Chào mừng quý vị đến với website của ...
Quý vị chưa đăng nhập hoặc chưa đăng ký làm thành viên, vì vậy chưa thể tải được các tài liệu của Thư viện về máy tính của mình.
Nếu chưa đăng ký, hãy nhấn vào chữ ĐK thành viên ở phía bên trái, hoặc xem phim hướng dẫn tại đây
Nếu đã đăng ký rồi, quý vị có thể đăng nhập ở ngay phía bên trái.
Nếu chưa đăng ký, hãy nhấn vào chữ ĐK thành viên ở phía bên trái, hoặc xem phim hướng dẫn tại đây
Nếu đã đăng ký rồi, quý vị có thể đăng nhập ở ngay phía bên trái.
Chương 7. Bài 1. Đạo hàm
(Tài liệu chưa được thẩm định)
Nguồn: Bạch Kim
Người gửi: Ngô Văn Chinh (trang riêng)
Ngày gửi: 15h:47' 01-04-2024
Dung lượng: 1.4 MB
Số lượt tải: 0
Nguồn: Bạch Kim
Người gửi: Ngô Văn Chinh (trang riêng)
Ngày gửi: 15h:47' 01-04-2024
Dung lượng: 1.4 MB
Số lượt tải: 0
Số lượt thích:
0 người
CHƯƠNG 7. BÀI 1. ĐẠO HÀM
Trang bìa
Trang bìa
Hình vẽ
TOÁN 11
CHƯƠNG 7. BÀI 1. ĐẠO HÀM
Ảnh
Khởi động
Khởi động
Ảnh
Khởi động
Giữa tốc độ của xe và quãng đường mà xe đi được có mỗi liên hệ như thế nào? Nếu biết quãng đường s(t) tại mọi thời điểm t thì có thể tính được tốc độ của xe tại mỗi thời điểm không?
Ảnh
Đạo hàm
Khám phá 1
Ảnh
1. Đạo hàm
a) Khám phá 1:
Quãng đường rơi tự do của một vật được biểu diễn bởi công thức s(t) = 4,9LATEX(t^2) với t là thời gian tính bằng giây và s tính bằng mét. Vận tốc trung bình của chuyển động này trên khoảng thời gian [5; t] hoặc [t; 5] được tính bằng công thức LATEX((s(t)-s(5))/(t-5)) a, Hoàn thiện bảng sau về vận tốc trung bình trong những khoảng thời gian khác nhau. Nêu nhận xét về LATEX((s(t)-s(5))/(t-5)) khi t càng gần 5. b, Giới hạn lim LATEX((s(t)-s(5))/(t-5)) được gọi là vận tốc tức thời của chuyển động tại thời điểm LATEX(t_0) = 5. Tính giá trị này. c, Tính giới hạn lim LATEX((s(t)-s(t_0))/(t-t_0)) để xác định vận tốc tức thời của chuyển động tại thời điềm LATEX(t_0) nào đó trong quá trình rơi của vật.
Ảnh
Giải khám phá 1
1. Đạo hàm
Giải:
a, • Với t ∈ [5; 5,1], chọn t = 5,1 ta có: LATEX((s(t)-s(5))/(t-5) = (4,9 . 5,1^2 - 4,9 . 5^2)/(5,1 - 5) = 49,49) • Với t ∈ [5; 5,05], chọn t = 5,05 ta có: LATEX((s(t)-s(5))/(t-5) = (4,9 . 5,05^2 - 4,9 . 5^2)/(5,05 - 5) = 49,245) • Với t ∈ [5; 5,01], chọn t = 5,01 ta có: LATEX((s(t)-s(5))/(t-5) = (4,9 . 5,01^2 - 4,9 . 5^2)/(5,01 - 5) = 49,049) • Với t ∈ [5; 5,001], chọn t = 5,001 ta có: LATEX((s(t)-s(5))/(t-5) = (4,9 . 5,001^2 - 4,9 . 5^2)/(5,001 - 5) = 49,0049) • Với t ∈ [4,999; 5], chọn t = 4,999 ta có: LATEX((s(t)-s(5))/(t-5) = (4,9 . 4,999^2 - 4,9 . 5^2)/(4,999 - 5) = 48,9951) • Với t ∈ [4,99; 5], chọn t = 4,99 ta có: LATEX((s(t)-s(5))/(t-5) = (4,9 . 4,99^2 - 4,9 . 5^2)/(4,99 - 5) = 48,951)
Ảnh
Ta thấy LATEX((s(t)-s(5))/(t-5) )
càng gần 49 thì t càng gần 5.
