BÀI 31: ĐỊNH NGHĨA VÀ Ý NGHĨA CỦA ĐẠO HÀM
Trang bìa
Trang bìa
Ảnh
TOÁN 11:
BÀI 31: ĐỊNH NGHĨA VÀ Ý NGHĨA CỦA ĐẠO HÀM
Khởi động
Khởi động
Khởi động:
Nếu một quả bóng được thả rơi tự do từ đài quan sát trên sân thượng của tòa nhà Landmark 81 (Thành phố Hồ Chí Minh) cao 461,3 m xuống mặt đất. Có tính được vận tốc của quả bóng khi nó chạm đất hay không? (Bỏ qua sức cản không khí).
Ảnh
1. Một số bài toán dẫn đến khái niệm đạo hàm
a. Vận tốc tức thời của một vật chuyển động thẳng
1. Một số bài toán dẫn đến khái niệm đạo hàm
HĐ1: Một vật di chuyển trên một đường thẳng (H.9.2). Quãng đường s của chuyển động là một hàm số của thời gian t, s = s(t) (được gọi là phương trình của chuyển động). a) Tính latex(V_(tb))của vật trong khoảng thời gian từ latex(t_0) đến t. b) Giới hạn lim latex((s(t) -s(t_0))/(t - t_0)) cho ta biết điều gì?
Ảnh
a. Vận tốc tức thời của một vật chuyển động thẳng
latex(t -> t_0)
Ảnh
+ Gợi ý a (- HĐ1)
- Gợi ý a):
Ảnh
Quãng đường vật đi được trong khoảng thời gian từ latex(t_0) đến t là: s(t) - latex(s(t_0)). Thời gian vật đi được trong khoảng thời gian từ latex(t_0) đến t là: t - latex(s(t_0)). Vận tốc trung bình của vật trong khoảng thời gian từ latex(t_0) đến t là: latex(v = (s(t) - s(t_0))/(t - t_0))
+ Gợi ý b (- HĐ1)
- Gợi ý b):
Ảnh
Giới hạn lim latex((s(t) - s(t_0))/(t - t_0)) cho ta biết một điều đó là khi t càng tới gần latex(t_0), có nghĩa là (t – latex(t_0)) càng nhỏ thì vận tốc trung bình càng thể hiện được chính xác hơn mức độ nhanh chậm của chuyển động tại thời điểm latex(t_0).
b. Cường độ tức thời
b. Cường độ tức thời
Ảnh
HĐ2: Điện lượng Q truyền trong dây dẫn là một hàm số của thời gian t, có dạng Q = Q(t). a) Tính cường độ trung bình của dòng điện trong khoảng thời gian từ latex(t_0) đến t. b) Giới hạn lim latex((Q(t) - Q(t_0))/(t - t_0)) cho ta biết điều gì ?
latex(t -> t_0)
+ Gợi ý a (- HĐ2)
Ảnh
- Gợi ý a):
* Cường độ điện lượng truyền trong dây dẫn trong khoảng thời gian từ t0 đến t là:Q(t) - latex(Q(t_0)). * Thời gian truyền điện trong khoảng thời gian từ latex(t_0) đến t là: t - latex(t_0). * Cường độ trung bình của dòng điện trong khoảng thời gian từ latex(t_0) đến t là: latex(v = (Q(t) - Q(t_0))/(t - t_0)).
+ Gợi ý b (- HĐ2)
Ảnh
- Gợi ý b):
Giới hạn lim latex((Q(t) - Q(t_0))/(t - t_0)) cho ta biết một điều đó là khi t càng tới gần latex(t_0), có nghĩa là (t – latex(t_0)) càng nhỏ thì cường độ trung bình của dòng điện càng thể hiện được chính xác hơn mức độ mạnh yếu của dòng điện tại thời điểm latex(t_0).
latex(t -> t_0)
- Nhận xét
- Nhận xét:
Ảnh
Nhiều bài toán trong Vật lí, Hoá học, Sinh học,... đưa đến việc tìm giới hạn dạng lim latex((f(x) - f(x_0))/(x - x_0)) ở đó y = f(x) là một hàm số đã cho. Giới hạn trên dẫn đến một khái niệm quan trọng trong Toán học, đó là khái niệm đạo hàm.
latex(x -> x_0)
2. Đạo hàm của hàm số tại một điểm
- Tìm hiểu
2. Đạo hàm của hàm số tại một điểm
Ảnh
latex(x -> x_0)
Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a; b) và điểm latex(x_0 in (a; b)). Nếu tồn tại giới hạn hữu hạn lim latex((f(x) - f(x_0))/(x - x_0)) thì giới hạn đó được gọi là đạo hàm của hàm số y = f(x) tại điểm latex(x_0), kí hiệu bởi f'latex((x_0)) (hoặc y'latex((x_0))), tức là: f'latex((x_0)) = lim latex((f(x) - f(x_0))/(x - x_0)).
latex(x -> x_0)
- Chú ý
Ảnh
Để tính đạo hàm của hàm số y = f(x) tại điểm latex(x_0 in (a; b)), ta thực hiện theo các bước sau: 1. Tính latex(f(x) - f(x_0)). 2. Lập và rút gọn latex((f(x) - f(x_0))/(x - x_0)) với latex(x in (a; b), x!= x_0). 3. Tìm giới hạn lim latex((f(x) - f(x_0))/(x - x_0)).
