CHƯƠNG IX: BÀI 2: ĐƯỜNG THẲNG TRONG MẶT PHẲNG TỌA ĐỘ
Ảnh
Ảnh
Ảnh
Ảnh
Ảnh
Ảnh
Trang bìa
Trang bìa
Ảnh
CHƯƠNG IX: BÀI 2: ĐƯỜNG THẲNG TRONG MẶT PHẲNG TỌA ĐỘ
Khởi động
Khởi động
Ảnh
Ảnh
1. Phuơng trình đuờng thẳng
a. Vecto chỉ phuơng và vecto pháp tuyến của đuờng thẳng
a. Vecto chỉ phuơng và vecto pháp tuyến của đuờng thẳng
1. Phuơng trình đuờng thẳng
- Ví dụ 1
Ảnh
Ảnh
Trong mặt phẳng Oxy, cho đuờng thẳng latex(Delta) đi qua điểm latex(M_0(x_0;y_0) và cho hai vecto latex(vecn = (a;b)) và latex(vecu = (b;-a)) khác với vecto - không. Cho biết latex(vecu) có giá song song hoặc trùng với latex(Delta). a) Tính tích vô huớng latex(vecn.vecu) và nêu nhận xét về phuơng của hai vectơ latex(vecn, vecu) b) Gọi M(x; y) là điểm di động trên latex(Delta). Chứng tỏ rằng vectơ latex(vec(MM_0) luôn cùng phuơng với vectơ latex(vecu) và luôn vuông góc với vectơ latex(vecn)
- Kết luận
- Vectơ latex(vecu) đuợc gọi là vectơ chỉ phuơng của đuờng thẳng latex(Delta) nếu latex(vecu) latex(!=) latex(vec0) và giá của latex(vecu) song song hoặc trùng với latex(Delta)
- Vectơ latex(vecn) đuợc gọi là vectơ pháp tuyến của đuờng thẳng latex(Delta) nếu latex(vecn) latex(!=) latex(vec0) và latex(vecn) vuông góc với vectơ chỉ phuơng của latex(Delta)
Chú ý: + Nếu đuờng thẳng latex(Delta) có vectơ pháp tuyến latex(vecn) = (a;b) thì latex(Delta) sẽ nhận latex(vecu) = (b;-a) hoặc latex(vecu) = (-b;a) là một vectơ chỉ phuơng + Nếu latex(vecu) là vectơ chỉ phuơng của đuờng thẳng latex(Delta) thì klatex(vecn) (k latex(!=0) cũng là vectơ pháp tuyến của latex(Delta)
- Ví dụ 2
Bài tập trắc nghiệm
Cho đuờng thẳng latex(Delta) có VTPT latex(vecn) = (latex(1/2; -5/2)). Tìm VTCP của latex(Delta)
latex(5/2; -1/2)
latex(2; 1/2)
latex(5/2; 1/3)
latex(5; 2)
b. Phuơng trình tham só của đuờng thẳng
b. Phuơng trình tham số của đuờng thẳng
- Ví dụ 1
Trong mặt phẳng Oxy, cho đuờng thẳng latex(Delta) đi qua điểm latex(M_0(x;y)) và nhận latex(vecu) = (latex(u_1;u_2)) làm VTCP. Với mỗi điểm M(x;y) thuộc latex(Delta), tìm toạ độ của M theo tọa độ latex(M_0) và latex(vecu)?
- Kết luận
Trong mặt phẳng Oxy, ta gọi:
Ảnh
là phuơng trình tham số của đuờng thẳng latex(Delta) đi qua điểm latex(M_0)(latex(x_0;y_0)) có VTCP latex(vecu = (u_1;u_2))
Chú ý: Cho t là một giá trị cụ thể thì ta xác định đuợc một điểm trên đuờng thẳng latex(Delta) và nguợc lại
- Ví dụ 2
a) Viết phuơng trình tham số của đuờng thẳng latex(Delta) đi qua điểm A(2;7) và nhận latex(vecu) = (-3;5) làm VTCP b) Tìm toạ độ điểm M trên latex(Delta), biết M có hoành độ bằng -4
+ Lời giải
Lời giải
Ảnh
- Luyện tập 1
a) Viết phuơng trình tham số của đuờng thẳng d đi qua điểm B(-9;5) và nhận latex(vecv) = (8;-4) làm vectơ chỉ phuơng b) Tìm toạ độ điểm P trên latex(Delta), biết P có tung độ bằng 1.