Ảnh
1. Đạo hàm
Giải:
b, lim LATEX((s(t) - s(5))/(t-5)) = lim LATEX((4,9t^2 - 4,9.5^2)/(t-5)) = lim LATEX((4,9(t^2 - 5^2))/(t-5)) = lim LATEX((4,9(t-5)(t+5))/(t-5)) = lim LATEX(4,9(t+5)) = 4,9(5+5) = 49 c, lim LATEX((s(t) - s(t_0))/(t-t_0)) = lim LATEX((4,9t^2 - 4,9.t_0^2)/(t-t_0)) = lim LATEX((4,9(t^2 - t_0^2))/(t- t_0)) = lim LATEX((4,9(t-t_0)(t+t_0))/(t-t_0)) = lim LATEX(4,9(t+t_0)) = 4,9LATEX((t_0+t_0)) = 9,8LATEX(t_0)
t→5
t→5
t→5
t→5
t→5
t→LATEX(t_0)
t→LATEX(t_0)
t→LATEX(t_0)
t→LATEX(t_0)
t→LATEX(t_0)
Ảnh
Định nghĩa
1. Đạo hàm
b) Định nghĩa:
Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a;b) và điểm LATEX(x_0)∈(a;b). Nếu tồn tại giới hạn hữu hạn: lim LATEX((f(x)-f(x_0))/(x-x_0)) thì giới hạn đó được gọi là đạo hàm của f(x) tại điểm LATEX(x_0), kí hiệu là f'LATEX((x_0)) hoặc f'LATEX((y_0)). Vậy f'LATEX((x_0)) = lim LATEX((f(x)-f(x_0))/(x-x_0)).
x→LATEX(x_0)
x→LATEX(x_0)
Ảnh
Ảnh
Ví dụ 1
Ảnh
Ảnh
1. Đạo hàm
c) Ví dụ 1:
Cho hàm số f(x) = LATEX(x^2). Tính f'(LATEX(x_0)) với LATEX(x_0) ∈ R.
Giải:
Ta có f'(LATEX(x_0)) = lim LATEX((f(x)-f(x_0))/(x-x_0)) = lim LATEX((x^2 - x_0^2)/(x-x_0)) = lim (x+LATEX(x_0)) = 2LATEX(x_0)
Ảnh
Ảnh
Chú ý 1
Ảnh
1. Đạo hàm
d) Chú ý 1:
Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a; b). Nếu hàm số này có đạo hàm tại mọi điểm x∈(a;b) thì ta nói nó có đạo hàm trên khoảng (a; b), kí hiệu y’ hoặc f’(x).
Ảnh
Ví dụ 2
1. Đạo hàm
e) Ví dụ 2:
Tính đạo hàm của các hàm số sau: a, f(x) = C (C là hằng số) b, f(x) = LATEX(1/x) với x LATEX(!=) 0
Giải:
a, Với bất kì LATEX(x_0), ta có: f'(x) = lim LATEX((f(x)-f(x_0))/(x-x_0)) = lim LATEX((C-C)/(x-x_0)) = lim 0 = 0 Vậy f'(x) = (C)' = 0 trên R. b, Với bất kì LATEX(x_0)LATEX(!=) 0, ta có: f'(LATEX(x_0)) = lim LATEX((1/x - 1/(x_0))/(x-x_0)) = lim LATEX((x_0 -x)/(x x_0(x-x_0))) = lim LATEX(-1/(x x_0)) = -LATEX(1/(x_0^2)) Vậy f'(x) = (LATEX(1/x))' = -LATEX(1/(x^2)) trên các khoảng (-LATEX(oo);0) và (0;+LATEX(oo)).
x→LATEX(x_0)
x→LATEX(x_0)
x→LATEX(x_0)
x→LATEX(x_0)
x→LATEX(x_0)
Ảnh
Thực hành 1
Ảnh
1. Đạo hàm
f) Thực hành 1:
Tính đạo hàm của hàm số f(x) = LATEX(x^3).
Giải:
Với bất kì LATEX(x_0) ∈ R, ta có: f'(LATEX(x_0)) = lim LATEX((x^3 - x_0^3)/(x-x_0)) = lim LATEX(((x-x_0)(x^2 + x.x_0 + x_0^2))/(x-x_0)) = lim LATEX((x^2 + x.x_0 + x_0^2)) = LATEX(x_0^2)+LATEX(x_0 . x_0)+LATEX(x_0^2) = 3LATEX(x_0^2) Vậy f'(x) = (LATEX(x^3))' = 3LATEX(x^2) trên R.
Ảnh
x→LATEX(x_0)
x→LATEX(x_0)
x→LATEX(x_0)
Ảnh
Chú ý 2
1. Đạo hàm
g) Chú ý:
Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a; b), có đạo hàm tại LATEX(x_0)∈(a;b). a, Đại lượng Δx = x−LATEX(x_0) gọi là số gia của biến tại LATEX(x_0). Đại lượng y = f(x) - f(LATEX(x_0)) gọi là số gia tương ứng của hàm số. Khi đó, x = LATEX(x_0)+Δx và f'(LATEX(x_0)) = lim LATEX((Δy)/(Δx)) = lim LATEX((f(x_0 + Δx) - f(x_0))/(Δx)) b, Tỉ số LATEX((Δy)/(Δx)) biểu thị tốc độ thay đổi trung bình của đại lượng y theo đại lượng x trong khoảng từ LATEX(x_0) đến LATEX(x_0 + Δx); còn f'(LATEX(x_0)) biểu thị tốc độ thay đổi (tức thời) của đại lượng y theo đại lượng x tại điểm LATEX(x_0).
