CHƯƠNG 8. BÀI 2. ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC VỚI MẶT PHẲNG
Trang bìa
Trang bìa
Hình vẽ
CHƯƠNG 8. BÀI 2. ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC VỚI MẶT PHẲNG
TOÁN 11
Ảnh
Khởi động
Khởi động
Khởi động
Trong thực tế, người thợ xây dựng thường dùng dây dọi để xác định đường vuông góc với nền nhà. Thế nào là đường thẳng vuông góc với mặt phẳng?
Ảnh
Ảnh
Ảnh
Ảnh
Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng
Khám phá 1
1. Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng
a) Khám phá 1:
Thả một dây dọi AO chạm sàn nhà tại điểm O. Kẻ một đường thẳng xOy bất kì trên sàn nhà. a, Dùng êke để kiểm tra xem AO có vuông góc với xOy không. b, Nêu nhận xét về góc giữa dây dọi và một đường thẳng bất kì trong sàn nhà.
Ảnh
Giải:
a, AO vuông góc với xOy . b, Góc giữa dây dọi và một đường thẳng bất kì trong sàn nhà là góc vuông.
Ảnh
Ảnh
Định nghĩa
Ảnh
Ảnh
1. Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng
b) Định nghĩa:
Đường thẳng d được gọi là vuông góc với mặt phẳng (α) nếu d vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong (α), kí hiệu d⊥(α).
Ảnh
Ảnh
Ví dụ 1
1. Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng
c) Ví dụ 1:
Cho biết cột của trụ gôn của một sân bóng đá là đường thẳng d vuông góc với mặt sân (Hình 3). Tìm góc giữa d và một đường thẳng a kẻ trên sân.
Ảnh
Giải:
Do đường thẳng d vuông góc với mặt sân nên suy ra d vuông góc với mọi đường thẳng nằm trên mặt sân. Vậy ta có góc giữa d và a bằng 90°.
Ảnh
Ảnh
Ảnh
Khám phá 2
Ảnh
1. Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng
d) Khám phá 2:
Cho đường thẳng d vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau a và b trong mặt phẳng (P). Xét một đường thẳng c bất kì trong (P) (c không song song với a và b). Gọi O là giao điểm của d và (P). Trong (P) vẽ qua O ba đường thẳng lần lượt song song với a, b, c. Vẽ một đường thẳng cắt a', b', c' lần lượt tại B, C, D. Trên d lấy hai điểm E, F sao cho O là trung điểm của EF (Hình 4).
a, Giải thích tại sao hai tam giác CEB và CFE bằng nhau. b, Có nhận xét gì về tam giác DEF? Từ đó suy ra góc giữa d và c.
Ảnh
Ảnh
1. Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng
Giải:
a, Ta có: d⊥a a'⊥a ⇒ d⊥a' ⇒ EF⊥OB Tam giác EBF có EF ⊥ OB O là trung điểm của EF ⇒ Tam giác EBF cân tại B ⇒ BE = BF Tương tự: d⊥b b'⊥b ⇒ d⊥b' ⇒ EF⊥OC Tam giác ECF có EF ⊥ OC O là trung điểm của EF ⇒ Tam giác ECF cân tại C ⇒ CE = CF
Xét ΔCEB và ΔCFB có: BE = BF; CE = CF; cạnh BC chung Do đó ΔCEB = ΔCFB (c.c.c) b, Vì ΔCEB = ΔCFB nên DE = DF Suy ra tam giác DEF cân tại D Mà DO là trung tuyến của tam giác DEF nên DO ⊥ EF Do đó d ⊥ c
Ảnh
Ảnh
Ảnh
Ảnh
Định lí 1
Ảnh
1. Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng
e) Định lí 1:
Nếu một đường thẳng d vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau a và b cùng nằm trong mặt phẳng (α) thì d⊥(α).
