CHƯƠNG 6. BÀI 2. CÔNG THỨC XÁC SUẤT TOÀN PHẦN VÀ CÔNG THỨC BAYES
Trang bìa
Trang bìa
Ảnh
CHƯƠNG 6. BÀI 2. CÔNG THỨC XÁC SUẤT TOÀN PHẦN VÀ CÔNG THỨC BAYES
TOÁN 12
Khởi động
Khởi động
- Khởi động:
Một loại xét nghiệm nhanh SARS–CoV–2 cho kết quả dương tính với 76,2% các ca thực sự nhiễm virus và kết quả âm tích với 99,1% các ca thực sự không nhiễm virus. Giả sử tỉ lệ người nhiễm virus SARS–CoV–2 trong một cộng đồng là 1%. Một người trong cộng đồng đó làm xét nghiệm và nhận kết quả dương tính. Hỏi khả năng người đó thực sự nhiễm virus là cao hay thấp?
Ảnh
1. Công thức xác suất toàn phần
Công thức xác suất toàn phần
Ảnh
1. Công thức xác suất toàn phần
- HĐ1
HĐ1: Chị An trả lời hai câu hỏi. Xác suất trả lời đúng câu hỏi thứ nhất là 0,7. Xác suất trả lời đúng câu hỏi thứ hai là 0,9 nếu chị An trả lời đúng câu hỏi thứ nhất và là 0,5 nếu chị An không trả lời đúng câu hỏi thứ nhất. Gọi A là biến cố “Chị An trả lời đúng câu hỏi thứ nhất” và B là biến cố “Chị An trả lời đúng câu hỏi thứ hai”. Hãy tìm các giá trị thích hợp điền vào các ô ? ở sơ đồ hình cây sau:
Ảnh
Ảnh
- Kết luận
- Kết luận:
Ảnh
Ảnh
Cho hai biến cố A và B với 0 < P(B) < 1. Khi đó: latex(P(A) = P(B) P(A|B) + P(barB) P(A|barB)) gọi là công thức xác suất toàn phần.
- Ví dụ 1
- Giải:
Gọi A là biến cố " người làm xét nghiệm có kết quả dương tính" và B là biến cố "Người làm xét nghiệm thực sự nhiễm virus".
Ví dụ 1: Trong phần Khởi động, hãy tính xác suất người làm xét nghiệm có kết quả dương tính
Do xét nghiệm cho kết quả dương tính với 76,2% các ca thực sự nhiễm virus nên P(A|B) = 0,762. Do xét nghiệm cho kết quả âm tính với 99,1% các ca thực sự không nhiễm virus nên latex(P(barA|barB) = 0,991 => P(A|barB) = 1 - 0,991 = 0,009). Do tỉ lệ nhiễm virus trong CĐ là 1% nên P(B) = 0,01, latex(P(barB) = 0,99). Áp dụng công thức xác suất toàn phần, ta có xác suất người làm xét nghiệm có kết quả dương tính là: latex(P(A) = P(B) P(A|B) + P(barB) P(A|barB)) = 0,01 . 0,762 + 0,99 . 0,009 = 0,01653.
- Thực hành 1
Vào mỗi buổi sáng ở tuyến phố H, xác suất xảy ra tắc đường khi trời mưa và không mưa lần lượt là 0,7 và 0,2. Xác suất có mưa vào một buổi sáng là 0,1. Tính xác suất để sáng đó tuyến phố H bị tắc đường.
Ảnh
- Thực hành 1:
Ảnh
2. Công thức Bayes
Công thức Bayes
Ảnh
2. Công thức Bayes
- HĐ2
Ảnh
HĐ2: Khảo sát thị lực của 100 học sinh, ta thu được bảng số liệu:
Chọn ngẫu nhiên 1 bạn trong 100 học sinh trên. a) Biết rằng bạn đó có tật khúc xạ, tính xác suất bạn đó là học sinh nam. b) Biết rằng bạn đó là học sinh nam, tính xác suất bạn đó có tật khúc xạ.
Ảnh
- Kết luận
- Kết luận:
Ảnh
Ảnh
Giả sử A và B là hai biến cố ngẫu nhiên thoả mãn P(A) > 0 và 0 < P(B) < 1. Khi đó: latex(P(B|A) = (P(B) P(A|B))/(P(B) P(A|B) + P(barB) P(A|barB))). gọi là công thức Bayes.
- Chú ý
- Chú ý:
Ảnh
Hình vẽ
a) Công thức Bayes vẫn đúng với biến cố B bất kì. b) Với P(A) > 0, công thức P(B|A) = latex((P(B) P(A|B))/(P(A))) cũng được gọi là công thức Bayes.