Δx→0
Δx→0
Ảnh
Ý nghĩa vật lí của đạo hàm
1. Đạo hàm
h) Ý nghĩa vật lí của đạo hàm:
- Nếu hàm số s = f(t) biểu thị quãng đường di chuyển của vật theo thời gian t thì f'(LATEX(t_0)) biểu thị tốc độ tức thời của chuyển động tại thời điểm LATEX(t_0). - Nếu hàm số T = f(t) biểu thị nhiệt độ T theo thời gian t thì f'(LATEX(t_0)) biểu thị tốc độ thay đổi nhiệt độ theo thời gian tại thời điểm LATEX(t_0).
Ảnh
Ảnh
Vận dụng
1. Đạo hàm
i) Vận dụng:
Với tình huống trong Hoạt động khám phá 1, hãy tính vận tốc tức thời của chuyển động lúc t = 2.
Giải:
Với bất kì LATEX(t_0) ∈ R, ta có: s'(LATEX(t_0)) = lim LATEX((s(t)-s(t_0))/(t-t_0)) = 9,8LATEX(t_0) Do đó s'(t) = 9,8t trên R. Vậy vận tốc tức thời của chuyển động lúc t = 2 là: v(2) = s'(2) = 9,8 . 2 = 19,6 (m/s).
t→LATEX(t_0)
Ảnh
Ảnh
Ý nghĩa hình học của đạo hàm
Khám phá 2
Ảnh
2. Ý nghĩa hình học của đạo hàm
a) Khám phá 2:
Cho hàm số y = f(x) = LATEX(1/2)LATEX(x^2) có đồ thị (C) và điểm M(1; LATEX(1/2)) thuộc (C). a, Vẽ (C) và tính f' (1). b, Vẽ đường thẳng d đi qua điểm M và có hệ số góc bằng f' (1). Nêu nhận xét về vị trí tương đối giữa d và (C).
Ảnh
2. Ý nghĩa hình học của đạo hàm
Giải:
a, Đồ thị hàm số (C): y = LATEX(1/2x^2) được vẽ như hình bên cạnh. f'(1) = lim LATEX((f(x)-f(1))/(x-1)) = lim LATEX((1/2x^2 - 1/2)/(x-1)) = lim LATEX((1/2(x^2 -1))/(x-1)) = lim LATEX(1/2)(x+1) = LATEX(1/2)(1+1) = 1 b, Theo đề bài, đường thẳng d đi qua M(1;LATEX(1/2)), đường thẳng (d): y = x−LATEX(1/2) được vẽ như sau: Nhận xét: Đường thẳng d cắt đồ thị hàm số (C) tại duy nhất tại điểm M(1;LATEX(1/2)). Khi đó, đường thẳng d tiếp xúc với đồ thị hàm số (C) tại điểm M(1;LATEX(1/2)).
Ảnh
Ảnh
t→1
t→1
t→1
t→1
Ý nghĩa
Ảnh
2. Ý nghĩa hình học của đạo hàm
b) Ý nghĩa:
Đạo hàm của hàm số y = f(x) tại điểm LATEX(x_0) là hệ số góc của tiếp tuyến LATEX(M_0)T với đồ thị (C) của hàm số tại điểm LATEX(M_0)(LATEX(x_0);f(LATEX(x_0))). Tiếp tuyến LATEX(M_0)T có phương trình là y−f(LATEX(x_0)) = f'(LATEX(x_0))(x-LATEX(x_0)).
Ảnh
Ví dụ 3
Ảnh
2. Ý nghĩa hình học của đạo hàm
c) Ví dụ 3:
Cho hàm số y = f(x) = LATEX(x^2) có đồ thị (C) và điểm M(2;4) ∈(C). Tính hệ số góc của tiếp tuyển của (C) tại điểm M và viết phương trình của tiếp tuyến đó.
Giải:
Ta có (LATEX(x^2))' =2x nên tiếp tuyển của (C) tại M có hệ số góc là f'(2)=2.2=4 Phương trình tiếp tuyến của (C) tại M là y-4 = 4(x-2) LATEX(hArr) y=4x-4
Ảnh
Thực hành 2
2. Ý nghĩa hình học của đạo hàm
d) Thực hành 2:
Cho (C) là đồ thị của hàm số f(x) = LATEX(1/x) và điểm M(1; 1) ∈ (C). Tính hệ số góc của tiếp tuyến của (C) tại điểm M và viết phương trình tiếp tuyến đó.