- Luyện tập 2
Một trò chơi đua xe ô tô vuợt sa mạc trên máy tính đã xác định truớc một hệ trục toạ độ Oxy. Cho biết một ô tô chuyển động thẳng đều từ điểm M(1;1) với vectơ vận tốc latex(vecv) = (40;30). a) Viết phuơng trình tham số của đuờng thẳng d biểu diễn đuờng đi của ô tô b) Tìm toạ độ của xe ứng với t = 2; t = 4
Ảnh
c. Phuơng trình tổng quát đuờng thẳng
c. Phuơng trình tổng quát đuờng thẳng
- Ví dụ 3
Trong mặt phẳng Oxy, cho đuờng thẳng latex(Delta) đi qua điểm latex(M_0(x_0;y_0)) và nhận latex(vecn) = (a;b) làm vectơ pháp tuyến. Với mỗi điểm M(x;y) thuộc latex(Delta), chứng tỏ rằng điểm M(x;y) có toạ độ thoả mãn phuơng trình :
ax + by + c = 0 ( với c = -alatex(x_0) - blatex(y_0))
- Kết luận
Trong mặt phẳng Oxy, mỗi đuờng thẳng đều có phuơng trình tổng quát dạng: ax + by + c = 0 với a và b không đồng thời bằng 0.
Chú ý: + Mỗi phuơng trình ax + by + c = 0 (a và b không đồng thời bằng 0)
đều xác định một đuờng thẳng có vectơ pháp tuyến latex(vecn) = (a;b)
+ Khi cho phuơng trình đuờng thẳng ax + by + c = 0, ta hiểu a và b không đồng thời bằng 0.
- Ví dụ 4
Viết phuơng trình tham số và phuơng trình tổng quát của đuờng thẳng d trong các truờng hợp sau: a) Đuờng thẳng d đi qua điểm A(2;1) và có VTCP latex(vecu) = (3;2) b) Đuờng thẳng d đi qua điểm B(3;3) và có VTPT latex(vecn) = (5;-2) c) Đuờng thẳng d đi qua hai điểm C(1;1), D(3;5)
- Nhận xét
- Phuơng trình đuờng thẳng latex(Delta) đi qua hai điểm latex(A(x_A;y_A), B(x_B;y_B)) có dạng:
latex((x - x_A)/(x_B - x_A)) = latex((y - y_A)/(y_B - y_A)) (với latex((x_B != x_A),(y_B != y_A))
- Nếu đuờng thẳng latex(Delta) cắt trục Ox và Oy tại A(a;0) và B(0;b) (a,b khác 0) thì phuơng trình latex(Delta) có dạng:
latex(x/a + y/b = 1)
Phuơng trình trên còn đuợc gọi là phuơng trình đoạn chắn
- Luyện tập
Viết phuơng trình tham số và phuơng trình tổng quát của đuờng thẳng latex(Delta) trong các truờng hợp sau: a) Đuờng thẳng latex(Delta) đi qua điểm A(1;1) và có VTPT latex(vecn) = (3;5) b) Đuờng thẳng latex(Delta) đi qua gốc toạ độ và có VTCP latex(vecu) = (2;-7) c) Đuờng thẳng latex(Delta) đi qua hai điểm M(4;0), N(0;3)
d. Liên hệ giữa đồ thị hàm số bậc nhất và đuờng thẳng
d. Liên hệ giữa đồ thị hàm số bậc nhất và đuờng thẳng
- Định nghĩa
