CHƯƠNG 4. BÀI 3. ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG SONG SONG
Trang bìa
Trang bìa
CHƯƠNG 4. BÀI 3. ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG SONG SONG
TOÁN 11
Ảnh
Khởi động
Khởi động
Hình vẽ
Khởi động
Đường thẳng song song với mặt phẳng. Đường thẳng a trên mép hiên của toà nhà có điểm nào chung với mặt (P) của phố đi bộ Nguyễn Huệ không?
Ảnh
I - Đường thẳng song song với mặt phẳng
Hoạt động 1
I - Đường thẳng song song với mặt phẳng
1. Hoạt động 1
Ảnh
Cho hai hình bình hành ABCD và ABMN không đồng phẳng. Tìm số giao điểm của mặt phẳng (ABCD) lần lượt với các đường thẳng MN, MA và AC.
Ảnh
+) Số điểm chung của MN với mặt phẳng (ABCD) là 0; +) Số điểm chung của MA với mặt phẳng (ABCD) là 1 điểm (chính là điểm A); +) Số điểm chung của AC với mặt phẳng (ABCD) là vô số điểm (chính là đường thẳng AC).
Giải
Định nghĩa
2. Định nghĩa
Cho đường thẳng a và mặt phẳng (P). Khi đó có thể xảy ra một trong ba trường hợp sau: - Trường hợp 1: a và (P) có từ hai điểm chung phân biệt trở lên (Hình 2a), suy ra mọi điểm thuộc a đều thuộc (P), ta nói a nằm trong (P), kí hiệu a C (P). - Trường hợp 2: a và (P) có một điểm chung duy nhất A (Hình 2b), ta nói a cắt (P) tại A, kí hiệu a (P) = A. - Trường hợp 3: a và (P) không có điểm chung nào (Hình 2c), ta nói a song song với (P), kí hiệu a // (P).
Ảnh
Ảnh
2. Định nghĩa
Ảnh
Hình vẽ
Đường thẳng a song song với mặt phẳng (P) nếu chúng không có điểm chung.
Ví dụ 1
3. Ví dụ 1
Trong Hoạt động 1 xác định vị trí tương đối của mặt phẳng (ABMN) lần lượt với các đường thẳng CD, BD và BN.
Ảnh
Giải
Nếu CD có điểm chung O với (ABMN) thì O thuộc giao tuyến AB của hai mặt phẳng (ABCD) và (ABMN), suy ra CD cắt AB (mâu thuẫn với giả thiết ABCD là hình bình hành). Vậy CD // (ABMN). BD có một điểm chung duy nhất B với (ABMN), suy ra BD cắt (ABMN) tại B. BN có hai điểm chung B và N với (ABMN), suy ra BNC là con (ABMN).
Thực hành 1
4. Thực hành 1
Ảnh
Cho E và F lần lượt là trung điểm các cạnh AB và AC của tứ diện ABCD. Xác định vị trí tương đối của các đường thẳng BC, AD và EF với mặt phẳng (BCD).
Giải
+) BC có hai điểm chung B và C với mặt phẳng (BCD), suy ra BC ⊂ (BCD). +) AD có một điểm chung duy nhất D với mặt phẳng (BCD), suy ra AD cắt (BCD) tại D. +) Nếu EF có điểm chung O với (BCD) thì O thuộc giao tuyến BC của hai mặt phẳng (ABC) và (BCD), suy ra EF cắt BC (mâu thuẫn với giải thiết EF là đường trung bình của tam giác ABC).
II - Điều kiện để một đường thẳng song song với một mặt phẳng
Hoạt động 2
II - Điều kiện để một đường thẳng song song với một mặt phẳng
1. Hoạt động 2
Ảnh
Cho đường thẳng a không nằm trong mặt phẳng (P) và a song song với một đường thẳng 6 nằm trong (P). Đặt (Q) = mp(a, b). a) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (P) và (Q). b) Giả sử a có điểm chung M với (P) thì điểm M phải nằm trên đường thẳng nào? Điều này có trái với giả thiết a // b hay không?