Giải:
Ta có (LATEX(1/x))' = -LATEX(1/(x^2)) nên tiếp tuyến của (C) tại điểm M có hệ số góc f'(x) = -LATEX(1/(1^2)) = -1 Phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm M là: y – 1 = (–1)(x – 1) ⇔ y – 1 = 1 – x ⇔ y = – x + 2 Vậy hệ số góc của tiếp tuyến của (C) tại điểm M bằng –1 và phương trình tiếp tuyến là y = – x + 2
Ảnh
Số e
Khám phá 3
3. Số e
a) Khám phá 3:
Một người gửi tiết kiệm khoản tiền A triệu đồng (gọi là vốn) với lãi suất r/năm theo thể thức lãi kép (tiền lãi sau mỗi kì hạn được cộng gộp vào vốn). Tính tổng số tiền vốn và lãi sau một năm của người gửi nếu kì hạn là a, một năm b, một tháng Lưu ý: Nếu một năm được chia thành n kì hạn (n ∈ LATEX(N^*)) thì lãi suất mỗi kì hạn là LATEX(r/n).
Ảnh
Ảnh
Giải khám phá 3
3. Số e
Giải:
a, Nếu người gửi với kì hạn một năm. Số tiền lãi sau một năm là A.r Tổng số tiền vốn và lãi sau một năm của người gửi là: A + Ar = A(1 + r) b, Nếu người gửi với kì hạn một tháng. Số tiền lãi sau tháng thứ nhất là: A.LATEX(r/12) Tổng số tiền vốn và lãi sau tháng thứ nhất là: A + A.LATEX(r/12) = A(1 + LATEX(r/12)) Số tiền lãi sau tháng thứ hai là: A(1 + LATEX(r/12)) . LATEX(r/12)
Ảnh
Ảnh
3. Số e
Giải:
Tổng số tiền vốn và lãi sau tháng thứ hai là: A(1+LATEX(r/12)) + A(1+LATEX(r/12)). LATEX(r/12) = A(1+LATEX(r/12))(1+LATEX(r/12)) = ALATEX((1+r/12)^2) Số tiền lãi sau tháng thứ ba là: ALATEX((1+r/12)^2). LATEX(r/12) Tổng số tiền vốn và lãi sau tháng thứ ba là: ALATEX((1+r/12)^2) + ALATEX((1+r/12)^2). LATEX(r/12) = ALATEX((1+r/12)^2). (1+LATEX(r/12)) = ALATEX((1+r/12)^3) ... Tương tự, tổng số tiền vốn và lãi sau 1 năm (tức là sau tháng thứ 12) là: ALATEX((1+r/12)^12) Vậy tổng số tiền vốn và lãi sau một năm là ALATEX((1+r/12)^12)
Ảnh
Ví dụ 4
3. Số e
b) Ví dụ 4:
Công thức T = A.LATEX(e^(rt)) được dùng để tính tổng số tiền vốn và lãi mà người gửi nhận được sau thời gian t kể từ thời điểm người đó gửi tiết kiệm 4 đồng theo thể thức “lãi kép liên tục” với lãi suất r/năm. Trong đó, 4 và 7 tính theo đồng, tính theo năm và t có thể nhận giá trị thực bắt ki. Sử dụng máy tính cầm tay, tỉnh giá trị của 7 (làm tròn đến hàng đơn vị) khi A = 2000000, r=0,05 và a, t = LATEX(1/4) b, t = LATEX(1/365)
Ảnh
Ảnh
Ảnh
3. Số e
Giải:
a, T = 2000000.LATEX(e^(0,05. 1/4)) = 2000000.LATEX(e^(0,0125)) LATEX(~~) 2025157 (đồng). b, 2000000.LATEX(e^(0,05. 1/365)) LATEX(~~) 2000274 (đồng).
Ảnh
Ảnh
Ảnh
Thực hành 3
3. Số e
c) Thực hành 3:
Một người gửi tiết kiệm khoản tiền 5 triệu đồng vào ngân hàng với lãi suất 4% năm và theo thể thức lãi kép liên tục. Tính tổng số tiền vốn và lãi mà người đó nhận được sau: a) 1 ngày. b) 30 ngày. (Luôn coi một năm có 365 ngày.)
Ảnh
Ảnh
Ảnh
3. Số e
Giải:
a, Tổng số tiền vốn và lãi mà người đó nhận được sau 1 ngày là: T = 5000000.LATEX(e^(0,04. 1/365)) ≈5000548 (đồng) Vậy tổng số tiền vốn và lãi mà người đó nhận được sau 1 ngày khoảng 5 000 548 đồng. b, Tổng số tiền vốn và lãi mà người đó nhận được sau 30 ngày là: T = 5000000.LATEX(e^(0,04. 30/365)) ≈5016465 (đồng) Vậy tổng số tiền vốn và lãi mà người đó nhận được sau 30 ngày khoảng 5 016 465 đồng.
