CHƯƠNG VII. BÀI 1. ĐỊNH NGHĨA ĐẠO HÀM. Ý NGHĨA HÌNH HỌC CỦA ĐẠO HÀM
Trang bìa
Trang bìa
Ảnh
TOÁN 11
CHƯƠNG VII. BÀI 1. ĐỊNH NGHĨA ĐẠO HÀM. Ý NGHĨA HÌNH HỌC CỦA ĐẠO HÀM
Khởi động
Tình huống mở đầu
Ảnh
Ảnh
Tình huống mở đầu:
Nếu quỹ đạo chuyển động của tên lửa được miêu tả bằng hàm số theo thời gian thì đại lượng nào biểu thị độ nhanh chậm của chuyển động tại một thời điểm?
I. Đạo hàm tại một điểm
1. Một số bài toán dẫn đến khái niệm đạo hàm (I. Đạo hàm tại một điểm)
1. Các bài toán tìm vận tốc tức thời
a) Bài toán tìm vận tốc tức thời
Ảnh
Giả sử tại thời điểm latex(x_0), viên bi ở vị trí latex(M_0) có latex(y_0 = f(x)); tại thời điểm latex(x_1), viên bi ở vị trí latex(M_1) có latex(y_1 = f(x_1)). Khi đó, trong khoảng thời gian từ latex(x_0 -> x_1), quãng đường viên bi đi được là: latex(M_0M_1 = f(x_1) - f(x_0)).
Nếu latex(x_1 - x_0) càng nhỏ thì tỉ số trên càng phản ánh chính xác hơn sự nhanh chậm của viên bi. Giới hạn của tỉ số latex((f(x_1) - f(x_0))/(x_1 - x_9)) khi latex(x_1) dần đến latex(x_0) là vận tốc tức thời tại thời điểm latex(x_0). KH: latex(v(x_0)). latex(v(x_0)) là đạo hàm của hàm số y = f(x)= latex(1/2gx^2) tại điểm latex(x_0).
b. Bài toàn tìm cường độ tức thời
Ảnh
b. Bài toàn tìm cường độ tức thời
Điện lượng Q truyền trong dây dẫn là một hàm số của thời gian t, Q = Q(t). Cường độ trung bình trong khoảng thời gian latex(|t - t_0|) được xác định bởi công thức latex((Q(t) -Q(t_0))/(t-t_0)). Nếu latex(|t - t_0|) càng nhỏ thì tỉ số này càng biểu thị chính xác hơn cường độ dòng điện tại thời điểm latex(t_0).
Hình vẽ
Giới hạn hữu hạn (nếu có) lim latex((Q(t) - Q(t_0))/(t-t_0)) được gọi là cường độ tức thời của dòng điện tại thời điểm latex(t_0).
2. Định nghĩa đạo hàm tại một điểm
2. Định nghĩa đạo hàm tại một điểm
Ảnh
HĐ1: Tính vận tốc tức thời của viên bi tại thời điểm latex(x_0 =1) (s) trong bài toán tìm vận tốc tức thời nêu ở trên.
- Kết luận
- Kết luận:
Ảnh
Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a; b) và điểm latex(x_0 in (a; b)). Nếu tồn tại giới hạn hữu hạn latex(lim (f(x) - f(x_0))/(x - x_0)) thì giới hạn đó được gọi là đạo hàm của hàm số y = f(x) tại latex(x_0) và được kí hiệu là f'latex((x_0)) hoặc latex(y_(x_0))'.
- Nhận xét
Ảnh
- Nhận xét:
Đặt: latex(Deltax = x - x_0) và gọi latex(Deltax) là số gia của biến số tại điểm latex(x_0). latex(Deltay = f(x_0 + Deltax)- f(x_0)) và gọi latex(Deltay) là số gia của hàm số ứng với số gia của latex(Deltax) tại thời điểm latex(x_0). Khi đó, ta có: f'latex(x_0) = lim latex((f(x_0 + Deltax) - f(x_0))/(Deltax)) = lim latex((Deltay)/(Deltax)).
latex(Deltax -> 0)
latex(Deltax -> 0)
3. Cách tính đạo hàm bằng định nghĩa
3. Cách tính đạo hàm bằng định nghĩa
Ảnh
* Bước 1: Xét latex(Deltax) là số gia của biến số tại điểm latex(x_0). Tính latex(Deltay = f(x_0 + Deltax) - f(x_0)). * Bước 2: Rút gọn tỉ số latex((Deltay)/(Deltax)). * Bước 3: Tính lim latex((Deltay)/(Deltax)). latex(Deltax -> 0) * Kết luận: Nếu lim latex((Deltay)/(Deltax) =a) thì f'latex(x_0) = a. latex(Deltax -> 0)
- Ví dụ 1
VD1: Tính đạo hàm của hàm số f(x) = 2x tại latex(x_0) = 3 bằng định nghĩa.
