CHƯƠNG IV. BÀI 1. ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG TRONG KHÔNG GIAN
Trang bìa
Trang bìa
Ảnh
TOÁN 11
CHƯƠNG IV. BÀI 1. ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG TRONG KHÔNG GIAN
I. Khái niệm mở đầu
- Quan sát hình (I. Khái niệm mở đầu)
- Quan sát hình:
Ảnh
Kim tự tháp nhỏ có dạng hình chóp tứ giác đều nằm ở sân Napoleon của Bảo tàng Louvre, Paris.
1. Mặt phẳng
HĐ1: Sân vận động Old Trafford (Hình 2) ở thành phố Manchester, có biệt danh là "Nhà hát của những giấc mơ", với sức chưa 75 635 người, là sân vận động lớn thứ hai ở Vương quốc Anh. Quan sát Hình 2 và cho biết, mặt sân vận động thường được làm phẳng hay cong.
1. Mặt phẳng
Ảnh
- Nhận xét
Ảnh
- Nhận xét:
Mặt sân vận động cho ta hình ảnh một phần của mặt phẳng trong không gian. Người ta thường biểu diễn một mặt phẳng bằng một hình bình hành và dùng các chữ cái đặt trong dấu ngoặc đơn () để đặt tên cho mặt phẳng ấy.
- Ví dụ
Ảnh
Ảnh
- Ví dụ:
Cách đặt tên mặt phẳng: mặt phẳng (P) (H3), mặt phẳng (Q),... Mặt phẳng trong thực tiễn: tấm gương phẳng, mặt bàn, bảng treo tường, (H4)... cho ta hình ảnh một phần mặt phẳng trong không gian.
- Luyện tập 1
Ảnh
- Luyện tập 1:
Nêu ví dụ trong thực tiễn minh hoạ hình ảnh của một phần mặt phẳng
2. Điểm thuộc mặt phẳng
Ảnh
2. Điểm thuộc mặt phẳng
HĐ2: Quan sát Hình 1, nếu coi mặt sân Napoleon là một phần của mặt phẳng (P) thì đỉnh của kim tự tháp có thuộc mặt phẳng (P) hay không?
- Nhận xét
Ảnh
Ảnh
- Nhận xét:
* Điểm A thuộc mặt phẳng (P), ta kí hiệu latex(A in (P)) (H5a). * Điểm A không thuộc mặt phẳng (P) hay A nằm ngoài (P), ta KH: A (P). (H5b).
latex(!in)
3. Hình biểu diễn của một hình trong không gian
Ảnh
Ảnh
3. Hình biểu diễn của một hình trong không gian
Quan sát hình 6:
a. Khái niệm
Hình 6 là hình biểu diễn của kim tự tháp kính tại bảo tàng Louvre
- Tổng quát
- Tổng quát:
Ảnh
Hình được vẽ trong mặt phẳng để giúp ta hình dung được về một hình trong không gian gọi là hình biểu diễn của hình không gian đó.
b. Quy tắc vẽ hình biểu diễn của một hình trong không gian
Quy ước:
b. Quy tắc vẽ hình biểu diễn của một hình trong không gian
1) Đường thẳng được biểu diễn bởi đường thẳng. Đoạn thẳng được biểu diễn bởi đoạn thẳng; 2) Hai đường thẳng song song (hoặc cắt nhau) được biểu diễn bởi hai đường thẳng song song (hoặc cắt nhau); 3) Hình biểu diễn giữ nguyên tính liên thuộc giữa điểm với đường thẳng hoặc với đoạn thẳng; 4) Những đường nhìn thấy được vẽ bằng nét liền, những đường không nhìn thấy được vẽ bằng nét đứt.
Ảnh
- Ví dụ 1
Ví dụ 1: Dựa trên Hình 7, vẽ hình biểu diễn của hộp phấn.
Hình biểu diễn của hộp phấn có thể vẽ như Hình 8.
- Giải:
Ảnh
- Luyện tập 2
Ảnh
- Luyện tập 2:
Vẽ hình biểu diễn của mặt phẳng (P) và đường thẳng a xuyên qua nó.
II. Các tính chất thừa nhận của hình học không gian
- Hoạt động 3
II. Các tính chất thừa nhận của hình học không gian
HĐ3: Hình 9 là hình ảnh xà ngang trong môn Nhảy cao. Quan sát Hình 9 và cho biết ta cần bao nhiêu điểm đỡ để giữ cố định được xà ngang đó.
Ảnh
- Tính chất 1
- Tính chất 1:
Ảnh
Có một và chỉ mộ đường thẳng đi qua hai điểm phân biệt cho trước.