Ảnh
Ảnh
Ảnh
Ví dụ 2
Ảnh
Ảnh
1. Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng
f) Ví dụ 2:
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi ABCD tâm O và có SA=SC, SB=SD. Cho I, K lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC. Chứng minh rằng: a, SO⊥(ABCD) b, IK⊥(SBD)
Ảnh
Ảnh
Ảnh
1. Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng
Giải:
a, Ta có ABCD là hình thoi, suy ra AC, BD vuông góc với nhau và có cùng trung điểm O Tam giác SAC cân tại S nên SO⊥AC. Tương tự, ta có SO⊥BD Do SO vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau, AC và BD trong (ABCD), suy ra SO⊥(ABCD) b, Ta có IK // AC và AC⊥BD do đó IK⊥BD Ta có SO⊥(ABCD), do đó SO⊥IK Từ IK⊥BD và IK⊥SO suy ra IK⊥(SBD)
Ảnh
Ảnh
Ảnh
Khám phá 3
Ảnh
Ảnh
1. Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng
g) Khám phá 3:
a, Trong không gian, cho điểm O và đường thẳng d. Gọi a, b là hai đường thẳng phân biệt đi qua O và vuông góc với d (Hình 6a). Có nhận xét gì về vị trí tương đối giữa đường thẳng d và mp (a, b) ? b, Trong không gian, cho điểm O và mặt phẳng (P). Gọi (Q) và (R) là hai mặt phẳng đi qua (O) và lần lượt vuông góc với hai đường cắt nhau a, b nằm trong (P) (Hình 6b). Có nhận xét gì về vị trí giữa mặt phẳng (P) và giao tuyến d của (Q), (R) ?
Ảnh
Ảnh
1. Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng
Giải:
a, Ta có: d⊥a d⊥b a∩b = {O} ⇒ d⊥mp(AB)
b, Ta có: a⊥(Q) d⊂(Q) ⇒ a⊥d b⊥(R) d⊂(R) ⇒ b⊥d Mà a, b cắt nhau nằm trong (P) ⇒ d ⊥ (P)
Ảnh
Ảnh
Ảnh
Ảnh
Ảnh
Ảnh
Ảnh
Định lí 2
1. Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng
h) Định lí 2:
- Có duy nhất một mặt phẳng đi qua một điểm và vuông góc với một đường thẳng cho trước. - Có duy nhất một đường thẳng đi qua một điểm và vuông góc với một mặt phẳng cho trước.
Ảnh
Ảnh
Ảnh
Ví dụ 3
1. Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng
i) Ví dụ 3:
a) Cho hình chóp S.ABCD có các cạnh bên bằng nhau, đáy ABCD là hình vuông tâm O (Hình 7a). Gọi a là đường thẳng đi qua 5 và vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Chứng minh d đi qua O. b) Cho đoạn thẳng AB có O là trung điểm. Gọi (P) là mặt phẳng đi qua O và vuông góc với AB; M, N là hai điểm cách đều hai đầu của đoạn thẳng AB sao cho M, N, O không thẳng hàng (Hình 7b). Chứng minh M, N thuộc mặt phẳng (P).
Ảnh
Ảnh
Ảnh
Ảnh
1. Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng
Giải:
a, Ta có: SA=SC suy ra SO⊥ AC, SB=SD suy ra SO⊥BD. Suy ra SO⊥(ABCD) Theo giả thiết, ta có đường thẳng d đi qua S và vuông góc với (ABCD). Do qua điểm S chỉ có duy nhất một đường thẳng vuông góc với (ABCD) nên ở phải trùng với đường thẳng SO, suy ra d di qua O. b, Ta có: MA=MB suy ra OM⊥AB, NA=NB suy ra ON⊥AB Suy ra AB⊥(OMN) Theo giả thiết, ta có (P) là mặt phẳng đi qua 0 và vuông góc với AB. Do qua điểm O chỉ có duy nhất một mặt phẳng vuông góc với AB nên (P) phải trùng với (OMN), suy ra M và N thuộc (P).
