CHƯƠNG 4. BÀI 1. ĐIỂM, ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG TRONG KHÔNG GIAN
Trang bìa
Trang bìa
CHƯƠNG 4. BÀI 1. ĐIỂM, ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG TRONG KHÔNG GIAN
TOÁN 11
Ảnh
Khởi động
Khởi động
Hình vẽ
Khởi động
Môn học hình học phẳng tìm hiểu tính chất của các hình cùng thuộc một mặt phẳng. Môn học Hình học không gian tìm hiểu tính chất của các hình trong không gian, những hình này có thể chứa những điểm không cùng thuộc một mặt phẳng. Hãy phân loại các hình sau thành hai nhóm hình khác nhau
Ảnh
I - Mặt phẳng trong không gian
Hoạt động 1
I - Mặt phẳng trong không gian
1. Hoạt động 1
Mặt bàn, mặt bảng cho ta hình ảnh một phần của mặt phẳng. Hãy chỉ thêm các ví dụ khác về hình ảnh một phần của mặt phẳng.
Ảnh
Ảnh
Ảnh
Điểm, đường thẳng và mặt phẳng là ba đối tượng cơ bản của hình học không gian. Ta đã làm quen với điểm và đường thẳng trong hình học phẳng. Trong phần này, chúng ta sẽ làm quen với mặt phẳng. Mặt bảng, mặt bàn, mặt sàn nhà, mặt hồ nước yên lặng cho ta hình ảnh một phần của một mặt phẳng. Mặt phẳng không có bề dày và không có giới hạn. Ta thường dùng hình bình hành hay một miền góc để biểu diễn mặt phẳng và dùng chữ cái in hoa hoặc chữ cái Hy Lạp trong dấu ngoặc để kí hiệu mặt phẳng.
Ảnh
Chú ý
Ảnh
Hình vẽ
2. Chú ý
Mặt phẳng (P) còn được viết tắt là mp(P) hoặc (P).
Điểm thuộc mặt phẳng
Ảnh
Hình vẽ
3. Điểm thuộc mặt phẳng
- Nếu điểm A thuộc mặt phẳng (P) thì ta nói A nằm trên (P) hay (P) chứa A, hay (P) đi qua A và kí hiệu là A∈(P). - Nếu điểm B không thuộc mặt phẳng (P) thì ta nói B nằm ngoài (P) hay (P) không chứa B và kí hiệu là B không ∈ (P).
Cho hai điểm A, B và mặt phẳng (P) như Hình 3.
Ảnh
Biểu diễn các hình trong không gian lên một mặt phẳng
4. Biểu diễn các hình trong không gian lên một mặt phẳng
Để biểu diễn một hình trong không gian lên một mặt phẳng (tờ giấy, mặt bảng, ...), ta thường dựa vào các quy tắc sau: - Hình biểu diễn của đường thẳng là đường thẳng, của đoạn thẳng là đoạn thẳng. - Giữ nguyên tính liên thuộc (thuộc hay không thuộc) giữa điểm với đường thẳng hoặc với đoạn thẳng. - Giữ nguyên tính song song, tính cắt nhau giữa các đường thẳng. - Biểu diễn đường nhìn thấy bằng nét vẽ liền và biểu diễn đường bị che khuất bằng nét vẽ đứt đoạn.
Thực hành 1
5. Thực hành 1
a) Vẽ hình biểu diễn của một hình hộp chữ nhật. b) Quan sát Hình 4a và cho biết điểm nào thuộc, điểm nào không thuộc mặt phẳng (P). c) Quan sát Hình 4b và cho biết điểm nào thuộc, điểm nào không thuộc mặt phẳng (Q).
Ảnh
Giải
Ảnh
Giải
a) Hình biểu diễn của hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ là: b) Dựa vào hình vẽ, ta có: Các điểm A’, B’, C’, D’ thuộc mp(P). Các điểm A, B, C, D không nằm trên mp(P). c) Dựa vào hình vẽ, ta có: Các điểm A, D, C thuộc mp(Q). Điểm B không thuộc mp(Q).