- Chú ý:
latex(x -> x_0)
- Ví dụ 1
Ảnh
Ví dụ 1: Tính đạo hàm của hàm số: y = f(x) = latex(x^2 + 2x) tại điểm latex(x_0 = 1).
- Gợi ý (- Ví dụ 1)
Ảnh
- Gợi ý:
Ta có: f(x) - f(1) = latex(x^2 + 2x - 3 = x^2 - 1 + 2x - 2 = (x - 1)(x + 3)). Với latex(x != 1, (f(x) - f(1))/(x - 1) = ((x - 1)(x + 3))/(x - 1) = x + 3). Tính giới hạn: lim latex((f(x) - f(1))/(x - 1)) = lim (x + 3) = 4 Vậy f'(1) = 4.
latex(x -> 1)
latex(x -> 1)
- Chú ý
Ảnh
Đặt h = latex(x - x_0), khi đó đạo hàm của hàm số đã cho tại điểm latex(x_0 = 1) có thể tính như sau: f'(1) = lim latex((f(1 + h) - f(1))/h) = lim latex(([(1 + h)^2 + 2(1 + h)] - (1^2 + 2))/h) = lim latex(((h^2 + 4h + 3) - 3)/h) = lim (h + 4) = 4.
- Chú ý:
latex(h -> 0)
latex(h -> 0)
latex(h -> 0)
latex(h -> 0)
- Luyện tập 1
- Luyện tập 1:
Ảnh
Tính đạo hàm của hàm số latex(y = -x^2 + 2x + 1) tại điểm latex(x_0 = -1).
3. Đạo hàm của hàm số trên một khoảng
- HĐ3
3. Đạo hàm của hàm số trên một khoảng
Ảnh
HĐ3: Tính đạo hàm f'latex((x_0)) tại điểm latex(x_0) bất kì trong các trường hợp sau: a) f(x) = c (c là hằng số); b) f(x) = x.
- Kết luận
- Kết luận:
Ảnh
Hàm số y = f(x) được gọi là có đạo hàm trên khoảng (a; b) nếu nó có đạo hàm f'(x) tại mọi điểm x thuộc khoảng đó, kí hiệu y' = f'(x).
- Ví dụ 2
Ảnh
Ví dụ 2: Tìm đạo hàm của hàm số y = latex(cx^2), với c là hằng số.
Với latex(x_0) bất kì, ta có: f' latex((x_0)) = lim latex((cx^2 - cx_0^2)/(x - x_0)) = lim latex((c(x - x_0)(x + x_0))/(x - x_0)) = lim latex(c(x + x_0) = c(x_0 + x_0) = 2cx_0) Vậy hàm số y = latex(cx^2) (c là hằng số) có đạo hàm là hàm số y' = 2cx.
- Giải:
latex(x -> x_0)
latex(x -> x_0)
latex(x -> x_0)
- Chú ý
Ảnh
Nếu phương trình chuyển động của vật là s = f(t) thì v(t) = f'(t) là vận tốc tức thời của vật tại thời điểm t.
- Chú ý:
- Ví dụ 3
Ảnh
Ví dụ 3: Giải bài toán trong tình huống mở đầu (bỏ qua sức cản của không khí và làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ nhất).
- Luyện tập 2
- Luyện tập 2:
Ảnh
Tính đạo hàm của các hàm số sau: a) y = latex(x^2 + 1) b) y = kx + c (với k, c là các hằng số).
4. Ý nghĩa hình học của đạo hàm
a. Tiếp tuyến của đồ thị hàm số
4. Ý nghĩa hình học của đạo hàm
HĐ4: Nhận biết tiếp tuyến của đồ thị hàm số
a. Tiếp tuyến của đồ thị hàm số
Ảnh
Cho hàm số y = f(x) có đồ thị (C) và P(x0; f(x0)) ∈ (C). Xét điểm Q(x; f(x)) thay đổi trên (C) với x ≠ latex(x_0). a) Đường thẳng đi qua hai điểm P, Q được gọi là một cát tuyến của đồ thị (C) (H.9.3). Tìm hệ số góc latex(k_(PQ)) của cát tuyến PQ. b) Khi x → latex(x_0) thì vị trí của điểm Q(x; f(x)) trên đồ thị (C) thay đổi như thế nào ? c) Nếu điểm Q di chuyển trên (C) tới điểm P mà latex(k_(PQ))có giới hạn hữu hạn k thì có nhận xét gì về vị trí giới hạn của cát tuyến QP?