Ảnh
Thực hành 1
1. Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng
k) Thực hành 1:
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông, O là giao điểm của AC và BD, SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Gọi H, I, K lần luợt là hình chiếu vuông góc của điểm A trên các cạnh SB, SC, SD. Chứng minh rằng: a, CB ⊥ (SAB) và CD ⊥ (SAD) b, HK ⊥ AI
Ảnh
Ảnh
Ảnh
Ảnh
Ảnh
1. Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng
Giải:
a, Ta có: SA⊥(ABCD) nên A⊥BC Mà ABCD là hình vuông nên AB ⊥ BC Và AB ∩ SA = {A} Do đó BC ⊥ (SAB) Tương tự: SA ⊥ (ABCD) nên SA ⊥ CD Mà ABCD là hình vuông nên AD ⊥ CD Và AD ∩ SA = {A} Do đó CD ⊥ (SAD) .
Ảnh
Ảnh
Ảnh
Ảnh
Ảnh
1. Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng
Giải:
b, Ta có: CB⊥(SAB) ⇒ CB⊥AH AH⊥SB CB∩SB = {B} ⇒ AH⊥(SBC) ⇒ AH⊥SC (1) CD⊥(SAD) ⇒ CD⊥AK AK⊥SD CD∩SD = {D} ⇒ AK⊥(SDC) ⇒ AK⊥SC (2) Từ (1) và (2) ⇒ SC ⊥ (AHK) ⇒ SC ⊥ HK (3) Xét ΔSAB và ΔSAD có: SA chung AB = AD Góc SAB = Góc SAD Do đó ΔSAB = ΔSAD (c.g.c)
Suy ra SB = SD; góc ASB = góc ASD (các cạnh và các góc tương ứng) Xét tam giác SBD: SB = SD ⇒ ΔSBD cân tại S Xét ΔSAH và ΔSAK có: Góc ASH = Góc ASK Cạnh SA chung Góc SHA = Góc SKA Do đó ΔSAH = ΔSAH (cạnh huyền – góc nhọn) Suy ra SH = SK (các cạnh tương ứng) Khi ΔSHK cân tại S nên góc SHK = góc SKH Ta có: Góc HSK = Góc BSD = 180°−2.Góc HSK = 180°−2.Góc BSD ⇒ Góc HSK = Góc BSD (hai góc ở vị trí so le trong) ⇒ HK // BD SA⊥BD ⇒ SA⊥HK (4) Từ (3) và (4) suy ra HK ⊥ (SAC) ⇒ HK ⊥ AI
Ảnh
Ảnh
Ảnh
Ảnh
Ảnh
Vận dụng 1
1. Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng
l) Vận dụng 1:
Làm thế nào để dựng cột chống một biển báo vuông góc với mặt đất?
Ảnh
Giải:
Vì chân của cột chống biển báo là hai đường thẳng cắt nhau nên khi ta dựng cột chống vuông góc với hai chân của cột chống thì cột chống của biển báo vuông góc với mặt đất.
Ảnh
Ảnh
Ảnh
Liên hệ giữa tính song song và tính vuông góc của đường thẳng và mặt phẳng
Khám phá 4
Ảnh
2. Liên hệ giữa tính song song và tính vuông góc của đường thẳng và mặt phẳng
a) Khám phá 4:
Nêu nhận xét về vị trí tương đối của: a, Hai thân cây cùng mọc vuông góc với mặt đất. b, Mặt bàn và mặt đất cùng vuông góc với chân bàn. c, Thanh xà ngang nằm trên trần nhà và mặt sàn nhà cùng vuông góc với cột nhà.
Ảnh
Ảnh
Ảnh
2. Liên hệ giữa tính song song và tính vuông góc của đường thẳng và mặt phẳng
Giải:
a, Hai thân cây cùng mọc vuông góc với mặt đất song song với nhau. b, Mặt bàn và mặt đất song song với nhau. c, Thanh xà ngang nằm trên trần nhà và mặt sàn nhà song song với nhau.
