CHƯƠNG I. BÀI 3. ĐƯỜNG TIỆM CẬN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ
Trang bìa
Trang bìa
Ảnh
TOÁN 12
CHƯƠNG I. BÀI 3. ĐƯỜNG TIỆM CẬN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ
Khởi động
Khởi động
Ảnh
Số dân của một thị trấn sau x năm kể từ năm 1970 được ước tính bởi công thức y = f(x) = latex((26x + 10)/(x + 5)) (f(x) được tính bằng nghìn người) (Nguồn: Giải tích 12 Nâng cao, NXBGD Việt Nam, 2020). Xem y = f(x) là một hàm số xác định trên nửa khoảng [0; + ∞), đồ thị của hàm số đó là đường cong màu xanh ở Hình 10.
- Khởi động:
Khi x → + ∞, đồ thị hàm số y = f(x) ngày càng “tiến gần” tới đường thẳng nào?
1. Đường tiệm cận ngang
Đường tiệm cận ngang
Ảnh
1. Đường tiệm cận ngang
- HĐ1
- Hoạt động 1:
Xét hàm số y = f(x) = latex((26x + 10)/(x + 5)) với x ∈ [0; + ∞) có đồ thị là đường cong ở Hình 10 trong bài toán mở đầu. Tìm latex(lim_(x -> +oo) f(x)).
Ảnh
- Định nghĩa
- Định nghĩa:
Ảnh
Hình vẽ
Đường thẳng latex(y = y_0) được gọi là đường tiệm cận ngang (hay tiệm cận ngang) của đồ thị hàm số y = f(x) nếu: latex(lim_(x -> +oo) f(x) = y_0) hoặc latex(lim_(x -> -oo) f(x) =y_0).
- Nhận xét
- Nhận xét:
Giả sử đường thẳng y = latex(y_0) là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y = f(x). Lấy điểm M(x; y) thuộc đồ thị hàm số. Gọi MH là khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng latex(y = y_0). Khi đó, độ dài MH tiến tới 0 khi latex(x -> +oo) hay latex(x -> - oo).
Ảnh
Ảnh
- Ví dụ 1
Ví dụ 1: Tìm tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y = f(x) = latex((2x - 1)/(x + 2)).
- Giải:
Ảnh
Hình vẽ
Hàm số đã cho có TXĐ là R\{-2}. Ta có: latex(lim_(x -> +oo) f(x) = lim_(x -> +oo) (2x-1)/(x + 2) = 2), latex(lim_(x -> -oo) f(x) = lim_(x -> -oo) (2x - 1)/(x - 2) = 2). Vậy đường thẳng y = 2 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đã cho.
- Luyện tập 1
- Luyện tập 1:
Ảnh
Tìm tiệm cận ngang của đồ thị hàm số latex(y = (3x - 2)/(x +1)).
2. Đường tiệm cận đứng
Đường tiệm cận đứng
Ảnh
2. Đường tiệm cận đứng
- HĐ2
Ảnh
- Hoạt động 2:
Cho hàm số y = f(x) = latex(1/x) có đồ thị là đường cong như Hình 12. Tìm latex(lim_(x -> 0^+) f(x), lim_(x -> 0^-) f(x)).
Ảnh
Ảnh
- Định nghĩa
Ảnh
- Định nghĩa:
Hình vẽ
Đường thẳng latex(x = x_0) được gọi là đường tiệm cận đứng (hay tiệm cận đứng) của đồ thị hàm số y = f(x) nếu ít nhất một trong các điều điện sau được thoả mãn: latex(lim_(x -> x_0^- ) f(x) = +oo)); latex(lim_(x -> x_0^-) f(x) = -oo)); latex(lim_(x ->x_0^+) f(x) = +oo)); latex(lim_(x -> x_0^+) f(x) = -oo)).
- Nhận xét
Ảnh
- Nhận xét:
Ảnh
Giả sử đường thẳng x = latex(x_0) là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y = f(x). Lấy điểm M(x; y) thuộc đồ thị hàm số. Gọi MH là khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng latex(x = x_0). Khi đó, độ dài MH tiến tới 0 khi latex(x -> x_0^+) hay latex(x -> x_0^-).
- Ví dụ 2
Ví dụ 2: Giải thích vì sao đường thẳng x = 1 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số latex(y = f(x) = (3x - 2)/(x - 1)).