Ta đã biết đồ thị của hàm số bậc nhất y = kx + latex(y_0) (k latex(!=) 0 ) là một đuờng thẳng d đi qua điểm M(0;latex(y_0)) và có hệ số góc k. Ta có thể viết: y = kx + latex(y_0) latex(leftrightarrow) kx - y + latex(y_0) = 0 Như vậy, đồ thị hàm bậc nhất y = kx + latex(y_0) là một đuờng thẳng có vectơ pháp tuyến latex(vecn) = (k;-1) và có phuơng trình tổng quát là kx - y + latex(y_0) = 0. Đuờng thẳng này không vuông góc với Ox và Oy Nguợc lại, cho đuờng thẳng d có phuơng trình tổng quát ax + by + c = 0 với a và b đều khác 0, khi đó ta có thể viết: ax + by + c = 0 latex(leftrightarrow) y = latex(-a/bx - c/b) latex(leftrightarrow) y = kx + latex(y_0) Như vậy d là đồ thị của hàm số bậc nhất y = kx + latex(y_0) với hệ số góc k = latex(-a/b) và tung độ gốc latex(y_0 = -c/b)
- Chú ý:
+ Nếu a = 0 và b latex(!=) 0 thì phuơng trình tổng quát ax + by + c = 0 trở thành y = latex(-c/b). Khí đó d là đuờng thẳng vuông góc với Oy tại điểm (0;latex(-c/b))
Hình vẽ
Hình vẽ
Hình vẽ
y
x
latex(-c/b)
d
O
- Chú ý 2
+ Nếu b = 0 và a latex(!=) 0 thì phuơng trình tổng quát ax + by + c = 0 trở thành x = latex(-c/a). Khi đó d là đuờng thẳng vuông góc với Ox tại điểm (latex(-c/a);0)
x
Hình vẽ
Hình vẽ
Hình vẽ
y
O
d
latex(-c/a)
- Ví dụ
Viết phuơng trình tổng quát của các đuờng thẳng là đồ thị của các hàm số bậc nhất sau: a) latex(d_1): y = 2x + 3 b) latex(d_2) = latex(-1/2)x + 5 c) latex(d_3): y = x
+ Lời giải
a. Ta có y = 2x + 3 <=> 2x - y + 3 = 0 -> Vậy phuơng trình tổng quát của latex(d_1) là: 2x - y + 3 = 0 b. Ta có y = latex(-1/2)x + 5 <=. x + 2y - 10 = 0 -> Vậy phuơng trình tổng quát của latex(d_2) là: x + 2y - 10 = 0 c. Ta có y = x <=> y - x = 0. -> Vậy phuơng trình tổng quát của latex(d_3) là: y - x = 0
2. Vị trí tuơng đối của hai đuờng thẳng
- Ví dụ 1
Cho hai đuờng thẳng latex(Delta_1)và latex(Delta_2) có VTPT lần luợt là latex(vecn_1)và latex(vecn_2)
Hình vẽ
Hình vẽ
Hình vẽ
latex(Delta_1)
Hình vẽ
latex(Delta_2)
Hình vẽ
Hình vẽ
Hình vẽ
Hình vẽ
latex(Delta_1)
Hình vẽ
latex(Delta_2)
Hình vẽ
Hình vẽ
Hình vẽ
Hình vẽ
latex(vecn_2)
latex(vecn_1)
latex(vecn_2)
latex(vecn_1)
latex(vecn_2)
latex(vecn_1)
latex(Delta_1)
latex(Delta_1)
latex(Delta_2)
latex(vecn_1)
latex(vecn_2)
Hình vẽ
Hình vẽ
a)
b)
c)
d)
Nêu nhận xét về vị trí tuơng đối giữa latex(Delta_1) và latex(Delta_2) trong các TH sau: a) latex(vecn_1) và latex(vecn_2) cùng phuơng (Hình a, b) b) latex(vecn_1) và latex(vecn_2) không cùng phuơng (Hình c, d) c) latex(vecn_1) và latex(vecn_2) vuông góc (Hình d)
- Kết luận