Ảnh
Ảnh
Ảnh
Định lí 3
Ảnh
2. Liên hệ giữa tính song song và tính vuông góc của đường thẳng và mặt phẳng
b) Định lí 3:
- Cho hai đường thẳng song song. Mặt phẳng nào vuông góc với đường thẳng này thì cũng vuông góc với đường thẳng kia. - Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một mặt phẳng thì song song với nhau.
Ảnh
Ảnh
Ảnh
Ví dụ 4
2. Liên hệ giữa tính song song và tính vuông góc của đường thẳng và mặt phẳng
c) Ví dụ 4:
Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' có AA'⊥(ABCD). Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AB và BC. a, Qua M vẽ đường thẳng a song song với AA'. Chứng minh a⊥(ABCD). b, Qua N vẽ đường thăng b vuông góc với (ABCD). Chứng minh b // AA'.
Ảnh
Ảnh
Ảnh
Ảnh
2. Liên hệ giữa tính song song và tính vuông góc của đường thẳng và mặt phẳng
Giải:
a, Theo đề bài ta có a // AA' và AA'⊥(ABCD), suy ra a⊥(ABCD). b, Theo đề bài ta có b⊥(ABCD) và AA'⊥(ABCD), suy ra b // AA'.
Ảnh
Ảnh
Ảnh
Định lí 4
2. Liên hệ giữa tính song song và tính vuông góc của đường thẳng và mặt phẳng
d) Định lí 4:
- Cho hai mặt phẳng song song. Đường thẳng nào vuông góc với mặt phẳng này thì cũng vuông góc với mặt phẳng kia. - Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thì song song với nhau.
Ảnh
Ảnh
Ảnh
Ví dụ 5
Ảnh
2. Liên hệ giữa tính song song và tính vuông góc của đường thẳng và mặt phẳng
e) Ví dụ 5:
Cho hình chóp S.ABCD có SA⊥(ABCD). a, Vẽ mặt phẳng (Q) đi qua S và song song với mặt phẳng (ABCD). Chứng minh SA⊥(Q). b, Cho M là trung điểm của SA. Gọi (P) là mặt phẳng đi qua M và song song với (ABCD). Chứng minh SA⊥(P).
Ảnh
Ảnh
Ảnh
Ảnh
2. Liên hệ giữa tính song song và tính vuông góc của đường thẳng và mặt phẳng
Giải:
a, Ta có SA⊥(ABCD) (1) và (Q) // (ABCD) (2) Từ (1) và (2) suy ra SA⊥(Q). b, Ta có (P) // (ABCD) (3) Từ (1) và (3) suy ra SA⊥(P).
Ảnh
Ảnh
Ảnh
Ảnh
Thực hành 2
2. Liên hệ giữa tính song song và tính vuông góc của đường thẳng và mặt phẳng
f) Thực hành 2:
Cho tứ diện OABC có OA vuông góc với mặt phẳng (OBC) và có A', B', C' lần lượt là trung điểm của OA, OB, OC. Vẽ OH là đường cao của tam giác OBC. Chứng minh rằng: a, OA⊥(A'B'C') b, B'C'⊥(OAH )
Ảnh
Ảnh
Ảnh
Ảnh
Ảnh
2. Liên hệ giữa tính song song và tính vuông góc của đường thẳng và mặt phẳng
Giải:
a, Xét tam giác OAB: A' là trung điểm OA B' là trung điểm AB Nên A'B' là đường trung bình của ΔOAB. Do đó A'B' // OB ⇒ A'B' // (OBC) (vì OB⊂(OBC)) Tương tự: B'C' là đường trung bình của ΔABC Do đó B'C' // BC ⇒ B'C' // (OBC) (vì BC⊂(OBC))
Ta có: A' // (OBC) B'C' // (OBC) A', B'C'⊂(A'B'C') Mà OA ⊥ (OBC) Vậy OA ⊥ (A'B'C'). b, Ta có OA ⊥ (OBC) nên OA ⊥ BC Mà OH ⊥ BC (OH là đường cao của ΔOBC), suy ra BC ⊥ (OAH) Lại có: B'C' // BC nên B'C'⊥ (OAH).