Ảnh
Ảnh
Ảnh
II - Các tính chất được thừa nhận trong hình học không gian
Hoạt động 2
Ảnh
II - Các tính chất được thừa nhận trong hình học không gian
1. Hoạt động 2
Quan sát Hình 5 và cho biết muốn gác một 2 cây sào tập nhảy cao, người ta cần dựa nó vào mấy điểm trên hai cọc đỡ
Ảnh
Giải
Để gác một cây sào tập nhảy cao người ta cần dựa nó vào hai điểm trên cọc đỡ.
Tính chất 1
Ảnh
Hình vẽ
2. Tính chất 1
Có một và chỉ một đường thẳng đi qua hai điểm phân biệt cho trước
Ảnh
Ta cũng nói đường thẳng AB xác định bởi hai điểm A, B.
Ví dụ 1
a) Ví dụ 1
Cho ba điểm phân biệt M, N, P không thẳng hàng. Có bao nhiêu đường thẳng đi qua hai trong ba điểm đã cho?
Giải
Do qua hai điểm phân biệt chỉ có một đường thẳng nên qua ba điểm phân biệt không thẳng hàng M, N, P, ta xác định được ba đường thẳng là MN, NP và PM.
Ảnh
Thực hành 2
Ảnh
b) Thực hành 2
Cho bốn điểm A, B, C, D phân biệt, trong đó không có ba điểm nào thẳng hàng. Có bao nhiêu đường thẳng đi qua hai trong bốn điểm đã cho?
Giải
Có tất cả 6 đường thẳng đi qua 2 trong 4 điểm đã cho: AB, AC, AD, BD, BC, CD.
Hoạt động 3
c) Hoạt động 3
Quan sát Hình 7 và cho biết giá đỡ máy ảnh tiếp đất tại mấy điểm. Tại sao giá đỡ máy ảnh thường có ba chân?
Ảnh
Giải
Ảnh
Giá đỡ của máy ảnh tiếp đất tại 3 điểm. Qua ba điểm này ta xác định được duy nhất một mặt phẳng nên việc giá đỡ máy ảnh thường có ba chân để có điểm tựa là một mặt phẳng giữ cố định máy ảnh.
Tính chất 2
Hình vẽ
3. Tính chất 2
Có một và chỉ một mặt phẳng đi qua ba điểm không thẳng hàng cho trước.
Ảnh
Ảnh
Chú ý
Ảnh
Hình vẽ
a) Chú ý
Mặt phẳng đi qua ba điểm A, B, C không thẳng hàng được kí hiệu là mặt phẳng (ABC).
Ví dụ 2
Ảnh
b) Ví dụ 2
Cho đường thẳng a a đi qua hai điểm phân biệt M, N và điểm O không thuộc a. Có bao nhiêu mặt phăng đi qua ba điểm M, N, O?
Giải
Do O không thuộc a nên ba điểm M, N, O không thẳng hàng. Do đó chỉ có một mặt phẳng đi qua ba điểm M, N, O.
Thực hành 3
c) Thực hành 3
Có bao nhiêu mặt phẳng đi qua ba đỉnh của tam giác MNP?
Giải
Có duy nhất một mặt phẳng đi qua ba đỉnh của tam giác MNP.
Ảnh
Hoạt động 4
d) Hoạt động 4
Quan sát Hình 10 và cho biết người thợ mộc kiểm tra mặt bàn có phẳng hay không bằng một cây thước thẳng như thế nào.
Ảnh
Giải
Người thợ mộc kiểm tra mặt bàn phẳng bằng cách sau: - Đặt thước vào mặt bàn và đẩy di động; - Kiểm tra xem thước có khít với mặt bàn không, nếu thước khít với mặt bàn thì mặt bàn phẳng, còn thước bị chênh so với mặt bàn thì mặt bàn không phẳng.
Ảnh
Tính chất 3
Ảnh
Hình vẽ
4. Tính chất 3
Nếu một đường thẳng có hai điểm phân biệt thuộc một mặt phẳng thì mọi điểm của đường thẳng đều thuộc mặt phẳng đó.
Ảnh
Chú ý
Hình vẽ
Ảnh
a) Chú ý
Ảnh
Đường thẳng d nằm trong mặt phẳng (P) thường được kí hiệu là d = (P) hoặc (P) d.
