CHƯƠNG 1. BÀI 3. ĐƯỜNG TIỆM CẬN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ
Trang bìa
Trang bìa
Ảnh
CHƯƠNG 1. BÀI 3. ĐƯỜNG TIỆM CẬN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ
TOÁN 12
Khởi động
Khởi động
- Khởi động:
Ảnh
Ảnh
Theo thuyết tương đối hẹp, khối lượng m (kg) của một hạt phụ thuộc vào tốc độ di chuyển v (km/s) của nó trong hệ quy chiếu quán tính theo công thức m = m(v) = latex((m_0)/(sqrt(1 - (v^2)/(c^2)))) trong đó latex(m_0) là khối lượng nghỉ của hạt, c = 300000 km/s là tốc độ ánh sáng. Khi hạt di chuyển với tốc độ càng gần tốc độ ánh sáng thì khối lượng của hạt thay đổi thế nào? Điều này thể hiện trên đồ thị hàm số m = m(v) ở hình bên như thế nào?
1. Đường tiệm cận đứng
Đường tiệm cận đứng
Ảnh
1. Đường tiệm cận đứng
- HĐ1
Ảnh
Ảnh
HĐ1: Cho hàm số y = latex(1/(x - 1)) có đồ thị như Hình 1. a) Tìm latex(lim_(x ->1^+) 1/(x - 1), lim_(x -> 1^-) 1/(x - 1)). b) Gọi M là điểm trên đồ thị có hoành độ x. Đường thẳng đi qua M và vuông góc với trục Oy cắt đường thẳng x = 1 tại điểm N. Tính MN theo x và nhận xét về MN khi latex(x -> 1^-) và latex(x -> 1).
- Kết luận
Ảnh
Ảnh
- Kết luận:
Đường thẳng x = a được gọi là một đường tiệm cận đứng (hay tiệm cận đứng) của đồ thị hàm số y = f(x) nếu ít nhất một trong các điều kiện sau thoả mãn: latex(lim_(x -> a^-) = +oo, lim_(x -> a^+) = +oo, lim_(x -> a^-) = -oo, lim_(x -> a^+) = -oo)
+ tiếp
- Kết luận:
Đường thẳng x = a là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y = f(x) được minh hoạ như Hình 2.
Ảnh
Ảnh
- Ví dụ 1
Ví dụ 1: Tìm tiệm cận đứng của đồ thị các hàm số sau: a) latex(y = x/(x^2 - 1)); b) latex(y = 2/(sqrt(x - 1))).
Ảnh
- Mẫu:
Hình vẽ
a) TXĐ: D = R\{-1; 1}. Ta có latex(lim_(x->1^-) x/(x^2 - 1) = -oo; lim_(x->1^+) x/(x^2 - 1) = +oo) => Đường thẳng x = -1 là môt tiệm cận đứng của đồ thị hàm số. Ta có latex(lim_(x->1^-) x/(x^2 - 1) = -oo; lim_(x->1^+) x/(x^2 - 1) = +oo) => Đường thẳng x = 1 là môt tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.
- Chú ý
Ảnh
- Chú ý:
Đồ thị hàm số latex(y = x/(x^2 - 1)) cùng với hai tiệm cận đứng x = 1 và x = -1 của nó được thể hiện trong Hình 3a. Đồ thị hàm số y = latex(2/(sqrt(x - 1))) cùng với tiệm cận đứng x = 1 của nó được thể hiện trong Hình 3b.
- Thực hành 1
Ảnh
Tìm tiệm cận đứng của đồ thị các h/s sau: a) latex(y = f(x) = (2x + 3)/(-x + 5)); b) latex(y = g(x) = (x^2 - 2x)/(x - 1)).