- Hoạt động 4
Ảnh
HĐ4: Quan sát H10. Đó là hình ảnh bếp củi với kiềng ba chân. "Kiềng ba chân" là vật dụng bằng sắt, có hình vòng cung được gắn ba chân, dùng để đặt nồi lên khi nấu bếp. Bếp củi và kiềng ba chân là hình ảnh hết sức quen thuộc với nhiều gia đình ở Việt Nam. Vì sao kiềng ba chân khi đặt trên mặt đất không bị cập kênh?
- Tính chất 2
- Tính chất 2:
Ảnh
Có một và chỉ một mặt phẳng đi qua ba điểm không thẳng hàng cho trước.
- Minh hoạ
Ảnh
- Minh hoạ:
Mặt phẳng hoàn toàn xác định khi biết ba điểm A, B, C không thẳng hàng. Mặt phẳng đó được kí hiệu mp(ABC) hay đơn giản là (ABC) (Hình 11).
- Tính chất 3
- Tính chất 3:
Ảnh
Nếu một đường thẳng đi qua hai điểm phân biệt của một mặt phẳng thì mọi điểm của đường thẳng đều nằm trong mặt phẳng đó.
- Nhận xét
- Nhận xét:
Nếu một đường thẳng d đi qua hai điểm phân biệt A, B của mặt phẳng (P) thì mọi điểm của đường thẳng d đều nằm trong mặt phẳng (P). Khi đó, ta nói d nằm trong (P), hoặc (P) chứa d, hoặc (P) đi qua d, KH: latex(d sub (P)) hay (P) latex(sup) d.
Ảnh
- Ví dụ 2
Ảnh
Ví dụ 2: Hình 13 minh hoạ người thợ đang kiểm tra độ phẳng của mặt sàn nhà. Hãy cho biết người thợ kiểm tra độ phẳng của mặt sàn nhà bằng cách nào.
- Giải:
Người thợ đặt thước dẹt dài lên mặt sàn nhà ở các vị trí khác nhau. Nếu thước đó luôn áp sát mặt sàn (không bị cập kênh) thì mặt sàn là phẳng.
- Tính chất 4
- Tính chất 4:
Ảnh
Tồn tại bốn điểm không cùng nằm trên một mặt phẳng.
- Ví dụ 3
Ảnh
Ví dụ 3: Giải thích tại sao: a) Chân máy ảnh có thể đặt ở hầu hết các loại địa hình mà vẫn đứng vững (H14). b) Bàn, ghế bốn chân thường bị cập kênh.
- Hoạt động 5
Ảnh
HĐ5: Hình 15 mô tả một phần của phòng học. Nếu coi bức tường chứa bảng và sàn nhà là hình ảnh của hai mặt phẳng thì giao của hai mặt phẳng đó là gì?
(Nguồn: https://shutterstock.com)
- Tính chất 5
- Tính chất 5:
Ảnh
Nếu hai mặt phẳng phân biệt có một điểm chung thì có một đường thẳng chung duy nhất chứa tất cả các điểm chung của hai mặt phẳng đó.
- Chứng minh
- Chứng minh:
Nếu hai mặt phẳng phân biệt (P) và (Q) có điểm chung thì chúng có một đường thẳng chung duy nhất d chứa tất cả các điểm chung của hai mặt phẳng đó. Đường thẳng d đó gọi là giao tuyến của hai mặt phẳng (P) và (Q), kí hiệu d = (P) latex(nn) (Q).
Ảnh
- Ví dụ 4
Ảnh
Ví dụ 4: Trong mặt phẳng (P), cho hình bình hành ABCD, ngoài mặt phẳng (P) cho một điểm S. Hãy XĐ: a) Giao tuyến của hai mặt phẳng (SCB) và (SCD); b) Giao điểm của mặt phẳng (SAC) với đường thẳng BD.
- Giải:
a) Vì S và C cùng thuộc hai mặt phẳng (SCB) và (SCD) nên giao tuyến của hai mặt phẳng (SCB) và (SCD) là đường thẳng SC. b) Gọi O là giao điểm của AC và BD. Khi đó, vì O thuộc mặt phẳng (SAC) nên điểm O là giao điểm của mặt phẳng (SAC) với đường thẳng BD.
- Nhận xét
Ảnh
- Nhận xét:
Có thể xác định giao tuyến của hai mặt phẳng bằng cách đi tìm hai điểm chung của chúng. Đường thẳng đi qua hai điểm chung đó là giao tuyến cần tìm. Để tìm giao điểm của đường thẳng a và mặt phẳng (P) (với giả thiết a cắt (P)), ta có thể làm như sau: Chọn một đường thẳng b thích hợp trong mặt phẳng (P) và tìm giao điểm M của hai đường thẳng a và b. Khi đó, M là giao điểm cần tìm.
