CHƯƠNG VIII. BÀI 2. ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC VỚI MẶT PHẲNG
Trang bìa
Trang bìa
Ảnh
TOÁN 11
CHƯƠNG VIII. BÀI 2. ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC VỚI MẶT PHẲNG
Khởi động
Tình huống mở đầu
Ảnh
Tình huống mở đầu:
Trong Hình 9, cột gỗ thẳng đứng và sàn nhà nằm ngang gợi nên hình ảnh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng.
Ảnh
Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng được hiểu như thế nào?
I. Định nghĩa
- Hoạt động 1
I. Định nghĩa
Ảnh
HĐ1: Hình 10 mô tả một người thợ xây đang thả dây dọi vuông góc với nền nhà. Coi dây dọi như đường thẳng d và nền nhà như mặt phẳng (P), khi đó Hình 10 gợi nên hình ảnh đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (P). Người thợ xây đặt chiếc thước thẳng ở một vị trí tùy ý trên nền nhà. Coi chiếc thước thẳng đó là đường thẳng a trong mặt phẳng (P), nêu dự đoán về mối liên hệ giữa đường thẳng d và đường thẳng a.
- Kết luận
Ảnh
Đường thẳng d được gọi là vuông góc với mặt phẳng (P) nếu đường thẳng d vuông góc với mọi đường thẳng a trong mặt phẳng (P), kí hiêu d latex(_|_) (P) hoặc latex((P) _|_ d).
- Kết luận:
II. Điều kiện để đường thẳng vuông góc với mặt phẳng
- Hoạt động 2
II. Điều kiện để đường thẳng vuông góc với mặt phẳng
HĐ2: Hình 12 mô tả cửa tròn xoay, ở đó trục cửa và hai mép cửa gợi nên hình ảnh các đường thẳng d, a, b; sàn nhà coi như mặt phẳng (P) chứa a và b. Hỏi đường thẳng d có vuông góc với mặt phẳng (P) hay không?
Ảnh
- Định lí
- Định lí:
Ảnh
Nếu một đường thẳng vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau cùng thuộc một mặt phẳng thì nó vuông góc với mặt phẳng ấy.
- Ví dụ 1
Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABC có SA latex(_|_) AB, SA latex(_|_) AC. CMR: SA latex(_|_) (ABC) và SA latex(_|_) BC.
Giải:
Ảnh
Ảnh
Ta có AB và AC là hai đường thẳng cắt nhau trong mặt phẳng (ABC) và SA latex(_|_) AB, SA latex(_|_) AC. => SA latex(_|_) (ABC). Mà BC latex(sub) (ABC) nên latex(SA _|_ BC).
- Luyện tập 1
Ảnh
- Luyện tập 1:
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi, SA ⊥ (ABCD). Chứng minh rằng BD ⊥ (SAC).
III. Tính chất
- Hoạt động 3
Ảnh
III. Tính chất
HĐ3: Cho điểm O và đường thẳng a. Gọi b, c là hai đường thẳng phân biệt cùng đi qua điểm O và cùng vuông góc với đường thẳng a (Hình 14).
- Tính chất 1
- Tính chất 1:
Ảnh
Có duy nhất một mặt phẳng đi qua một điểm cho trước và vuông góc với một đường thẳng cho trước.
- Ví dụ 2
Ảnh
Ví dụ 2: Cho mặt phẳng (P) và đường thẳng a cắt (P) tại O sao cho latex(a _|_ (P)). Giả sử b là đường thẳng đi qua điểm O và b latex(_|_) a. CMR: latex(b sub (P)).
- Ví dụ 3
Ví dụ 3: Cho đoạn thẳng AB. Mặt phẳng (P) được gọi là mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB nếu (P) đi qua trung điểm O của đoạn thẳng AB và (P) latex(_|_) AB. CMR: Nếu điểm M trong không gian thoả mãn MA = MB thì M thuộc (P).
Giải:
Ảnh
Gọi O là trung điểm của đoạn thẳng AB. Nếu M trùng O thì M thuộc (P). Nếu M khác O thì tam giác MAB cân tại M => latex(OM _|_ AB). Theo VD2, ta có OM latex(sub (P)) => M latex(in) (P).
- Luyện tập 2
- Luyện tập 2:
Ảnh
H17 mô tả một cửa gỗ có dạng hình chữ nhật, ở đó nẹp cửa và mép dưới cửa lần lượt gợi nên hình ảnh hai đường thẳng d và a. Điểm M là vị trí giao giữa mép gắn bản lề và mép dưới của cửa. Hãy giải thích tại sao khi quay cánh cửa, mép dưới cửa là những đường thẳng a luôn nằm trên mặt phẳng đi qua điểm M cố định và vuông góc với đường thẳng d.