Ảnh
Ảnh
Ảnh
Giải
a) Ta có: b⊂(P) b⊂(Q) LATEX(rArr)(P) ∩ (Q) = {b} b) Theo giả thiết ta có: M ∈ a Mà (P) ∩ (Q) = {b} nên M ∈ b Suy ra đường thẳng a phải cắt đường thẳng b điều này là trái với giả thiết a // b.
Định lý 1
Hình vẽ
2. Định lý 1
Ảnh
Nếu đường thẳng a không nằm trong mặt phẳng (P) và song song với một đường thẳng 6 nào đó nằm trong (P) thì a song song với (P).
Ảnh
Ví dụ 2
3. Ví dụ 2
Cho hai điểm A, B cùng thuộc mặt phẳng (P) và một điểm C không thuộc (P). Vẽ đường thẳng d, đi qua A, B; d d, đi qua A, C, LATEX(d_3) đi qua C và song song với AB (Hình 7). Tìm số điểm chung của mỗi đường thẳng vừa vẽ với (P). d Xét vị trí tương đối của mặt phẳng (P) lần lượt đối với các d đường thẳng LATEX(d_1), LATEX(d_2), LATEX(d_3).
Ảnh
Ảnh
Giải
Đường thẳng LATEX(d_1) chứa hai điểm A, B thuộc (P), vậy LATEX(d_1) ⊂ (P). Đường thẳng LATEX(d_2) không nằm trong (P) vì có chứa điểm C không thuộc (P). Mặt khác, LATEX(d_2) lại có điểm A chung với (P) Suy ra LATEX(d_2) cắt (P) tại A. Đường thẳng LATEX(d_3) không nằm trong (P) và song song với đường thẳng LATEX(d_1) nằm trong (P), suy ra LATEX(d_3) // (P).
Thực hành 2
4. Thực hành 2
Cho hình chóp S.ABC có A’, B’, C’ lần lượt là trung điểm của SA, SB, SC. Tìm các đường thẳng lần lượt nằm trong, cắt, song song với mặt phẳng (ABC).
Ảnh
Giải
+) Ta có: đường thẳng AB chứa hai điểm A, B thuộc (ABC), suy ra AB ⊂ (ABC). Tương tự ta có BC ⊂ (ABC), AC ⊂ (ABC) Vì vậy các đường thẳng nằm trong mặt phẳng (ABC) là: AB, BC, AC. +) Ta có: đường thẳng SA có điểm A chung với (ABC), duy ra SA cắt (ABC) tại A. Tương tự ta có: SB, SC lần lượt cắt (ABC) tại B, C. Vì vậy các đường thẳng cắt mặt phẳng (ABC) là: SA, SB, SC. +) Ta có: A’B’ // AB mà AB ⊂ (ABC) nên A’B’ // (ABC). Tương tự ta có: A’C’ // (ABC) và B’C’ // (ABC).
Vận dụng 1
5. Vận dụng 1
Hãy chỉ ra trong Hình 9 các đường thẳng lần lượt nằm trong, song song, cắt mặt phẳng sàn nhà.
Ảnh
Giải
- Các đường thẳng trên trần nhà song song với mặt sàn do không có điểm chung với mặt sàn. - Các đường thẳng ở góc tường, trên bốn bức tường là các đường thẳng cắt mặt sàn. - Các đường thẳng nằm trong mặt sàn là các đường thẳng nằm ở trên sàn.
III - Tính chất cơ bản của đường thẳng và mặt phẳng song song
Hoạt động 3
III - Tính chất cơ bản của đường thẳng và mặt phẳng song song
1. Hoạt động 3
Cho đường thẳng a song song với mặt phẳng (P), mặt phẳng (Q) chứa a và cắt (P) theo giao tuyến b (Hình 10). Trong (Q), hai đường thẳng a, b có bao nhiêu điểm chung?