- Thực hành 1:
2. Đường tiệm cận ngang
Đường tiệm cận ngang
Ảnh
2. Đường tiệm cận ngang
- HĐ2
Ảnh
Ảnh
HĐ2: Cho hàm số latex(y = (x + 1)/x) có đồ thị như Hình 4. a) Tìm latex(lim_(x -> +oo) (x + 1)/x, lim_(x -> -oo) (x +1)/x). b) Đường thẳng vuông góc với trục Ox tại điểm x cắt đồ thị hàm số tại điểm M và cắt đường thẳng y = 1 tại điểm N (Hình 4). Tính MN theo x và nhận xét về MN khi latex(x -> +oo) hoặc latex(x -> -oo).
- Kết luận
- Kết luận:
Ảnh
Ảnh
Đường thẳng y = m được gọi là một đường tiệm cận ngang (hay tiệm cận ngang) của đồ thị hàm số y = f(x) nếu latex(lim_(x -> -oo) f(x) = m) hoặc latex(lim_(x -> +oo) f(x) = m).
+ tiếp
Ảnh
- Kết luận:
Đường thẳng y = m là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y = f(x) được minh hoạ như Hình 5.
Ảnh
- Ví dụ 2
Ảnh
Ví dụ 2: Tìm tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y = latex((-2x + 1)/(x + 1)).
Hình vẽ
- Giải:
Tập xác định: D = R \{-1}. Ta có latex(lim_(x -> +oo) (-2x + 1)/(x + 1) = lim_(x -> +oo) (2 + 1/x)/(1 + 1/x) = -2); latex(lim_(x -> -oo) (-2x + 1)/(x + 1) = lim_(x -> -oo) (-2 + 1/x)/(1 + 1/x) = -2). Vậy đường thẳng y = -2 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.
- Chú ý
Ảnh
- Chú ý:
Đồ thị của hàm số y = latex((-2x + 1)/(x + 1)) cùng với tiệm cận ngang y = -2 và tiệm cận đứng x = -1 của nó được thể hiện trong Hình 6.
Ảnh
- Thực hành 2
Ảnh
Tìm tiệm cận ngang của đồ thị các hàm số sau: a) latex(y = f(x) = (x - 1)/(4x + 1)); b) latex(y = g(x) = (sqrtx)/(sqrtx + 2)).
- Thực hành 2:
3. Đường tiệm cận xiên
Đường tiệm cận xiên
Ảnh
3. Đường tiệm cận xiên
- HĐ3
Ảnh
Ảnh
HĐ3: Cho đồ thị của hàm số y = latex((x^2 + 1)/x) và đường thẳng y = x. Đường thẳng vuông góc với trục Ox tại điểm x cắt đồ thị hàm số tại điểm M và cắt đường thẳng y = x tại điểm N (Hình 7). a) Tính latex(lim_(x-> -oo)((x^2 + 1)/x - x)) và latex(lim_(x->+oo)((x^2 + 1)/x - x)). b) Tính MN theo x và nhận xét MN khi latex(x -> +oo) hoặc latex(x -> -oo).
- Kết luận
- Kết luận:
Ảnh
Ảnh
Đường thẳng y = ax + b latex(a != 0), được gọi là đường tiệm cận xiên (hay tiệm cận xiên) của đồ thị hàm số y = f(x) nếu latex(lim_(x -> -oo)[f(x) - (ax + b)] = 0) hoặc latex(lim_(x -> +oo)[f(x) - (ax + b)] = 0).
+ tiếp
- Kết luận:
Đường thẳng y = ax + b là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số y = f(x) được minh hoạ như Hình 8.
Ảnh
- Ví dụ 3
Ảnh
Ví dí 3: CMR: Đường thẳng y = x - 2 là một tiệm cận xiên của đồ thị hàm số y = f(x) = x - 2 + latex(3/(x +1)).
Hình vẽ
- Giải:
Tập xác định: D = R \{-1}. Ta có latex(lim_(x -> -oo) [f(x) - (x - 2)] = lim_(x -> -oo) 3/(x + 1) = 0); latex(lim_(x -> +oo) [f(x) - (x - 2)] = lim_(x -> +oo) 3/(x + 1) = 0); Do đó, đồ thị hàm số có tiệm cận xiên là đường thẳng y = x - 2.