Nếu latex(vecn_1) và latex(vecn_2) cùng phuơng thì latex(Delta_1) và latex(Delta_2) song song hoặc trùng nhau. Lấy một điểm P tuỳ ý trên latex(Delta_1) + Nếu P thuộc latex(Delta_2) thì latex(Delta_1) ≡ latex(Delta_2). + Nếu P không thuộc latex(Delta_2) thì latex(Delta_1) // latex(Delta_2). Nếu latex(vecn_1) và latex(vecn_2) không cùng phuơng thì latex(Delta_1) và latex(Delta_2) cắt nhau tại một điểm M(latex(x_0;y_0)) với (latex(x_0;y_0)) là nghiệm của hệ phuơng trình:
Ảnh
- Chú ý
a) Nếu latex(vecn_1). latex(vecn_2)= 0 thì latex(vecn_1)⊥ latex(vecn_2) -> latex(Delta_1) ⊥ latex(Delta_2) b) Để xét hai vectơ latex(vecn_1)(latex(a_1;b_1)) và latex(vecn_2)(latex(a_2;b_2)) cùng phuơng hay không cùng phuơng, ta xét biểu thức latex(a_1b_2 - a_2b_1): + Nếu latex(a_1b_2 - a_2b_1) = 0 thì hai vectơ cùng phuơng + Nếu latex(a_1b_2 - a_2b_1) latex(!=) 0 thì hai vecơ không cùng phuơng Trong truờng hợp tất cả các hệ số latex(a_1, a_2, b_1, b_2) đều khác 0, ta có thể xét hai truờng hợp: + Nếu latex(a_1/a_2) = latex(b_1/b_2) thì hai vectơ cùng phuơng + Nếu latex(a_1/a_2) latex(!=) latex(b_1/b_2) thì hai vectơ cùng phuơng
- Ví dụ
Xét vị trí tuơng đối của các cặp đuờng thẳng latex(Delta_1)và latex(Delta_2) trong mỗi truờng hợp sau: a) latex(Delta_1): 2x + y - 2 = 0; latex(Delta_2): x - 2 = 0 b) latex(Delta_1): 2x + y - 2 = 0; latex(Delta_2): x - y - 1 = 0 c) latex(Delta_1): 2x + y - 2 = 0; latex(Delta_2): 4x + 2y + 3 = 0
- Luyện tập
Ảnh
Câu 1:
Câu 2:
Ảnh
3. Góc giữa hai đuờng thẳng
- Ví dụ
Cho hai đuờng thẳng xy và zt cắt nhau tại O và cho biết latex(angle(xOz) = 38@)
Tính số đo các góc latex(angle(xOt), angle(tOy), angle(yOz))
Ảnh
- Khái niệm
Hai đuờng thẳng latex(Delta_1) và latex(Delta_2) cắt nhau tạo thành bốn góc. + Nếu latex(Delta_1) không vuông góc với latex(Delta_2) thì góc nhọn trong bốn góc đó gọi là góc giữa hai đuờng thẳng latex(Delta_1)và latex(Delta_2). + Nếu latex(Delta_1) vuông góc với latex(Delta_2) thì ta nói góc giữa latex(Delta_1) và latex(Delta_2) bằng latex(90@).
Ta quy uớc: Nếu latex(Delta_1) và latex(Delta_2) song song song hoặc trùng nhau thì góc giữa latex(Delta_1) và latex(Delta_2) bằng latex(0@) Như vậy góc latex(alpha) giữa hai đuờng thẳng luôn thoả mãn: latex(0@) ≤ latex(alpha) ≤ latex(90@) Góc giữa hai đuờng thẳng latex(Delta_1) và latex(Delta_2) đuợc kí hiệu là:
latex(angle(Delta_1,Delta_2)
- Ví dụ
Cho hình vuông ABCD, tính các góc: (AB, AC); (AB, AD); (AB, DC); (AC, CD).
