) latex( tan alpha . cot alpha = 1 (alpha != (kpi)/2, k in Z))
- Ví dụ 9
Giải:
Ảnh
Ví dụ 9: Tính các giá trị lượng giác của góc latex(alpha), biết: sin latex(alpha = 3/5) và latex(90@ < alpha < 180@).
Giải:
Vì latex(90@ < alpha < 180@) nên latex(cos alpha < 0). Mặt khác, từ latex(sin alpha = 3/5) và latex(90@ < alpha < 180@). => latex(cos alpha = -sqrt(1-sin^2 alpha) = - sqrt(1 - 9/25) = -4/5) Do đó, latex(tan alpha = (sin alpha)/(cos alpha) = (3/5)/-(4/5) = -3/5) và latex(cot alpha = 1/(tan alpha) = 1/(-3/4) = -4/3).
- Luyện tập 7
Ảnh
Tính các giá trị lượng giác của góc latex(alpha), biết: latex(cos alpha = -2/3) và latex(pi < alpha < (3pi)/2).
- Luyện tập 7:
b) Giá trị lượng giác của các góc có liên quan đặc biệt
Ảnh
b) Giá trị lượng giác của các góc có liên quan đặc biệt
HĐ7: Xét hai điểm M, N trên đường tròn lượng giác xác định bởi hai góc đối nhau (H1.12a). a) Có nhận xét gì về vị trí của hai điểm M, N đối với hệ trục Oxy? Từ đó rút ra liên hệ giữa: latex(cos (-alpha)) và latex(cos alpha); latex(sin (-alpha)) và và latex(sin alpha). b) Từ kết quả HĐ7a, rút ra liên hệ giữa: latex(tan (-alpha)) và latex(tan alpha); latex(cot (-alpha)) và latex(cot alpha).
Ảnh
- Kết luận
Ảnh
- Kết luận:
* Góc đối nhau (latex(alpha) và latex(-alpha)): latex(cos (-alpha) = cos alpha) latex(sin (-alpha) = - sin alpha) latex(tan (-alpha) = - tan alpha) latex(cot (-alpha) = - cot alpha)
Ảnh
+ Góc bù nhau (latex(alpha) và latex(pi - alpha))
Ảnh
- Kết luận:
* Góc bù nhau (latex(alpha) và latex(pi - alpha)) : latex(sin (pi - alpha) = sin alpha) latex(cos (pi - alpha) = - cos alpha) latex(tan (pi - alpha) = - tan alpha) latex(cot (pi - alpha) = - cot alpha)
Ảnh
+ Góc phụ nhau (latex(alpha) và latex(pi/2 - alpha))
Ảnh
Ảnh
- Kết luận:
* Góc phụ nhau (latex(alpha) và latex(pi/2 - alpha)): latex(sin (pi/2 - alpha) = cos alpha) latex(cos (pi/2 - alpha) = sin alpha) latex(tan (pi/2 - alpha) = cot alpha) latex(cot (pi/2 - alpha) = tan alpha)
+ Góc hơn kém latex(pi)(latex(alpha) và latex(pi + alpha))
Ảnh
- Kết luận:
* Góc hơn kém latex(pi)(latex(alpha) và latex(pi + alpha)): latex(sin (pi + alpha) = - sin alpha) latex(cos (pi + alpha) = - cos alpha) latex(tan (pi + alpha) = tan alpha) latex(cot (pi + alpha) = cot alpha)
Ảnh
- Ví dụ 10
Ảnh
Ví dụ 10: Tính: a) latex(cos(-(11pi)/4)); b) latex(cot(-675@)).
Giải:
a) latex(cos(-(11pi)/4) = cos(11pi)/4 = cos((3pi)/4 + 2pi))) = latex(cos(3pi)/4 = -cos(pi - (3pi)/4) = -cos pi/4 = -sqrt2/2 ) b) latex(cot(-675@) = cot(45@ - 2 . 360@) = cot 45@ = 1)
- Luyện tập 8
Ảnh
Tính: a) latex(sin(-675@)); b) latex(tan(15pi)/4).
- Luyện tập 8:
- Vận dụng 2
Ảnh
- Vận dụng 2:
Huyết áp của mỗi người thay đổi trong ngày. Giả sử huyết áp tâm trương (tức là áp lực máu lên thành động mạch khi tim giãn ra) của một người nào đó ở trạng thái nghỉ ngơi tại thời điểm t được cho bởi công thức: latex(B(t) = 80 + 7sin(pit)/12), trong đó t là số giờ tính từ lúc nửa đêm và B(t) tính bằng mmHg. Tìm huyết áp tâm trương của người này vào các thời điểm sau: a) 6 giờ sáng; b) 10 giờ 30 phút sáng; c) 12 giờ trưa; d) 8 giờ tối.
- Bài tập
Ảnh
Bài tập:
Em hãy hoàn thành các bài tập trong SGK: 1.4, 1.5, 1.6 trang 16.
Dặn dò
- Dặn dò
Ảnh
Ôn lại kiến thức vừa học. Hoàn thành bài tập trong SBT. Chuẩn bị bài sau: "Chương I. Bài 2. Các phép biến đổi lượng giác".
- Cảm ơn
Ảnh