Ảnh
Dặn dò
Em đã học được những gì?
Ảnh
Dặn dò
Em đã học được những gì?
Nắm được kiến thức về đạo hàm, tiếp tuyến của đồ thị hàm số và số e.
Ảnh
Dặn dò
Ảnh
Dặn dò:
- Ôn lại bài cũ. - Làm bài tập trong SGK, SBT. - Chuẩn bị bài mới: "Bài 2: Các quy tắc tính đạo hàm."
Ảnh
Ảnh
Cảm ơn
Ảnh
Trang bìa
Trang bìa
Hình vẽ
TOÁN 11
CHƯƠNG 7. BÀI 1. ĐẠO HÀM
Ảnh
Khởi động
Khởi động
Ảnh
Khởi động
Giữa tốc độ của xe và quãng đường mà xe đi được có mỗi liên hệ như thế nào? Nếu biết quãng đường s(t) tại mọi thời điểm t thì có thể tính được tốc độ của xe tại mỗi thời điểm không?
Ảnh
Đạo hàm
Khám phá 1
Ảnh
1. Đạo hàm
a) Khám phá 1:
Quãng đường rơi tự do của một vật được biểu diễn bởi công thức s(t) = 4,9LATEX(t^2) với t là thời gian tính bằng giây và s tính bằng mét. Vận tốc trung bình của chuyển động này trên khoảng thời gian [5; t] hoặc [t; 5] được tính bằng công thức LATEX((s(t)-s(5))/(t-5)) a, Hoàn thiện bảng sau về vận tốc trung bình trong những khoảng thời gian khác nhau. Nêu nhận xét về LATEX((s(t)-s(5))/(t-5)) khi t càng gần 5. b, Giới hạn lim LATEX((s(t)-s(5))/(t-5)) được gọi là vận tốc tức thời của chuyển động tại thời điểm LATEX(t_0) = 5. Tính giá trị này. c, Tính giới hạn lim LATEX((s(t)-s(t_0))/(t-t_0)) để xác định vận tốc tức thời của chuyển động tại thời điềm LATEX(t_0) nào đó trong quá trình rơi của vật.
Ảnh
Giải khám phá 1
1. Đạo hàm
Giải:
a, • Với t ∈ [5; 5,1], chọn t = 5,1 ta có: LATEX((s(t)-s(5))/(t-5) = (4,9 . 5,1^2 - 4,9 . 5^2)/(5,1 - 5) = 49,49) • Với t ∈ [5; 5,05], chọn t = 5,05 ta có: LATEX((s(t)-s(5))/(t-5) = (4,9 . 5,05^2 - 4,9 . 5^2)/(5,05 - 5) = 49,245) • Với t ∈ [5; 5,01], chọn t = 5,01 ta có: LATEX((s(t)-s(5))/(t-5) = (4,9 . 5,01^2 - 4,9 . 5^2)/(5,01 - 5) = 49,049) • Với t ∈ [5; 5,001], chọn t = 5,001 ta có: LATEX((s(t)-s(5))/(t-5) = (4,9 . 5,001^2 - 4,9 . 5^2)/(5,001 - 5) = 49,0049) • Với t ∈ [4,999; 5], chọn t = 4,999 ta có: LATEX((s(t)-s(5))/(t-5) = (4,9 . 4,999^2 - 4,9 . 5^2)/(4,999 - 5) = 48,9951) • Với t ∈ [4,99; 5], chọn t = 4,99 ta có: LATEX((s(t)-s(5))/(t-5) = (4,9 . 4,99^2 - 4,9 . 5^2)/(4,99 - 5) = 48,951)
Ảnh
Ta thấy LATEX((s(t)-s(5))/(t-5) )
càng gần 49 thì t càng gần 5.
Ảnh
1. Đạo hàm
Giải:
b, lim LATEX((s(t) - s(5))/(t-5)) = lim LATEX((4,9t^2 - 4,9.5^2)/(t-5)) = lim LATEX((4,9(t^2 - 5^2))/(t-5)) = lim LATEX((4,9(t-5)(t+5))/(t-5)) = lim LATEX(4,9(t+5)) = 4,9(5+5) = 49 c, lim LATEX((s(t) - s(t_0))/(t-t_0)) = lim LATEX((4,9t^2 - 4,9.t_0^2)/(t-t_0)) = lim LATEX((4,9(t^2 - t_0^2))/(t- t_0)) = lim LATEX((4,9(t-t_0)(t+t_0))/(t-t_0)) = lim LATEX(4,9(t+t_0)) = 4,9LATEX((t_0+t_0)) = 9,8LATEX(t_0)
t→5
t→5
t→5
t→5
t→5
t→LATEX(t_0)
t→LATEX(t_0)
t→LATEX(t_0)
t→LATEX(t_0)
t→LATEX(t_0)
Ảnh
Định nghĩa
1. Đạo hàm
b) Định nghĩa:
Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a;b) và điểm LATEX(x_0)∈(a;b). Nếu tồn tại giới hạn hữu hạn: lim LATEX((f(x)-f(x_0))/(x-x_0)) thì giới hạn đó được gọi là đạo hàm của f(x) tại điểm LATEX(x_0), kí hiệu là f'LATEX((x_0)) hoặc f'LATEX((y_0)). Vậy f'LATEX((x_0)) = lim LATEX((f(x)-f(x_0))/(x-x_0)).