Hình vẽ
Hình vẽ
Hình vẽ
A
B
C
D
- Ví dụ 2
Cho hai đuờng thẳng: latex(Delta_1): latex(a_1x + b_1y + c_1 = 0) và latex(a_2x + b_2y + c_2 = 0) có VTPT lần luợt là latex(vecn_1)và latex(vecn_2). Tìm toạ độ của latex(vecn_1), latex(vecn_2) và tính cos(latex(n_1;n_2))
* Công thức tính góc giữa hai đuờng thẳng
Ảnh
Ảnh
* Công thức tính góc giữa hai đuờng thẳng:
- Nhận xét
Nếu latex(Delta_1, Delta_2) có VTCP latex(vecu_1, vecu_2) thì cos(latex(Delta_1, Delta_2)) = |cos(latex(vecu_1, vecu_2))| * Chú ý: Ta đã biết hai đuờng thẳng vuông góc khi và chỉ khi chúng có hai vectơ pháp tuyến vuông góc. Do đó: + Nếu latex(Delta_1 và Delta_2) lần luợt có phuơng trình latex(Delta_1): latex(a_1x + b_1y + c_1 = 0) và latex(a_2x + b_2y + c_2 = 0) thì ta có: (latex(Delta_1, Delta_2 = 90@)) <=> latex(a_1a_2 + b_1b_2 = 0) + Nếu latex(Delta_1 và Delta_2) lần luợt có phuơng trình latex(Delta_1): y = latex(k_1x + m_1) và latex(k_2x + m_2) thì ta có: (latex(Delta_1, Delta_2 = 90@)) <=> latex(k_1 . k_2 = -1) -> Nói cách khác, hai đuờng thẳng có tích các hệ số góc bằng -1 thì vuông góc với nhau
- Ví dụ 3
Tìm số đo của góc giữa hai đuờng thẳng latex(d_1) và latex(d_2) trong các truờng hợp sau:
Ảnh
- Luyện tập 1
Tìm số đo góc giữa hai đuờng thẳng latex(Delta_1) và latex(Delta_2) trong các truờng hợp sau:
Ảnh
- Luyện tập 2
Bài tập trắc nghiệm
Tìm số đo góc giữa hai đuờng thẳng là đồ thị của hai hàm số y = x và y = 2x + 1
latex(18@26')
latex(19@26')
latex(18@)
latex(19@)
4. Khoảng cách từ một điểm tới một đuờng thẳng
- Ví dụ 1
Trong mặt phẳng Oxy, cho đuờng thẳng latex(Delta: ax + by + c = 0) có VTPT latex(vecn) và cho điểm latex(M_0(x_0; y_0)) có hình chiếu vuông góc H(latex(x_H; y_h)) trên latex(Delta) (hình bên) a) Chứng minh rằng hai vectơ latex(vecn) và latex(vec(HM_0)) cùng phuơng và tìm toạ độ của chúng. b) Gọi p là tích vô huớng của hai vectơ latex(vecn) và latex(vec(HM_0)). CMR: p = alatex(x_0) + blatex(y_0) + c
Ảnh
- Kết luận
Trong mặt phẳng Oxy, cho đuờng thẳng latex(Delta) có phuơng trình ax + by + c = 0 và điểm latex(M_0(x_0; y_0)). Khoảng cách từ điểm latex(M_0) đến đuờng thẳng latex(Delta), kí hiệu là d(latex(M_0; Delta)), đuợc tính bởi công thức:
Ảnh
- Ví dụ 2
Tính khoảng cách giữa hai đuờng thẳng latex(d_1): 4x - 3y + 2 = 0 và latex(d_2): 4x - 3y + 12 = 0
- Luyện tập 1
Bài tập trắc nghiệm
Tính khoảng cách lần luợt từ các điểm O(0; 0), M(1; 2) đến đuờng thẳng latex(Delta): 4x + 3y + 5 = 0
2, 3
1, 3
3, 2
3, 1
- Luyện tập 2
Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC có toạ độ các đỉnh là A(1;1), B(5;2), C(4;4). Tính độ dài các đuờng cao kẻ từ A, B, C của tam giác ABC
5. Bài tập về nhà
Bài 1
Lập phuơng trình tham số và phuơng trình tổng quát của đuờng thẳng latex(Delta) trong mỗi truờng hợp sau: a) latex(Delta) đi qua A(2;1) và song song với đuờng thẳng 3x + y + 9 = 0 b) latex(Delta) đi qua B(-1;4) và vuông góc với đuờng thẳng 2x - y - 2 = 0
Bài 1:
Bài 2
Xét vị trí tuơng đối của các cặp đuờng thẳng latex(d_1) và latex(d_2) sau đây:
Ảnh
Bài 2:
Bài 3
Tìm số đo của góc giữa hai đuờng thẳng latex(d_1) và latex(d_2) trong các truờng hợp sau:
Ảnh
Bài 3:
Tạm biệt
Ảnh