Ví dụ 3
b) Ví dụ 3
Cho ba điểm A, B, C không thẳng hàng và một điểm M nằm trên đường thẳng BC. Gọi (P) là mặt phẳng đi qua ba điểm A, B, C. Chứng tỏ rằng M ∈ (P).
Giải
Áp dụng tính chất 2, ta có (P) là mặt phẳng duy nhất đi qua ba điểm A, B, C. Áp dụng tính chất 3, ta có mọi điểm của đường thẳng BC đều thuộc mặt phẳng (P). Ta lại có M ∈ BC (giả thiết). Suy ra M ∈ (P).
Ảnh
Thực hành 4
c) Thực hành 4
Cho mặt phẳng (Q) đi qua bốn đỉnh của tứ giác ABCD. Các điểm nằm trên đường chéo của tứ giác ABCD có thuộc mặt phẳng (Q) không? Giải thích.
Giải
Gọi H là một điểm bất kì nằm trên đường chéo AC của tứ giác ABCD. Áp dụng tính chất 2, ta có (Q) là mặt phẳng duy nhất đi qua bốn điểm A, B, C, D. Áp dụng tính chất 3, ta có mọi điểm thuộc đường thẳng AC đều thuộc mặt phẳng (Q). Mà H thuộc AC nên H thuộc (Q). Chứng minh tương tự với mọi điểm bất kì thuộc đường chéo BD. Vật các điểm nằm trên đường chéo của tứ giác ABCD đều thuộc mặt phẳng (Q).
Hoạt động 5
d) Hoạt động 5
Quan sát Hình 13 và cho biết bốn đỉnh A, B, C, D của cái bánh giò có cùng nằm trên một mặt phẳng hay không?
Ảnh
Giải
Bốn đỉnh A, B, C, D của cái bánh giò không cùng nằm trên một mặt phẳng.
Tính chất 4
Ảnh
Hình vẽ
5. Tính chất 4
Tồn tại bốn điểm không cùng nằm trên một mặt phẳng.
Chú ý
Hình vẽ
a) Chú ý
Nếu có nhiều điểm cùng thuộc một mặt phẳng thì ta nói những điểm đó đồng phẳng, còn nếu không có mặt phẳng nào chứa các điểm đó thì ta nói chúng không đồng phẳng.
Ví dụ 4
Ảnh
b) Ví dụ 4
Cho bốn điểm A, B, C, D không cùng nằm trên một mặt phẳng. Có bao nhiêu mặt phẳng đi qua ba trong bốn điểm đã cho?
Giải
Gọi A, B, C, D là bốn điểm không cùng nằm trên một mặt phẳng trong không gian (tồn tại theo tính chất 4). Ta xác định được bốn mặt phẳng phân biệt là: (ABC), (ABD), (ACD), (BCD).
Thực hành 5
Ảnh
c) Thực hành 5
Cho tam giác MNP và cho điểm O không thuộc mặt phẳng chứa ba điểm M, N, P. Tìm các mặt phẳng phân biệt được xác định từ bốn điểm M, N, P, O.
Giải
Các mặt phẳng phân biệt được xác định từ bốn điểm M, N, P, O là: (OMN), (ONP), (OMP), (MNP).
Hoạt động 6
Ảnh
Ảnh
d) Hoạt động 6
Quan sát Hình 14 và mô tả phần giao nhau của hai bức tường.
Phần giao nhau của hai bức tường là một đường thẳng.
Mô tả
Tính chất 5
Ảnh
Hình vẽ
6. Tính chất 5
Nếu hai mặt phẳng phân biệt có một điểm chung thì chúng có một đường thẳng chung duy nhất chứa tất cả các điểm chung của hai mặt phẳng đó.
Ảnh
Chú ý
Ảnh
Hình vẽ
a) Chú ý
Đường thẳng d chung của hai mặt phẳng (P) và (Q) được gọi là giao tuyến của (P) và (Q), kí hiệu d = (P) giao (Q).
Ví dụ 5
Ảnh
b) Ví dụ 5
Cho tam giác ABC và một điểm O không thuộc mặt phẳng (ABC). Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng (OAB) và (ABC).