- Giải:
Ảnh
Hình vẽ
Hàm số đã cho có TXĐ là R\{1}. Vì latex(lim_(x->1^+) f(x) = +oo) nên đường thẳng x = 1 là tiệm cận đứng của đồ thị h/s đã cho.
- Luyện tập 2
- Luyện tập 2:
Ảnh
Tìm tiệm cân đứng của đồ thị hàm số latex(y = (x^2 + 3x)/(x - 5)).
3. Đường tiệm cận xiên
Đường tiệm cận xiên
Ảnh
3. Đường tiệm cận xiên
- HĐ3
Ảnh
Ảnh
- Hoạt động 3:
Cho hàm số y = f(x) = latex(x + 1 + 1/(x - 1)) có đồ thị là (C) và đường thẳng y = x + 1 (H15). Tìm latex(lim_(x -> +oo) [f(x) - (x + 1)]; lim_(x -> -oo) [f(x) - (x + 1)]).
- Định nghĩa
Ảnh
- Định nghĩa:
Hình vẽ
Đường thẳng y = ax + b (latex(a !=0)) được gọi là đường tiệm cận xiên (hay tiện cận xiên) của đồ thị hàm số y = f(x) nếu: latex(lim_(x-> +oo) [f(x) - (ax + b)] = 0) hoặc latex(lim_(x->-oo) [f(x) - (ax + b)] = 0).
- Nhận xét
- Nhận xét:
Giả sử đường thẳng y = ax + b latex((a !=0)) là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số y = f(x). Lấy điểm M thuộc đồ thị hàm số y = f(x) và điểm N thuộc đường thẳng y = ax + b có cùng hoành độ x. Khi đó, độ dài MN tiến tới 0 khi latex(x -> +oo) hay latex(x -> -oo).
Ảnh
Ảnh
- Ví dụ 3
Ví dụ 3: Chứng minh rằng đường thẳng y = 2x - 1 là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số y = f(x) = latex(2x - 1 - 1/(x^2 + 1)).
- Giải:
Ảnh
Hình vẽ
Do latex(lim_(x -> +oo) [f(x) - (2x - 1)] - lim_(x -> +oo) -1/(x^2 + 1) = 0) nên đường thẳng y = 2x - 1 là tiệm cận xiên của đồ thị đã cho.
- Luyên tập 3
- Luyện tập 3:
Ảnh
Chứng minh rằng đường thẳng y = -x là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số latex(y = f(x) = (-x^2 - 2x + 3)/(x + 2)).
- Ví dụ 4
Ví dụ 4: Tìm tiệm cận xiên của đồ thị hàm số latex(y = f(x) = (x^2 + 3x)/(x - 2)).
- Giải:
Ảnh
Hình vẽ
Ta có: latex(a = lim_(x -> +oo) (f(x))/x = lim_(x -> +oo) (x^2 + 3x)/(x(x - 2)) = 1). và latex(b = lim_(x -> +oo) [f(x) - x] = lim_(x -> +oo) (5x)/(x - 2) = 5). Vậy đường thẳng y = x + 5 là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số đã cho (khi latex(x -> +oo)). Tương tự, do latex(lim_(x -> -oo) (f(x))/x = 1) và latex(lim_(x -> -oo) [f(x) -x] = 5) nên đường thẳng y = x + 5 cũng là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số đã cho khi latex((x -> -oo)).
4. Bài tập
Bài tập
Ảnh
4. Bài tập
Bài 1
Bài tập trắc nghiệm
Bài 1: Tiệm cận đứng của đồ thị hàm số latex(y = (x + 2)/(x +1)) là:
A. x = – 1.
B. x = – 2.
C. x = 1.
D. x = 2.
Bài 2
Bài tập trắc nghiệm
Bài 2: Tiệm cận xiên của đồ thị hàm số y = latex((x^2 + 3x + 5)/(x + 2)) là:
A. y = x.
B. y = x + 1.
C. y = x + 2.
D. y = x + 3.
Bài 3
Ảnh
Bài 3: Tìm tiệm cận đứng, tiệm cận ngang, tiệm cận xiên (nếu có) của đồ thị mỗi hàm số sau: a) latex(y = x/(2 - x)); b) latex(y = (2x^2 - 3x + 2)/(x - 1)); c) latex(y = x- 3 + 1/(x^2)).
Tổng kết
Tổng kết
Ảnh
Tổng kết:
Ôn lại kiến thức vừa học. Hoàn thành hết các bài tập trong SGK và SBT. Chuẩn bị bài sau: "Chương I. Bài 4. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số".
Cảm ơn
Ảnh
Ảnh