CHƯƠNG IVBÀI 2: ĐỊNH LÍ CÔSIN VÀ ĐỊNH LÍ SIN
Công thức
Ảnh
Ta có các công thức tính diện tích tam giác sau:
1) S = latex(1/2)alatex(h_a) = latex(1/2)blatex(h_b) = latex(1/2)clatex(h_c);
2) S = latex(1/2)absinC = latex(1/2)bcsinA = latex(1/2)acsinB;
3) S = latex(abc/(4R));
4) S = pr;
5) S = latex(sqrt (p(p - a)(p - b)(p - c)) (công thức Heron).
Trang bìa
Trang bìa
Ảnh
CHƯƠNG IV BÀI 2: ĐỊNH LÍ CÔSIN VÀ ĐỊNH LÍ SIN
Câu hỏi khởi động
Câu hỏi
Làm thế nào để tính độ dài của hai tam giác chưa biết dưới đây?
Ảnh
CÂU HỎI KHỞI ĐỘNG
Ảnh
1. Định lí cosin trong tam giác
Hoạt động 1
1. Định lí cosin trong tam giác
- Hoạt động 1:
a) Cho tam giác ABC không phải là tam giác vuông với góc A nhọn và Latex(angle(C)) latex(>=) latex(angle(B)). Vẽ đường cao CD và đặt tên các độ dài như hình 1.
Ảnh
Hay thay ? bằng chữ cái thích hợp để chứng minh công thức
Latex(a^2 = b^2 + c^2 - 2bc. cosA)
Hoạt động 1.1
Ảnh
Xét tam giác vuông BCD, ta có: latex(a^2=d^2+(c-x)^2=d^2+x^2+c^2-2xc) (1) Xét tam giác vuông ACD, ta có: latex(b^2=d^2+x^2rightarrowd^2=b^2-x^2) (2) cosA = latex(?/brightarrow) ? = bcosA (3)
Thay (2) và (3) vào (1), ta có: latex(a^2) = latex(b^2 + c^2) - 2bc.cosA Lưu ý: Nếu latex(angleB) > latex(angleC) thì ta vẽ đường cao BD và chứng minh tương tự.
b) Cho tam giác ABC với góc A tù. Làm tương tự như trên, chứng minh rằng ta cũng có:
latex(a^2=b^2 + c^2 - 2bc cosA)
Lưu ý: Vì A là góc tù nên cosA= latex(-x/b)
c) Cho tam giác ABC vuông tại A. Hãy chứng tỏ công thức latex(a^2=b^2 + c^2 - 2bc.cosA)
Định lí côsin
Ảnh
Định lí côsin:
Trong tam giác ABC với BC = a, CA = b, AB = c, ta có: latex(a^2 = b^2 + c^2 - 2bc. cosA) latex(b^2 = c^2 + a^2 - 2ca. cosB) latex(c^2 = a^2 + b^2 - 2ab. cosC)
Hệ quả
Ảnh
Hệ quả:
cosA = latex((b^2 + c^2 - a^2)/(2bc)); cosB = latex((c^2 + a^2 - b^2)/(2ca)); cosC = latex((a^2 + b^2 - c^2)/(2ab)).
Ví dụ 1
Ví dụ 1: Cho tam giác ABC có góc C = 115%, AC = 8 và BC = 12. Tính độ dài cạnh AB và các góc A, B của tam giác đó.
Giải
Hình vẽ hình học
A
B
C
8
12
115°
Theo định lí côsin, ta có: latex( AB^2 = BC^2 + AC^2 - 2.BC.AC.cosC) = latex(12^2 + 8^2 - 2.12.8.cos115°) latex(\approx) 289,14. Vậy AB latex(\approxsqrt(289,14) approx 17
Theo hệ quả của định lí côsin, ta có cosA = latex((AB^2 + AC^2 - BC^2)/(2.AB.AC)) latex(\approx) latex((17^2 + 8^2 - 12^2)/(2.17.8)) latex(\approx) 0,7684. Suy ra latex(hatA) latex(\approx) 39°17', latex(angleB) = 180° - (latex(angleA) + latex(angleC)) latex(\approx) 0,7684.