Giải
Ta có A, B là hai điểm chung của hai mặt phẳng (OAB) và (ABC). Suy ra AB là giao tuyến của hai mặt phẳng (OAB) và (ABC).
Thực hành 6
Ảnh
c) Thực hành 6
Cho A, B, C là ba điểm chung của hai mặt phẳng phân biệt (α) và (β) (Hình 16). Chứng mình A, B, C thẳng hàng.
Giải
Ảnh
Gọi giao điểm của mặt phẳng (α) và (β) là đường thẳng d. Ta có A, B, C là ba điểm chung của hai mặt phẳng phân biệt (α) và (β) nên A, B, C ∈ d do đó A, B, C thẳng hàng.
Hoạt động 7
Ảnh
Ảnh
d) Hoạt động 7
Trong mặt phẳng (P), cho tam giác ABC có M, N lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng AB, AC (Hình 17). Tính tỉ số LATEX((MN)/(BC))
Giải
Xét tam giác ABC, có: M là trung điểm của AB N là trung điểm của AC Do đó MN là đường trung bình của tam giác ABC LATEX(rArr) LATEX((MN)/(BC))= LATEX(1/2)
Tính chất 6
Hình vẽ
7. Tính chất 6
Trong mỗi mặt phẳng, các kết quả đã biết của hình học phẳng đều đúng.
Ảnh
Ví dụ 6
a) Ví dụ 6
Ảnh
Cho bốn điểm A, B, C, D không cùng nằm trên một mặt phẳng. a) Gọi O là trung điểm của CD, G và G' lần lượt là trọng tâm của tam giác ACD và BCD. Chứng minh GG' // AB.
b) Cho điểm E trên AB sao cho EG cắt mặt phẳng đi qua ba điểm B, C, D tại F. Chứng minh bốn điểm B, G', O, F thẳng hàng.
Ảnh
Giải
a) Gọi (P) là mặt phẳng đi qua ba điểm O, A, B được xác định theo tính chất 2. Trong mặt phẳng (P) ta có: LATEX((OM)/(OA))= LATEX(1/3) (vì G là trọng tâm của tam giác ACD) LATEX((OG)/(OA))= LATEX(1/3) (vì G' là trọng tâm của tam giác BCD) Suy ra LATEX((OM)/(OA))= LATEX((OG)/(OA)). Áp dụng tính chất 6, suy ra GG' // AB. b) Gọi (Q) là mặt phẳng đi qua ba điểm B, C, D. Các điểm B, G', O, F là điểm chung của hai mặt phẳng phân biệt (P) và (Q). Theo tính chất 5, chúng phải cùng nằm trên giao tuyến của (P) và (Q). Vậy B, G', O, F thăng hàng.
III - Cách xác định mặt phẳng
Dẫn dắt
Hình vẽ
III - Cách xác định mặt phẳng
Một mặt phẳng được xác định nếu biết nó chứa ba điểm không thẳng hàng.
Theo tính chất 2 đã biết:
Mặt phẳng xác định bởi ba điểm A, B, C không thẳng hàng kí hiệu là mp(ABC) hay (ABC) (Hình 20)
Ảnh
Ảnh
Ví dụ 7
1. Ví dụ 7
Ảnh
Cho ba điểm A, B, C không thẳng hàng và không nằm trong mặt phẳng (P). Biết ba đường thẳng AB, AC, BC lần lượt cắt (P) tại các điểm M, N, E (Hình 21). Ba điểm M, N, E có thẳng hàng không? Giải thích.
Giải
Gọi (Q) là mặt phẳng xác định bởi ba điểm A, B, C. Ta có M∈AB và ABLATEX(sub)(Q), suy ra M∈(Q). Mặt khác, M∈(P). Vậy M ∈ (P) giao (Q). Tương tự, ta cũng có N ∈ (P) giao (Q) và E ∈ (P) giao (Q). Suy ra ba điểm M, N, E thẳng hàng vì cùng nằm trên đường thẳng giao tuyến của hai mặt phẳng (P) và (Q).