- Hoạt động 4
HĐ4: Cho mặt phẳng (P) và điểm O. Gọi a, b là hai đường thẳng cắt nhau thuộc mặt phẳng (P) sao cho a và b không đi qua O. Lấy hai mặt phẳng (Q), (R) lần lượt đi qua O và vuông góc a, b (Hình 18).
Ảnh
a) Giao tuyến latex(Delta) của hai mặt phẳng (Q), (R) có vuông góc với mặt phẳng (P) hay không? b) Có bao nhiêu đường thẳng đi qua O và vuông góc với (P)?
- Tính chất 2
- Tính chất 2:
Ảnh
Có duy nhất một đường thẳng đi qua một điểm cho trước và vuông góc với một mặt phẳng cho trước.
- Ví dụ 4
Ảnh
Ví dụ 4: Cho mặt phẳng (P) và ba điểm A, B, C thoả mãn (P) latex(_|_) AB và (P) latex(_|_) BC. CMR: (P) latex(_|_) AC.
Vì hai đường thẳng AB và BC cùng đi qua điểm B và vuông góc với mặt phẳng (P) nên hai đường thẳng này trùng nhau. => A, B, C là 3 điểm thẳng hàng và (P) latex(_|_) AC.
Giải:
- Luyện tập 3
Ảnh
- Luyện tập 3:
Cho mặt phẳng (P) và đường thẳng a cắt nhau tại điểm O, a ⊥ (P). Giả sử điểm M thỏa mãn OM ⊥ (P). CMR: M ∈ a.
IV. Liên hệ giữa quan hệ song song và quan hệ vuông góc của đường thẳng và mặt phẳng
- Hoạt động 5
IV. Liên hệ giữa quan hệ song song và quan hệ vuông góc của đường thẳng và mặt phẳng
Ảnh
HĐ5: Trong Hình 19, hai thanh sắt và bản phẳng để ngồi gợi nên hình ảnh hai đường thẳng a, b và mặt phẳng (P). Quan sát Hình 19 và cho biết: a) Nếu hai đường thẳng a và b song song với nhau và mặt phẳng (P) vuông góc với đường thẳng a thì mặt phẳng (P) có vuông góc với đường thẳng b hay không? b) Nếu hai đường thẳng a và b cùng vuông góc với mặt phẳng (P) thì chúng có song song với nhau hay không?
- Tính chất 3
Ảnh
Cho hai đường thẳng song song. Một mặt phẳng vuông góc với đường thẳng này thì cũng vuông góc với đường thẳng kia. Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một mặt phẳng thì song song với nhau.
- Tính chất 3:
- Ví dụ 5
Ví dụ 5: Cho hình chóp S.ABCD có SA latex(_|_) (ABCD), đáy ABCD là hình bình hành có AC cắt BD tại O. Gọi M là trung điểm của SC (H20). CMR: OM latex(_|_) (ABCD).
Giải:
Ảnh
Vì ABCD là hình bình hành nên OA = OC. Ta có OM là đường trung bình của tam giác SAC nên OM // SA. Mà SA latex(_|_) (ABCD) nên OM latex(_|_) (ABCD).
- Luyện tập 4
Ảnh
- Luyện tập 4:
Ảnh
- Hoạt động 6
Ảnh
HĐ6: Trong Hình 21, hai mặt trần của nhà cao tầng và cột trụ bê tông gợi nên hình ảnh hai mặt phẳng (P), (Q) phân biệt và đường thẳng a. Quan sát Hình 21 và cho biết: a) Nếu hai mặt phẳng (P), (Q) song song với nhau và đường thẳng a vuông góc với mặt phẳng (P) thì đường thẳng a có vuông góc với mặt phẳng (Q) hay không; b) Nếu hai mặt phẳng (P), (Q) cùng vuông góc với đường thẳng a thì chúng có song song với nhau hay không.
- Tính chất 4
Ảnh
Cho hai đường thẳng song song. Một đường thẳng vuông góc với mặt phẳng này thì cũng vuông góc với mặt phẳng kia. Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thì song song với nhau.
- Tính chất 4:
- Ví dụ 6
Ví dụ 6: Giả sử ABCD và ABMN là hai hình chữ nhật không cùng nằm trong một mặt phẳng (H22). CMR: (ADN) // (BCM).
Giải:
Ảnh
Vì hai đường thẳng AD, AN cắt nhau trong mặt phẳng (ADN), AB latex(_|_) AD, AB latex(_|_) AN nên AB latex(_|_) (ADN). Do hai đường thẳng BC, BM cắt nhau trong mặt (BCM), AB latex(_|_) BC, AB latex(_|_)BM nên AB latex(_|_) (BCM). Vì hai mặt phẳng (ADN) và (BCM) cùng vuông góc với AB nên (ADN) // (BCM).
- Ví dụ 7
Ảnh
Ví dụ 7: Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' có AA' latex(_|_) (ABCD). CMR: AA' latex(_|_) (A'B'C'D').