Bài tập
Câu 1: Tính các cạnh và các góc chưa biết của tam giác ABC trong hình 4.
Câu 2: Tính khoảng cách giữa hai điểm ở hai đầu của một hồ nước. Biết từ một điểm cách hai đầu hồ lần lượt là 800m và 900m người quan sát nhìn hai điểm này dưới một góc 70° (Hình 5).
Hình vẽ hình học
A
B
C
14
18
62°
Hình 4
Ảnh
2. Định lí sin trong tam giác
Hoạt động 1
2. Định lí sin trong tam giác
a) Cho tam giác ABC không phải tam giác vuông có BC = a, AC = b, AB = c và R là bán kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác đó. Vẽ đường kính BD.
i) Tính sin góc BDC theo a và R. ii) Tìm mối liên hệ giữa hai góc . Từ đó chứng minh rằng 2R = latex(a/(sinA).
Ảnh
Ảnh
b) Cho tam giác ABC với góc A vuông. Tính sinA và so sánh a với 2R để chứng tỏ ta vẫn có công thức 2R = latex(a/(sinA)).
Định lí sin
Ảnh
Định lí sin:
Trong tam giác ABC với BC = a, CA = b, AB = c, ta có:
latex(a/(sinA) = b/(sinB) = c/(sinC) = 2R,
trong đó R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
Hệ quả
Ảnh
Hình vẽ
a = 2RsinA; sinA = latex(a/(2R);
Hệ quả:
b = 2RsinB; sinB = latex(b/(2R);
c = 2RsinC; sinC = latex(c/(2R).
Ví dụ 2
Ảnh
Ví dụ 2:
Cho tam giác ABC có latex(angleA) = 72°, latex(angleB) = 83°, BC = 18. Tính độ dài của cạnh AC, AB và bán kính R của đường tròn ngoại tiếp tam giác đó.
Giải Đặt a = BC, b = AC, c = AB. Ta có: a = 18, latex(angleC) = 180° - (72° + 83°) = 25° Áp dụng định lí sin, ta có latex(a/sinA) = latex(b/sinB) = latex(c/sinC) = 2R. Suy ra: AC = b = latex(asinB/sinA) = latex(18.sin83°/sin 72°\approx 18,8; AB = c = latex(asinC/sinA) = latex(18.sin25°/sin72°\approx 8; R = latex(a/2.sinA) = latex(18/2.sin72°\approx 9,5.
Bài tập 1
Câu 1: Tính các cạnh và các góc chưa biết của tam giác MNP.
Ảnh
Bài tập 2
Câu 2: Trong một khu bảo tồn, người ta xây dựng một tháp canh và hai bồn chứa nước A,B để phòng hỏa hoạn. Từ tháp canh, người ta phát hiện đám cháy và số liệu đưa về như hình 9. Nên dẫn nước từ bồn chứa A hay B để dập tắt đám cháy nhanh hơn?
Ảnh
3. Các công thức tính diện tích tam giác
Hoạt động 1
3. Các công thức tính diện tích tam giác
Hoạt động 1:
Ảnh
Cho tam giác ABC như Hình 10. a) Viết công thức diện tích S của tam giác ABC theo a và latex(h_a). b) Tính latex(h_a) theo b và sinC. c) Dùng hai kết quả trên để chứng minh công thức S = latex(1/2)absinC. d) Dùng định lí và kết quả ở câu c để chứng minh công thức S = latex((abc)/(4R))
Hoạt động 2
Hoạt động 2:
Cho tam giác ABC có BC = a, AC = b, AB = c và (I;r) là đường tròn nội tiếp tam giác (Hình 11). a) Tính diện tích các tam giác IBC, IAC, IAB theo r và a, b, c. b) Dùng kết quả trên để chứng minh công thức diện tích tam giác ABC.
Ảnh
S = latex((r(a + b + c))/2)
Hướng dẫn
Hình vẽ
Bằng cách áp dụng các hệ thức lượng trong tam giác, ta có thể tìm thêm được nhiều công thức tính diện tích tam giác. Ví dụ: Thay latex(h_a) = c.sinB vào công thức tính diện tichS = latex(1/2)aclatex(h_a), ta được S = latex(1/2)asinB.
