CHƯƠNG I. BÀI 2. GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ
Trang bìa
Trang bìa
Ảnh
TOÁN 12
CHƯƠNG I. BÀI 2. GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ
Khởi động
Khởi động
Cho một tấm nhôm có dạng hình vuông cạnh 6 dm. Bác Ánh cắt ở bốn góc bốn hình vuông có cùng độ dài cạnh bằng x (dm), rồi gập tấm nhôm lại như Hình 7 để được một cái hộp có dạng hình hộp chữ nhật không có nắp. Gọi V là thể tích của khối hộp đó.
- Khởi động:
V được tính theo x bởi công thức nào? Có thể tìm giá trị lớn nhất của V bằng cách nào?
Ảnh
1. Định nghĩa
Định nghĩa
Ảnh
1. Định nghĩa
- HĐ1
Ảnh
- Hoạt động 1:
Cho hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [– 1; 1] và có đồ thị là đường cong ở Hình 8. Quan sát đồ thị và cho biết: a) Điểm nào thuộc đồ thị hàm số có tung độ lớn nhất; b) Điểm nào thuộc đồ thị hàm số có tung độ nhỏ nhất.
- Định lí
- Định lí:
Cho hàm số y = f(x) xác định trên tập D. * Số M được gọi là giá trị lớn nhất của hàm số y = f(x) trên D, KH: M = latex(max_D) f(x), nếu latex(f(x) <= M) với mọi latex(x in D) và tồn tại latex(x_0 in D) sao cho latex(f(x_0) = M). * Số m được gọi là giá trị lớn nhỏ nhất của hàm số y = f(x) trên D, KH: M = latex(min_D) f(x), nếu latex(f(x) >= m) với mọi latex(x in D) và tồn tại latex(x_1 in D) sao cho latex(f(x_1) = m).
Hình vẽ
Ảnh
Chú ý:
Khi tìm giá trị lớn nhất (hoặc giá trị nhỏ nhất) của hàm số mà không chỉ rõ tập D thì ta tìm giá trị lớn nhất (hoặc giá trị nhỏ nhất) của hàm số đó trên cả tập xác định của nó.
- Ví dụ 1
Ví dụ 1: Tìm GTLN và GTNN của hàm số f(x) = latex(1 + x^2) trên đoạn [0; 2].
- Giải:
Ảnh
Hình vẽ
Do latex(0 <= x^2 <= 4) với mọi latex(x in [0; 2]) nên latex(1 <= 1 + x^2 <= 5) với mọi latex(x in [0; 2]), tức là latex(1 <= f(x) <= 5) với latex(x in [0; 2]). Ta có: f(2) = 5 nên latex(max_([0; 2])) f(x) = 5; f(0) = 1 nên latex(min_([0; 2])) f(x) = 1.
- Luyện tập 1
- Luyện tập 1:
Ảnh
Tìm GTLN và GTNN của hàm số latex(f(x) = sqrt(9 - x^2)) trên đoạn [-3; 3].
2. Tìm giá trị lớn nhất, giá trá nhỏ nhất của hàm số bằng đạo hàm
Tìm giá trị lớn nhất, giá trá nhỏ nhất của hàm số bằng đạo hàm
Ảnh
2. Tìm giá trị lớn nhất, giá trá nhỏ nhất của hàm số bằng đạo hàm
- HĐ2
Ảnh
- Hoạt động 2:
Cho hàm số f(x) = latex(x + 1/(x - 1)) với x > 1. a) Tính latex(lim_(x -> 1^+)) f(x), latex(lim_(x -> +oo)) f(x). b) Lập bảng biến thiên của hàm số f(x) trên khoảng (1; latex(+oo)). c) Tìm GTLN và GTNN (nếu có) của h/s f(x) trên khoảng (1; latex(+oo)).
- Kết luận
Ảnh
- Định nghĩa:
Hình vẽ
Để tìm GTLN, GTNN của hàm số f(x) trên một khoảng, đoạn hay nửa khoảng, ta có thể lập bảng biến thiên của hàm số trên tập hợp đó. Căn cứ vào bảng biến thiên, ta tìm được GTLN và GTNN (nếu có) của hàm số.
- Ví dụ 2
Ví dụ 2: Tìm GTLN và GTNN (nếu có) của h/s f(x) = latex((x^2 + 9)/x) trên khoảng latex((0; +oo)).
