CHƯƠNG II. BÀI 1. DÃY SỐ
Trang bìa
Trang bìa
Ảnh
TOÁN 11
CHƯƠNG II. BÀI 1. DÃY SỐ
Mục tiêu
Mục tiêu
Ảnh
Mục tiêu bài học
Nhận biết được dãy số hữu hạn, dãy số vô hạn. Thể hiện được cách cho dãy số bằng liệt kê các số hạng; bằng công thức tổng quát; bằng hệ thức truy hồi; bằng cách mô tả. Nhận biết được tính chất tăng, giảm, bị chặn của dãy số trong những trường hợp đơn giản.
Khởi động
- Tình huống mở đầu (- Tình huống mở đầu)
Một số loài hoa có số lượng cánh hoa luôn là một số cố định. Số cánh hoa trong các bông hoa thường xuất hiện nhiều theo những con số 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21,...
Ảnh
Ta có thể viết số cánh hoa của các bông hoa ở các hình trên lần lượt như sau: vị trí thứ nhất viết số 1, vị trí thứ hai viết số 1, vị trí thứ ba viết số 2,..., vị trí thứ tám viết số 21.
- Câu hỏi
Ảnh
Câu hỏi:
Các số 1, 1, 2, 3, 5, 8, 21 được viết theo quy tắc trên gợi nên khái niệm nào trong toán học?
I. Khái niệm
- Hoạt động 1
Ảnh
HĐ1: Một vật chuyển động đều với vận tốc 20 m/s. Hãy viết các số chỉ quãng đường (đv: mét) vật chuyển động được lần lượt trong thời gian 1 giây, 2 giây, 3 giây, 4 giây, 5 giây theo hàng ngang.
I. Dãy số
- Khái niệm
- Khái niệm:
Ảnh
* Mỗi hàm số latex(u: {1; 2; 3; ...; m}->) R( m latex(in) N*) được gọi là một dãy số hữu hạn. Do mỗi số nguyên dương k latex(1 <= k <= m) tương ứng với đúng một số latex(u_k) nên ta có thể viết dãy số đó dưới dạng khai triển: latex(u_1, u_2, u_3,..., u_m). * Số latex(u_1) gọi là số hạng đầu, số hạng latex(u_m) gọi là số hạng cuối của dãy số.
- Ví dụ 1
Ảnh
Ví dụ 1: Hàm số u(n) = 2n xác định trên tập hợp M = {1; 2; 3; 4; 5} là một dãy số hữu hạn. Tìm số hạng đầu, số hạng cuối và viết dãy số trên dưới dạng khai triển.
Giải:
Số hạng đầu, số hạng cuối của dãy số lần lượt là: latex(u_1 = 2, u_5 =10). Dạng khai triển của dãy số đó là: 2, 4, 6, 8, 10.
- Luyện tập 1
Ảnh
- Luyện tập 1:
Hàm số u(n) = latex(n^3) xác định trên tập hợp M = {1; 2; 3; 4; 5} là một dãy số hữu hạn. Tìm số hạng đầu, số hạng cuối và viết dãy số trên dưới dạng khai triển.
- Hoạt động 2
Ảnh
HĐ2: Cho hàm số latex(u(n) = 1/n), n latex(in) N*. Hãy viết các số u(1), u(2),..., u(n),... theo hàng ngang.
- Khái niệm về dãy số vô hạn
Ảnh
* Mỗi hàm số u: N* latex(->) R được gọi là một dãy số vô hạn. Do mỗi số nguyên dương n tương ứng với đúng một số latex(u_n) nên ta có thể viết dãy số đó dưới dạng khai triển: latex(u_1, u_2, u_3,..., u_n,...). * Dãy số đó còn được viết tắt là latex((u_n)). * Số latex(u_1) gọi là số hạng thứ nhất (hay số hạng đầu), số latex(u_2) gọi là số hạng thứ hai,... số latex(u_n) gọi là số hạng thứ n và là số hạng tổng quát của dãy số.
Khái niệm về dãy số vô hạn:
- Ví dụ 2
Giải:
Ảnh
a) Năm số hạng đầu của dãy số latex((u_n)) là: latex(u_1 = 1; u_2 = 3; u_3 = 5; u_4 = 7; u_5 = 9) b) Số hạng tổng quát của dãy số latex((u_n)) được dự đoán là latex(u_n = 2n - 1) với n latex(in) N*. Dạng khai triển của dãy số latex((u_n)) là: 1, 3, 5, ..., 2n - 1,...