Cho tam giác ABC. Ta kí hiệu: - latex(h_a,h_b,h_c) là độ dài các đường cao lần lượt ứng với các cạnh BC, CA, AB. - R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác. - r là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác. - p là nửa chu vi tam giác. - S là diện tích tam giác.
Công thức
Ảnh
Ta có các công thức tính diện tích tam giác sau:
1) S = latex(1/2)alatex(h_a) = latex(1/2)blatex(h_b) = latex(1/2)clatex(h_c);
2) S = latex(1/2)absinC = latex(1/2)bcsinA = latex(1/2)acsinB;
3) S = latex(abc/(4R));
4) S = pr;
5) S = latex(sqrt (p(p - a)(p - b)(p - c))) (công thức Heron).
Ví dụ 3
Cho tam giác có a = 2latex(sqrt3), b = 2 và latex(angleC) = 30°. a) Tính diện tích tam giác ABC. b) Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
Giải a) Áp dụng công thức S = latex(1/2)absinC, ta có: S = latex(1/2).2latex(sqrt3).2.sin30° = latex(1/2).2latex(sqrt3).2.latex(1/2) = latex(sqrt3) latex(\approx) 1,7. b) Áp dụng định lí côsin, ta có: latex(c^2 = a^2 + b^2) - 2abcosC = 12 + 4 - 2.2latex(sqrt3).2.latex((sqrt3)/2) = 4. Suy ra c = 2. áp dụng định lý sin, ta có: R = latex(c/(2.sinC) = 2/(2.sin30°) = 2/(2.1/2) = 2.
Ví dụ 4
Cho tam giác ABC có các cạnh a = 30, b = 26, c = 28. a) Tính diện tích tam giác ABC. b) Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp và bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC.
Giải
a) Ta có p = latex(1/2).(30 + 26 + 28) = 42. Áp dụng công thức Heron, ta có: S = latex(sqrt(p(p - a)(p - b)(p - c)) = latex(sqrt(42(42 - 30)(42-26)(42 - 28)) = 336. b) Ta có S = latex(abc/(4R), suy ra R = (abc)/(4S) = (30.26.28)/(4.336) = 16,25. Ta lại có S = pr, suy ra r = latex(S/p) = latex(336/42) = 8.
Bài tập
Câu 1: Tính diện tích tam giác ABC và bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC trong các trường hợp sau: a) Các cạnh b = 14, c = 35 và latex(angleA) = 60°; b) Các cạnh a = 4, b = 5, c = 3.
Câu 2: Tính diện tích một cánh buồm hình tam giác. Biết cánh buồm đó có chiều dài một cạnh là 3,2m và hai góc kề cạnh đó có số đo là 48° và 105° (Hình 12).
Ảnh
Luyện tập
Bài 1a
Bài 1. Tính độ dài cạnh x trong các tam giác sau:
Bài tập trắc nghiệm
Độ dài cạnh x trong câu a là:
x = latex(\approx) 6,77
x = latex(\approx)6,87
x = latex(\approx)47,2
x = latex(\approx)47,8
Bài 1b
Bài tập trắc nghiệm
Độ dài cạnh x trong câu b là:
x = latex(\approx)6,87
x = latex(\approx)0,47
x = latex(\approx)0,5
x = latex(\approx)0,48
Bài 2
Bài 2. Tính độ dài cạnh c trong tam giác ABC ở hình 14.
Bài tập trắc nghiệm
Độ dài cạnh c là?
x = latex(\approx) 20,21
x = latex(\approx) 19,21
x = latex(\approx) 18,21
Dặn dò
Dặn dò
Ảnh
DẶN DÒ
Học thuộc các công thức có trong bài. Làm các bài 3,4,5,6 trong SGK(trang 72) và SBT. Chuẩn bị bài "Chương 4 Bài 3: Giải tam giác và ứng dụng thực tế"
Cảm ơn
Ảnh