Giải:
Ảnh
* Xét latex(Deltax) là số gia của biến số tại điểm latex(x_0) = 3. Ta có: latex(Delta y = f(3 + Deltax) - f(3) = 2(3 + Deltax) -6 = 2. Deltax) Suy ra: latex((Deltay)/(Deltax) = (2. Deltax)/(Deltax) = 2). * Ta thấy: lim latex((Deltay)/(Deltax)) = lim 2 = 2 latex(Deltax -> 0) latex(Deltax -> 0) Vậy f'(3) = 2.
- Ví dụ 2
Ảnh
Ví dụ 2: Tính đạo hàm của hàm số f(x) = latex(x^2) tại điểm x bất kì bằng khẳng định nghĩa.
Hình vẽ
* Xét latex(Deltax) là số gia của biến số tại điểm x. Ta có: latex(Deltay = f(x + Deltax) - f(x) = (x + Deltax)^2 - x^2= Deltax (2x + Deltax)) => latex((Deltay)/(Deltax) = 2x + Deltax). * Ta thấy: latex((Deltay)/(Deltax) = lim(2x + Deltax) = 2x). Vậy f'(x) = 2x.
Giải:
Hàm số y = f(x) được gọi là có đạo hàm trên khoảng (a; b) nếu có đạo hàm tại mọi điểm x trên khoảng đó.
- Luyện tập 1
Ảnh
- Luyện tập 1:
Tính đạo hàm của hàm số latex(f(x) = 1/x) tại latex(x_0 = 2) bằng định nghĩa.
- Luyện tập 2
Ảnh
- Luyện tập 2:
Tính đạo hàm của hàm số f(x) = latex(x^3) tại điểm x bất kì bằng định nghĩa.
4. Ý nghĩa của đạo hàm
4. Ý nghĩa của đạo hàm
Ảnh
Vận tốc tức thời của chuyển động tại thời điểm latex(t_0) là hàm số tại latex(t_0): v(t_0) = s'latex(t_0).
II. Ý nghĩa hình học của đạo hàm
- Hoạt động 2
Ảnh
II. Ý nghĩa hình học của đạo hàm
HĐ2: Đọc thông tin SGK trang 63 kết hợp quan sát hình và thực hiện yêu cầu: a) Xác định hệ số góc latex(k_0) của tiếp tuyến latex(M_0)T theo latex(x_0). b) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm latex(M_0).
- Kết luận
Ảnh
- Kết luận:
* Đạo hàm của hàm số y = f(x) tại điểm latex(x_0) là hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số đó tại điểm latex(M_0 (x_0; f(x_0))). * Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x) tại điểm latex(M_0(x_0; f(x_0))) là: y = f'latex((x_0)(x-x_0) + f(x_0)).
- Ví dụ 3
Ảnh
Ví dụ 3: Cho hàm số y = latex(-x^2) có đồ thị (C). a) Xác định hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm có hoành độ bằng 3. b) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm M(3; -9).
a) Tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm có hoành độ bằng 3 có hệ số góc là: f'(3) = latex(lim = (f(x) - f(3))/(x - 3) = lim ((-x^2 - (-3)^2)/(x - 3) = lim (-x - 3) = 6)). b) Phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm M (3; -9) là: y = -6(x - 3) + (-9) hay y = -6x + 9.
Giải:
latex(x -> 3)
latex(x -> 3)
latex(x -> 3)
- Luyện tập 3
Ảnh
- Luyện tập 3:
Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số latex(y = 1/x) tại điểm N(1; 1).
Bài tập
Bài 1 (Bài tập)
Hình vẽ
Ảnh
Bài 1: Tính đạo hàm của hàm số f(x) = latex(-3x^3 – 1) tại điểm latex(x_0 = 1) bằng định nghĩa.
Bài 2 (Bài tập)
Ảnh
Hình vẽ
Bài 2: Chứng minh rằng hàm số f(x) = |x| không có đạo hàm tại điểm latex(x_0 = 0), nhưng có đạo hàm tại mọi điểm x ≠ 0.
Bài 3
Hình vẽ
Bài 3: Cho hàm y = latex(-2x^2 + x) có đồ thị (C). a) Xác định hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm có hoành độ bằng 2. b) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm M(2; – 6).
Ảnh
Dặn dò
- Dặn dò
Ảnh
Ôn lại kiến thức vừa học. Hoàn thành các bài còn lại trong SGK. Chuẩn bị bài sau: "Chương VII. Bài 2. Các quy tắc tính đạo hàm".
Dặn dò:
- Cảm ơn
Ảnh