Ảnh
Ảnh
Ảnh
+) Nếu đường thẳng a cắt đường thẳng b tại một điểm M thì M ∈ (P), suy ra a và (P) có một điểm chung là M điều này trái với giả thiết là đường thẳng a // (P). +) Nếu đường thẳng a và đường thẳng b trùng nhau thì a ⊂ (P), suy ra a và (P) có vô số điểm chung điều này trái với giả thiết là đường thẳng a // (P). +) Nếu đường thẳng a song song với đường thẳng b thì a và b không có điểm chung nên điều này phù hợp với giả thiết là đường thẳng a // (P). Vậy trong (Q) hai đường thẳng a và b không có điểm chung nào.
Giải
Định lý 2
Ảnh
Hình vẽ
2. Định lý 2
Cho đường thẳng a song song với mặt phẳng (P). Nếu mặt phẳng (Q) chứa a, cắt (P) theo giao tuyến b thì a song song với b.
Ví dụ 3
3. Ví dụ 3
Cho tứ diện ABCD có M và N lần lượt là trọng tâm của tam giác ACD và BCD (Hình 11). Chứng minh đường thẳng MN song song với các mặt phẳng (CAB) và (DAB).
Ảnh
Giải
Gọi E là trung điểm của CD. Do M, N lần lượt là trọng tâm các tam giác ACD và BCD nên ta có LATEX((EM)/(EA))= LATEX((EN)/(EB))= LATEX(1/3) Suy ra MN // AB. Đường thẳng MN không nằm trong (CAB) và song song với đường thẳng AB nằm trong (CAB), suy ra MN // (CAB). Tương tự ta cũng có MN // (DAB).
Hệ quả 1
Ảnh
4. Hệ quả 1
Hình vẽ
Cho đường thẳng a song song với mặt phẳng (P). Nếu qua điểm M thuộc (P) ta vẽ đường thẳng b song song với a thì b phải nằm trong (P).
Ảnh
Hệ quả 2
5. Hệ quả 2
Ảnh
Hình vẽ
Nếu hai mặt phẳng phân biệt cùng song song với một đường thẳng thì giao tuyến của chúng (nếu có) cũng song song với đường thẳng đó.
Ảnh
Ví dụ 4
6. Ví dụ 4
Cho hình chóp S.ABC có M là trung điểm của AB. Gọi (P) là mặt phẳng chứa CB và song song với SA, (Q) là mặt phẳng chứa CM và song song với SA. a) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (P) và (Q). b) Vẽ đường thẳng b qua B và b // SA. Chứng minh b ⊂ (P).
Giải
a) Ta có hai mặt phẳng (P) và (Q) cùng có điểm chung C và cùng song song với SA, suy ra giao tuyến của (P) và (Q) là đường thẳng a đi qua C và a // SA. b) Ta có SA // (P) và B thuộc (P), b là đường thẳng đi qua B và b // SA, suy ra b⊂ (P).
Ảnh
Hoạt động 4
7. Hoạt động 4
Ảnh
Cho hai đường thẳng chéo nhau a, b. Lấy một điểm M trên a, vẽ đường thẳng b' đi qua M và song song với b. Đặt (P) là mặt phẳng đi qua a, b'. a) Có nhận xét gì về mối liên hệ giữa b và (P). b) Gọi (P') là mặt phẳng chứa a và song song với b (Hình 15). Có nhận xét gì về mối liên hệ giữa b' và (P'); (P) và (P')?
Ảnh
Ảnh
Giải
Ảnh
a) Ta có: đường thẳng a và b chéo nhau nên a và b không đồng phẳng do đó b không nằm trong mặt phẳng (P) Ta lại có: b // b’ mà b’ ⊂ (P) nên b // (P). b) Ta có: b // (P’) , M ∈ a ⊂ (P’) , b’ // b nên b’ ⊂ (P’). Ta lại có: (P) = mp(a, b) = mp(a’, b’) = (P’).
Định lý 3
Ảnh
Hình vẽ
8. Định lý 3
Nếu a và b là hai đường thẳng chéo nhau thì qua a, có một và chỉ một mặt phẳng song song với b.