Hoạt động 8
2. Hoạt động 8
Cho đường thẳng a và điểm A không nằm trên a. Trên a lấy hai điểm B, C. Đường thẳng a có nằm trong mặt phẳng (ABC) không? Giải thích.
Ảnh
Giải
Ảnh
Qua ba điểm A, B, C không thẳng hàng ta có một mặt phẳng duy nhất đi qua 3 điểm này là (ABC). Qua hai điểm B và C ta vẽ được duy nhất một đường thẳng a đi qua hai điểm này . Vì B và C thuộc (ABC) nên đường thẳng thẳng a cũng thuộc (ABC).
Tính chất
Ảnh
Hình vẽ
3. Tính chất
Ảnh
Một mặt phẳng được xác định nếu biết nó chứa một đường thẳng và một điểm không thuộc đường thẳng đó.
Mặt phẳng xác định bởi điểm A và đường thẳng a không qua điểm A kí hiệu là mp(A, a) hay (A, a) (Hình 23)
Ví dụ 8
4. Ví dụ 8
Với đường thẳng d và hai điểm M, N phân biệt không thuộc d, ta xác định được bao nhiêu mặt phẳng?
Ảnh
Giải
Với đường thẳng d và điểm M không thuộc d, ta xác định được mặt phẳng thứ nhất là (M, d). Nếu điểm N thuộc (M, d) thì ta chỉ xác định được một mặt phẳng. Nếu điểm N M không thuộc (M, d) thì ta xác định được mặt phẳng thứ hai là (N, d) (Hình 24).
Hoạt động 9
Ảnh
5. Hoạt động 9
Hai đường thẳng phân biệt a và b cắt nhau tại điểm O. Trên a, b lấy lần lượt hai điểm M, N khác O. Gọi (P) là mặt phẳng đi qua ba điểm M, N, O (Hình 25). Mặt phẳng (P) có chứa cả hai đường thẳng a và b không? Giải thích.
Ta có: Hai điểm O và M thuộc mp(P) nên đường thẳng a thuộc (P). Hai điểm O và N thuộc mp(P) nên đường thẳng b thuộc (P). Vậy mặt phẳng (P) chứa cả hai đường thẳng a và b.
Giải
Ảnh
Tính chất
Ảnh
Hình vẽ
6. Tính chất
Một mặt phẳng được xác định nếu biết nó chứa hai đường thẳng cắt nhau.
Ảnh
Mặt phẳng xác định bởi điểm hai đường thẳng a, b cắt nhau kí hiệu là mp(a, b) (Hình 26).
Ví dụ 9
7. Ví dụ 9
Với ba đường thẳng a, b, c không cùng nằm trong một mặt phẳng và cùng đi qua một điểm O (Hình 27), ta xác định được bao nhiêu mặt phẳng?
Ảnh
Giải
Từ ba cặp đường thẳng cắt nhau a và b, b và c, c và a, ta xác định được ba mặt phẳng là mp(a, b), mp(b, c), mp(c, a).
Thực hành 7
Ảnh
8. Thực hành 7
Cho hai đường thẳng a và b cắt nhau tại O và điểm M không thuộc mặt phẳng (a, b). a) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (M, a) và (M, b). b) Lấy A, B lần lượt là hai điểm trên a, b và khác với điểm O. Tìm giao tuyến của (MAB) và mp(a, b).
a) Ta có: M ∈ mp(M, a) và M ∈ mp(M, b) nên M ∈ (M, a) ∩ (M, b). O là giao điểm của hai đường thẳng a và b, mà a ⊂ mp(M, a) và b ⊂ mp(M, b) nên O ∈ (M, a) ∩ (M, b). Vậy giao tuyến của hai mặt phẳng (M, a) và (M, b) là đường thẳng qua hai điểm M và O.
Giải
Ảnh
Giải
Ảnh
b) Ta có: A ∈ (MAB) và A ∈ a ⊂ mp(a, b) nên A ∈ (MAB) ∩ mp(a, b). Ta lại có: B ∈ (MAB) và B ∈ b ⊂ mp(a, b) nên B ∈ (MAB) ∩ mp(a, b). Vậy giao tuyến của (MAB) và mp(a, b) là đường thẳng AB.