Ví dụ 2: Cho latex((u_n)) là dãy các số tự nhiên lẻ viết theo thứ tự tăng dần và latex(u_1 = 1). a) Viết năm số hạng đầu của dãy số latex((u_n)). b) Dự đoán số hạng tổng quát và viết dạng khai triển của dãy số latex((u_n)).
- Luyện tập 2
Ảnh
Cho dãy số latex((u_n)) với latex(u_n = n^2). a) Viết năm số hạng đầu và số hạng tổng quát của dãy số latex((u_n)). b) Viết dạng khai triển của dãy số latex((u_n)).
- Luyện tập 2:
II. Cách cho một dãy số
- Hoạt động 3
Ảnh
HĐ3: Xét mỗi dãy số sau:
II. Cách cho một dãy số
* Dãy số: 1; 4; 9; 16; 25; 36; 49; 64; 81; 100 (1) * Dãy số latex((u_n)) được xác định: Với mỗi số tự nhiên latex(n >= 1, u_n) là số thập phân hữu hạn có phần số nguyên là 1 và phần thập phân là n chữ số thập phân đầu tiên đứng sau dấu "," của số latex(sqrt2 = 1,414213562...) Cụ thể là: latex(u_1 = 1,4; u_2 = 1,41; u_3 = 1,414; u_4 = 1,4142; u_5 = 1,41421;.... (2)) * Dãy số latex((u_n)) với latex(u_n = (-2)^n (3)) * Dãy số latex((u_n)) được xác định như sau: latex(u_1 = 1) và latex(u_n = u_(n-1) + 2) với mọi latex(n >= 2) (4)
- Câu hỏi
Ảnh
a) Hãy nêu cách xác định mỗi số hạng của các dãy số (1), (2), (3), (4). b) Từ đó hãy cho biết dãy số có thể cho bằng những cách nào.
Câu hỏi:
- Kết luận
- Khái niệm:
Ảnh
* Liệt kê các số hạng của dãy số đó. * Diễn đạt bằng lời cách xác định mỗi số hạng của dãy số đó. * Cho công thức của số hạng tổng quát của dãy số đó. * Cho bằng phương pháp truy hồi.
- Ví dụ 3
Ảnh
Ví dụ 3: Hãy nêu cách xác định mỗi dãy số sau: a) Dãy số: 1, 8, 27, 64, 125, 216, 343, 512, 729, 1 000 (5) b) Dãy số latex((u_n)) được xác định: Với mỗi số tự nhiên latex(n >= 1, u_n) là số thập phân hữu hạn có phần số nguyên là 2 và phần thập phân là n chữ số thập phân đầu tiên đứng sau dấu"," của số latex(pi = 3,141592653589... (6)) c) Dãy số latex((u_n)) với latex(u_n = n^2 + n) (7) d) Dãy số latex((u_n)) được xác định: latex(u_1 = 1) và latex(u_n = 2u_(n - 1)) với mọi latex(n >= 2) (8)
- Ví dụ 4
Giải:
Ảnh
Ta có: latex(u_1 = u_2 = 1). Để tìm latex(u_3), thay n = 3 vào công thức (9), ta được: latex(u_3 = u_2 + u_1 = 1 + 1 = 2). Để tìm latex(u_4), thay n = 4 vào công thức (9), ta được: latex(u_4 = u_3 + u_2 = 2 + 1 = 3). Cứ như thế, ta tìm được mười số hạng đầu của dãy số latex((u_n)) là: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55.
Ví dụ 4: Dãy số được nêu trong phần mở đầu được gọi là dãy số Fibonacci. Dãy số Fibonacci là dãy số latex((u_n)) được xác định bởi: latex(u_1 = 1, u_2 = 1) và latex(u_n = u_(n - 1) + u_(n - 2)) với mọi latex(n >= 3) (9). Viết mười số hạng đầu của dãy số latex((u_n)).
- Luyện tập 3
Ảnh
- Luyện tập 3:
Cho dãy số latex((u_n)) với latex(u_n = (n-3)/(3n + 1)). Tìm latex(u_33, u_333) và viết dãy số dưới dạng khai triển.