- Luyện tập 5
Ảnh
- Luyện tập 5:
Cho hình chóp S.ABC có SA ⊥ (ABC). Mặt phẳng (P) khác với mặt phẳng (ABC), vuông góc với đường thẳng SA và lần lượt cắt các đường thẳng SB, SC tại hai điểm phân biệt B’, C’. Chứng minh rằng B’C’ // BC.
V. Phép chiếu vuông góc
- Hoạt động 7
Ảnh
V. Phép chiếu vuông góc
HĐ7: Cho mặt phẳng (P). Xét một điểm M tuỳ ý trong không gian. a) Có bao nhiêu đường thẳng d đi qua điểm M và vuông góc với mặt phẳng (P)? b) Đường thẳng d cắt mặt phẳng (P) tại bao nhiêu giao điểm?
- Kết luận
Cho mặt phẳng (P). Quy tắc đặt tương ứng mỗi điểm M trong không gian với hình chiếu vuông góc M' của điểm đó lên mặt phẳng (P) được gọi là phép chiếu vuông góc lên mặt phẳng (P).
- Kết luận:
Ảnh
- Ví dụ 8
Ảnh
Ví dụ 8: Cho mặt phẳng (P) và đường thẳng a. Xác định hình chiếu của đường thẳng a trên mặt phẳng (P).
- Luyện tập 6
Ảnh
- Luyện tập 6:
Cho mặt phẳng (P) và đoạn thẳng AB. Xác định hình chiếu của đoạn thẳng AB trên mặt phẳng (P).
VI. Định lí ba đường vuông góc
- Hoạt động 8
Ảnh
VI. Định lí ba đường vuông góc
HĐ8: Trong Hình 27, mặt sàn gợi nên hình ảnh mặt phẳng (P), đường thẳng a không vuông góc với mặt phẳng (P), đường thẳng a’ là hình chiếu của đường thẳng a trên mặt phẳng (P), đường thẳng d nằm trong mặt phẳng (P). Quan sát Hình 27 và cho biết:
a) Nếu đường thẳng d vuông góc với hình chiếu a’ thì đường thẳng d có vuông góc với a hay không; b) Nếu đường thẳng d vuông góc với a thì đường thẳng d có vuông góc với hình chiếu a’ hay không.
- Định lí ba đường vuông góc
Ảnh
Cho đường thẳng a không vuông góc với mặt phẳng (P) và đường thẳng d nằm trong mặt phẳng (P). Khi đó, d vuông góc với a khi và chỉ khi d vuông góc với hình chiếu a' của a trên (P).
- Định lí ba đường vuông góc
- Ví dụ 9
Ảnh
Ví dụ 9: Trong mặt phẳng (P) cho tam giác ABC vuông tại C. Trên đường thẳng vuông góc vối mặt phẳng (P) tại A, ta lấy điểm S (S khác A). a) CMR latex(Delta)SBC vuông tại C. b) Gọi AH là đường cao của latex(Delta)SAC. CMR: latex(AH _|_ (SBC)).
- Luyện tập 7
Ảnh
- Luyện tập 7:
Cho mặt phẳng (P). Xét một điểm M tuỳ ý trong không gian. a) Có bao nhiêu đường thẳng d đi qua điểm M và vuông góc với mặt phẳng (P)? b) Đường thẳng d cắt mặt phẳng (P) tại bao nhiêu giao điểm?
Bài tập
Bài 1 (Bài tập)
Bài 1: Quan sát Hình 30 (hai cột của biển báo, mặt đường), cho biết hình đó gợi nên tính chất nào về quan hệ vuông góc giữa đường thẳng và mặt phẳng.
Ảnh
Bài 2 (Bài tập)
Ảnh
Bài 2: Cho hình chóp S.ABC. Gọi H là hình chiếu của S trên mặt phẳng (ABC). a) Xác định hình chiếu của các đường thẳng SA, SB, SC trên mặt phẳng (ABC). b) Giả sử BC ⊥ SA, CA ⊥ SB. Chứng minh rằng H là trực tâm của tam giác ABC và AB ⊥ SC.
Bài 3
Ảnh
Bài 3: Cho tứ diện ABCD có AB ⊥ (BCD), các tam giác BCD và ACD là những tam giác nhọn. Gọi H, K lần lượt là trực tâm của các tam giác BCD, ACD (Hình 31). Chứng minh rằng: a) CD ⊥ (ABH); b) CD ⊥ (ABK); c) Ba đường thẳng AK, BH, CD cùng đi qua một điểm.
Dặn dò
- Dặn dò
Ảnh
Ôn lại kiến thức vừa học. Hoàn thành các bài còn lại trong SGK. Chuẩn bị bài sau: "Chương VIII. Bài 3. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng. Góc nhị diện".
Dặn dò:
- Cảm ơn
Ảnh