IV - Hình chóp và hình tứ diện
Hình chóp
Ảnh
Ảnh
Ảnh
IV - Hình chóp và hình tứ diện
1. Hình chóp
a) Hoạt động 10
- Các công trình kiến trúc, đồ vật trong Hình 30 có mặt bên là hình gì?
- Tìm điểm giống nhau của các hình trong Hình 31.
Ảnh
Ảnh
Giải
- Các công trình kiến trúc và các đồ vật trong Hình 30 có mặt bên là hình tam giác. - Điểm giống nhau là các hình này đều có mặt bên là các hình tam giác, mặt đáy là các đa giác.
Định nghĩa
Ảnh
Hình vẽ
b) Định nghĩa
Cho đa giác lồi LATEX(A_1)LATEX(A_2)... LATEX(A_n), nằm trong mặt phẳng (a) và điểm S không thuộc (a). Nối S với các đỉnh LATEX(A_1),LATEX(A_2),...,LATEX(A_n) ta được n tam giác LATEX(SA_1A_2), LATEX(SA_2A_3),...LATEX(SA_nA_1). Hình tạo bởi n tam giác đó và đa giác LATEX(A_1)LATEX(A_2)...LATEX(A_n) được gọi là "hình chóp", kí hiệu S.LATEX(A_1)LATEX(A_2)...LATEX(A_n)
Ảnh
b) Định nghĩa
Trong hình chóp S.LATEX(A_1A_2...A_n), ta gọi: - Điểm S là "đỉnh" - Các đa giác LATEX(SA_1A_2), LATEX(SA_2A_3), LATEX(SA_nA_1) là các "mặt bên" - LATEX(A_1A_2...A_n) là "mặt đáy" - Các đoạn thẳng LATEX(SA_1), LATEX(SA_2),..., LATEX(SA_n) là các "cạnh bên" - Các cạnh của đa giác LATEX(A_1A_2...A_n) là các "cạnh đáy" Ta gọi hình chóp có đáy tam giác, tứ giác, ngũ giác, ... lần lượt là hình chóp tam giác, hình chóp tứ giác, hình chóp ngũ giác,...
Ảnh
Ví dụ 10
c) Ví dụ 10
Cho hình chóp S.ABCD (Hình 33). Gọi tên các mặt bên, mặt đáy, cạnh bên, cạnh đáy của hình chóp S.ABCD.
Giải
Hình chóp S.ABCD có: • Các mặt bên: SAB, SBC, SCD, SDA • Mặt đáy ABCD • Các cạnh bên: SA, SB, SC, SD • Các cạnh đáy: AB, BC, CD, DA.
Ảnh
Hình tứ diện
Ảnh
2. Hình tứ diện
a) Hoạt động 11
Trong Hình 34, hình chóp nào có số mặt ít nhất?
Ảnh
Giải
Hình chóp có số mặt ít nhất là Hình 34a).
Định nghĩa
Ảnh
Ảnh
Hình vẽ
b) Định nghĩa
Cho bốn điểm A, B, C, D không đồng phẳng. Hình tạo bởi bốn tam giác ABC, ACD, ADB và BCD được gọi là hình tứ diện (hay tứ diện), kí hiệu ABCD.
Trong tứ diện ABCD (Hình 35), ta gọi: (Hình 35) - Các điểm A, B, C, D là các "đỉnh". - Các đoạn thẳng AB, AC, AD, BC, CD, BD là các "cạnh" của tứ diện. - Hai cạnh không đi qua một đỉnh là "hai cạnh đối diện". - Các tam giác ABC, ACD, ADB, BCD là các "mặt" của tứ diện. - Đỉnh không thuộc một mặt của tứ diện là "đỉnh đối diện" với mặt đó.
Ví dụ 11
c) Ví dụ 11
Gọi tên các mặt, các cặp cạnh đối diện của tứ diện MNPQ (Hình 36).
Ảnh
Giải
Tứ diện MNPQ có: • Các mặt: MNP, MPO, MON, ΝΡΩ. • Các cặp cạnh đối diện: MN và PQ, MP và NQ, MQ và NP.