- Chú ý
Ảnh
- Chú ý:
Đồ thị của hàm số y = latex(f(x) = x - 2 + 3/(x + 1)) cùng với tiệm cận đứng x = -1 và tiệm cận xiên y = x - 2 của nó được thể hiện trong Hình 9.
Ảnh
- Nhận xét
- Nhận xét:
Ảnh
Hình vẽ
a) Trong trường hợp tổng quát, có thể tìm các hệ số a, b trong phương trình của đường tiệm cận xiên y = ax + b theo CT sau: latex(a = lim_(x-> +oo) (f(x))/x, b = lim_(x-> +oo) [f(x) - ax]) hoặc latex(a = lim_(x-> -oo) (f(x))/x, b = lim_(x-> -oo) [f(x) - ax]) b) Khi a = 0 thì đồ thị của hàm số có tiệm cận ngang là đường thẳng y = b.
- Ví dụ 4
Ảnh
Ví dụ 4: Tìm tiệm cận xiên của đồ thị hàm số latex(y = f(x) = (x^2 - 3x + 1)/(x - 2)).
Hình vẽ
- Giải:
Tập xác định: D = R \{2}. Ta có latex(a = lim_(x -> +oo) (f(x))/x = lim_(x -> +oo) (x^2 - 3x + 1)/(x^2 - 2x) = 1); latex(b = lim_(x -> +oo) [f(x) - ax] = lim_(x -> +oo) ((x^2 - 3x + 1)/(x - 2) - x) = lim_(x->+oo) (-x+1)/(x - 2) = -1); Ta cũng có latex(lim_(x-> -oo) (f(x))/x = 1; lim_(x -> -oo) [f(x) - x] = -1). Do đó, đồ thị hàm số có tiệm cận xiên là đường thẳng y = x - 1.
- Chú ý
Ảnh
- Chú ý:
Đồ thị hàm số y = latex((x^2 - 3x + 1)/(x - 2)) cùng với tiệm cận đứng x = 2 và tiệm cận xiên y = x - 1 của nó được thể hiện trong Hình 10.
Ảnh
- Thực hành 3
Ảnh
Tìm tiệm cận xiên của đồ thị hàm số latex(y = (2x^2 - 3x)/(x + 5)).
- Thực hành 3:
- Thực hành 4
- Thực hành 4:
Ảnh
Hình vẽ
Nếu trong một ngày, một xưởng sản xuất được x kilôgam sản phẩm thì chi phí trung bình (tính bằng nghìn đồng) cho một sản phẩm được cho bởi công thức: latex(C = (50x + 2000)/x). Tìm các đường tiệm cận của đồ thị hàm số y = C(x).
3. Bài tập
Bài tập
Ảnh
3. Bài tập
- Bài 1
Bài 1: Tìm các tiệm cận của đồ thị hàm số sau:
Ảnh
Ảnh
- Bài 2
Ảnh
Ảnh
Bài tập:
Hình vẽ
Bài 2: Tìm các tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số sau: a) latex(y = (4x - 50)/(2x - 3)); b) latex(y = (-2x + 7)/(4x - 3)); c) latex(y = (5x)/(3x - 7)).
- Bài 3
Ảnh
Ảnh
Bài tập:
Hình vẽ
Bài 3: Tìm các tiệm cận đứng và tiệm cận xiên của đồ thị hàm số sau: a) latex(y = (x^2 + 2)/(2x - 4)); b) latex((2x^2 - 3x - 6)/(x +2)); c) latex(y = (2x^2 + 9x + 11)/(2x + 5)).
Tổng kết
- Dặn dò
Ảnh
Dặn dò:
Ôn lại kiến thức vừa học. Hoàn thành các bài tập còn lại trong SGK và SBT. Chuẩn bị bài sau: "Chương 1. Bài 4. Khảo sát và vẽ đồ thị một số hàm số cơ bản".
- Cảm ơn
Ảnh