BÀI 5: DÃY SỐ
Trang bìa
Trang bìa
Ảnh
TOÁN 11
BÀI 5: DÃY SỐ
Khởi động
Khởi động
Ảnh
Năm 2020, số dân của một thành phố trực thuộc tỉnh là khoảng 500 nghìn người. Người ta ước tính rằng số dân của thành phố đó sẽ tăng trưởng với tốc độ khoảng 2% mỗi năm. Khi đó số dân latex(P_n) (nghìn người) của thành phố đó sau n năm, kể từ năm 2020, được tính bằng công thức latex(P_n = 500(1 + 0,02)^n). Hỏi nếu tăng trưởng theo quy luật như vậy thì vào năm 2030, số dân của thành phố đó là khoảng bao nhiêu nghìn người?
Khởi động:
Câu hỏi
Hình thàn kiến thức
1. Định nghĩa dãy số
Ảnh
Ảnh
1. Định nghĩa dãy số
Viết năm số chính phương đầu theo thứ tự tăng dần. Từ đó, dự đoán công thức tính số chính phương thứ n.
Trả lời:
* Năm số chính phương đầu theo thứ tự tăng dần là: 0; 1; 4; 9; 16. * Số chính phương thứ nhất là latex(u_1 = 0^2 = 0) * Số chính phương thứ hai là latex(u_2 = 1^2 = 1) * Số chính phương thứ ba là latex(u_3 = 2^2 = 4) * Tiếp tục như trên, ta dự đoán được công thức tính số chính phương thứ n là latex(u_n = (n – 1)^2) với n ∈ N*.
HĐ1: Nhận biết dãy số vô hạn
- Kết luận
- Kết luận:
Ảnh
* Mỗi hàm số u xác định trên tập các số nguyên dương N* được gọi là một dãy số vô hạn (gọi tắt là dãy số), kí hiệu là u = u(n). * Ta thường viết latex(u_n) thay cho u(n) và kí hiệu dãy số u = u(n) bởi (latex(u_(n))), do đó dãy số (latex(u_(n))) viết dưới dạng khai triển latex(u_1, u_2, u_3,...) Số latex(u_1) gọi là số hạng đầu, latex(u_n) là số hạng thứ n và gọi là số hạng tổng quát của dãy số.
Chú ý: Nếu latex(AA n in N^*, u_n = c) thì latex((u_n)) được gọi là dãy số không đổi.
- Ví dụ 1
Ảnh
VD1: Xác định số hạng đầu và số hạng tổng quát của mỗi dãy số: a) Dãy số latex((u_n)) các số tự nhiên lẻ: 1, 3, 5, 7,... b) Dãy số latex((v_n)) các số nguyên dương chia hết cho 5: 5, 10, 15, 20,...
Giải:
a) Dãy latex((u_n)) có số hạng đầu latex(u_1 = 1) và số hạng tổng quát latex(u_n = 2n - 1). b) Dãy latex((V_n)) có số hạng đầu latex(v_1 = 5) và số hạng tổng quát latex(v_1 = 5n).
- HĐ2: Nhận biết dãy số hữu hạn
Ảnh
Ảnh
- HĐ2: Nhận biết dãy số hữu hạn
a) Liệt kê tất cả các số chính phương nhỏ hơn 50 và sắp xếp chúng theo thứ tự từ bé đến lớn. b) Viết công thức số hạng un của các số tìm được ở câu a) và nêu rõ điều kiện của n.
a) Các số chính phương nhỏ hơn 50 được sắp xếp theo thứ tự từ bé đến lớn là: 0; 1; 4; 9; 16; 25; 36; 49. b) Ta có: latex(u_n = (n - 1)^2) với n ∈ N* và n ≤ 8.
- Kết luận
Ảnh
- Kết luận:
* Mỗi hàm số u xác định trên tập M = {1; 2; 3;..., m} với latex(m in N^**) được gọi là một dãy số hữu hạn. * Dạng khai triển của dãy số hữu hạn là latex(u_1, u_2,..., u_m). Số latex(u_1) gọi là số hạng đầu, số latex(u_m) gọi là số hạng cuối.
- Ví dụ 2
Ảnh
Ví dụ 2: Xét dãy số hữu hạn gồm các số tự nhiên lẻ nhỏ hơn 20, sắp xếp theo thứ tự từ bé đến lớn. a) Liệt kê tất cả các số hạng của dãy số hữu hạn này. b) Tìm số hạng đầu và số hạng cuối của dãy số đó.
Giải:
a) Các số hạng của dãy số là: 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19. b) Số hạng đầu của dãy số này là 1 và số hạng cuối của dãy số là 19.
- Luyện tập 1
Ảnh
- Luyện tập 1:
a) Xét dãy số gồm tất cả các số tự nhiên chia cho 5 dư 1 theo thứ tự tăng dần. Xác định số hạng tổng quát của dãy số. b) Viết dãy số hữu hạn gồm năm số hạng đầu của dãy số trong câu a. Xác định số hạng đầu và số hạng cuối của dãy số hữu hạn này.