x→LATEX(x_0)
x→LATEX(x_0)
Ảnh
Ảnh
Ví dụ 1
Ảnh
Ảnh
1. Đạo hàm
c) Ví dụ 1:
Cho hàm số f(x) = LATEX(x^2). Tính f'(LATEX(x_0)) với LATEX(x_0) ∈ R.
Giải:
Ta có f'(LATEX(x_0)) = lim LATEX((f(x)-f(x_0))/(x-x_0)) = lim LATEX((x^2 - x_0^2)/(x-x_0)) = lim (x+LATEX(x_0)) = 2LATEX(x_0)
Ảnh
Ảnh
Chú ý 1
Ảnh
1. Đạo hàm
d) Chú ý 1:
Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a; b). Nếu hàm số này có đạo hàm tại mọi điểm x∈(a;b) thì ta nói nó có đạo hàm trên khoảng (a; b), kí hiệu y’ hoặc f’(x).
Ảnh
Ví dụ 2
1. Đạo hàm
e) Ví dụ 2:
Tính đạo hàm của các hàm số sau: a, f(x) = C (C là hằng số) b, f(x) = LATEX(1/x) với x LATEX(!=) 0
Giải:
a, Với bất kì LATEX(x_0), ta có: f'(x) = lim LATEX((f(x)-f(x_0))/(x-x_0)) = lim LATEX((C-C)/(x-x_0)) = lim 0 = 0 Vậy f'(x) = (C)' = 0 trên R. b, Với bất kì LATEX(x_0)LATEX(!=) 0, ta có: f'(LATEX(x_0)) = lim LATEX((1/x - 1/(x_0))/(x-x_0)) = lim LATEX((x_0 -x)/(x x_0(x-x_0))) = lim LATEX(-1/(x x_0)) = -LATEX(1/(x_0^2)) Vậy f'(x) = (LATEX(1/x))' = -LATEX(1/(x^2)) trên các khoảng (-LATEX(oo);0) và (0;+LATEX(oo)).
x→LATEX(x_0)
x→LATEX(x_0)
x→LATEX(x_0)
x→LATEX(x_0)
x→LATEX(x_0)
Ảnh
Thực hành 1
Ảnh
1. Đạo hàm
f) Thực hành 1:
Tính đạo hàm của hàm số f(x) = LATEX(x^3).
Giải:
Với bất kì LATEX(x_0) ∈ R, ta có: f'(LATEX(x_0)) = lim LATEX((x^3 - x_0^3)/(x-x_0)) = lim LATEX(((x-x_0)(x^2 + x.x_0 + x_0^2))/(x-x_0)) = lim LATEX((x^2 + x.x_0 + x_0^2)) = LATEX(x_0^2)+LATEX(x_0 . x_0)+LATEX(x_0^2) = 3LATEX(x_0^2) Vậy f'(x) = (LATEX(x^3))' = 3LATEX(x^2) trên R.
Ảnh
x→LATEX(x_0)
x→LATEX(x_0)
x→LATEX(x_0)
Ảnh
Chú ý 2
1. Đạo hàm
g) Chú ý:
Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a; b), có đạo hàm tại LATEX(x_0)∈(a;b). a, Đại lượng Δx = x−LATEX(x_0) gọi là số gia của biến tại LATEX(x_0). Đại lượng y = f(x) - f(LATEX(x_0)) gọi là số gia tương ứng của hàm số. Khi đó, x = LATEX(x_0)+Δx và f'(LATEX(x_0)) = lim LATEX((Δy)/(Δx)) = lim LATEX((f(x_0 + Δx) - f(x_0))/(Δx)) b, Tỉ số LATEX((Δy)/(Δx)) biểu thị tốc độ thay đổi trung bình của đại lượng y theo đại lượng x trong khoảng từ LATEX(x_0) đến LATEX(x_0 + Δx); còn f'(LATEX(x_0)) biểu thị tốc độ thay đổi (tức thời) của đại lượng y theo đại lượng x tại điểm LATEX(x_0).
Δx→0
Δx→0
Ảnh
Ý nghĩa vật lí của đạo hàm
1. Đạo hàm
h) Ý nghĩa vật lí của đạo hàm:
- Nếu hàm số s = f(t) biểu thị quãng đường di chuyển của vật theo thời gian t thì f'(LATEX(t_0)) biểu thị tốc độ tức thời của chuyển động tại thời điểm LATEX(t_0). - Nếu hàm số T = f(t) biểu thị nhiệt độ T theo thời gian t thì f'(LATEX(t_0)) biểu thị tốc độ thay đổi nhiệt độ theo thời gian tại thời điểm LATEX(t_0).