⇒ (A'B'C') // (OBC)
Định lí 5
2. Liên hệ giữa tính song song và tính vuông góc của đường thẳng và mặt phẳng
g) Định lí 5:
a, Cho đường thẳng a song song với mặt phẳng (α). Đường thẳng nào vuông góc với (α) thì cũng vuông góc với a. b, Nếu đường thẳng a và mặt phẳng (α) (không chứa a) cũng vuông góc với một đường thẳng b thì chúng song song với nhau.
Ảnh
Ảnh
Ảnh
Ví dụ 6
2. Liên hệ giữa tính song song và tính vuông góc của đường thẳng và mặt phẳng
h) Ví dụ 6:
Cho ba đoạn thẳng OA, OB, OC đôi một vuông góc với nhau. a, Cho M là trung điểm của CA và a là đường thẳng tuỳ ý đi qua M và song song với mặt phẳng (OAB). Chứng minh a⊥OC. b, Gọi b là một đường thẳng tuỳ ý đi qua C và b vuông góc với OC. Chứng minh b // (OAB).
Ảnh
Ảnh
Ảnh
Ảnh
2. Liên hệ giữa tính song song và tính vuông góc của đường thẳng và mặt phẳng
Giải:
a) Ta có OC⊥OA và OC⊥OB, suy ra OC⊥(OAB). (1) Ta có a // (OAB). (2) Từ (1) và (2) suy ra a⊥OC. b) Ta có b⊥OC. (3) Từ (1) và (3), suy ra b // (OAB).
Ảnh
Ảnh
Ảnh
Ảnh
Thực hành 3
2. Liên hệ giữa tính song song và tính vuông góc của đường thẳng và mặt phẳng
i) Thực hành 3:
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông với AB là cạnh góc vuông và có cạnh SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Cho M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của SB, AB, CD, SC. Chứng minh rằng: a, AB ⊥ (MNPQ). b, MQ ⊥ (SAB) .
Ảnh
Ảnh
Ảnh
Ảnh
Ảnh
2. Liên hệ giữa tính song song và tính vuông góc của đường thẳng và mặt phẳng
Giải:
a, Xét tam giác SBC: M là trung điểm SB Q là trung điểm SC Do đó MQ là đường trung bình của ΔSBC. MQ // BC BC⊥AB ⇒ MQ⊥AB (1) Tương tự: MN là đường trung bình của ΔSAB . Khi đó: MN // SA SA⊥(ABCD) ⇒ MN ⊥ (ABCD) ⇒ MN ⊥ AB (2)
Xét hình thang ABCD: N là trung điểm AB P là trung điểm CD Do đó NP là đường trung bình của hình thang ABCD . Khi đó: NP // BC BC⊥AB ⇒ NP⊥AB Từ (1), (2) và (3) suy ra AB ⊥ (MNPQ)
Ảnh
2. Liên hệ giữa tính song song và tính vuông góc của đường thẳng và mặt phẳng
Giải:
b, Ta có: AB⊥BC SA⊥BC ⇒ BC⊥(SAB) Mà BC // MQ Do đó MQ ⊥ (SAB)
Ảnh
Ảnh
Ảnh
Vận dụng 2
2. Liên hệ giữa tính song song và tính vuông góc của đường thẳng và mặt phẳng
j) Vận dụng 2:
Một kệ sách có bốn trụ chống và các ngăn làm bằng các tấm gỗ (Hình 18). Làm thế nào dùng một êke để kiểm tra xem các tấm gỗ có vuông góc với mỗi trụ chống và song song với nhau hay không? Giải thích cách làm.
Ảnh
Giải:
‒ Ta dùng êke kiểm tra hai mép tấm gỗ vuông góc với trụ chống thì tấm gỗ vuông góc với trụ chống. ‒ Ta kiểm tra tấm gỗ vuông góc với các trụ chống thì các trụ chống song song với nhau.