2. Các cách cho một dãy số
Ảnh
Ảnh
2. Các cách cho một dãy số
Xét dãy số (latex(u_n)) gồm tất cả các số nguyên dương chia hết cho 5: 5, 10, 15, 20, 25, 30, ... a) Viết công thức số hạng tổng quát latex(u_n) của dãy số. b) Xác định số hạng đầu và viết công thức tính số hạng thứ n theo số hạng thứ n - 1 của dãy số.
Trả lời:
a) Số hạng tổng quát của dãy số là latex(u_n = 5n) (n ∈ N*). b) Số hạng đầu của dãy số là latex(u_1 = 5). Công thức tính số hạng thứ n theo số hạng thứ n - 1 là: latex(u_n = u_(n - 1) + 5 (n ∈ N*, n > 1)).
HĐ3: Nhận biết các cách cho một dãy số
- Kết luận
Ảnh
- Kết luận:
Một dãy số có thể cho bằng:
Liệt kê các số hạng (chỉ dùng cho các dãy hữu hạn và có ít số hạng); Công thức của số hạng tổng quát; Phươg pháp mô tả; Phương pháp truy hồi.
- Ví dụ 3
Ví dụ 3: Tìm năm số hạng đầu và số hạng thứ 100 của dãy số cho bởi công thức sau a) latex(u_n = 2n); b) latex(u_n = ((-1)^n)/n).
Ảnh
Giải:
a) Năm số hạng đầu của dãy số là: 2, 4, 6, 8, 0. Số hạng thứ 100 của dãy số là latex(u_100 = 2. 100 = 200). b) Năm só hạng đầu của dãy số là: -1, latex(1/2, -1/3, 1/4,-1/5). Số hạng thứ 100 của dãy số là latex(u_100 = ((-1)^100)/100 = 1/100).
Hình vẽ
Số nguyên tố là số tự nhiên lớn hơn 1 mà chỉ có hai ước số là 1 và chính nó.
- Ví dụ 4
Ảnh
Ví dụ 4: Xét dãy số gồm tất cả các số nguyên tố theo thứ tự tăng dần. Viết năm số hạng đầu của dãy số đó.
- Ví dụ 5
Ví dụ 5: Cho dãy số xác định bằng hệ thức truy hồi: latex(u_1 = 1, u_n = 3u_(n - 1) + 2) với latex(n >= 2). Viết ba số hạng đầu của dãy số này.
Ảnh
Giải:
Ta có: latex(u_1 = 1, u_2 = 3u_1 + 2 = 3 . 1 + 2 = 5, u_3 = 3u_2 + 2 = 3 . 5 + 2 = 17).
Hình vẽ
Hệ thức truy hồi là hệ thức biểu thị số hạng thứ n của dãy số qua số hạng (hay vài số hạng) đứng trước nó.
- Luyện tập 2
Ảnh
- Luyện tập 2:
a) Viết năm số hạng đầu của dãy số latex((u_n)) với số hạng tổng quát latex(u_n = n!). b) Viết năm số hạng đầu của dãy số Fibonacci (latex(F_n)) cho bởi hệ thức truy hồi:
Ảnh
latex(F_1 = 1, F_2 = 1) latex(F_n = F_(n - 1) + F_(n - 2) (n >=3))
- Chú ý
- Chú ý:
Để có hình ảnh trực quan về dãy số, ta thường biểu diễn các số hạng của nó trên trục số. Chẳng hạn, xét dãy số latex((u_n)) với latex(u_n = ((-1)^n)/(2^n)). Năm số hạng đầu của dãy số này là latex(u_1 = -1/2, u_2 = 1/4, u_3 = -1/8, u_4 = 1/16, u_5 = -1/32) và được biểu diễn trên trục số như sau:
Ảnh
Ảnh
3. Dãy số tăng, dãy số giảm và dãy số bị chặn
Ảnh
3. Dãy số tăng, dãy số giảm và dãy số bị chặn
HĐ4: Nhận biết dãy số tăng, dãy số giảm
Ảnh
a) Xét dãy số latex((u_n)) với latex(u_n = 3n - 1). Tính latex(u_(n + 1)) và so sánh với latex(u_n). b) Xét dãy số latex((v_n)) với latex(v_n = 1/(n^2)). Tính latex(v_(n + 1)) và so sánh với latex(v_n),
- Kết luận
Ảnh
- Kết luận:
* Dãy số latex((u_n)) được gọi là dãy số tăng nếu ta có: latex(u_(n+1) > u_n) với mọi latex(n in N*). * Dãy số latex((u_n)) được gọi là dãy số giảm nếu ta có: latex(u_(n+1) < u_n) với mọi latex(n in N*).