- Ví dụ 2
Ảnh
Hình vẽ
Ví dụ 2: Một nhà máy có hai phân xưởng I và II. Phân xưởng I sản xuất 40% số sản phẩm và phân xưởng II sản xuất 60% số sản phẩm. Tỉ lệ sản phẩm bị lỗi của phân xưởng I là 2% và của phân xưởng II là 1%. Kiểm tra ngẫu nhiên 1 sản phẩm của nhà máy. a) Tính xác suất để sản phẩm đó bị lỗi. b) Biết rằng sản phẩm được kiểm tra bị lỗi. Hỏi xác suất sản phẩm đó do phân xưởng nào sản xuất cao hơn?
+ Giải (- Ví dụ 2)
- Giải:
Ảnh
- Ví dụ 3
Ảnh
Hình vẽ
Sử dụng kí hiệu các biến cố như ở Ví dụ 1. Xác suất một người thực sự nhiễm virus khi người đó có kết quả xét nghiệm dương tính là P(B|A). Ta có: latex(P(B|A) = (P(B)P(A|B))/(P(A)) = (0,01 . 0,762)/(0,01653)~~0,461 = 46,1%).
- Giải:
Ví dụ 3: Trong phần khởi động, một người làm xét nghiệm và nhận được kết quả dương tính. Tính xác suất người đó thực sự nhiễm virus (kết quả làm tròn đến hàng phần nghìn).
- Thực hành 2
Ảnh
Khi phát hiện một vật thể bay, xác suất một hệ thống radar phát cảnh báo là 0,9 nếu vật thể bay đó là mục tiêu thật và là 0,05 nếu mục tiêu giả. Có 99% các vật thể bay là mục tiêu giả. Biết rằng hệ thống radar đang phát cảnh báo khi phát hiện một vật thể bay. Tính xác suất vật thể đó là mục tiêu thật.
- Thực hành 2:
Ảnh
- Vận dụng
- Vận dụng:
Người ta điều tra thấy ở một địa phương nọ có 2% tài xế sử dụng điện thoại di động khi lái xe. Trong các vụ tai nạn ở địa phương đó, người ta nhận thấy rằng có 10% là do tài xế có sử dụng điện thoại khi lái xe gây ra. Hỏi việc sử dụng điện thoại di động khi lái xe làm tăng xác suất gây tai nạn lên bao nhiêu lần?
Ảnh
3. Bài tập
Bài tập
Ảnh
3. Bài tập
- Bài 1
Ảnh
Bài tập:
Hình vẽ
Bài 1: Hộp thứ nhất có 3 viên bi xanh và 6 viên bi đỏ. Hộp thứ hai có 3 viên bi xanh và 7 viên bi đỏ. Các viên bi có cùng kích thước và khối lượng. Lấy ra ngẫu nhiên 1 viên bi từ hộp thứ nhất chuyển sang hộp thứ hai. Sau đó lại lấy ra ngẫu nhiên đồng thời 2 viên bi từ hộp thứ hai. a) Tính xác suất để hai viên bi lấy ra từ hộp thứ hai là bi đỏ. b) Biết rằng 2 viên bi lấy ra từ hộp thứ hai là bi đỏ, tính xác suất viên bi lấy ra từ hộp thứ nhất cũng là bi đỏ.
- Bài 2
Ảnh
Bài tập:
Hình vẽ
Bài 2: Trong một trường học, tỉ lệ học sinh nữ là 52%. Tỉ lệ học sinh nữ và tỉ lệ học sinh nam tham gia câu lạc bộ nghệ thuật lần lượt là 18% và 15%. Chọn ngẫu nhiên 1 học sinh của trường. a) Tính xác suất học sinh được chọn có tham gia câu lạc bộ nghệ thuật. b) Biết rằng học sinh được chọn có tham gia câu lạc bộ nghệ thuật. Tính xác suất học sinh đó là nam.
- Bài 3
Ảnh
Bài 3: Tỉ lệ người dân đã tiêm vắc xin phòng bệnh A ở một địa phương là 65%. Trong số những người đã tiêm phòng, tỉ lệ mắc bệnh A là 5% ; trong số những người chưa tiêm phòng tỉ lệ mắc bệnh A là 17%. Chọn ngẫu nhiên một người ở địa phương đó. a) Tính xác suất người được chọn mắc bệnh A. b) Biết rằng người được chọn mắc bệnh A. Tính xác suất người đó chưa tiêm vắc xin phòng bệnh A.
Tổng kết
- Dặn dò
Ảnh
Dặn dò:
Ôn lại kiến thức vừa học. Hoàn thành các bài tập còn lại trong SGK và SBT.
- Cảm ơn
Ảnh