- Luyện tập 3
Ảnh
- Luyện tập 3:
Trong ví dụ 4, xác định giao tuyến của hai mặt phẳng (SAC) và (SBD).
- Tính chất 6
- Tính chất 6:
Ảnh
Trên mỗi mặt phẳng của không gian, các kết quả đã biết của hình học phẳng đều đúng.
III. Một số cách xác định mặt phẳng
- Hoạt động 6
III. Một số cách xác định mặt phẳng
HĐ6: Cho điểm A không thuộc đường thẳng d. Lấy hai điểm phân biệt B và C thuộc đường thẳng d (H18). a) Mặt phẳng đi qua ba điểm A, B, C có đi qua đường thẳng d? b) Có bao nhiêu mặt phẳng đi qua điểm A và đường thẳng d?
Ảnh
- Định lí 1
- Định lí 1:
Ảnh
Cho điểm A không thuộc đường thẳng d. Khi đó, qua điểm A và đường thẳng d có một và chỉ một mặt phẳng, kí hiệu mp(A, d) hoặc (A, d).
- Hoạt động 7
HĐ7: Cho hai đường thẳng a và b cắt nhau tại O. Lấy điểm A trên đường thẳng a (A khác O), lấy điểm B trên đường thẳng b (B khác O) (H19). a) Mặt phẳng đi qua ba điểm A, B, O có đi qua hai đường thẳng a và b hay không? b) Có bao nhiêu mặt phẳng đi qua hai đường thẳng a và b?
Ảnh
- Định lí 2
- Định lí 2:
Ảnh
Cho hai đường thẳng a và b cắt nhau. Khi đó, qua a và b có một và chỉ một mặt phẳng, kí hiệu mp(a; b).
- Nhận xét
Ảnh
- Nhận xét:
Đi qua ba điểm không thẳng hàng. Đi qua một đường thẳng và một điểm nằm ngoài đường thẳng đó. Đi qua hai đường thẳng cắt nhau.
- Ví dụ 5
Ví dụ 5: a) Cho điểm A không thuộc đường thẳng d. Trên d lấy ba điểm B, C, D đôi một khác nhau. Chứng minh rằng bốn điểm A, B, C, D cùng thuộc một mặt phẳng. b) Cho hai đường thẳng a, b cắt nhau tại O. Đường thẳng c không đi qua O và cắt các đường thẳng a, b. Chứng minh rằng ba đường thẳng a, b, c cùng thuộc một mặt phẳng.
Ảnh
- Luyện tập 4
Ảnh
- Luyện tập 4:
Trong mặt phẳng (P) cho tam giác ABC. Điểm D không thuộc mặt phẳng (P). Hỏi qua hai đường thẳng AD và BC có xác định được một mặt phẳng không?
IV. Hình chóp và hình tứ diện
1. Hình chóp
Ảnh
IV. Hình chóp và hình tứ diện
HĐ8: Hình 22 là hình ảnh của một hộp quà lưu niệm có dạng hình chóp tứ giác đều S.ABCD. Quan sát Hình 22 và trả lời: a) Đỉnh S có nằm trong mặt phẳng (ABCD) hay không? b) Mỗi mặt của hộp quà lưu niệm có dạng hình gì?
1. Hình chóp
- Kết luận
- Định lí 1:
Trong mặt phẳng (P), cho đa giác latex(A_1A_2...A_n (n >= 3)). Lấy điểm S nằm ngoài (P). Nối S với các đỉnh latex(A_1, A_2,..., A_n) ta được n tam giác: latex(SA_1, SA_2A_3,..., SA_nA_1). Hình gồm đa giác latex(A_1A_2...A_n) và n tam giác latex(SA_1A_2,SA_2A_3,..., SA_nA_1) gọi là hình chóp, kí hiệu latex(S.A_1A_2 ...A_n).
Ảnh
- Chú ý
Ảnh
- Chú ý:
Trong hình chóp latex(S.A_1A_2... A_n) * Điểm S gọi là đỉnh; * Đa giác latex(A_1A_2...A_n) gọi là mặt đáy; * Các cạnh của mặt đáy gọi là cạnh đáy, các đoạn thẳng latex(SA_1, SA_2,...SA_n) gọi là các cạnh bên; * Các tam giác latex(SA_1A_2, SA_2A_3, ..., SA_nA_1) gọi là các mặt bên.