Ví dụ 5
9. Ví dụ 5
Cho tứ diện ABCD. a) Nêu cách vẽ mặt phẳng (P) chứa AB và song song với CD. Ta có thể vẽ bao nhiêu mặt phẳng (P) như vậy? b) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (P) và (BCD).
Giải
a) Vẽ đường thẳng a đi qua A và song song với CD. Đặt (P) = mp(a, AB). Ta có CD // a, suy ra CD // (P). Do AB và CD chéo nhau nên chỉ có một mặt phẳng (P) duy nhất chứa AB và (P) // CD. b) Ta có B là điểm chung của hai mặt phẳng (P) và (BCD). Ta lại có (BCD) chứa CD và CD // (P), suy ra giao tuyến của (P) và (BCD) là đường thẳng b đi qua B và song song với CD.
Ảnh
Thực hành 3
10. Thực hành 3
Cho hình chóp S.ABC có ABCD là hình bình hành và M, N, E lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng AB, CD, SA (Hình 17). Chứng minh rằng: MN song song với hai mặt phẳng (SBC) và (SAD);
Giải
Ảnh
Trong mặt phẳng (ABCD) có MN là đường trung bình của hình bình hành ABCD nên MN // BC// AD. Ta có: MN // BC mà BC ⊂ (SBC) nên MN // (SBC). Ta lại có: MN // AD mà AD ⊂ (SAD) nên MN // (SAD).
Vận dụng 2
11. Vận dụng 2
Làm thế nào để đặt cây thước kẻ a để nó song song với các trang của một cuốn sách?
Ảnh
Giải
Gọi mỗi nửa sách là một mặt phẳng có tên lần lượt là (P) và (Q). Đường thẳng b là giao điểm của hai mặt phẳng (P) và (Q). Để đường thẳng a // (P) và a // (Q) thì a // b . Vậy ta chỉ cần đặt thước kẻ a song song với lề sách thì a sẽ song song với các trang của cuốn sách.
Ảnh
IV - Bài tập
Bài 1,2
IV - Bài tập
1. Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình bình hành có O là giao điểm hai đường chéo. Cho M là trung điểm của SC. a) Chứng minh đường thẳng OM song song với hai mặt phẳng (SAD) và (SBA). b) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (OMD) và (SAD). 2. Cho hai hình bình hành ABCD và ABEF không nằm trong cùng một mặt phẳng. Gọi O và O' lần lượt là tâm của ABCD và ABEF. a) Chứng minh đường thẳng OO' song song với các mặt phẳng (CDEF), (ADF) và (BCE). b) Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AF và BE. Chứng minh MN // (CDFE). c) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (OMN) và (ABCD).
Bài 3,4
3. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành và một điểm M di động trên cạnh AD. Một mặt phẳng (a) qua M, song song với CD và SA, cắt BC, SC, SD lần lượt tại N, P, Q. a) MNPQ là hình gì? b) Gọi I = MQ ∩ NP. Chứng minh rằng I luôn luôn thuộc một đường thẳng cố định khi M di động trên AD 4. Cho tứ diện ABCD và điểm M thuộc cạnh AB. Gọi (a) là mặt phẳng qua M, song song với hai đường thẳng BC và AD. Gọi N, P, Q lần lượt là giao điểm của mặt phẳng (a) với các cạnh AC, CD và DB. a) Chứng minh MNPQ là hình bình hành. b) Trong trường hợp nào thì MNPQ là hình thoi?
Bài 5,6
5. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang, đáy lớn AB. Gọi M là trung điểm của CD, (P) là mặt phẳng qua M song song với SA và BC. Tìm giao tuyến của (P) với các mặt của hình chóp S.ABCD. 6. Mô tả vị trí tương đối của các đường thẳng a, b, c, d, e với mặt phẳng (P) là mặt trước của toà nhà (Hình 19).
Ảnh
V - Dặn dò
Dặn dò
Ảnh
V - Dặn dò
- Làm bài tập trong sách giáo khoa và sách bài tập - Chuẩn bị trước Bài 4: Hai mặt phẳng song song
Ảnh
Két thúc
Ảnh