- Ví dụ 6
Ví dụ 6: Xét tính tăng, giảm của dãy số latex((u_n)), với latex(u_n = -2n + 5)
Ảnh
Ảnh
Giải:
Ta có: latex(u_(n+1) - u_n = [-2(n + 1) + 5] - (-2n + 5)) = (-2n + 3) + 2n - 5 = -2 < 0, Tức là latex(u_(n + 1) < u_n, AAn in N**). Vậy latex((u_n)) là dãy số giảm.
- Luyện tập 3
Ảnh
- Luyện tập 3:
Xét tính tăng, giảm của dãy số latex((u_n)), với latex(u_n = 1/(n + 1)).
- HĐ5: Nhận biết dãy số bị chặn
Ảnh
Ảnh
- HĐ5: Nhận biết dãy số bị chặn
Cho dãy số latex((u_n)) với latex(u_n = (n +1)/n, AAn in N**) a) So sánh latex(u_n) và 1. b) So sánh latex(u_n) và 2.
a) Ta có: latex(u_n = (n + 1)/n = 1 + 1/n > 1, AAn in N**) b) Ta có: latex(1/n <= 1, AAn in N** => 1 + 1/n <= 1 + 1 = 2), latex(AA n in N**) Do đó, latex(u_n = 1 + 1/n <= 2, AA n in N**).
- Kết luận
Ảnh
- Kết luận:
* Dãy số latex((u_n)) được gọi là bị chặn trên nếu tồn tại một số M sao cho latex(u_n <= M) với mọi latex(n in N**). * Dãy số latex((u_n)) được gọi là bị chặn dưới nếu tồn tại một số m sao cho latex(u_n >= M) với mọi latex(n in N**). * Dãy số latex((u_n)) được gọi là bị chặn nếu nó vừa bị chặn trên vừa bị chặn dưới, tức là tồn tại các số m, M sao cho latex(m <= u_n <= M) với mọi latex(n in N**)
- Ví dụ 7
Ví dụ 7: Xét tính bị chặn của dãy số latex((u_n)) với latex(u_n = (n-1)/n).
Giải:
Dãy số latex((u_n)) bị chặn trên, vì latex(u_n = (n-1)/n = 1 - 1/n < 1, AA n in N**). Dãy số latex((u_n)) bị chặn dưới, vì latex(u_n = (n-1)/n >= 0, AA n in N**). Vậy dãy số latex((u_n)) bị chặn.
Ảnh
- Luyện tập 4
Ảnh
- Luyện tập 4:
Xét tính bị chặn của dãy số (latex(u_n)), với latex(u_n = 2n – 1).
- Vận dụng
- Vận dụng:
Anh Thanh vừa được tuyển dụng vào một công ty công nghệ, được cam kết lương năm đầu sẽ là 200 triệu đồng và lương mỗi năm tiếp theo sẽ được tăng thêm 25 triệu đồng. Gọi latex(s_n) (triệu đồng) là lương vào năm thứ n mà anh Thanh làm việc cho công ty đó. Khi đó ta có: latex(s_1 = 200, s_n = s_(n - 1) + 25) với n ≥ 2. a) Tính lương của anh Thanh vào năm thứ 5 làm việc cho công ty. b) Chứng minh (latex(s_n)) là dãy số tăng. Giải thích ý nghĩa thực tế của kết quả này.
Ảnh
Luyện tập và vận dụng
Bài 1 (Luyện tập và vận dụng)
Ảnh
Hình vẽ
Bài 1: Viết năm số hạng đầu và số hạng thứ 100 của các dãy số (latex(u_n)) có số hạng tổng quát cho bởi: a) latex(u_n = 3n – 2); b) latex(u_n = 3 . 2^n); c) latex(u_n = (1 + 1/n)^n).
Bài 2 (Luyện tập và vận dụng)
Ảnh
Hình vẽ
Bài 2: Dãy số (latex(u_n)) được cho bởi hệ thức truy hồi: latex(u_1 = 1, u_n = n . u_(n - 1)) với n ≥ 2. a) Viết năm số hạng đầu của dãy số. b) Dự đoán công thức số hạng tổng quát của latex(u_n).
Bài 3 (Luyện tập và vận dụng)
Ảnh
Hình vẽ
Bài 3: Xét tính tăng, giảm của dãy số latex((u_n)), biết: a) latex(u_n = 2n - 1); b) latex(u_n = -3n + 2) c) latex(u_n = ((-1)^(n-1))/(2^n)).
Dặn dò
- Dặn dò
Ảnh
Ôn lại kiến thức vừa học. Hoàn thành các bài còn lại SGK và SBT. Chuẩn bị bài sau: "Bài 6: Cấp số cộng".
Dặn dò
- Cảm ơn
Ảnh
CẢM ƠN CÁC EM ĐÃ LẮNG NGHE BÀI HỌC !