Chú ý
Ảnh
Hình vẽ
d) Chú ý
a) Hình tứ diện có bốn mặt là các tam giác đều được gọi là hình tứ diện đều. b) Một tứ diện có thể xem như là một hình chóp tam giác với đỉnh là một đỉnh tuỳ ý của tứ diện và đáy là mặt của tứ diện không chứa đỉnh đó.
Ví dụ 12
Ảnh
e) Ví dụ 12
Cho tứ diện SABC. Gọi M và N lần lượt là hai điểm trên hai cạnh AB và BC sao cho MN không song song với AC. a) Tìm giao điểm của đường thẳng MN và mặt phẳng (SAC). b) Tìm giao tuyến của các mặt phẳng (SMN) và (SAC)
Giải
a) Trong mặt phẳng (ABC), vẽ giao điểm E của MN và AC. Ta có E ∈ AC, suy ra E ∈ (SAC). Vậy E là giao điểm của đường thẳng MN và mặt phẳng (SAC). S b) Ta có S và E là hai điểm chung của hai mặt phẳng (SMN) và (SAC), suy ra (SMN) (SAC) = SE.
Thực hành 8
f) Thực hành 8
Nêu cách tạo lập tứ diện đều SABC từ tam giác đều SS’S’’ theo gợi ý ở Hình 40.
Giải
Ảnh
+) Chia tam giác SS’S” thành 4 tam giác bằng nhau như hình vẽ: - Lấy A, C, B lần lượt là trung điểm của SS’, SS”, S’S”. - Nối các đoạn thẳng AB, BC, AC ta được bốn tam giác đều bằng nhau ∆SAC, ∆S’AB, ∆ABC, ∆S”BC. +) Gập các nếp gấp AC, BC, AB, rồi chụm các đỉnh S, S’, S” làm một ta được hình chóp SABC.
V - Bài tập
Bài 1,2
V - Bài tập
1. Cho hình chóp S.ABCD, gọi O là giao điểm của AC và BD. Lấy M, N lần lượt thuộc các cạnh SA, SC. a) Chứng minh đường thẳng MN nằm trong mặt phẳng (SAC). b) Chứng minh O là điểm chung của hai mặt phẳng (SAC) và (SBD). 2. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành. Gọi M là trung điểm của SC. a) Tìm giao điểm I của đường thẳng AM và mặt phẳng (SBD). Chứng minh IA = 2IM. b) Tìm giao điểm E của đường thẳng SD và mặt phẳng (ABM). c) Gọi N là một điểm tuỳ ý trên cạnh AB. Tìm giao điểm của đường thẳng MN và mặt phẳng (SBD).
Bài 3,4
3. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành. Gọi O là giao điểm của AC và BD; M, N lần lượt là trung điểm của SB, SD; P thuộc đoạn SC và không là trung điểm của SC. a) Tìm giao điểm E của đường thẳng SO và mặt phẳng (MNP). b) Tìm giao điểm Q của đường thẳng SA và mặt phẳng (MNP). c) Gọi I, J, K lần lượt là giao điểm của QM và AB, QP và AC, QN và AD. Chứng minh I, J, K thẳng hàng. 4. Cho tứ diện ABCD. Gọi E, F, G lần lượt là ba điểm trên ba cạnh AB, AC, BD sao cho EF cắt BC tại I (I ≠ C), EG cắt AD tại H (H ≠ D). a) Tìm giao tuyến của các mặt phẳng (EFG) và (BCD); (EFG) và (ACD). b) Chứng minh ba đường thẳng CD, IG, HF cùng đi qua một điểm.
Bài 5
5. Thước laser phát ra tia laser, khi tia này quay sẽ tạo ra mặt phẳng ánh sáng (Hình 41). Giải thích tại sao các thước kẻ laser lại giúp người thợ xây dựng kẻ được đường thẳng trên tường hoặc sàn nhà.
Ảnh
VI - Dặn dò
Dặn dò
Ảnh
VI - Dặn dò
- Làm hết bài tập trong phần V - Bài tập - Đọc trước tiếp theo
Ảnh
Kết thúc
Ảnh