- Kết luận
- Kết luận:
Ảnh
Tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x) tại điểm Platex((x_0; f(x_0))) là đường thẳng đi qua p với hệ số góc k = lim latex((f(x) - f(x_0))/(x - x_0)) nếu giới hạn này tồn tại và hữu hạn, nghĩa là k = f'latex((x_0)). Điểm P gọi là tiếp điểm.
latex(x -> x_0)
Nhận xét: Hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x) tại điểm Platex((x_0; f(x_0))) là đạo hàm f'latex((x_0)).
- Ví dụ 4
Ảnh
Ví dụ 4: Tìm hệ số góc của tiếp tuyến parabol y = latex(x^2) tại điểm có hoành độ latex(x_0 = -1).
Ta có (latex(x^2))' = 2x nên y' (-1) = 2 . (-1) = -2. Vậy hệ số góc của tiếp tuyến của parabol y = latex(x^2) tại điểm có hoành độ latex(x_0 = -1) là k = -2.
- Giải:
- Luyện tập 3
- Luyện tập 3:
Ảnh
Tìm hệ số góc của tiếp tuyến của parabol y = latex(x^2) tại điểm có hoành độ latex(x_0 = 1/2).
b. Phương trình tiếp tuyến
b. Phương trình tiếp tuyến
Ảnh
HĐ5: Cho hàm số y = latex(x^2) có đồ thị là đường parabol (P). a) Tìm hệ số góc của tiếp tuyến (P) tại điểm có hoành độ latex(x_0) = 1. b) Viết phương trình tiếp tuyến đó.
- Kết luận
- Kết luận:
Ảnh
Nếu hàm số y = f(x) có đạo hàm tại điểm latex(x_0) thì phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm P(latex(x_0; y_0)) là latex(y - y_0) = f'latex((x_0)(x - x_0)), trong đó latex(y_0 = f(x_0)).
- Ví dụ 5
Ảnh
Ví dụ 5: Viết phương trình tiếp tuyến của parabol (P): y = latex(3x^2) tại điểm có hoành độ latex(x_0 = 1).
Từ VD2, ta có y' = 6x. Do đó, hệ số góc của tiếp tuyến là k = f'(1) = 6. Ngoài ra, ta có f(1) = 3 nên phương trình tiếp tuyến cần tìm là y - 3 = 6(x - 1) hay y = 6x - 3.
- Gợi ý:
- Luyện tập 4
- Luyện tập 4:
Ảnh
Viết phương trình tiếp tuyến của parabol (P): latex(y = -2x^2) tại điểm có hoành độ latex(x_0 = -1).
- Vận dụng
- Vận dụng:
Người ta xây dựng một cây cầu vượt giao thông hình parabol nối hai điểm có khoảng cách là 400 m (H.9.4). Độ dốc của mặt cầu không vượt quá 10o(độ dốc tại một điểm được xác định bởi góc giữa phương tiếp xúc với mặt cầu và phương ngang như Hình 9.5). Tính chiều cao giới hạn từ đỉnh cầu đến mặt đường.
Ảnh
Luyện tập và vận dụng
Bài 1
Ảnh
Hình vẽ
Bài 1: Tính (bằng định nghĩa) đạo hàm của các hàm số sau: a) y = latex(x^2 - x) tại latex(x_0 = 1); b) y = latex(-x^3) tại latex(x_0 = -1).
Bài 2 (- Luyện tập và vận dụng)
Ảnh
Hình vẽ
Bài 2: Viết phương trình tiếp tuyến của parabol y = latex(-x^2 + 4x), biết: a) Tiếp điểm có hoành độ latex(x_0 = 1); b) Tiếp điểm có tung độ latex(y_0 = 0).
Bài 3 (- Luyện tập và vận dụng)
Ảnh
Hình vẽ
Bài 3: Một vật được phóng theo phương thẳng đứng lên trên từ mặt đất với vận tốc ban đầu là 19,6 m/s thì độ cao h của nó (tính bằng mét) sau t giây được cho bởi công thức latex(h = 19,6t - 4,9t^2). Tìm vận tốc của vật khi nó chạm đất.
Dặn dò
- Dặn dò
Ảnh
Ôn lại kiến thức vừa học. Hoàn thành các bài còn lại SGK và SBT. Chuẩn bị bài sau: "Bài 32: Các quy tắc tính đạo hàm".
Dặn dò
- Cảm ơn
Ảnh
CẢM ƠN CÁC EM ĐÃ LẮNG NGHE BÀI HỌC !