III. Dãy số tăng, dãy số giảm
- Hoạt động 4
Ảnh
HĐ4: Cho dãy số latex((u_n)) với latex(u_n = n^2). Tính latex(u_(n +1)). Từ đó, hãy so sánh latex(u_(n+1)) và latex(u_n) với mọi n latex(in) N*.
III. Dãy số tăng, dãy số giảm
- Kết luận
- Kết luận:
Ảnh
* Dãy số latex((u_n)) được gọi là dãy số tăng nếu latex(u_(n+1) > u_n) với mọi n latex(in) N*. * Dãy số latex((u_n)) được gọi là dãy số giảm nếu latex(u_(n+1) < u_n) với mọi n latex(in) N*.
- Ví dụ 5
Giải:
Ảnh
Với mọi n latex(in) N*, ta có: latex(u_(n+1) = 3(n+1) - 2 = 3n + 1). Xét hiệu: latex(u_(n+1) - u_n = (3n + 1) - (3n - 2) = 3 > 0) với mọi n latex(in) N*. Do đó, latex(u_(n+1) > u_n) với mọi n latex(in) N*. Vậy dãy số latex((u_n)) là một dãy số tăng.
Ví dụ 5: CMR dãy số latex((u_n)) với latex(u_n = 3n - 2) là một dãy số tăng.
- Chú ý
- Chú ý:
Ảnh
Không phải mọi dãy số đều là dãy số tăng hay dãy số giảm. Chẳng hạn: Dãy số latex((u_n)) với latex(u_n = (-1)^n) có dạng triển khai: -1; 1; -1; 1; -1; ... không là dãy số tăng, cũng không là dãy số giảm.
- Luyện tập 4
Ảnh
- Luyện tập 4:
Chứng minh rằng dãy số latex((v_n)) với latex(v_n = 1/(3^n)) là dãy số giảm.
IV. Dãy số bị chặn
- Hoạt động 5
IV. Dãy số bị chặn
Ảnh
HĐ5: Cho dãy số latex((u_n)) với latex(u_n = 1 + 1/n). Khẳng định latex(u_n <= 2) với mọi n latex(in) N* có đúng không?
- Kết luận
Ảnh
* Dãy số latex((u_n)) được gọi là bị chặn trên nếu tồn tại một số M sao cho latex(u_n <= M) với mọi n latex(in) N*. * Dãy số latex((u_n)) được gọi là bị chặn dưới nếu tồn tại một số m sao cho latex(u_n >= M) với mọi n latex(in) N*. * Dãy số latex((u_n)) được gọi là bị chặn nếu nó vừa bị chặn trên, vừa bị chặn dưới; tức là tồn tại các số m và M sao cho latex(m <= u_n <= M) với mọi n latex(in) N*.
Khái niệm:
- Ví dụ 6
Giải:
Ảnh
Ta có: latex(u_n = (2n + 5)/(n + 1) = (2(n+1)+3)/(n + 1) = 2 + 3/(n + 1), AAn in) N*. Vì latex(0 < 3/(n + 1) <= 3/2, AAn in)N* nên latex(2 < 2 + 3/(n + 1) <= 7/2) hay latex(2 Vậy dãy số latex((u_n)) là dãy số bị chặn.
Ví dụ 6: CMR dãy số latex((u_n)) với latex(u_n = (2n + 5)/(n + 1)) là bị chặn.
- Luyện tập 5
Ảnh
- Luyện tập 5:
Chứng minh rằng dãy số latex((u_n)) với latex(u_n = (n^2 + 1)/(2n^2 + 4)) là bị chặn.
- Bài tập
Ảnh
- Bài tập:
Bài 1: Viết năm số hạng đầu của mỗi dãy số có số hạng tổng quát latex(u_n) cho bởi công thức sau: a) latex(u_n = 2n^2 + 1); b) latex(u_n = ((-1)^n)/(2n - 1)); c) latex(u_n = (2^n)/n); d) latex(u_n = (1 + 1/n)^n). Bài 3: Xét tính tăng, giảm của mỗi dãy số latex((u_n)), biết: a) latex(u_n = (n - 3)/(n + 2)); b) latex(u_n = (3^n)/(2^n . n!)); c) latex(u_n = (-1)^n . (2^n + 1))
Dặn dò
- Dặn dò
Ảnh
Ôn lại kiến thức vừa học. Hoàn thành các bài còn lại trong SGK. Chuẩn bị bài sau: "Chương II. Bài 2. Cấp số cộng".
Dặn dò:
- Cảm ơn
Ảnh