Phép chiếu vuông góc
Khám phá 5
3. Phép chiếu vuông góc
a) Khám phá 5:
Hai người thợ trong hình đang thả dây dọi từ một điểm M trên trần nhà và đánh dấu điểm M' nơi đầu nhọn quả dọi chạm sàn. Có nhận xét gì về đường thẳng MM' với mặt sàn?
Ảnh
Giải:
Đường thẳng MM' vuông góc với mặt sàn.
Ảnh
Ảnh
Ảnh
Định nghĩa
3. Phép chiếu vuông góc
b) Định nghĩa:
Cho mặt phẳng (P) và đường thẳng d vuông góc với (P). Phép chiếu song song theo phương của d lên mặt phẳng (P) được gọi là phép chiếu vuông góc lên (P).
Ảnh
Ảnh
Ảnh
Ví dụ 7
3. Phép chiếu vuông góc
c) Ví dụ 7:
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật ABCD và SA⊥(ABCD). Tìm hình chiếu vuông góc của SC lên mặt phẳng (ABCD) và hình chiếu vuông góc của điểm D trên mặt phẳng (SAB).
Ảnh
Giải:
Ta có SA⊥(ABCD), suy ra AC là hình chiếu vuông góc của SC trên (ABCD) Ta có SA⊥(ABCD), suy ta SA⊥AD (1) Ta có ABCD là hình chữ nhật, suy ra AB⊥AD (2) Từ (1) và (2) ta có AD⊥(SAB), suy ra A là hình chiếu vuông góc của điểm D trên (SAB).
Ảnh
Ảnh
Thực hành 4
3. Phép chiếu vuông góc
d) Thực hành 4:
Cho hình chóp S.ABCD có SA ⊥ (ABCD) và đáy ABCD là hình chữ nhật. Xác định hình chiếu vuông góc của điểm C, đường thẳng CD và tam giác SCD trên mặt phẳng (SAB).
Ảnh
Ảnh
Ảnh
Ảnh
Ảnh
3. Phép chiếu vuông góc
Giải:
Ta có: SA⊥(ABCD) ⇒ SA⊥BC AB⊥BC ⇒ BC⊥(SAB) Vậy B là hình chiếu vuông góc của điểm C trên mặt phẳng (SAB) Mặt khác : SA⊥(ABCD) ⇒ SA⊥AD AB⊥AD ⇒ AB⊥(SAB) Vậy A là hình chiếu vuông góc của điểm D trên mặt phẳng (SAB) . Lại có B là hình chiếu vuông góc của điểm C trên mặt phẳng (SAB) .
Vậy đường thẳng AB là hình chiếu vuông góc của đường thẳng CD trên mặt phẳng (SAB) . Ta có: A là hình chiếu vuông góc của điểm D trên mặt phẳng (SAB) . B là hình chiếu vuông góc của điểm C trên mặt phẳng (SAB) . Mà S∈(SAB) Vậy tam giác SAB là hình chiếu vuông góc của tam giác SCD trên mặt phẳng (SAB).
Chú ý
3. Phép chiếu vuông góc
e) Chú ý:
a, Phép chiếu vuông góc lên một mặt phẳng là một trường hợp đặc biệt của phép chiếu song song nên có đầy đủ các tính chất của phép chiếu song song. b, Người ta còn dùng "phép chiếu lên (P)" thay cho "phép chiếu vuông góc lên (P)" và dùng (H') là hình chiếu của (H) trên (P) thay cho (H') là hình chiếu vuông góc của (H) trên (P).
Ảnh
Ảnh
Khám phá 6
3. Phép chiếu vuông góc
f) Khám phá 6:
Cho đường thẳng a nằm trong mặt phẳng (P) và b là đường thẳng không thuộc (P) và không vuông góc với (P). Lấy hai điểm A, B trên b và gọi A', B' lần lượt là hình chiếu vuông góc của A và B trên (P).