Ảnh
Ảnh
Vận dụng
1. Đạo hàm
i) Vận dụng:
Với tình huống trong Hoạt động khám phá 1, hãy tính vận tốc tức thời của chuyển động lúc t = 2.
Giải:
Với bất kì LATEX(t_0) ∈ R, ta có: s'(LATEX(t_0)) = lim LATEX((s(t)-s(t_0))/(t-t_0)) = 9,8LATEX(t_0) Do đó s'(t) = 9,8t trên R. Vậy vận tốc tức thời của chuyển động lúc t = 2 là: v(2) = s'(2) = 9,8 . 2 = 19,6 (m/s).
t→LATEX(t_0)
Ảnh
Ảnh
Ý nghĩa hình học của đạo hàm
Khám phá 2
Ảnh
2. Ý nghĩa hình học của đạo hàm
a) Khám phá 2:
Cho hàm số y = f(x) = LATEX(1/2)LATEX(x^2) có đồ thị (C) và điểm M(1; LATEX(1/2)) thuộc (C). a, Vẽ (C) và tính f' (1). b, Vẽ đường thẳng d đi qua điểm M và có hệ số góc bằng f' (1). Nêu nhận xét về vị trí tương đối giữa d và (C).
Ảnh
2. Ý nghĩa hình học của đạo hàm
Giải:
a, Đồ thị hàm số (C): y = LATEX(1/2x^2) được vẽ như hình bên cạnh. f'(1) = lim LATEX((f(x)-f(1))/(x-1)) = lim LATEX((1/2x^2 - 1/2)/(x-1)) = lim LATEX((1/2(x^2 -1))/(x-1)) = lim LATEX(1/2)(x+1) = LATEX(1/2)(1+1) = 1 b, Theo đề bài, đường thẳng d đi qua M(1;LATEX(1/2)), đường thẳng (d): y = x−LATEX(1/2) được vẽ như sau: Nhận xét: Đường thẳng d cắt đồ thị hàm số (C) tại duy nhất tại điểm M(1;LATEX(1/2)). Khi đó, đường thẳng d tiếp xúc với đồ thị hàm số (C) tại điểm M(1;LATEX(1/2)).
Ảnh
Ảnh
t→1
t→1
t→1
t→1
Ý nghĩa
Ảnh
2. Ý nghĩa hình học của đạo hàm
b) Ý nghĩa:
Đạo hàm của hàm số y = f(x) tại điểm LATEX(x_0) là hệ số góc của tiếp tuyến LATEX(M_0)T với đồ thị (C) của hàm số tại điểm LATEX(M_0)(LATEX(x_0);f(LATEX(x_0))). Tiếp tuyến LATEX(M_0)T có phương trình là y−f(LATEX(x_0)) = f'(LATEX(x_0))(x-LATEX(x_0)).
Ảnh
Ví dụ 3
Ảnh
2. Ý nghĩa hình học của đạo hàm
c) Ví dụ 3:
Cho hàm số y = f(x) = LATEX(x^2) có đồ thị (C) và điểm M(2;4) ∈(C). Tính hệ số góc của tiếp tuyển của (C) tại điểm M và viết phương trình của tiếp tuyến đó.
Giải:
Ta có (LATEX(x^2))' =2x nên tiếp tuyển của (C) tại M có hệ số góc là f'(2)=2.2=4 Phương trình tiếp tuyến của (C) tại M là y-4 = 4(x-2) LATEX(hArr) y=4x-4
Ảnh
Thực hành 2
2. Ý nghĩa hình học của đạo hàm
d) Thực hành 2:
Cho (C) là đồ thị của hàm số f(x) = LATEX(1/x) và điểm M(1; 1) ∈ (C). Tính hệ số góc của tiếp tuyến của (C) tại điểm M và viết phương trình tiếp tuyến đó.
Giải:
Ta có (LATEX(1/x))' = -LATEX(1/(x^2)) nên tiếp tuyến của (C) tại điểm M có hệ số góc f'(x) = -LATEX(1/(1^2)) = -1 Phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm M là: y – 1 = (–1)(x – 1) ⇔ y – 1 = 1 – x ⇔ y = – x + 2 Vậy hệ số góc của tiếp tuyến của (C) tại điểm M bằng –1 và phương trình tiếp tuyến là y = – x + 2
Ảnh
Số e
Khám phá 3
3. Số e
a) Khám phá 3:
Một người gửi tiết kiệm khoản tiền A triệu đồng (gọi là vốn) với lãi suất r/năm theo thể thức lãi kép (tiền lãi sau mỗi kì hạn được cộng gộp vào vốn). Tính tổng số tiền vốn và lãi sau một năm của người gửi nếu kì hạn là a, một năm b, một tháng Lưu ý: Nếu một năm được chia thành n kì hạn (n ∈ LATEX(N^*)) thì lãi suất mỗi kì hạn là LATEX(r/n).