- Giải:
* Xét hàm số f(x) = latex((x^2 - 9)/x) với latex(x in (0; +oo)). * Ta có: f'(x) = latex((x^2 - 9)/(x^2)). Khi đó, f'(x) = 0 latex(<=> x = 3) do (x > 0). Ngoài ra latex(lim_(x -> 0^+) f(x) = +oo, lim_(x -> +oo) f(x) = +oo). Bảng biến thiên của hàm số như sau:
Ảnh
Căn cứ bảng biến thiên, ta có: latex(min_(0; +oo)) f(x) = 6 tại x = 3 và hàm số f(x) không có GTLN.
- Luyện tập 2
- Luyện tập 2:
Ảnh
Tìm GTLN và GTNN (nếu có) của hàm số latex(y = (2x - 5)/(x - 1)) trên nửa khoảng (1; 3].
- HĐ3
- Hoạt động 3:
Ảnh
Ảnh
Cho hàm số y = f(x) = latex(2x^3 - 6x, x in [-2; 2]) có đồ thị là đường cong ở Hình 9. a) Dựa vào đồ thị ở H9, cho biết các giá trị latex(M = max_([-2; 2]) f(x); m = min_([-2; 2]) f(x)) bằng bao nhiêu? b) Giải phương trình f'(x) = 0 với latex(x in (-2; 2)). c) Tính các giá trị của hàm số f(x) tại hai đầu mút x = -2; x = 2 và tại các điểm latex(x in (-2; 2)) mà ở đó f'(x) = 0. d) So sánh M (hoặc m) với số lớn nhất (hoặc số bé nhất) trong các giá trị tính được ở câu c.
- Kết luận
Ảnh
- Kết luận:
Hình vẽ
Bước 1: Tìm các điểm latex(x_1, x_2,..., x_n) thuộc khoảng (a; b) mà tại đó hàm số có đạo hàm bằng 0 hoặc không tồn tại. Bước 2: Tính latex(f(x_1), f(x_2),...f(x_n), f(a)) và f(b). Bước 3: So sánh các giá trị tìm được ở bước 2. Số lớn nhất trong các giá trị đó là GTLN của hàm số f(x) trên đoạn [a; b], số nhỏ nhất trong các giá trị đó là GTNN của hàm số f(x) trên đoạn [a; b].
- Ví dụ 3
Ví dụ 3: Tìm GTLN và GTNN của mỗi hàm số sau: a) f(x) = latex(x^3/3 - 2x^2 + 3x + 1) trên đoạn [-3; 2]; b) g(x) = latex((ln x)/x) trên đoạn [1; 4].
- Giải:
Ảnh
Hình vẽ
Mẫu a) * Ta có: f'(x) = latex(x^2 - 4x + 3). Khi đó, trên khoảng (-3; 2), f'(x) = 0 khi x = 1. * f(1) = latex(7/3, f(-3) = -35, f(2) = 5/3). Vậy latex(max_([-3; 2])f(x) = 7/3) tại x = 1, latex(min_([-3; 2]) f(x) = -35) tại x = -3.
- Luyện tập 3
- Luyện tập 3:
Ảnh
Tìm GTLN và GTNN của h/s(x) = sin2x - 2x trên đoạn latex([pi/2; (3pi)/2]).
3. Bài tập
Bài tập
Ảnh
3. Bài tập
Bài 1
Bài tập trắc nghiệm
Bài 1: Nếu hàm số y = f(x) có đạo hàm trên R thỏa mãn f'(x) = sin x – 2 023, ∀ x ∈ R thì giá trị lớn nhất của hàm số y = f(x) trên đoạn [1; 2] bằng
A. f(0).
B. f(1).
C. f(1,5).
D. f(2).
Bài 2
Ảnh
Bài 2: Tìm giá trị lớn nhất của mỗi hàm số sau: a) f(x) = latex(4/(1 + x^2)); b) latex(f(x) = x - 3/x) trên khoảng (0; 3].
Bài 3
Ảnh
Bài 3: Tìm giá trị nhỏ nhất của mỗi hàm số sau: a) f(x) = latex(x + 4/x) trên khoảng latex((0; +oo)). b) latex(f(x) = x^3 - 12x + 1) trên khoảng latex((1; +oo)).
Tổng kết
Tổng kết
Ảnh
Tổng kết:
Ôn lại kiến thức vừa học. Hoàn thành hết các bài tập trong SGK và SBT. Chuẩn bị bài sau: " Chương I. Bài 3. Đường tiệm cận của đồ thị hàm số ".
Cảm ơn
Ảnh
Ảnh