Ảnh
a, Xác định hình chiếu b' của b trên (P). b, Cho a vuông góc với b, nêu nhận xét về vị tri tương đối giữa: i, đường thẳng a và mp (b, b') ii, hai đường thẳng a và b' c) Cho a vuông góc với b' , nêu nhận xét về vị trí tương đối giữa: i, đường thẳng a và mp (b, b') ii, giữa hai đường thẳng a và b
Ảnh
3. Phép chiếu vuông góc
Giải:
a, Ta có: AA'⊥(P), BB' (P), A, B∈b Vậy hình chiếu vuông góc của đường thẳng b trên mặt phẳng (P) là đường thẳng A' B ' Vậy b' ≡ A'B' b, i, AA'⊥(P) ⇒ A'⊥a a⊥b ⇒ a⊥mp(b,b') ii, a⊥mp(b,b') b'⊂mp(b,b') ⇒ a⊥b'
c, i, AA'⊥(P) ⇒ AA'⊥a a⊥b' ⇒ a⊥mp(b,b') ii, a⊥mp(b,b') b⊂mp(b,b') ⇒ a⊥b
Ảnh
Định lí 6: Định lí ba đường vuông góc
Ảnh
3. Phép chiếu vuông góc
g) Định lí 6: Định lí ba đường vuông góc
Cho đường thẳng a nằm trong mặt phẳng (P) và b là đường thẳng không nằm trong (P) và không vuông góc với (P). Gọi b’ là hình chiếu vuông góc của b trên (P). Khi đó a vuông góc với b khi và chỉ khi a vuông góc với b’.
Ảnh
Ảnh
Ví dụ 8
3. Phép chiếu vuông góc
h) Ví dụ 8:
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật ABCD và có cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy. Chứng minh CD⊥SD và CB⊥SB.
Ảnh
Giải:
Ta có SA⊥(ABCD), suy ra DA là hình chiếu vuông góc của DS trên (ABCD) và BA là hình chiếu vuông góc của BS trên (ABCD). Do ABCD là hình chữ nhật nên CD⊥DA, suy ra theo định lí ba đường vuông góc ta có CD⊥SD. Tương tự ta cũng có CB⊥AB, suy ra theo định lí ba đường vuông góc ta có CB⊥SB.
Ảnh
Thực hành 5
Ảnh
3. Phép chiếu vuông góc
i) Thực hành 5:
Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc. Vẽ đường thẳng qua O và vuông góc với (ABC) tại H. Chứng minh AH ⊥ BC.
Giải:
Ta có: OA⊥OB, OA⊥OC ⇒ OA⊥(OBC) ⇒OA⊥BC (1) Mà OH⊥(ABC) ⇒ OH⊥BC (2) Từ (1) và (2) ⇒ BC⊥(OAH) ⇒ BC⊥AH (AH⊂(OAH))
Ảnh
Ảnh
Ảnh
Vận dụng 3
3. Phép chiếu vuông góc
j) Vận dụng 3:
Nêu cách tìm hình chiếu vuông góc của một đoạn thẳng AB trên trần nhà xuống nền nhà bằng hai dây dọi.
Giải:
Thả dây dọi từ điểm A và đánh dấu điểm A' nơi đầu quả dọi chạm sàn. Thả dây dọi từ điểm B và đánh dấu điểm B' nơi đầu quả dọi chạm sàn. Khi đó đoạn thẳng A'B' là hình chiếu vuông góc của một đoạn thẳng AB trên trần nhà xuống nền nhà.
Ảnh
Ảnh
Ảnh
Dặn dò
Dặn dò
Ảnh
Dặn dò
- Ôn lại bài cũ. - Làm bài tập trong SGK, SBT. - Chuẩn bị bài mới: "Bài 3: Hai mặt phẳng vuông góc."
Ảnh
Ảnh
Ảnh
Cảm ơn
Ảnh