Ảnh
Ảnh
Giải khám phá 3
3. Số e
Giải:
a, Nếu người gửi với kì hạn một năm. Số tiền lãi sau một năm là A.r Tổng số tiền vốn và lãi sau một năm của người gửi là: A + Ar = A(1 + r) b, Nếu người gửi với kì hạn một tháng. Số tiền lãi sau tháng thứ nhất là: A.LATEX(r/12) Tổng số tiền vốn và lãi sau tháng thứ nhất là: A + A.LATEX(r/12) = A(1 + LATEX(r/12)) Số tiền lãi sau tháng thứ hai là: A(1 + LATEX(r/12)) . LATEX(r/12)
Ảnh
Ảnh
3. Số e
Giải:
Tổng số tiền vốn và lãi sau tháng thứ hai là: A(1+LATEX(r/12)) + A(1+LATEX(r/12)). LATEX(r/12) = A(1+LATEX(r/12))(1+LATEX(r/12)) = ALATEX((1+r/12)^2) Số tiền lãi sau tháng thứ ba là: ALATEX((1+r/12)^2). LATEX(r/12) Tổng số tiền vốn và lãi sau tháng thứ ba là: ALATEX((1+r/12)^2) + ALATEX((1+r/12)^2). LATEX(r/12) = ALATEX((1+r/12)^2). (1+LATEX(r/12)) = ALATEX((1+r/12)^3) ... Tương tự, tổng số tiền vốn và lãi sau 1 năm (tức là sau tháng thứ 12) là: ALATEX((1+r/12)^12) Vậy tổng số tiền vốn và lãi sau một năm là ALATEX((1+r/12)^12)
Ảnh
Ví dụ 4
3. Số e
b) Ví dụ 4:
Công thức T = A.LATEX(e^(rt)) được dùng để tính tổng số tiền vốn và lãi mà người gửi nhận được sau thời gian t kể từ thời điểm người đó gửi tiết kiệm 4 đồng theo thể thức “lãi kép liên tục” với lãi suất r/năm. Trong đó, 4 và 7 tính theo đồng, tính theo năm và t có thể nhận giá trị thực bắt ki. Sử dụng máy tính cầm tay, tỉnh giá trị của 7 (làm tròn đến hàng đơn vị) khi A = 2000000, r=0,05 và a, t = LATEX(1/4) b, t = LATEX(1/365)
Ảnh
Ảnh
Ảnh
3. Số e
Giải:
a, T = 2000000.LATEX(e^(0,05. 1/4)) = 2000000.LATEX(e^(0,0125)) LATEX(~~) 2025157 (đồng). b, 2000000.LATEX(e^(0,05. 1/365)) LATEX(~~) 2000274 (đồng).
Ảnh
Ảnh
Ảnh
Thực hành 3
3. Số e
c) Thực hành 3:
Một người gửi tiết kiệm khoản tiền 5 triệu đồng vào ngân hàng với lãi suất 4% năm và theo thể thức lãi kép liên tục. Tính tổng số tiền vốn và lãi mà người đó nhận được sau: a) 1 ngày. b) 30 ngày. (Luôn coi một năm có 365 ngày.)
Ảnh
Ảnh
Ảnh
3. Số e
Giải:
a, Tổng số tiền vốn và lãi mà người đó nhận được sau 1 ngày là: T = 5000000.LATEX(e^(0,04. 1/365)) ≈5000548 (đồng) Vậy tổng số tiền vốn và lãi mà người đó nhận được sau 1 ngày khoảng 5 000 548 đồng. b, Tổng số tiền vốn và lãi mà người đó nhận được sau 30 ngày là: T = 5000000.LATEX(e^(0,04. 30/365)) ≈5016465 (đồng) Vậy tổng số tiền vốn và lãi mà người đó nhận được sau 30 ngày khoảng 5 016 465 đồng.
Ảnh
Dặn dò
Em đã học được những gì?
Ảnh
Dặn dò
Em đã học được những gì?
Nắm được kiến thức về đạo hàm, tiếp tuyến của đồ thị hàm số và số e.
Ảnh
Dặn dò
Ảnh
Dặn dò:
- Ôn lại bài cũ. - Làm bài tập trong SGK, SBT. - Chuẩn bị bài mới: "Bài 2: Các quy tắc tính đạo hàm."
Ảnh
Ảnh
Cảm ơn
Ảnh
↓ CHÚ Ý: Bài giảng này được nén lại dưới dạng ZIP và có thể chứa nhiều file. Hệ thống chỉ hiển thị 1 file trong số đó, đề nghị các thầy cô KIỂM TRA KỸ TRƯỚC KHI NHẬN XÉT ↓
Các ý kiến mới nhất