+ tiếp
Ảnh
- Chú ý:
Nếu đáy của hình chóp là một tam giác, tứ giác, ngũ giác,... thì hình chóp tương úng gọi là hình chóp tam giác, hình chóp tứ giác, hình chóp ngũ giác,...
Ví dụ:
- Ví dụ 6
Ảnh
Ví dụ 6: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh SA, BC. a) Xác định giao điểm của mặt phẳng (DMN) với các đường thẳng AB, SB. b) Xác định giao tuyến của mặt phẳng (DMN) với các mặt phẳng (SAB) và (SBC).
- Luyện tập 5
Ảnh
- Luyện tập 5:
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh SA và AD. a) Xác định giao điểm của mặt phẳng (CMN) với các đường thẳng AB, SB. b) Xác định giao tuyến của mặt phẳng (CMN) với mỗi mặt phẳng (SAB) và (SBC).
2. Hình tứ diện
Ảnh
HĐ9: Hình 25 là hình ảnh khối rubik tam giác (Pyraminx). Quan sát H25 và trả lời các câu hỏi: a) Khối rubik tam giác có bao nhiêu đỉnh? Các đỉnh có cùng nằm trong một mặt phẳng không? b) Khối rubik tam giác có bao nhiêu mặt? Mỗi mặt của khối rubik tam giác là những hình gì?
2. Hình tứ diện
- Kết luận
- Định lí 1:
Ảnh
Cho bốn điểm A, B, C, D không cùng nằm trong một mặt phẳng. Hình gồm bốn tam giác ABC, ACD, ABD và BCD gọi là hình tứ diện (hay ngắn gọn là tứ diện), kí hiệu là ABCD.
- Chú ý
Ảnh
- Chú ý:
Trong hình tứ diện ABCD: * Các điểm A, B, C, D gọi là các đỉnh. * Các đoạn thẳng AB, BC, CD, DA, CA, BD gọi là các cạnh. Hai cạnh không có điểm chung gọi là hai cạnh đối diện. * Các tam giác ABC, ACD, ABD, BCD gọi là các mặt. * Đỉnh không nằm trên một mặt gọi là đỉnh đối diện với mặt đó.
+ tiếp
Ảnh
- Chú ý:
Hình tứ diện có các mặt là tam giác đều là hình tứ diện đều. Mỗi hình chóp tam giác là một hình tứ diện. Ngược lại, nếu ta quy định rõ đỉnh và mặt đáy trong một hình tứ diện thì hình tứ diện đó trở thành hình chóp tam giác.
- Ví dụ 7
Ảnh
Ví dụ 7: Cho tứ diện ABCD. Các điểm M, N, P lần lượt thuộc các cạnh AB, AC, AD sao cho: latex((AM)/(AB) = 1/3; (AN)/(AC) = 2/3, (AP)/(AD) = 1/2). a) Xác định E, F, G lần lượt là giao điểm của các đường thẳng MN, MP, NP với mặt phẳng (BCD). b) Chứng minh rằng các điểm E, F, G thẳng hàng.
- Luyện tập 6
Ảnh
- Luyện tập 6:
Cho tứ diện ABCD. Các điểm M, N, P lần lượt thuộc các cạnh AB, AD, BC sao cho: latex((AM)/(AB) = 1/3; (AN)/(AD) = 2/3; (BP)/(BC) = 3/4). a) Xác định E, F lần lượt là giao điểm của các đường thẳng AC, BD với mặt phẳng (MNP). b) Chứng minh rằng các đường thẳng NE, PF và CD cùng đi qua một điểm.
Bài tập
Bài 1 (Bài tập)
Bài 1: Khi trát tường, dụng cụ không thể thiếu của người thợ là thước dẹt dài (H28). Công dụng của thước dẹt này là gì? Giải thích.
Ảnh
Bài 2 (Bài tập)
Ảnh
Ảnh
Bài 2: Hình 29 là hình ảnh của chặn giấy bằng gỗ có bốn mặt phân biệt là các tam giác. Vẽ hình biểu diễn của chặn giấy bằng gỗ đó.
Hình 29
Bài 3 (Bài tập)
Ảnh
Bài 3: Cho ba đường thẳng a, b, c không cùng nằm trong một mặt phẳng và đôi một cắt nhau. Chứng minh rằng ba đường thẳng a, b, c cùng đi qua một điểm, hay còn gọi là ba đường thẳng đồng quy.
Dặn dò
- Dặn dò
Ảnh
Ôn lại kiến thức vừa học. Hoàn thành các bài còn lại trong SGK. Chuẩn bị bài sau: "Chương IV. Bài 2. Hai đường thẳng song song trong không gian".
Dặn dò:
- Cảm ơn
Ảnh